Bài tập Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng có đáp án

Hướng dẫn giải

Đầu tiên ta phải lập phương trình tổng quát của hai đường thẳng a và b, sau đó giải hệ hai phương trình trên, ta được nghiệm duy nhất chính là giao điểm của hai đường thẳng a và b.

Hướng dẫn giải

Có 3 vị trí tương đối của hai đường thẳng trong mặt phẳng, đó là cắt nhau, song song, trùng nhau.

Hướng dẫn giải

Vì $\overrightarrow {{u_1}}$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆$_{1}$ nên giá của vectơ $\overrightarrow {{u_1}}$ song song hoặc trùng với đường thẳng ∆$_{1}$.

Vì $\overrightarrow {{u_2}}$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆$_{2}$ nên giá của vectơ $\overrightarrow {{u_2}}$ song song hoặc trùng với đường thẳng ∆$_{2}$.

∆$_{1}$ cắt ∆$_{2}$

Khi đó giá của hai vectơ $\overrightarrow {{u_1}} ,\,\,\overrightarrow {{u_2}}$ cắt nhau.

Do đó hai vectơ $\overrightarrow {{u_1}} ,\,\,\overrightarrow {{u_2}}$ không cùng phương.

Hướng dẫn giải:

∆$_{1}$ song song với ∆$_{2}$

Khi đó giá của hai vectơ $\overrightarrow {{u_1}} ,\,\,\overrightarrow {{u_2}}$ song song hoặc trùng nhau.

Do đó hai vectơ $\overrightarrow {{u_1}} ,\,\,\overrightarrow {{u_2}}$ cùng phương.

Hướng dẫn giải:

∆$_{1}$ trùng với ∆$_{2}$

Khi đó giá của hai vectơ $\overrightarrow {{u_1}} ,\,\,\overrightarrow {{u_2}}$ song song hoặc trùng nhau.

Do đó hai vectơ $\overrightarrow {{u_1}} ,\,\,\overrightarrow {{u_2}}$ cùng phương.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng ∆$_{1}$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1;\,\,\,1} \right)$.

Đường thẳng ∆$_{2}$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_2}} = \left( {2;\,\,2} \right)$.

Ta có: $\overrightarrow {{u_2}} = 2\overrightarrow {{u_1}}$, do đó $\overrightarrow {{u_1}} ,\,\,\overrightarrow {{u_2}}$ cùng phương.

Chọn t$_{1}$ = 0, ta có điểm M(1; – 2) thuộc ∆$_{1}$. Thay tọa độ điểm M vào phương trình ∆$_{2}$, ta được: $\left\{ \begin{array}{l}1 = 2{t_2}\\ - 2 = - 3 + 2{t_2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_2} = \frac{1}{2}\\{t_2} = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow {t_2} = \frac{1}{2}$, vậy điểm M cũng thuộc ∆$_{2}$.

Vậy hai đường thẳng ∆$_{1}$ và ∆$_{2}$ trùng nhau.

Hướng dẫn giải

* Tọa độ giao điểm của đường thẳng d và đường thẳng ∆$_{1}$ là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - 2 = 0\\3x - 2y + 6 = 0\end{array} \right.$.

Phương trình trên tương đương với $\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 2\\3x - 2y = - 6\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 1\\y = \frac{3}{2}\end{array} \right.$.

Hệ có nghiệm duy nhất là (x; y) = $\left( { - 1;\,\,\frac{3}{2}} \right)$.

Do đó đường thẳng d cắt đường thẳng ∆$_{1}$ tại điểm có tọa độ $\left( { - 1;\,\,\frac{3}{2}} \right)$.

* Tọa độ giao điểm của đường thẳng d và đường thẳng ∆$_{2}$ là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - 2 = 0\\x + 2y + 2 = 0\end{array} \right.$.

Phương trình trên tương đương với $\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 2\\x + 2y = - 2\end{array} \right.$.

Hệ trên vô nghiệm.

Do đó đường thẳng d và đường thẳng ∆$_{2}$ song song với nhau.

* Tọa độ giao điểm của đường thẳng d và đường thẳng ∆$_{3}$ là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}x + 2y - 2 = 0\\2x + 4y - 4 = 0\end{array} \right.$.

Phương trình trên tương đương với $\left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 2\\x + 2y = 2\end{array} \right.$.

Hệ trên có vô số nghiệm.

