Bài tập vận dụng tính chất hình bình hành lớp 8 (có lời giải)

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\widehat {{A_1}} = \frac{1}{2}\widehat A = \frac{1}{2}\widehat C = \widehat {{C_1}}$

Xét ∆ADE và ∆CBF, ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}\widehat {{A_1}} = \widehat {{C_1}}\\AD = BC\\\widehat B = \widehat D\end{array} \right.$ => ∆ADE = ∆CBF (g.c.g)

Suy ra DE = BF nên tứ giác BEDF là hình bình hành

Do đó DF = BE.

Đáp án đúng là: D

Tứ giác BDEF có DE // BF, BD // EF nên BDEF là hình bình hành.

Gọi H là trung điểm của BE, suy ra DF BE = H.

Tứ giác ABGE có AB // EG, BG // AE nên ABGE là hình bình hành.

Khi đó hai đường chéo AG và BE cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là H.

Suy ra ba đoạn thẳng AG, BE, DF đồng quy.

Đáp án đúng là: B

Xét ∆AGF và ∆DHE, ta có:

+ AG = DH

+ AF = DE

+ $\widehat A = \widehat D$

=> ∆AGF = ∆DHE (cạnh – góc – cạnh) suy ra GF = EH (1)

Chứng minh tương tự: ∆BGE = ∆CHF (cạnh – góc – cạnh) suy ra GE = HF (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác GEHF là hình bình hành.

Khi đó ta có $\widehat {GEH} = \widehat {GFH}$

Đáp án đúng là: C

H đối xứng với E qua G nên G là trung điểm của EH

F đối xứng với D qua G nên G là trung điểm của DF

Hai đoạn thẳng EH và DF cắt nhau tại G là trung điểm của mỗi đường

Suy ra tứ giác DEFH là hình bình hành

Suy ra EF = DH và ED = FH

Đáp án đúng là: A

Tam giác ABD có EF là đường trung bình nên EF // AD

Tam giác ACD có GH là đường trung bình nên GH // AD

Suy ra EF // GH (1)

Tam giác ABC có EH là đường trung bình nên EH // BC

Tam giác BCD có GF là đường trung bình nên GF // BC

Suy ra GF // EH (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác EFGH có hai cặp cạnh đối song song với nhau nên tứ giác là hình bình hành.

Suy ra $\widehat {EHG} = \widehat {EFG}$.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\widehat {{A_1}} = \frac{1}{2}\widehat A = \frac{1}{2}\widehat C = \widehat {{C_1}}$

Xét ∆ADE và ∆CBF, ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}\widehat {{A_1}} = \widehat {{C_1}}\\AD = BC\\\widehat B = \widehat D\end{array} \right.$ => ∆ADE = ∆CBF (góc – cạnh – góc)

Suy ra DE = BF => Tứ giác BEDF là hình bình hành

Suy ra $\widehat {FDE} = \widehat {FBE}$

Đáp án đúng là: D

Tam giác ABD có EF // BD và 2EF = BD.

Tam giác CBD có GH // BD và 2GH = BD.

Suy ra EF // GH và EF = GH hay tứ giác EFGH là hình bình hành.

Khi đó ta có EG và FH cắt nhau tại trung điểm của FH.

Tam giác ACD có FJ // CD và 2FJ = CD.

Tam giác BCD có IH // CD và 2IH = CD.

Suy ra FJ // IH và FJ = IH nên tứ giác FIHJ là hình bình hành

Khi đó ta có IJ và FH cắt nhau tại trung điểm của FH.

Ta kết luận EG, FH, IJ đồng quy.

Đáp án đúng là: B

Ta có:

+ BH ⊥ AC, CG ⊥ AC => BH // CG

+ CH ⊥ AB, BG ⊥ AB => CH // BG

Suy ra tứ giác BGCH là hình bình hành

Khi đó ta có BH = CG và CH = BG

Đáp án đúng là: B

Gọi I là trung điểm của LE.

Vì D là trung điểm của AB, L là trung điểm của AO nên LD là đường trung bình của tam giác AOB.

Suy ra LD // OB và 2LD = OB (1)

Vì N là trung điểm của OC, E là trung điểm BC nên NE là đường trung bình của tam giác OBC

Suy ra NE // OB và 2NE = OB (2)

Từ (1) và (2) suy ra NE // LD và NE = LD hay ta kết luận tứ giác DENL là hình bình hành.

Nên hai đường chéo DN và LE cắt nhau tại trung điểm I của của LE. (*)

Chứng minh tương tự, ta có tứ giác LMEF là hình bình hành.

