Bài tập Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm kèm điều kiện song song với mặt phẳng khác lớp 12 (có lời giải)

Đáp án đúng là: C

Gọi (α) là mặt phẳng cần tìm.

Vì (α) // (P) nên $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \overrightarrow {{n_P}} = \left( {2; - 1;3} \right)$.

Ta có (α) đi qua A(1; 3; −2) và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {2; - 1;3} \right)$.

Do đó phương trình tổng quát của mặt phẳng (α) là: $2\left( {x - 1} \right) - \left( {y - 3} \right) + 3\left( {z + 2} \right) = 0$ hay 2x – y + 3z + 7 = 0.

Đáp án đúng là: B

Do (Q) song song với (P) nên có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {3; - 2;4} \right)$.

Phương trình mặt phẳng (Q): 3(x – 2) – 2(y + 1) + 4(z + 3) = 0

3x – 2y + 4z + 4 = 0.

Đáp án đúng là: B

Do (Q) // (P) nên phương trình mặt phẳng (Q) có dạng 2x – y + z + C = 0 (C ≠ −3).

Mặt phẳng (Q) đi qua A(−1; 2; 1) nên 2.(−1) – 2 + 1 + C = 0 C = 3.

Suy ra phương trình mặt phẳng (Q): 2x – y + z + 3 = 0.

Suy ra điểm không nằm trên mặt phẳng (Q) là N(2; 1; −1) vì 2.2 – 1 – 1 + 3 = 5 ≠ 0.

Đáp án đúng là: C

Mặt phẳng qua M và song song với (α) có phương trình là:

3(x – 3) – (y + 1) + 2(z + 2) = 0 hay 3x – y + 2z – 6 = 0.

Đáp án đúng là: C

Mặt phẳng song song với mặt phẳng (Oxz) có dạng y + D = 0, qua I(1; −2; 0) nên D = 2.

Vậy mặt phẳng cần tìm là y + 2 = 0.

Đáp án đúng là: A

Mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P): 2x – y + 3z + 4 = 0 có dạng:

2x – y + 3z + D = 0 (D ≠ 4).

Mặt phẳng (Q) đi qua điểm A(1; 3; −2) nên ta có:

2.1 – 3 + 3.(−2) + D = 0 D = 7 (thỏa mãn).

Vậy phương trình mặt phẳng (Q): 2x – y + 3z + 7 = 0.

Đáp án đúng là: C

Vì (Q) // (P) nên (Q) có dạng: 2x – y + z + m = 0 (m ≠ −1).

Vì A (Q) nên 2.(−1) – 2 + 1 + m = 0 m = 3.

Vậy (Q): 2x – y + z + 3 = 0.

Đáp án đúng là: D

Vì (P) // (Oxy) nên (P): z + d = 0.

Mà M (P) nên d = −1 nên (P): z – 1 = 0.

Đáp án đúng là: C

Mặt phẳng song song với mặt phẳng (Oyz) nên có dạng x + D = 0 và đi qua I nên D = −3.

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là x – 3 = 0.

Đáp án đúng là: C

Vì (P) // (Q) nên (P) có dạng: 5x – 3y + 2z + c = 0 (c ≠ −3).

Mà (P) đi qua O nên (P): 5x – 3y + 2z = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Gọi (α) là mặt phẳng cần tìm.

Vì (α) // (P) nên $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 1;1} \right)$.

Ta có (α) đi qua A(2; −3; 2) và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {1; - 1;1} \right)$.

Do đó phương trình của mặt phẳng (α) là 1(x – 2) − 1(y + 3) + 1(z − 2 ) = 0 hay x − y + z − 7 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Vì (Q) // (P) nên $\overrightarrow {{n_Q}} = \overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 2;4} \right)$.

Mặt phẳng (Q) đi qua A(2; 1; 4) và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1; - 2;4} \right)$.

Do đó phương trình mặt phẳng (Q) là 1(x – 2) – 2(y – 1) + 4(z – 4) = 0 hay x – 2y + 4z – 16 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Vì (Q) // (P) nên $\overrightarrow {{n_Q}} = \overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;2;1} \right)$.

