Bài tập Vận dụng ước chung và ước chung lớn nhất để giải các bài toán thực tế lớp 6 (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Gọi số tổ có thể chia được nhiều nhất là a (tổ) (a $\in$$\mathbb{N}$, a < 24)

Theo bài ra ta có: 24$\vdots$a, 108$\vdots$a và a là lớn nhất

Nên a = ƯCLN(24, 108)

Ta phân tích 24 và 108 ra thừa số nguyên tố:

24 = 2$^{3}$.3

108 = 2$^{2}$.3$^{3}$

Ta thấy 2 và 3 là các thừa số nguyên tố chung của 24 và 108. Số mũ nhỏ nhất của 2 là 2, số mũ nhỏ nhất của 3 là 1 nên:

ƯCLN(24, 108) = 2$^{2}$.3 = 12

Vậy có thể chia được nhiều nhất 12 tổ.

Đáp án đúng là: B

Gọi a (chiếc) là số đĩa có thể chia được (a $\in$$\mathbb{N}$, a < 36)

Theo bài ra ta có: 96$\vdots$a, 36$\vdots$a và a là lớn nhất

Nên a = ƯCLN(96, 36)

Ta phân tích 96 và 36 ra thừa số nguyên tố:

96 = 2$^{5}$.3

36 = 2$^{2}$.3$^{2}$

Ta thấy 2 và 3 là các thừa số nguyên tố chung của 96 và 36. Số mũ nhỏ nhất của 2 là 2, số mũ nhỏ nhất của 3 là 1 nên:

ƯCLN(96, 36) = 2$^{2}$.3 = 12

Vậy có thể chia nhiều nhất 12 đĩa.

Đáp án đúng là: C

Gọi a là số hàng dọc có thể xếp được (a $\in$$\mathbb{N}$, a < 42)

Theo bài ra ta có: 54$\vdots$a, 42$\vdots$a, 48$\vdots$a và a là lớn nhất

Nên a = ƯCLN(54, 42, 48)

Ta phân tích 54; 42; 48 ra thừa số nguyên tố:

54 = 2.3$^{3}$

42 = 2.3.7

48 = 2$^{4}$.3

Ta thấy 2 và 3 là các thừa số nguyên tố chung của 54; 42; 48. Số mũ nhỏ nhất của 2 là 1, số mũ nhỏ nhất của 3 là 1 nên:

ƯCLN(54, 42, 48) = 2.3 = 6

Vậy có thể chia nhiều nhất 6 hàng.

Đáp án đúng là: A

Gọi a là số phần thưởng có thể chia theo yêu cầu đầu bài (a $\in$$\mathbb{N}$, a < 48)

Theo bài ra ta có: 48$\vdots$a, 64$\vdots$a và a là lớn nhất

Nên a = ƯCLN(48, 64)

Ta phân tích 48 và 64 ra thừa số nguyên tố:

48 = 2$^{4}$.3

64 = 2$^{6}$

Ta thấy 2 là thừa số nguyên tố chung của 48; 64. Số mũ nhỏ nhất của 2 là 4 nên:

ƯCLN(48, 64) = 2$^{4}$= 16

Vậy có thể chia nhiều nhất 16 phần thưởng.

Số bút ở mỗi phần thưởng là: 48:16 = 3 cái.

Số vở ở mỗi phần thưởng là: 64:16 = 4 quyển.

Đáp án đúng là: B

Gọi a là số túi mà Lan có thể chia (a $\in$$\mathbb{N}$, a < 30)

Theo bài ra ta có: 48$\vdots$a, 30$\vdots$a, 66$\vdots$a và a là lớn nhất

Nên a = ƯCLN(48, 30, 66)

Ta phân tích 48; 30; 66 ra thừa số nguyên tố:

48 = 2$^{4}$.3

30 = 2.3.5

66 = 2.3.11

Ta thấy 2; 3 là thừa số nguyên tố chung của 48; 30; 66. Số mũ nhỏ nhất của 2 là 1; số mũ nhỏ nhất của 3 là 1 nên:

ƯCLN(48, 30, 66) = 2.3 = 6

Vậy có thể chia nhiều nhất 6 túi

Số bi đỏ trong mỗi túi là: 48:6 = 8 viên bi.

