Bài tập Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng lớp 12 (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {2;1; - 2} \right)$.

Mặt phẳng x + 2y + 2z – 5 = 0 có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;2;2} \right)$.

Vì $\overrightarrow n .\overrightarrow {{n_1}} = 0$ nên hai mặt phẳng này vuông góc với nhau.

Đáp án đúng là: A

Ta có $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2; - 3;1} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {5; - 3; - 2} \right)$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q).

Ta thấy $\overrightarrow {{n_1}} \ne k\overrightarrow {{n_2}} \left( {k \ne 0} \right)$ suy ra hai vectơ $\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}}$ không cùng phương hay (P) cắt (Q).

Mặt khác $\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 17 \ne 0$. Do đó (P) cắt (Q) nhưng không vuông góc.

Đáp án đúng là: B

(P), (Q) có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2;2; - 1} \right),\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;1;m} \right)$.

(P) cắt (Q) khi và chỉ khi hai vectơ pháp tuyến không cùng phương nghĩa là

$\overrightarrow {{n_1}} \ne k\overrightarrow {{n_2}} \left( {k \ne 0} \right)$ $\Leftrightarrow \left( {2;2; - 1} \right) \ne k\left( {1;1;m} \right) \Leftrightarrow m \ne - \frac{1}{2}$.

Đáp án đúng là: C

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;m + 1; - 2} \right)$ và mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_2}} = \left( {2; - 1;0} \right)$.

Để (P) (Q) $\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 0$ $\Leftrightarrow 2 - m - 1 + 0 = 0 \Leftrightarrow m = 1$.

Đáp án đúng là: D

Để (α) và (β) song song với nhau thì $\frac{2}{1} = \frac{{ - 4}}{{ - 2}} = \frac{{m - 1}}{{ - 2}} \ne \frac{{ - 6}}{{ - 3}}$, suy ra không tồn tại m.

Đáp án đúng là: D

(P) //(Q) khi và chỉ khi $\frac{9}{3} = \frac{{m - 11}}{{ - 5}} = \frac{{{m^2} - 10}}{2} \Leftrightarrow m = - 4$.

Đáp án đúng là: B

Hai mặt phẳng (P) và (Q) song song $\Leftrightarrow \frac{4}{2} = \frac{{m - 3}}{{ - 3}} = \frac{{{m^2} + 1}}{5} \ne \frac{{ - 7}}{{ - 1}}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{m - 3}}{{ - 3}} = 2\\\frac{{{m^2} + 1}}{5} = 2\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = - 3\\m = \pm 3\end{array} \right. \Leftrightarrow m = - 3$.

Đáp án đúng là: C

Ta có (P): 2x + 6y – 4z + 8 = 0, (Q): 5x + 15y – 10z + 20 = 0, (R) 6x + 18y – 12z – 24 = 0.

Vì $\frac{2}{5} = \frac{6}{{15}} = \frac{{ - 4}}{{ - 10}} = \frac{8}{{20}}$ nên (P) ≡ (Q).

Vì $\frac{5}{6} = \frac{{15}}{{18}} = \frac{{ - 10}}{{ - 12}} \ne \frac{{20}}{{ - 24}}$ nên (Q) // (R).

Đáp án đúng là: D

Mặt phẳng song song với mặt phẳng (Oyz) có phương trình Ax + D = 0 (D ≠ 0).

Dựa vào đáp án ta chọn mặt phẳng có phương trình: −2x + 1 = 0.

Đáp án đúng là: B

Xét p = 0 không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Xét p ≠ 0 khi đó (P) và (Q) trùng nhau khi và chỉ khi $\frac{m}{2} = \frac{{n - 1}}{3} = \frac{8}{{ - 4}} = \frac{{ - 10}}{p}$

m = −4; n = −5; p = 5.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

(P): 5x + my + z – 5 = 0 có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow a = \left( {5;m;1} \right)$.

(Q): nx – 3y – 2z + 7 = 0 có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow b = \left( {n; - 3; - 2} \right)$.

(P) // (Q) ⇔ $\frac{5}{n} = \frac{m}{{ - 3}} = \frac{1}{{ - 2}} \ne \frac{{ - 5}}{7} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{\frac{5}{n} = \frac{1}{{ - 2}}}\\{\frac{m}{{ - 3}} = \frac{1}{{ - 2}}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{n = - 10}\\{m = \frac{3}{2}}\end{array}} \right.$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

(P) ≡ (Q) ⇔ $\frac{1}{{m - 2{,}5}} = \frac{{ - m}}{1} = \frac{{ - 6}}{{m + 1}} = \frac{{ - 4}}{2} = - 2 \Leftrightarrow m = 2$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

(P): 2x + my + mz − 9 = 0 có vec tơ pháp tuyến $\overrightarrow a = \left( {2;m;m} \right)$

(Q): 4x – y – 3z – 10 = 0 có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow b = \left( {4; - 1; - 3} \right)$.