Mặt phẳng (Q) đi qua A(1; −2; 4) và có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1;2;1} \right)$.

Do đó phương trình mặt phẳng (Q) là 1(x – 1) + 2(y + 2) + 1(z – 4) = 0 hay x + 2y + z – 1 = 0.

Thay M(1; 0; −5) vào phương trình mặt phẳng (Q): x + 2y + z – 1 = 0.

Ta có: 1 + 2∙0 – 5 – 1 = −5.

Vậy M không thuộc mặt phẳng (Q).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Mặt phẳng song song với mặt phẳng (Oxz) có dạng y + D = 0, qua M(2; −3; 4) nên D = 3.

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là y + 3 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Mặt phẳng song song với mặt phẳng (Oyz) nên có dạng x + D = 0 và đi qua H nên D = 3.

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là x + 3 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {3; - 2;1} \right)$.

b) Đúng. Phương trình mặt phẳng (Q) đi qua O và song song với mặt phẳng (P) là 3x – 2y + z = 0.

c) Sai. Gọi phương trình cần tìm là (α).

Do (α) // (P) nên $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \overrightarrow {{n_P}} = \left( {3; - 2;1} \right)$.

Mặt phẳng (α) đi qua điểm M(2; −1; 4) và nhận $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {3; - 2;1} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: 3(x – 2) – 2(y + 1) + 1(z – 4) = 0 hay 3x – 2y + z – 12 = 0.

Phương trình mặt phẳng đi qua M(2; −1; 4) và song song với mặt phẳng (P) là:

d) Đúng. Gọi M' là hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (Oxy). Khi đó toạ độ M' là (2; −1; 0).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Sai. Thay A(1; 2; −1) vào phương trình mặt phẳng (P): 3x – 2y + 2z + 7 = 0.

Ta có: 1∙3 − 2∙2 + 2∙(−1) + 7 = 4.

Vậy A không nằm trên mặt phẳng (P).

b) Sai. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {3; - 2;2} \right)$.

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q) là $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {5; - 4;3} \right)$.

Ta có $\overrightarrow {{n_P}} \ne \overrightarrow {{n_Q}}$ .

Vậy hai mặt phẳng (P) và (Q) không song song với nhau.

c) Đúng. Vì (α) // (P) nên $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \overrightarrow {{n_P}} = \left( {3; - 2;2} \right)$.

Mặt phẳng (α) đi qua điểm I(1; 0; −1) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {3; - 2;2} \right)$ có phương trình là: 3(x – 1) – 2(y – 0) + 2(z + 1 ) = 0 hay 3x – 2y + 2z – 1 = 0.

d) Sai. Mặt phẳng (P) cắt trục Oz tại điểm có toạ độ B$\left( {0;0;\frac{{ - 7}}{2}} \right)$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Có $\overrightarrow {OA} = \left( { - 1;4;2} \right)$ và $\overrightarrow j = \left( {0;1;0} \right)$.

Có $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow j } \right] = \left( { - 2;0; - 1} \right)$.

Phương trình mặt phẳng (α) có dạng −2(x + 1) – (z – 2) = 0 hay 2x + z = 0 hay x + $\frac{1}{2}$z = 0.

b = 0, c = $\frac{1}{2}$.

Do đó b – 2c2 + 1 = 0 − 2∙${\left( {\frac{1}{2}} \right)^2}$ + 1 = $\frac{1}{2}$ > 0.

b) Đúng. Do (α) // (P) nên $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;2;2} \right)$.

Mặt phẳng (α) đi qua điểm A(−1; 4; 2) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {1;2;2} \right)$ có phương trình là:

1(x + 1) + 2(y – 4) + 2(z – 2) = 0 hay x + 2y + 2z – 11 = 0.

c) Đúng. Do mặt phẳng (P) x + 2y + 2z = 1 đối xứng với mặt phẳng (β) qua trục Ox nên ta có phương trình mặt phẳng (β) là x – 2y – 2z − 1 = 0.

