Bài tập Vận dụng tích phân vào giải quyết bài toán liên quan thực tế lớp 12 (có lời giải)

Đáp án đúng là: D

Quãng đường vật đó đi được từ giấy thứ 4 đến giây thứ 10 là $\int\limits_4^{10} {\left( {3{t^2} + 5} \right)dt} = 966$ m.

Đáp án đúng là: D

Có $v\left( t \right) = \int {2\cos tdt = 2\sin t + C}$.

Vì v(0) = 0 nên C = 0. Do đó v(t) = 2sint.

Quãng đường vật đi được là $\int\limits_0^\pi {2\sin tdt} = \left. { - 2\cos t} \right|_0^\pi = 4$.

Đáp án đúng là: C

Khi xe dừng hẳn ta có v(t) = 0 −4t + 24 = 0 t = 6 (giây).

Ta có quãng đường ô tô đi được là $s = \int\limits_0^6 {\left( { - 4t + 24} \right)dt} = 72$ m.

Đáp án đúng là: C

Đổi 40 phút = 2400 giây.

Ta có v(t) = $\int {0{,}3dt} = 0{,}3t + C$.

Do v(0) = 0 nên C = 0. Do đó v(t) = 0,3t.

Quãng đường đi được trong 40 phút đầu tiên là $s = \int\limits_0^{2400} {0{,}3tdt} = 864000$ m.

Đáp án đúng là: C

Ta có $s = \int\limits_0^{24} {v\left( t \right)dt} = \int\limits_0^2 {tdt} + \int\limits_2^{20} {2dt} + \int\limits_{20}^{24} {\left( {12 - 0{,}5t} \right)dt}$

$= \left. {\frac{{{t^2}}}{2}} \right|_0^2 + \left. {2t} \right|_2^{20} + \left. {\left( {12t - \frac{{{t^2}}}{4}} \right)} \right|_{20}^{24}$$= 2 + 36 + 4 = 42$.

Đáp án đúng là: C

Thời gian quả bóng A chuyển động từ lúc va chạm đến khi dừng hẳn là

8 – 2t = 0 t = 4 giây.

Quãng đường quả bóng A di chuyển là ${s_A} = \int\limits_0^4 {\left( {8 - 2t} \right)dt} = 16$ m.

Thời gian quả bóng B chuyển động từ lúc va chạm đến khi dừng hẳn là

12 – 4t = 0 t = 3 giây.

Quãng đường quả bóng B di chuyển là ${s_B} = \int\limits_0^3 {\left( {12 - 4t} \right)dt} = 18m$.

Khoảng cách giữa hai quả bóng sau khi dừng hẳn là S = s$_{A}$ + s$_{B}$ = 34 m.

Đáp án đúng là: A

Xét v(t) = 200 t$^{2}$ + 10t – 200 = 0 t = 10 hoặc t = −20.

Vậy thời gian máy bay đạt vận tốc 200 m/s là thời điểm t = 10 s sau khi bắt đầu chuyển động.

Quãng đường máy bay đã di chuyển trên đường băng là

$s = \int\limits_0^{10} {v\left( t \right)dt} = \int\limits_0^{10} {\left( {{t^2} + 10t} \right)dt} = \frac{{2500}}{3}$.

Đáp án đúng là: D

Sự thay đổi của lợi nhuận là $\int\limits_{100}^{125} {P'\left( x \right)dx} = \int\limits_{100}^{125} {\left( { - 0{,}0004x + 9{,}3} \right)dx}$$= \left. {\left( { - 0{,}0002{x^2} + 9{,}3x} \right)} \right|_{100}^{125} = 231{,}375$ triệu đồng.

Đáp án đúng là: D

Thời điểm t ô tô đạt tốc độ 72 km/h (tức 20 m/s) là nghiệm của 30 – 2t = 20 t = 5.

Quãng đường đi được trong khoảng thời gian 5 giây là

$s = \int\limits_0^5 {v\left( t \right)dt} = \int\limits_0^5 {\left( {30 - 2t} \right)dt = 125}$m.

Đáp án đúng là: C

Gọi v(t) = at$^{2}$ + bt + c.

Đồ thị v(t) là một phần parabol có đỉnh I(2; 9) và đi qua điểm A(0; 6) nên $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - b}}{{2a}} = 2\\a{.2^2} + b.2 + c = 9\\a{.0^2} + b.0 + c = 6\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{ - 3}}{4}\\b = 3\\c = 6\end{array} \right.$. Tìm được $v\left( t \right) = - \frac{3}{4}{t^2} + 3t + 6$

Vậy $S = \int\limits_0^3 {\left( { - \frac{3}{4}{t^2} + 3t + 6} \right)} dt =$ 24,75 (km).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Quãng đường xe di chuyển được trong 2 giây đầu tiên chính là tích phân của hàm vận tốc trên đoạn [0; 2].