Do đó, hai đường thẳng d và ∆$_{3}$ có vô số điểm chung nên d trùng với ∆$_{3}$.

Hướng dẫn giải

Quan sát Hình 40a, một góc nhọn trong bốn góc ở hình là góc A$_{1}$ (có thể trả lời là góc A$_{3}$).

Quan sát Hình 40b, ta thấy bốn góc tại đỉnh A là bốn góc vuông, nên bốn góc này bằng nhau và bằng 90°.

Hướng dẫn giải

Quan sát Hình 41a, ta thấy góc giữa hai vectơ $\overrightarrow {IA} ,\,\,\overrightarrow {IB}$ có độ lớn bằng góc giữa hai đường thẳng ∆$_{1}$, ∆$_{2}$.

Quan sát Hình 41b, ta thấy góc giữa hai vectơ $\overrightarrow {IA} ,\,\,\overrightarrow {IB}$ và góc giữa hai đường thẳng ∆$_{1}$, ∆$_{2}$ có tổng độ lớn bằng 180°.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\overrightarrow {{u_1}} \,\,.\,\,\overrightarrow {{u_2}} = {a_1}.{a_2} + {b_1}.{b_2}$, $\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right| = \sqrt {a_1^2 + b_1^2} ,\,\,\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right| = \sqrt {a_2^2 + b_2^2}$.

Do đó, cos(∆$_{1}$, ∆$_{2}$) = $\left| {cos\left( {\overrightarrow {{u_1}} ,\,\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} \,\,.\,\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2} \,\,.\,\,\sqrt {a_2^2 + b_2^2} }}$.

Hướng dẫn giải:

+ Nếu $\left( {\overrightarrow {IA} ,\,\,\overrightarrow {IB} } \right)$ ≤ 90° thì (∆$_{1}$, ∆$_{2}$) = $\left( {\overrightarrow {IA} ,\,\,\overrightarrow {IB} } \right)$. Do đó, cos(∆$_{1}$, ∆$_{2}$) = cos$\left( {\overrightarrow {IA} ,\,\,\overrightarrow {IB} } \right)$ và $cos\left( {\overrightarrow {IA} ,\,\,\overrightarrow {IB} } \right) \ge 0$.

+ Nếu $\left( {\overrightarrow {IA} ,\,\,\overrightarrow {IB} } \right)$ > 90° thì (∆$_{1}$, ∆$_{2}$) = 180° – $\left( {\overrightarrow {IA} ,\,\,\overrightarrow {IB} } \right)$. Do đó, cos(∆$_{1}$, ∆$_{2}$) = – cos$\left( {\overrightarrow {IA} ,\,\,\overrightarrow {IB} } \right)$ và $cos\left( {\overrightarrow {IA} ,\,\,\overrightarrow {IB} } \right) < 0$.

Từ hai trường hợp trên, ta suy ra cos(∆$_{1}$, ∆$_{2}$) = $\left| {cos\left( {\overrightarrow {IA} ,\,\,\overrightarrow {IB} } \right)} \right|$.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng ∆$_{1}$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_1}} = \left( {3\sqrt 3 ;\,\,3} \right)$.

Đường thẳng ∆$_{2}$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {0;\,\,1} \right)$, do đó nó có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;\,\,0} \right)$.

Do đó ta có, cos(∆$_{1}$, ∆$_{2}$) = $\frac{{\left| {3\sqrt 3 .1 + 3.0} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {3\sqrt 3 } \right)}^2} + {3^2}} \,\,.\,\,\sqrt {{1^2} + {0^2}} }} = \frac{{3\sqrt 3 }}{6} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Vậy (∆$_{1}$, ∆$_{2}$) = 30°.

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng ∆$_{1}$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;\, - \,1} \right)$.

Đường thẳng ∆$_{2}$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_2}} = \left( { - 1;\,\,3} \right)$.

Do đó ta có, cos(∆$_{1}$, ∆$_{2}$) = $\left| {cos\left( {\overrightarrow {{n_1}} \,,\,\overrightarrow {{n_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} \,\,.\,\,\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|\,.\,\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}$$= \frac{{\left| {2\,.\,\left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right)\,.\,3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} \,\,.\,\,\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {3^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.

Vậy (∆$_{1}$, ∆$_{2}$) = 45°.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng ∆ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_\Delta }} = \left( {2;\,\,1} \right)$.

Do H là hình chiếu của M lên đường thẳng ∆ nên MH ⊥ ∆.