Nên hai đường chéo MF là LE cắt nhau tại trung điểm I của LE. (**)

Từ (*) và (**) ta có EL, FM, DN đồng quy (do cùng đi qua trung điểm I của EL)

Đáp án đúng là: A

Xét 2 tam giác ADH và IBH, ta có:

+ $\widehat {ADH} = \widehat {IBH}$ (so le trong)

+$\widehat {AHD} = \widehat {IHB}$ (hai góc đối đỉnh)

Suy ra ∆ADH và ∆IBH đồng dạng (g.g)

Khi đó: $\frac{{DH}}{{BH}} = \frac{{AD}}{{BI}} = \frac{1}{2}$ =>$\frac{{DH}}{{BD}} = \frac{1}{3}$ (1)

Chứng minh tương tự: ∆ADG đồng dạng ∆EBG (g.g)

Khi đó: $\frac{{BG}}{{DG}} = \frac{{BE}}{{AD}} = \frac{1}{2}$=>$\frac{{BG}}{{BD}} = \frac{1}{3}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $BG = DH = \frac{1}{3}DH$, khi đó: $GH = DH - BG - DH = \frac{1}{3}DH$.

Suy ra BG = GH = HD.

Đáp án đúng là: A

Theo định nghĩa và tính chất hình bình hành, một tứ giác được gọi là hình bình hành khi nó có các cặp cạnh đối song song và bằng nhau.

Đáp án đúng là: C

Hình bình hành có các góc đối bằng nhau.

Đáp án đúng là: B

Theo tính chất của hình bình hành, các góc đối diện luôn bằng nhau.

Do góc P nằm đối diện với góc M, nên $\widehat P = \widehat M = 60^\circ$.

Đáp án đúng là: C

Theo tính chất về đường chéo của hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Điểm O là giao điểm nên O là trung điểm của EG.

Do đó, $EO = \frac{{EG}}{2} = \frac{8}{2} = 4$ cm.

Đáp án đúng là: C

Hình bình hành có các cặp cạnh đối bằng nhau (AB = CD = 7 cm; BC = AD = 5 cm).

Chu vi hình bình hành được tính bằng 2 lần tổng hai cạnh kề nhau.

Chu vi của hình bình hành ABCD là 2 ∙ (5 + 7) = 24 cm.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Vì ABCD là hình bình hành nên chu vi của nó là 2(AB + AD).

Suy ra 2.(8 + AD) = 28

Hay 8 + AD = 14

Nên AD = 6 (cm).

b) Sai. Vì DE là phân giác của góc D nên $\widehat {ADE} = \widehat {EDC}$.

Do AB // CD (tính chất hình bình hành), ta có $\widehat {AED} = \widehat {EDC}$ (so le trong).

Suy ra $\widehat {ADE} = \widehat {AED}$, do đó tam giác ADE cân tại A.

c) Đúng. Vì ADE là tam giác cân tại A nên AE = AD = 6 cm.

d) Đúng. BE = AB – AE = 8 – 6 = 2 (cm).

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Vì MNPQ là hình bình hành nên MN = PQ.

b) Sai. Vì MNPQ là hình bình hành nên hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

c) Đúng. Chu vi tam giác OMN là OM + ON + PQ.

d) Đúng. Chu vi tam giác OPQ là OP + OQ + OQ.

Do O là trung điểm của 2 đường chéo MP và NQ nên OM = OP; ON = OQ

Lại có: MN = PQ

Suy ra chu vi tam giác OMN bằng chu vi tam giác OPQ.

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Sai. Hình bình hành không có tính chất hai đường chéo bằng nhau.

b) Đúng. Tổng hai cạnh kề của hình bình hành EFGH là EF + FG, bằng nửa chu vi của hình bình hành và bằng 40 : 2 = 20 cm.

c) Sai. Do EFGH là hình bình hành nên hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, do đó I là trung điểm của EG nên IE = IG.

Chu vi tam giác IEF là IE + IF + EF.

Chu vi tam giác IFG là IF + IG + FG.

Hiệu chu vi tam giác IEF và chu vi tam giác IFG bằng:

(IE + IF + EF) – (IF + IG + FG) = EF – FG = 24 – 18 = 6 cm.

Vậy cạnh EF dài hơn cạnh FG là 6 cm.

d) Đúng. Ta có FG + EF = 20 cm và FG – EF = 6 cm

Suy ra: $FG = \frac{{20 + 6}}{2} = 13$ cm.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD, do đó $\widehat {DMA} = \widehat {MAB}$ (hai góc so le trong).

Mặt khác, AM là tia phân giác của góc A nên $\widehat {DAM} = \widehat {MAB}$.

Suy ra $\widehat {DAM} = \widehat {DMA}$, từ đó tam giác ADM cân tại đỉnh D.

b) Đúng. Tam giác ADM cân tại D nên DM = AD = 5 cm.

Vì ABCD là hình bình hành nên CD = AB = 9 cm.

Suy ra MC = CD – DM = 9 – 5 = 4 cm.

c) Sai. Vì ABCD là hình bình hành nên BC = AD = 5 cm.