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (β) là $\overrightarrow {{n_\beta }} = \left( {1; - 2; - 2} \right)$,

Có $\overrightarrow {{n_\beta }} = \left( {1; - 2; - 2} \right) = - 2 \cdot \left( {\frac{{ - 1}}{2};1;1} \right)$ nên $\overrightarrow u = \left( { - \frac{1}{2};1;1} \right)$ cũng là 1 vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (β).

Khi đó a + b = $\frac{{ - 1}}{2}$ + 1 = $\frac{1}{2}$ < 2.

d) Đúng. Gọi M là giao điểm của mặt phẳng (P) với trục Ox. Khi đó toạ độ điểm M(1; 0; 0).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. $\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right] = \left( {9;13;7} \right)$.

Mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {9;13;7} \right)$.

b) Sai. Mặt phẳng (α) đi qua điểm A(2; 0; −3) và nhận $\overrightarrow n = \left( {9;13;7} \right)$ có phương trình là: 9(x – 2) + 13(y – 0) + 7(z + 3) = 0 hay 9x + 13y + 7z + 3 = 0.

c) Sai. Thay điểm M(1; −2; −3) vào mặt phẳng (α): 9x + 13y + 7z + 3 = 0.

Ta có: 1∙9 + 13∙(−2) + 7∙(−3) + 3 = −35.

Vậy mặt phẳng (α) không đi qua điểm M(1; −2; −3).

d) Sai. Vì (α) // (P) nên $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \overrightarrow {{n_P}} = \left( {9;13;7} \right)$.

Mặt phẳng (P) đi qua M(1; −2; −3) và nhận $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {9;13;7} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là 9(x – 1) + 13(y + 2) + 7(z + 3) = 0 hay 9x + 13y + 7z +38 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {1; - 2;2} \right)$.

b) Đúng. $\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 1;2} \right)$.

c) Sai. Phương trình mặt phẳng (Q) có dạng: x – 2y + 2z + d = 0.

Mặt phẳng (Q) đi qua điểm A(−3; 0; 1) ta có: −3 − 2∙0 + 2∙1 + d = 0 hay d = 1.

Do đó mặt phẳng (Q): x – 2y + 2z + 1 = 0.

Vậy a + b + c = 1.

d) Sai. Ta có $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {1;2;2} \right) \ne \overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 2;2} \right)$.

Vậy mặt phẳng (α): x + 2y + 2z + 10 = 0 không song song với mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 5 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: −17

Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B,C là: $\frac{x}{{ - 2}} + \frac{y}{3} + \frac{z}{6} = 1$ hay −3x + 2y + z – 6 = 0.

Ta có (P) // (Q) nên $\overrightarrow {{n_Q}} = \overrightarrow {{n_P}} = \left( { - 3;2;1} \right)$.

Mặt phẳng (P) đi qua S(−1; 6; 2) và nhận $\overrightarrow {{n_P}} = \left( { - 3;2;1} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: −3(x + 1) + 2(y – 6) + 1(z – 2) = 0 hay −3x + 2y + z – 17 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 3

Vì hình chóp O.ABC là hình chóp đều nên tam giác ABC đều.

Mặt phẳng (α) chứa giao tuyến của (P) và (Q) và cắt tia Ox tại A nên A(a; 0; 0) với a > 0.

Gọi H là trực tâm tam giác ABC. Suy ra $\Delta OHA = \Delta OHB = \Delta OHC\left( {c.g.c} \right)$ nên OA = OB = OC.

Phương trình mặt phẳng (ABC) là: $\frac{x}{a} + \frac{y}{a} + \frac{z}{a} = 1$ hay x + y + z – a = 0.

Ta lấy hai điểm trên giao tuyến của (P), (Q) là E(6; 0; 0) và F(2; 2; 2).

Thay toạ độ E, F vào mặt phẳng (ABC) có:

$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{6 + 0 + 0 - a = 0}\\{2 + 2 + 2 - a = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow a = 6$.