(P) $\bot$ (Q) ⇔ $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 0 \Leftrightarrow 2 \cdot 4 + m \cdot \left( { - 1} \right) + m \cdot \left( { - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow m = 2$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Để (P) và (Q) song song với nhau thì $\frac{2}{1} = \frac{4}{2} = \frac{{m - 1}}{2} \ne \frac{6}{3} \Leftrightarrow m = 5$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {2;1; - 1} \right)$.

Mặt phẳng x − y + z – 5 = 0 có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 1;1} \right)$.

Vì $\overrightarrow n \cdot \overrightarrow {{n_1}} = 2 \cdot 1 + 1 \cdot \left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right) \cdot 1 = 0$ nên hai mặt phẳng này vuông góc với nhau.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. (P) // (Q) ⇔ $\frac{{4 - a}}{3} = \frac{{ - a - 3}}{{ - 4}} = \frac{1}{1} \ne \frac{1}{3} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4 = - a - 3\\4 - a = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow a = 1$.

b) Sai. Mặt phẳng (P): (4 – a)x – (a + 3)y + z + 1 = 0 có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {4 - a; - a - 3;1} \right)$.

Mặt phẳng (Q): 3x – 4y + z + 3 = 0 có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {3; - 4;1} \right)$.

(P) $\bot$ (Q) ⇔ $\overrightarrow {{n_P}} \cdot \overrightarrow {{n_Q}} = 0 \Leftrightarrow \left( {4 - a} \right) \cdot 3 + \left( { - 4} \right) \cdot \left( { - a - 3} \right) + 1 \cdot 1 = 0 \Leftrightarrow a = - 25$ .

c) Đúng. (P) ≡ (Q) ⇔ $\frac{{4 - a}}{3} = \frac{{ - a - 3}}{{ - 4}} = \frac{1}{1} \ne \frac{1}{3}$.

Không có giá trị nào của a để hai mặt phẳng trên trùng nhau.

d) Sai. Mặt phẳng (Q) không đi qua gốc toạ độ O.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Vectơ pháp tuyến của (P) là $\overrightarrow a = \left( {2;5; - 4} \right)$.

b) Đúng. Mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) nên có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_Q}} = \overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;5; - 4} \right)$.

Mặt phẳng (Q) qua A(1; 1; −1) và nhận $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;5; - 4} \right)$ làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: 2(x – 1) + 5(y – 1) – 4(z + 1) = 0 hay 2x + 5y – 4z – 11 = 0.

c) Đúng. Mặt phẳng (P) cắt trục Ox tại điểm N(−10; 0; 0).

d) Sai. Mặt phẳng (α) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {1; - 3;7} \right)$.

$\overrightarrow {{n_\alpha }} \cdot \overrightarrow {{n_P}} = 1 \cdot 2 + 5 \cdot \left( { - 3} \right) + 7 \cdot \left( { - 4} \right) = - 41$.

Vậy mặt phẳng (P) không vuông góc với mặt phẳng (α): x – 3y + 7z – 9 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {1;2; - 1} \right)$.

b) Sai. Mặt phẳng (Q): 2x – my + 3 = 0 có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {2; - m;0} \right)$.

$\overrightarrow {{n_Q}} \cdot \overrightarrow {{n_P}} = 0 \Leftrightarrow 2 \cdot 1 + \left( { - m} \right) \cdot 2 + 0 \cdot \left( { - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow - 2m + 2 = 0 \Leftrightarrow m = 1$.

c) Đúng. Mặt phẳng (K) song song với mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_K}} = \overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;2; - 1} \right)$.

Phương trình mặt phẳng (K) qua A nhận $\overrightarrow {{n_K}} = \left( {1;2; - 1} \right)$ làm vectơ pháp tuyến là:

1(x – 1) + 2(y – 2) – 1(z + 1 ) = 0 hay x + 2y – z − 6 = 0.

d) Đúng. $\overrightarrow {AB} = \left( { - 2; - 2;2} \right)$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Sai. Thay A(1; 2; −1) vào phương trình mặt phẳng (P): 3x – 2y + 2z + 7 = 0.

3∙1 − 2∙2 + 2∙(−1) + 7 = 4.

b) Sai. Mặt phẳng (P): 3x – 2y + 2z + 7 = 0 có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {3; - 2;2} \right)$

Mặt phẳng (Q): 5x – 4y + 3z + 1 = 0 có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {5; - 4;3} \right)$.

Ta có: $\frac{3}{5} \ne \frac{{ - 2}}{{ - 4}} \ne \frac{2}{3}$.

Vậy hai mặt phẳng (P) và (Q) không song song với nhau.

c) Sai. Mặt phẳng (P): 3x – 2y + 2z + 7 = 0 có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {3; - 2;2} \right)$

Do (α) // (P) nên $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \overrightarrow {{n_P}} = \left( {3; - 2;2} \right)$.