Khi đó giá của vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_\Delta }} = \left( {2;\,\,1} \right)$ song song hoặc trùng với đường thẳng MH.

Vậy một vectơ chỉ phương của đường thẳng MH là $\overrightarrow {{u_{MH}}} = \overrightarrow {{n_\Delta }} = \left( {2;\,\,1} \right)$.

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng MH đi qua điểm M(– 1; 1) và có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_{MH}}} = \left( {2;\,\,1} \right)$ nên phương trình tham số của đường thẳng MH là $\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2t\\y = 1 + t\end{array} \right.$ (t là tham số).

Hướng dẫn giải:

Điểm H thuộc đường thẳng MH nên gọi tọa độ H(– 1 + 2t; 1 + t).

Do H là hình chiếu của M lên ∆, do đó H cũng thuộc đường thẳng ∆ nên tọa độ điểm H thỏa mãn phương trình ∆, thay vào ta được:

2(– 1 + 2t) + (1 + t) – 4 = 0 ⇔ 5t – 5 = 0 ⇔ t = 1.

Do đó H(1; 2).

Vậy độ dài đoạn thẳng MH là MH = $\sqrt {{{\left( {1 - \left( { - 1} \right)} \right)}^2} + {{\left( {2 - 1} \right)}^2}} = \sqrt 5$.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\frac{x}{{ - 4}} + \frac{y}{2} = 1$$\Leftrightarrow 4\left( {\frac{x}{{ - 4}} + \frac{y}{2}} \right) = 4 \Leftrightarrow - x + 2y - 4 = 0$.

Do đó, phương trình tổng quát của đường thẳng ∆: – x + 2y – 4 = 0.

Vậy khoảng cách từ O đến ∆ là $d\left( {O,\,\,\Delta } \right) = \frac{{\left| { - 0 + 2.0 - 4} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {2^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt 5 }} = \frac{{4\sqrt 5 }}{5}$.

Hướng dẫn giải:

Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song là khoảng cách từ 1 điểm thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia.

Cho x = 0, thay vào phương trình đường thẳng ∆$_{1}$, ta được: 0 – y + 1 = 0 ⇔ y = 1.

Do đó, điểm A(0; 1) thuộc đường thẳng ∆$_{1}$.

Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng song song ∆$_{1}$ và ∆$_{2}$ là:

$d\left( {{\Delta _1},\,{\Delta _2}} \right) = d\left( {A,\,\,{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {0 - 1 - 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \sqrt 2$.

Hướng dẫn giải

Tọa độ giao điểm của đường thẳng d$_{1}$ và d$_{2}$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y - 5 = 0\\x - 4y + 1 = 0\end{array} \right.$.

Hệ trên tương đương với $\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y = 5\\x - 4y = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x + 2y = 5\\3x - 12y = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{9}{7}\\y = \frac{4}{7}\end{array} \right.$

Hệ có nghiệm duy nhất (x; y) = $\left( {\frac{9}{7};\,\,\frac{4}{7}} \right)$.

Vậy hai đường thẳng d$_{1}$ và d$_{2}$ có 1 điểm chung, tức là chúng cắt nhau tại giao điểm $\left( {\frac{9}{7};\,\,\frac{4}{7}} \right).$

Hướng dẫn giải:

Tọa độ giao điểm của đường thẳng d$_{3}$ và d$_{4}$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x - 2y + 3 = 0\\ - 2x + 4y + 10 = 0\end{array} \right.$.

Hệ trên tương đương với $\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = - 3\\x - 2y = - 5\end{array} \right.$.

Do đó, hệ vô nghiệm.

Vậy hai đường thẳng d$_{3}$ và d$_{4}$ không có điểm chung, tức là d$_{3}$ // d$_{4}$.

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d$_{5}$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_5}} = \left( {4;\,2} \right)$, do đó nó có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_5}} = \left( {2;\, - 4} \right)$.

Đường thẳng d$_{6}$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_6}} = \left( {1;\, - 2} \right)$.

Ta có: $\overrightarrow {{u_5}} = 2\overrightarrow {{u_6}}$ nên hai vectơ $\overrightarrow {{u_5}} ,\,\overrightarrow {{u_6}}$ cùng phương.

Ứng với t = 0, thay vào phương trình d$_{6}$, ta được $\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{1}{2} + 0 = - \frac{1}{2}\\y = \frac{5}{2} - 2.0 = \frac{5}{2}\end{array} \right.$.