Đáp án đúng là: C

Gọi độ dài của mỗi thanh gỗ được cắt là a (dm). (a < 30)

Theo bài ra ta có: 15$\vdots$a, 30$\vdots$a và a là lớn nhất

Nên a = ƯCLN(15, 30)

Mà 30 chia hết cho 15 nên ƯCLN(15, 30) = 15

Vậy độ dài mỗi thanh gỗ được cắt có thể là 15 dm

Đáp án đúng là: A

Muốn số cây phải trồng ít nhất thì khoảng cách giữa hai cây phải lớn nhất

Gọi khoảng cách này là a (a $\in$$\mathbb{N}$, a < 36)

Theo bài ra ta có: 120$\vdots$a, 36$\vdots$a và a lớn nhất

Nên a = ƯCLN(120, 36)

Ta phân tích 120; 36 ra thừa số nguyên tố:

36 = 2$^{2}$.3$^{2}$

120 = 2$^{3}$.3.5

Ta thấy 2; 3 là thừa số nguyên tố chung của 120; 36. Số mũ nhỏ nhất của 2 là 2; số mũ nhỏ nhất của 3 là 1 nên:

ƯCLN(120, 36) = 2$^{2}$.3 = 12

Chu vi của vườn là: 2 (120 + 36) = 312

Vậy số cây cần ít nhất là: 312:12 = 26 cây.

Đáp án đúng là: B

Gọi a là số tổ có thể chia theo yêu cầu bài toán (a $\in$$\mathbb{N}$, 1 < a < 24)

Theo bài ra ta có: 28$\vdots$a, 24$\vdots$a. Khi đó a $\in$ƯC(28, 24)

Ta phân tích 28 và 24 ra thừa số nguyên tổ:

28 = 2$^{2}$.7

24 = 2$^{3}$.3

Ta thấy 2 là thừa số nguyên tố chung của 28; 24. Số mũ nhỏ nhất của 2 là 2

ƯCLN(28, 24) = 2$^{2}$ = 4

Các ước của 4 là: 1; 2; 4.

Mà a > 1 nên a =2 hoặc a = 4

Vậy có 2 cách

Đáp án đúng là: B

Gọi số cây mỗi em trồng được là a (a $\in$$\mathbb{N}$, 1 < a < 132)

Theo bài ra ta có: 132$\vdots$a, 135$\vdots$a. Khi đó a $\in$ƯC(132, 135)

Ta phân tích 132; 135 ra thừa số nguyên tố:

132 = 2$^{2}$.3.11

135 = 3$^{3}$.5

Ta thấy 3 là thừa số nguyên tố chung của 132; 135. Số mũ nhỏ nhất của 3 là 1 nên:

ƯCLN(132, 135) = 3

Các ước của 3 là 1; 3

Mà a > 1 nên a = 3

Vậy 6A có 132:3 = 44 học sinh

6B có 135:3 = 45 học sinh

Đáp án đúng là: D

Gọi số nhóm có thể chia là a (nhóm) (a $\in$$\mathbb{N}$, a < 48)

Theo bài ra ta có: 48$\vdots$a, 60$\vdots$a mà a lớn nhất. Khi đó a = ƯCLN(48, 60)

Ta phân tích 48; 60 ra thừa số nguyên tố:

48 = 2$^{4}$.3

60 = 2$^{2}$.3.5

Ta thấy 2 và 3 là thừa số nguyên tố chung của 48; 60. Số mũ nhỏ nhất của 2 là 2, số mũ nhỏ nhất của 3 là 1 nên:

ƯCLN(48, 60) = 2$^{2}$.3 = 12

Số học sinh nam mỗi nhóm là: 48:12 = 4 em.

Số học sinh nữ mỗi nhóm là: 60:12 = 5 em.

Đáp án đúng là: B

Gọi số đĩa nhiều nhất có thể chia là x (x ∈ ℕ*).

Để số lượng quả được chia đều, x phải là ước chung của 24 và 36.

Để x là nhiều nhất, x chính là ước chung lớn nhất của 24 và 36.

Ta phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

Ta có 24 = 2$^{3}$ ∙ 3 và 36 = 2$^{2}$ ∙ 3$^{2}$.

Chọn ra các thừa số nguyên tố chung là 2 và 3, lập tích với số mũ nhỏ nhất.

Suy ra ƯCLN(24, 36) = 2$^{2}$ ∙ 3 = 12.

Vậy mẹ có thể chia nhiều nhất 12 đĩa.

Đáp án đúng là: A

Do số lượng y bác sĩ trong mỗi đội phản ứng nhanh là như nhau nên số đội nhiều nhất lập được chính là ước chung lớn nhất của 24, 36 và 60.

Ta có 24 = 2$^{3}$ ∙ 3;

36 = 2$^{2}$ ∙ 3$^{2}$;

60 = 2$^{2}$ ∙ 3 ∙ 5.

Suy ra ƯCLN(24, 36, 60) = 2$^{2}$ ∙ 3 = 12.

Vậy có thể chia nhiều nhất thành 12 đội.

Đáp án đúng là: B

Để không lớp nào có người lẻ hàng và số hàng dọc là như nhau, số hàng phải là ước chung của 40, 48 và 32.

Số hàng dọc nhiều nhất là ƯCLN(40, 48, 32).