Khi đó mặt phẳng (α) có phương trình là x + y + z – 6 = 0.

Do (α) // (β) nên $\overrightarrow {{n_\beta }} = \overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {1;1;1} \right)$.

Mặt phẳng (β) đi qua điểm M(1; −2; 3) và nhận $\overrightarrow {{n_\beta }} = \left( {1;1;1} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: 1(x – 1) + 1(y + 2) + 1(z – 3) = 0 hay x + y + z – 2 = 0.

Vậy a + b + c = 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2

Ta có: $\overrightarrow {AM} = \left( {a - 3;b - 1;c - 7} \right)$ và $\overrightarrow {BM} = \left( {a - 5;b - 5;c - 1} \right)$.

Vì $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{M \in (P)}\\{MA = MB = \sqrt {35} }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{M \in (P)}\\{M{A^2} = M{B^2}}\\{M{A^2} = 35}\end{array}} \right.$.

Ta có hệ phương trình:

$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{2a - b - c + 4 = 0}\\{\left( {a - 3} \right){}^2 + {{\left( {b - 1} \right)}^2} + {{\left( {c - 7} \right)}^2} = {{\left( {a - 5} \right)}^2} + {{\left( {b - 5} \right)}^2} + {{\left( {c - 1} \right)}^2}}\\{{{\left( {a - 3} \right)}^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2} + {{\left( {c - 7} \right)}^2} = 35}\end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{2a - b - c = - 4}\\{4a + 8b - 12c = - 8}\\{{{\left( {a - 3} \right)}^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2} + {{\left( {c - 7} \right)}^2} = 35}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{b = c}\\{c = a + 2}\\{{{\left( {a - 3} \right)}^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2} + {{\left( {c - 7} \right)}^2} = 35}\end{array}} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{b = a + 2}\\{c = a + 2}\\{3{a^2} - 14a = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{a = 0}\\{b = 2}\\{c = 2}\end{array}} \right.$ (do M có hoành độ nguyên).

Nên M(0; 2; 2).

Vì (Q) // (P) nên $\overrightarrow {{n_Q}} = \overrightarrow {n{}_P} = \left( {2; - 1; - 1} \right)$.

M' là hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (Oxy) nên M'(0; 2; 0).

Mặt phẳng (Q) đi qua điểm M'(0; 2; 0) và nhận $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {2; - 1; - 1} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: 2(x – 0) – 1(y − 2) – 1(z − 0) = 0 hay 2x – y – z + 2 = 0.

Vậy p = 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: −5

$\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;1;1} \right)$, $\overrightarrow {CD} = \left( {0;1; - 1} \right)$.

$\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right] = \left( { - 2; - 1; - 1} \right)$.

Mặt phẳng (α) đi qua A(1; 1; 0) và nhận vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n = \left( { - 2; - 1; - 1} \right)$có phương trình là −2(x – 1) – 1(y – 1) – 1(z – 0) = 0 hay 2x + y + z – 3 = 0.

Vì (P) // (α) nên $\overrightarrow {{n_P}} = \overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( { - 2; - 1; - 1} \right)$.

Mặt phẳng (P) đi qua M(1; 2; 3) và nhận $\overrightarrow {{n_P}} = \left( { - 2; - 1; - 1} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là −2(x – 1) – 1(y – 2) – 1(z – 3) = 0 hay 2x + y + z – 7 = 0.

Vậy b + c + d = 1 + 1 – 7 = −5.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 6

Vì (P) // (Q): x – y + 2z – 1 = 0 nên $\overrightarrow {{n_P}} = \overrightarrow {{n_Q}} = \left( {1; - 1;2} \right)$.

Mặt phẳng (P) đi qua A(2; 1; −3) và nhận $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 1;2} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: 1(x – 2) – 1(y – 1) + 2(z + 3) = 0 hay x − y + 2z + 5 = 0.

Vậy a + b + c = −1 + 2 + 5 = 6.