Do đó, điểm M$\left( { - \frac{1}{2};\,\frac{5}{2}} \right)$ thuộc đường thẳng d$_{6}$.

Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng d$_{5}$, ta được: $4.\left( { - \frac{1}{2}} \right) + 2.\frac{5}{2} - 3 = 0$ ⇔ 0 = 0.

Khi đó điểm M thuộc đường thẳng d$_{5}$.

Vậy hai đường thẳng d$_{5}$ và d$_{6}$ trùng nhau.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d$_{1}$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;\, - 1} \right)$.

Đường thẳng d$_{2}$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;\, - 3} \right)$.

Do đó, cos(d$_{1}$, d$_{2}$) = $\left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\,\overrightarrow {{n_2}} } \right)\,} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} \,.\,\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|\,.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}$$= \frac{{\left| {2.1 + \left( { - 1} \right).\left( { - 3} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} \,.\,\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.

Vậy (d$_{1}$, d$_{2}$) = 45°.

Hướng dẫn giải

Khoảng cách từ A đến ∆$_{1}$ là:

$d\left( {A,\,{\Delta _1}} \right) = \frac{{\left| {3.1 - \left( { - 2} \right) + 4} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{9}{{\sqrt {10} }} = \frac{{9\sqrt {10} }}{{10}}$.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng ∆$_{1}$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {m;\, - 1} \right)$.

Đường thẳng ∆$_{2}$ có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2;\, - 1} \right)$.

Ta có: ∆$_{1}$ ⊥ ∆$_{2}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow {{n_1}} \bot \overrightarrow {{n_2}} \Leftrightarrow \overrightarrow {{n_1}} \,.\,\overrightarrow {{n_2}} = 0$⇔ m . 2 + (– 1) . (– 1) = 0 ⇔ m = $- \frac{1}{2}$.

Vậy m = $- \frac{1}{2}$ thì hai đường thẳng ∆$_{1}$ và ∆$_{2}$ vuông góc với nhau.

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng ∆$_{2}$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;\, - 2} \right)$, do đó nó có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2;\,\,1} \right)$.

Ứng với t = 0 thay vào phương trình ∆$_{2}$ ta được: $\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + 0 = - 2\\y = 1 - 2.0 = 1\end{array} \right.$.

Do đó điểm H(– 2; 1) thuộc ∆$_{2}$.

Khi đó phương trình tổng quát của đường thẳng ∆$_{2}$ là 2(x + 2) + 1(y – 1) = 0 hay 2x + y + 3 = 0.

Do đó, khoảng cách từ B đến ∆$_{2}$ là:

$d\left( {B,\,{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {2.\left( { - 3} \right) + 2 + 3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 5 }}{5}$.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;\,3} \right),\,\,\overrightarrow {AC} = \left( {2;\,\, - 1} \right)$.

$cos\widehat {BAC} = cos\left( {\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} \,.\,\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|\,.\,\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}}$$= \frac{{\left( { - 1} \right).2 + 3.\left( { - 1} \right)}}{{\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {3^2}} \,.\,\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{ - 5}}{{5\sqrt 2 }} = \frac{{ - \sqrt 2 }}{2}$.

Do đó, $\widehat {BAC} = 135^\circ$.

Lại có, cos(AB, AC) = $\left| {cos\left( {\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {AC} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {AB} \,.\,\overrightarrow {AC} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|\,.\,\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.

Do đó, (AB, AC) = 45°.

Hướng dẫn giải

Gọi d là đường thẳng đi qua B và cách đều A và C.

Do d đi qua B(– 1; 2) nên phương trình đường thẳng d có dạng a(x + 1) + b(y – 2) = 0 hay ax + by + a – 2b = 0 (với a và b không đồng thời bằng 0).

Vì d cách đều A và C nên d(A, d) = d(C, d).

$\Leftrightarrow \frac{{\left| {2a + 4b + a - 2b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{{\left| {3a - b + a - 2b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}$

$\Leftrightarrow \left| {3a + 2b} \right| = \left| {4a - 3b} \right|$

Trường hợp 1: 3a + 2b = 4a – 3b ⇔ a = 5b.

Chọn b = 1, a = 5 . 1 = 5, ta có phương trình đường thẳng d là 5x + y + 5 – 2 = 0 hay 5x + y + 3 = 0.

Trường hợp 2: 3a + 2b = – (4a – 3b) ⇔ 7a = b.