Mặt phẳng (α) đi qua điểm I(1; 0; −1) và nhận $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {3; - 2;2} \right)$làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: 3(x – 1) – 2(y – 0) + 2(z + 1) = 0 hay 3x – 2y + 2z − 1 = 0.

d) Đúng. Mặt phẳng (P): 3x – 2y + 2z + 7 = 0 không đi qua gốc toạ độ.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Sai. Thay B(3; 4; 4) vào phương trình mặt phẳng (P): 2x + y + mz – 1 = 0.

Ta có: 2∙3 + 4 + 4∙m – 1 = 0 hay m = $\frac{{ - 9}}{4}$.

b) Đúng. Mặt phẳng (Q): 4x + (n – 2)y + z – 3 = 0 có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {4;n - 2;1} \right)$.

Do (Q) // (P) ⇔ $\frac{4}{2} = \frac{{n - 2}}{1} = \frac{1}{m} \ne \frac{{ - 3}}{{ - 1}} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{2 = n - 2}\\{2 = \frac{1}{m}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{n = 4}\\{m = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.$.

Suy ra 2m + n = 5.

c) Sai. Mặt phẳng (α): 3x – 2y + 2z + 10 = 0 có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {3; - 2;2} \right)$

Mặt phẳng (P): 2x + y + mz – 1 = 0 có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;1;m} \right)$.

Để (α) // (P) thì $\frac{3}{2} \ne \frac{{ - 2}}{1} = \frac{2}{m}$.

Vậy mặt phẳng (P) và mặt phẳng (α) không song song với nhau và không có cùng vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow n = \left( {3; - 2;2} \right)$.

d) Đúng. Mặt phẳng (α) đi qua điểm A(1; 2; 3) và song song với mặt phẳng (Oxy) có phương trình là: z – 3 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 4

Mặt phẳng (P): 2x + my + 2mz − 9 = 0 có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;m;2m} \right)$

Mặt phẳng (Q): 6x – y – z − 10 = 0 có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {6; - 1; - 1} \right)$.

Để (P) ⊥ (Q) ta có:

$\overrightarrow {{n_P}} \cdot \overrightarrow {n{}_Q} = 0 \Leftrightarrow 2 \cdot 6 + m \cdot \left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right) \cdot 2m = 0 \Leftrightarrow - 3m + 12 = 0 \Rightarrow m = 4$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 8

Mặt phẳng (P): 2x – 3y + 4z + 20 = 0 có vec tơ pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2; - 3;4} \right)$

Mặt phẳng (Q): 4x – 6y + mz + 60 = 0 có vec tơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {4; - 6;m} \right)$

Để (P) // (Q) thì $\frac{2}{4} = \frac{{ - 3}}{{ - 6}} = \frac{4}{m} \ne \frac{{20}}{{60}} \Leftrightarrow m = 8$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: −1

Để (P) ≡ (Q) thì $\frac{2}{{m + 3}} = \frac{{ - m}}{1} = \frac{{ - 4}}{{5m + 1}} = \frac{{m - 6}}{{ - 7}}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{{m + 3}} = \frac{{ - m}}{1}\\\frac{{ - 4}}{{5m + 1}} = \frac{{ - m}}{1}\\\frac{{m - 6}}{{ - 7}} = \frac{{ - m}}{1}\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 3m + 2 = 0\\5{m^2} + m - 4 = 0\\6m = - 6\end{array} \right.$$\Leftrightarrow m = - 1$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 0

Mặt phẳng (P): x + y + z – 1 = 0 có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;1;1} \right)$.

Mặt phẳng (Q): 2x + my + 2z + 3 = 0 có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {2;m;2} \right)$.

Mặt phẳng (R): − x + 2y + nz = 0 có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow {{n_R}} = \left( { - 1;2;n} \right)$.

(P) $\bot$ (R) ⇔ $\overrightarrow {{n_P}} \cdot \overrightarrow {{n_R}} = 0 \Leftrightarrow - 1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 + n \cdot 1 = 0 \Leftrightarrow n = - 1$.

(P) // (Q) ⇔ $\frac{2}{1} = \frac{m}{1} = \frac{2}{1} \ne \frac{3}{{ - 1}} \Leftrightarrow m = 2$.

Vậy m + 2n = 2 + 2∙(−1) = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: −8,5

Mặt phẳng (P): 5x + my + z – 5 = 0 có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow a = \left( {5;m;1} \right)$.

Mặt phẳng (Q): nx – 3y − 2z + 7 = 0 có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow b = \left( {n; - 3; - 2} \right)$.

(P) // (Q) ⇔ $\frac{5}{n} = \frac{m}{{ - 3}} = \frac{1}{{ - 2}} \ne \frac{{ - 5}}{7} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{\frac{5}{n} = \frac{1}{{ - 2}}}\\{\frac{m}{{ - 3}} = \frac{1}{{ - 2}}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{m = \frac{3}{2}}\\{n = - 10}\end{array}} \right.$.

Vậy m + n = $\frac{3}{2} - 10 = - 8{,}5$.