Chứng minh tương tự ý a, ta có tam giác CBN cân tại B, suy ra BN = BC = 5 cm.

Suy ra AN = AB – BN = 9 – 5 = 4 cm.

d) Sai. Tứ giác AMCN có AN∥MC và AN = MC = 4 cm nên AMCN là hình bình hành.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD, do đó $\widehat {AED} = \widehat {EDC}$ (hai góc so le trong).

Mặt khác, DE là tia phân giác của góc D nên $\widehat {ADE} = \widehat {EDC}$.

Suy ra $\widehat {ADE} = \widehat {AED}$, do đó tam giác ADE cân tại A.

b) Đúng. Vì tam giác ADE cân tại A nên AE = AD.

Mà AB = 2AD nên AB = 2AE, do đó E là trung điểm của AB.

c) Sai. Vì E là trung điểm của AB nên $AE = \frac{1}{2}AB.$

Vì F là trung điểm của CD nên $CF = \frac{1}{2}CD.$

Mà AB = CD (do ABCD là hình bình hành) nên AE = CF.

Tứ giác AECF có AE // CF và AE = CF nên nó là hình bình hành.

d) Đúng. Vì AECF là hình bình hành nên AF // CE.

Đáp án: 150.

Vì MNPQ là hình bình hành nên MQ // NP, suy ra $\widehat {QMx} = \widehat N$ (đồng vị)

Mà $\widehat {QMx} + \widehat {QMN} = 180^\circ$ nên $\widehat {QMN} + \widehat N = 180^\circ$.

Theo đề bài, $\widehat {QMN} = 5\widehat N$ nên:

$5\widehat N + \widehat N = 180^\circ$

$6\widehat N = 180^\circ$

Suy ra $\widehat N = 30^\circ$.

Do đó $\widehat M = 5 \cdot 30^\circ = 150^\circ$.

Đáp án: 12

Chu vi hình bình hành bằng 2(AB + AD) = 48 cm.

Suy ra AB + AD = 48 : 2 = 24 cm.

Chu vi ∆ABD bằng 36 cm, nên AB + AD + BD = 36 cm.

Thay tổng AB + AD = 24 cm vào biểu thức chu vi tam giác, ta được: 24 + BD = 36.

Vậy BD = 36 – 24 = 12 cm.

Đáp án: 4

Nửa chu vi hình bình hành là: EF + FG = 32 : 2 = 16 cm.

Ta có hiệu độ dài: EF – FG = 4 cm.

Suy ra $EF = \frac{{16 + 4}}{2} = 10$ cm và FG = 16 – EF = 16 – 10 = 6 (cm).

Vì EFGH là hình bình hành nên EH = FG = 6 cm, GH = EF = 10 cm và EF // GH.

Vì EF // GH nên $\widehat {FEK} = \widehat {EKH}$ (hai góc so le trong).

Vì EK là tia phân giác của góc E nên $\widehat {HEK} = \widehat {FEK}$.

Suy ra $\widehat {HEK} = \widehat {EKH}$. Do đó, tam giác EHK cân tại đỉnh H.

Do đó HK = EH = 6 cm.

Vậy GK = GH – HK = 10 – 6 = 4 cm.

Đáp án: 3

Vì ABCD là hình bình hành nên CD = AB = 15 cm, BC = AD = 9 cm và AB // CD.

Vì AB // CD nên $\widehat {BAM} = \widehat {AMD}.$

Vì AM là tia phân giác của góc A nên $\widehat {BAM} = \widehat {DAM}$

Do đó $\widehat {DAM} = \widehat {AMD}.$ Suy ra tam giác ADM cân tại D, nên DM = DA = 9 cm.

Khi đó, CM = CD – DM = 15 – 9 = 6 cm.

Chứng minh tương tự ta có tam giác BCN cân tại C nên CN = CB = 9 cm.

Khi đó, DN = CD – CN = 15 – 9 = 6 cm.

Ta có MN = CD – DN – CM = 15 – 6 – 6 = 3 cm.

Đáp án: 2.

Vì ABCD là hình bình hành nên AB // CD, suy ra $\widehat {MAO} = \widehat {NCO}$ (hai góc so le trong).

Theo tính chất hai đường chéo hình bình hành, O là trung điểm của AC, suy ra OA = OC.

Xét tam giác AOM và tam giác CON, ta có:

$\widehat {MAO} = \widehat {NCO}$ (chứng minh trên);

OA = OC (chứng minh trên);

$\widehat {AOM} = \widehat {CON}$ (hai góc đối đỉnh).

Do đó ∆AOM = ∆CON (g.c.g), suy ra AM = CN (hai cạnh tương ứng).

Theo giả thiết, AM + CN = 14 cm, suy ra 2AM = 14, do đó AM = 7 cm.

Ta có AB = AM + MB, suy ra MB = AB – AM = 9 – 7 = 2 (cm).