Ta có công thức tính quãng đường: $s = \int_0^2 {\left( {3{t^2} + 2t} \right)} dt = \left. {\left( {{t^3} + {t^2}} \right)} \right|_0^2$.

Khi đó s = (2$^{3}$ + 2$^{2}$) − (0$^{3}$ + 0$^{2}$) = (8 + 4) − 0 = 12 (mét).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Số lượng vi khuẩn tăng thêm được tính bằng tích phân của tốc độ sinh trưởng trên đoạn thời gian đã cho.

Ta có: $\Delta P = \int_0^{2\ln 2} {100{e^{0{,}5t}}} dt = \left. {\frac{{100}}{{0{,}5}}{e^{0{,}5t}}} \right|_0^{2\ln 2} = \left. {200{e^{0{,}5t}}} \right|_0^{2\ln 2} = 200{e^{0{,}5 \cdot 2\ln 2}} - 200{e^0}$.

$\Delta P = 200{e^{\ln 2}} - 200 \cdot 1 = 200 \cdot 2 - 200 = 400 - 200 = 200$ (cá thể).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Sự gia tăng chi phí khi tăng mức sản xuất từ 10 lên 20 sản phẩm là tích phân của chi phí biên trên đoạn [10; 20].

Ta có: $\Delta C = \int_{10}^{20} {\left( {2x + 50} \right)} dx = \left. {\left( {{x^2} + 50x} \right)} \right|_{10}^{20} = \left( {{{20}^2} + 50 \cdot 20} \right) - \left( {{{10}^2} + 50 \cdot 10} \right) = 1400 - 600 = 800.$

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Vận tốc v(t) là một nguyên hàm của gia tốc a(t): $v(t) = \int { - 2t} dt = - {t^2} + C$.

Tại thời điểm bắt đầu phanh t = 0, vận tốc là 16 m/s nên v(0) = 16 suy ra C = 16.

Hàm vận tốc của tàu là v(t) = 16 − t$^{2}$.

Tàu dừng hẳn khi vận tốc bằng 0: 16 − t$^{2}$ = 0 suy ra t = 4 (giây) vì t > 0.

Quãng đường đi được từ t = 0 đến t = 4 là: $s = \int_0^4 {\left( {16 - {t^2}} \right)} dt$.

Khi đó: $s = \left. {\left( {16t - \frac{{{t^3}}}{3}} \right)} \right|_0^4 = \left( {16 \cdot 4 - \frac{{{4^3}}}{3}} \right) - 0 = 64 - \frac{{64}}{3} = \frac{{192 - 64}}{3} = \frac{{128}}{3}$ (mét).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Gọi T là thời gian cần tìm. Tổng lượng nước bơm được trong thời gian T là tích phân của tốc độ bơm trên đoạn [0; T].

Ta có: $V = \int_0^T {\frac{{100}}{{t + 1}}} dt = 100\ln 5$.

Tính: $\int_0^T {\frac{{100}}{{t + 1}}} dt = \left. {100\ln \left( {t + 1} \right)} \right|_0^T = 100\ln \left( {T + 1} \right) - 100\ln 1$.

Vì ln 1 = 0 nên lượng nước bơm được là $100\ln \left( {T + 1} \right)$.

Đồng nhất với giả thiết: $100\ln \left( {T + 1} \right) = 100\ln 5$ suy ra T + 1 = 5 hay T = 4 (phút).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Hàm vận tốc của B là ${v_B}(t) = \int {4t} dt = 2{t^2} + C$.

Do B xuất phát từ trạng thái đứng yên nên ${v_B}(0) = 0$ suy ra C = 0. Vậy ${v_B}(t) = 2{t^2}$.

b) Sai. Để vận tốc xe B bằng xe A, ta có phương trình 2t2 = 20 suy ra t2 = 10 hay t = $\sqrt {10}$ (giây), không phải t = 10 giây.

c) Đúng. Xe A chuyển động đều nên quãng đường đi được là ${s_A} = 20 \cdot 5 = 100$ (mét).

d) Sai. Quãng đường xe B đi được trong 5 giây là ${s_B} = \int_0^5 {2{t^2}} dt = \left. {\frac{{2{t^3}}}{3}} \right|_0^5 = \frac{{250}}{3}$ (mét).