Chọn a = 1, b = 7 . 1 = 7, ta có phương trình đường thẳng d là x + 7y + 1 – 2 . 7 = 0 hay x + 7y – 13 = 0.

Vậy phương trình đường thẳng cần lập là 5x + y + 3 = 0 hoặc x + 7y – 13 = 0.

Lưu ý: Do vectơ $\overrightarrow n = \left( {a;\,b} \right)$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng d, mà một đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến, nên khi ta có hệ thức liên hệ giữa a và b thì ta có thể chọn a rồi suy ra b hoặc ngược lại.

Hướng dẫn giải

Giả sử đường đi của tàu A là d$_{1}$, khi đó phương trình d$_{1}$: $\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 33t\\y = - \,4 + 25t\end{array} \right.$.

Giả sử đường đi của tàu B là d$_{2}$, vị trí của tàu B có tọa độ là (4 – 30t; 3 – 40t) nên phương trình d$_{2}$: $\left\{ \begin{array}{l}x = 4 - 30t\\y = 3 - 40t\end{array} \right.$.

Đường thẳng d$_{1}$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 33;\,25} \right)$.

Đường thẳng d$_{2}$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 30;\, - 40} \right)$.

Do đó, cos(d$_{1}$, d$_{2}$) = $\frac{{\left| {\left( { - 33} \right).\left( { - 30} \right) + 25.\left( { - 40} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 33} \right)}^2} + {{25}^2}} \,.\,\sqrt {{{\left( { - 30} \right)}^2} + {{\left( { - 40} \right)}^2}} }} = \frac{{10}}{{50\sqrt {1714} }} = \frac{1}{{5\sqrt {1714} }}$

Vậy côsin góc giữa hai đường đi của hai tàu A và B là $\frac{1}{{5\sqrt {1714} }}$.

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d$_{1}$ đi qua điểm A(3; – 4) và có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {25;\,\,33} \right)$.

Do đó phương trình tổng quát của d$_{1}$ là 25(x – 3) + 33(y + 4) = 0 hay 25x + 33y + 57 = 0.

Đường thẳng d$_{2}$ đi qua điểm B(4; 3) và có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {4;\,\, - 3} \right)$.

Do đó phương trình tổng quát của d$_{2}$ là 4(x – 4) – 3(y – 3) = 0 hay 4x – 3y – 7 = 0.

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng d$_{1}$ và d$_{2}$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}25x + 33y + 57 = 0\\4x - 3y - 7 = 0\end{array} \right.$.

Hệ trên có nghiệm duy nhất $\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{20}}{{69}}\\y = - \frac{{403}}{{207}}\end{array} \right.$.

Do đó hai đường thẳng d$_{1}$ và d$_{2}$ cắt nhau tại điểm có tọa độ $\left( {\frac{{20}}{{69}};\, - \frac{{403}}{{207}}} \right)$.

Khi đó hai tàu A và tàu B gần nhau nhất khi hai tàu ở vị trí tọa độ $\left( {\frac{{20}}{{69}};\, - \frac{{403}}{{207}}} \right)$.

Thay tọa độ $\left( {\frac{{20}}{{69}};\, - \frac{{403}}{{207}}} \right)$ vào phương trình tham số d$_{1}$ ta được: $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{20}}{{69}} = 3 - 33t\\ - \frac{{403}}{{207}} = - \,4 + 25t\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = \frac{{17}}{{207}}\\t = \frac{{17}}{{207}}\end{array} \right. \Leftrightarrow t = \frac{{17}}{{207}}$.

Vậy sau $\frac{{17}}{{207}}$ giờ kể từ thời điểm xuất phát thì hai tàu gần nhau nhất.

Hướng dẫn giải:

Vì tàu A đứng yên ở vị trí ban đầu nên thời gian tàu A chạy là t = 0, do đó tàu A đứng ở vị trí A(3; – 4).

Khi đó khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu chính là khoảng cách từ điểm A đến đường đi của tàu B chính là đường thẳng d$_{2}$: 4x – 3y – 7 = 0.

Ta có: d(A, d$_{2}$) = $\frac{{\left| {4.3 - 3.\left( { - 4} \right) - 7} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{17}}{5} = 3{,}4$.

Vậy nếu tàu A đứng yên ở vị trí ban đầu, tàu B chạy thì khoảng cách ngắn nhất giữa hai tàu bằng 3,4 km.