Ta có 40 = 2$^{3}$ ∙ 5;

48 = 2$^{4}$ ∙ 3;

32 = 2$^{5}$.

Suy ra ƯCLN(40, 48, 32) = 2$^{3}$ = 8.

Vậy có thể xếp nhiều nhất thành 8 hàng dọc.

Đáp án đúng là: A

Độ dài mỗi đoạn thép lớn nhất mà không thừa mẩu nào chính là ước chung lớn nhất của 60 và 84.

Ta có 60 = 2$^{2}$ ∙ 3 ∙ 5;

84 = 2$^{2}$ ∙ 3 ∙ 7.

Suy ra ƯCLN(60, 84) = 2$^{2}$ ∙ 3 = 12.

Độ dài mỗi đoạn là 12 dm.

Đáp án đúng là: C

Vì chiều dài mỗi đoạn ruy băng ngắn bằng nhau và lớn nhất nên nó là ƯCLN(140, 168, 210).

Ta có 140 = 2$^{2}$ ∙ 5 ∙ 7;

168 = 2$^{3}$ ∙ 3 ∙ 7;

210 = 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7.

Suy ra ƯCLN(140, 168, 210) = 2 ∙ 7 = 14.

Vậy mỗi đoạn ruy băng dài 14 cm.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Vì cần chia đều vào các phần quà sao cho số lượng mỗi loại vật phẩm trong các phần quà là như nhau nên số lượng phần quà được chia ra phải là một ước chung của 156, 208 và 104.

b) Sai. Ta có 156 = 2$^{2}$ ∙ 3 ∙ 13; 208 = 2$^{4}$ ∙ 13; 104 = 2$^{3}$ ∙ 13.

Suy ra ƯCLN(156, 208, 104) = 2$^{2}$ ∙ 13 = 52.

c) Đúng. Vậy số phần quà nhiều nhất là 52.

d) Sai. Khi chia 52 phần quà, số thùng mì tôm mỗi phần là 208 : 52 = 4 (thùng).

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Vì số vở thừa ra ở mỗi đợt đều bằng nhau, nên khi lấy tổng số vở của mỗi đợt trừ đi phần số dư giống nhau đó, ta được các số lượng vở đều chia hết cho số vở a trong mỗi thùng.

Do đó, hiệu số vở giữa các đợt là (509 – 397) = 112 và (677 – 509) = 168 phải chia hết cho a.

b) Đúng. Vì a là số tự nhiên lớn nhất sao cho các hiệu số 112 và 168 đều chia hết cho a, nên a chính là ước chung lớn nhất của hai hiệu số tính được ở ý a (tức là ƯCLN(112, 168)).

c) Đúng. Ta có 112 = 2$^{4}$ ∙ 7; 168 = 2$^{3}$ ∙ 3 ∙ 7.

Suy ra ƯCLN(112, 168) = 2$^{3}$ ∙ 7 = 56.

Vậy giá trị lớn nhất của a là 56.

d) Sai. Khi thực hiện phép chia tổng số vở của đợt thứ nhất cho số vở trong mỗi thùng a = 56, ta có:

397 : 56 = 7 (dư 5).

Số dư thực tế là 5 quyển chứ không phải 6 quyển.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Do trồng cây ở cả 4 góc nên khoảng cách phải là ước của cả chiều dài và chiều rộng. Khoảng cách lớn nhất là ƯCLN(120, 72).

b) Sai. Ta có 120 = 2$^{3}$ ∙ 3 ∙ 5; 72 = 2$^{3}$ ∙ 3$^{2}$.

Suy ra ƯCLN(120, 72) = 2$^{3}$ ∙ 3 = 24.

Vậy khoảng cách lớn nhất là 24 m.

c) Sai. Chu vi vườn là (120 + 72) ∙ 2 = 192 ∙ 2 = 384 (m).

d) Đúng. Tổng số cây bằng chu vi chia cho khoảng cách:

384 : 24 = 16 (cây).

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Sai. Đổi đơn vị sang nghìn đồng:

75 000 đồng = 75 nghìn đồng;

105 000 đồng = 105 nghìn đồng.

Giá vở phải là ước chung của 75 và 105.

b) Đúng. 75 = 3 ∙ 5$^{2}$; 105 = 3 ∙ 5 ∙ 7.

Suy ra ƯCLN(75, 105) = 15.

Do đó ƯC(75, 105) = Ư(15) = {1; 3; 5; 15}.

Vì giá vở lớn hơn 10 nghìn đồng nên giá mỗi quyển là 15 nghìn đồng (15 000 đồng).

c) Sai. Hùng mua số quyển vở là 75 : 15 = 5 (quyển).

d) Đúng. Dũng mua 105 : 15 = 7 (quyển).