Vì $\frac{{250}}{3} \approx 83{,}3$ mét nhỏ hơn 100 mét nên xe B đi được quãng đường ngắn hơn xe A.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Theo định nghĩa, sự thay đổi của một đại lượng là nguyên hàm của tốc độ thay đổi của nó.

b) Đúng. Ta tính đạo hàm của G(t): ${\left( {2\sqrt {t + 1} } \right)^\prime } = 2 \cdot \frac{1}{{2\sqrt {t + 1} }} = \frac{1}{{\sqrt {t + 1} }} = g(t)$.

c) Sai. Ta tìm hàm chiều cao $h(t) = \int {\left( {0{,}2 + \frac{{0{,}1}}{{\sqrt {t + 1} }}} \right)} dt = 0{,}2t + 0{,}1 \cdot 2\sqrt {t + 1} + C = 0{,}2t + 0{,}2\sqrt {t + 1} + C$.

Tại t = 0, cây cao 1 mét nên $0{,}2 \cdot 0 + 0{,}2\sqrt {0 + 1} + C = 1$ suy ra 0,2 + C = 1 hay C = 0,8.

Vậy công thức chiều cao đúng là $h(t) = 0{,}2t + 0{,}2\sqrt {t + 1} + 0{,}8$.

d) Đúng. Thay t = 3 vào hàm chiều cao: $h(3) = 0{,}2 \cdot 3 + 0{,}2\sqrt {3 + 1} + 0{,}8 = 0{,}6 + 0{,}2 \cdot 2 + 0{,}8 = 0{,}6 + 0{,}4 + 0{,}8 = 1{,}8$ (mét).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Ta xét đạo hàm của tốc độ sinh lời: $P''(t) = - 2 < 0$. Do đó, tốc độ sinh lời là một hàm số nghịch biến, tức là giảm dần đều theo thời gian.

b) Sai. Để lợi nhuận P(t) đạt lớn nhất, ta xét P'(t) = 0 suy ra −2t + 14 = 0 hay t = 7. Vậy lợi nhuận lớn nhất đạt được vào năm thứ 7, không phải năm thứ 14.

c) Đúng. Tổng lợi nhuận trong 5 năm đầu là $P(5) = \int_0^5 {\left( { - 2t + 14} \right)} dt = \left. {\left( { - {t^2} + 14t} \right)} \right|_0^5 = \left( { - 25 + 70} \right) - 0 = 45$ (tỷ đồng).

d) Đúng. Tổng lợi nhuận cao nhất đạt được tại t = 7.

Ta tính $P(7) = \int_0^7 {\left( { - 2t + 14} \right)} dt = \left. {\left( { - {t^2} + 14t} \right)} \right|_0^7 = - 49 + 14 \cdot 7 = - 49 + 98 = 49$ (tỷ đồng).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Thể tích cát tích lũy V(t) là nguyên hàm của tốc độ xả V'(t), do V(0) = 0 nên thể tích bằng tích phân xác định từ 0 đến t.

b) Sai. Áp dụng công thức nguyên hàm hàm hợp: $\int {10\sin \left( {\frac{{\pi t}}{6}} \right)} dt = - 10 \cdot \frac{6}{\pi }\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6}} \right) + C = - \frac{{60}}{\pi }\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6}} \right) + C$. Mệnh đề thiếu dấu trừ.

c) Đúng. Tốc độ xả cát là $10\sin \left( {\frac{{\pi t}}{6}} \right)$. Biểu thức này đạt lớn nhất bằng 10 khi $\sin \left( {\frac{{\pi t}}{6}} \right) = 1$ suy ra $\frac{{\pi t}}{6} = \frac{\pi }{2}$ hay t = 3 (giờ).

d) Đúng. Lượng cát sau 6 giờ là $V(6) = \int_0^6 {10\sin \left( {\frac{{\pi t}}{6}} \right)} dt = \left. { - \frac{{60}}{\pi }\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6}} \right)} \right|_0^6$.

$= - \frac{{60}}{\pi }\cos \left( \pi \right) - \left( { - \frac{{60}}{\pi }\cos 0} \right) = - \frac{{60}}{\pi }( - 1) + \frac{{60}}{\pi } \cdot 1 = \frac{{60}}{\pi } + \frac{{60}}{\pi } = \frac{{120}}{\pi }$ (m³).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Thay các giá trị vào công thức ta được: $P\left( t \right) = 10 \cdot {\left( {2\sin \left( {100\pi t} \right)} \right)^2} = 10 \cdot 4{\sin ^2}\left( {100\pi t} \right) = 40{\sin ^2}\left( {100\pi t} \right)$.

b) Sai. Theo công thức hạ bậc ${\sin ^2}\alpha = \frac{{1 - \cos 2\alpha }}{2}$, biểu thức đúng phải là ${\sin ^2}\left( {100\pi t} \right) = \frac{{1 - \cos \left( {200\pi t} \right)}}{2}$.

c) Đúng. Biểu thức công suất là $P(t) = 40 \cdot \frac{{1 - \cos \left( {200\pi t} \right)}}{2} = 20 - 20\cos \left( {200\pi t} \right)$.