Dũng mua nhiều hơn Hùng là 7 – 5 = 2 quyển vở.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Đây là điều kiện tiên quyết để gạch vừa khít nền.

Cạnh viên gạch lớn nhất là ƯCLN(480, 640).

b) Sai. 480 = 2$^{5}$ ∙ 3 ∙ 5; 640 = 2$^{7}$ ∙ 5.

Suy ra ƯCLN(480, 640) = 2$^{5}$ ∙ 5 = 160.

Vậy gạch lớn nhất có cạnh dài 160 cm.

c) Đúng. Ta có 80 là một ước của 160 nên dùng được loại gạch hình vuông có kích thước cạnh 80 cm.

d) Sai. Số gạch cần dùng là: (480 : 80) ∙ (640 : 80) = 6 ∙ 8 = 48 viên.

Đáp án: 60.

Số xe nhiều nhất thuê được là ước chung lớn nhất của 240 và 180.

Phân tích ra thừa số nguyên tố: 240 = 2$^{4}$ ∙ 3 ∙ 5; 180 = 2$^{2}$ ∙ 3$^{2}$ ∙ 5.

Suy ra ƯCLN(240, 180) = 2$^{2}$ ∙ 3 ∙ 5 = 60.

Vậy thuê nhiều nhất được 60 chiếc xe.

Đáp án: 52.

Khối lượng lớn nhất của một bó giấy là ƯCLN(312, 260).

Ta phân tích: 312 = 2$^{3}$ ∙ 3 ∙ 13 và 260 = 2$^{2}$ ∙ 5 ∙ 13.

Suy ra ƯCLN(312, 260) = 2$^{2}$ ∙ 13 = 52.

Vậy khối lượng lớn nhất mỗi bó là 52 kg.

Đáp án: 15.

Số lẵng hoa lớn nhất là ƯCLN(156, 195, 234).

Ta có 156 = 2$^{2}$ ∙ 3 ∙ 13;

195 = 3 ∙ 5 ∙ 13;

234 = 2 ∙ 3$^{2}$ ∙ 13.

Suy ra ƯCLN(156, 195, 234) = 3 ∙ 13 = 39.

Như vậy cắm được nhiều nhất là 39 lẵng hoa.

Số hoa hồng mỗi lẵng: 156 : 39 = 4 (bông).

Số hoa cẩm chướng: 195 : 39 = 5 (bông).

Số hoa đồng tiền: 234 : 39 = 6 (bông).

Tổng số hoa trong mỗi lẵng là 4 + 5 + 6 = 15 (bông).

Đáp án: 16.

Gọi số giỏ quà đóng được là x. Vì số bánh và kẹo được chia đều vào các giỏ nên x phải là ước chung của 144 và 240.

Ta phân tích các số ra thừa số nguyên tố:

144 = 2$^{4}$ ∙ 3$^{2}$

240 = 2$^{4}$ ∙ 3 ∙ 5

Suy ra ƯCLN (144, 240) = 2$^{4}$ ∙ 3 = 48.

Do đó ƯC(144, 240) = Ư(48) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 16; 24; 48}.

Theo yêu cầu đề bài, số lượng giỏ quà x nằm trong khoảng từ lớn hơn 15 và nhỏ hơn 20 (15 < x < 20).

Đối chiếu với tập hợp ước chung vừa tìm được, chỉ có số 16 thỏa mãn điều kiện.

Vậy siêu thị đóng được 16 giỏ quà.

Đáp án: 80.

Gọi số học sinh của đội tuyển là x (với x là số tự nhiên lớn nhất cần tìm).

Theo đề bài, khi chia tổng số vở (263 quyển) cho x thì dư 23 quyển, nghĩa là số vở sau khi trừ đi phần dư sẽ chia hết cho x.

Suy ra 263 – 23 = 240 chia hết cho x (với điều kiện x > 23).

Tương tự, khi chia tổng số bút bi (355 cây) cho x thì dư 35 cây, nghĩa là số bút sau khi trừ đi phần dư sẽ chia hết cho x.

Suy ra 355 – 35 = 320 chia hết cho x (với điều kiện x > 35).

Do đó x phải là ước chung của 240 và 320.

Vì đề bài yêu cầu tìm số học sinh là lớn nhất, nên x chính là ước chung lớn nhất của 240 và 320, tức là x = ƯCLN(240, 320).

Phân tích các số ra thừa số nguyên tố:

1. = 2$^{4}$ . 3 . 5 và 320 = 2$^{6}$ . 5.

Suy ra ƯCLN(240, 320) = 2$^{4}$ . 5 = 80.

Ta thấy x = 80 thỏa mãn điều kiện lớn hơn cả số dư 23 và 35.

Vậy đội tuyển học sinh giỏi có tất cả 80 học sinh.