Nhiệt lượng Q trong 1 giây là $Q = \int_0^1 {\left( {20 - 20\cos \left( {200\pi t} \right)} \right)} dt = \left. {\left( {20t - \frac{{20\sin \left( {200\pi t} \right)}}{{200\pi }}} \right)} \right|_0^1 = \left( {20 \cdot 1 - \frac{{\sin \left( {200\pi } \right)}}{{10\pi }}} \right) - 0 = 20 - 0 = 20.$

Vậy Q = 20 (Joule).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 12

Áp dụng công thức tính công của lực biến thiên, ta có:

$W = \int_0^2 {\left( {4x + 2} \right)} dx = \left. {\left( {2{x^2} + 2x} \right)} \right|_0^2$.

W = (2 · 2$^{2}$ + 2 · 2) − 0 = 8 + 4 = 12 (Joule).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 99

Mức độ thay đổi nhiệt độ $\Delta T$ sau $2\ln 2$ phút là tích phân của tốc độ:

$\Delta T = \int_0^{2\ln 2} { - {e^{ - 0{,}5t}}} dt = \left. {\left( {\frac{{ - 1}}{{ - 0{,}5}}{e^{ - 0{,}5t}}} \right)} \right|_0^{2\ln 2} = \left. {2{e^{ - 0{,}5t}}} \right|_0^{2\ln 2}$.

$\Delta T = 2{e^{ - 0{,}5 \cdot 2\ln 2}} - 2{e^0} = 2{e^{ - \ln 2}} - 2 = 2 \cdot \frac{1}{2} - 2 = 1 - 2 = - 1$ (°C).

Nhiệt độ phôi thép lúc này là T = 100 + (−1) = 99 (°C).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 16

Tổng lượng hóa chất bị rò rỉ là tích phân của tốc độ thất thoát trong khoảng thời gian từ t = 0 đến t = 4.

Ta có: $V = \int_0^4 {3\sqrt t } dt = \int_0^4 {3{t^{\frac{1}{2}}}} dt = \left. {\left( {3 \cdot \frac{{{t^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}}} \right)} \right|_0^4 = \left. {2t\sqrt t } \right|_0^4 = 2 \cdot 4\sqrt 4 - 0 = 2 \cdot 4 \cdot 2 = 16$ (lít).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 990

Hàm doanh thu tổng R(x) được xác định bằng cách tích phân doanh thu cận biên.

Vì R(0) = 0, doanh thu cho 10 sản phẩm là:

$R(10) = \int_0^{10} {\left( {100 - 0{,}2x} \right)} dx = \left. {\left( {100x - 0{,}1{x^2}} \right)} \right|_0^{10}$.

R(10) = 100 · 10 − 0,1 · 102 = 1000 − 0,1 · 100 = 1000 − 10 = 990 (nghìn đồng).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 60

Giả sử t là thời gian (giây) kể từ lúc hai robot xuất phát cho đến khi robot B đuổi kịp robot A (t > 0).

Quãng đường robot A di chuyển được trong thời gian t là:

${s_A}\left( t \right) = \int_0^t {(20x + 10)} dx\left. { = (10{x^2} + 10x)} \right|_0^t = 10{t^2} + 10t.$

Quãng đường robot B di chuyển được trong thời gian t là:

$${s_B}\left( t \right){\rm{ }} = \int_0^t 3 0xdx = \left. {(15{x^2})} \right|_0^t = 15{t^2}.$$

Hai robot gặp nhau khi quãng đường di chuyển của chúng từ lúc xuất phát là bằng nhau, ta có phương trình:

s$_{A}$(t) = s$_{B}$(t) Û 10t$^{2}$ + 10t = 15t$^{2}$ Û 5t$^{2}$ − 10t = 0

Giải phương trình ta được: t = 0 (thời điểm xuất phát) hoặc t = 2 (thỏa mãn).

Vậy sau 2 giây thì robot B đuổi kịp robot A.

Khi đó, khoảng cách từ vị trí hai robot gặp nhau đến vạch xuất phát chính là quãng đường chúng đã đi được: s = 15 · 2$^{2}$ = 60 (cm).