Bài tập Vận dụng phương trình mặt cầu vào giải quyết bài toán liên quan đến thực tiễn lớp 12 (có lời giải)

Đáp án đúng là: D

Do quả cầu nằm trên mặt sàn nha đa năng nên mặt ngoài của quả cầu tiếp xúc với mặt phẳng Oxy.

Ta có d(I, (Oxy)) = R = 50.

Vậy mặt ngoài của quả cầu (S) có phương trình là

(x – 12)$^{2}$ + (y – 20)$^{2}$ + (z – 50)$^{2}$ = 50$^{2}$.

Đáp án đúng là: A

Phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sáng trong không gian là: (x – 1)$^{2}$ + (y – 5)$^{2}$ + (z – 5)$^{2}$ = 25.

Ta có $\overrightarrow {IM} = \left( {2;3;2} \right),\overrightarrow {IA} = \left( {6;9;6} \right) = 3\overrightarrow {IM}$

Và $IM = \sqrt {{{\left( {3 - 1} \right)}^2} + {{\left( {8 - 5} \right)}^2} + {{\left( {7 - 5} \right)}^2}} = \sqrt {17} < 5$ nên điểm M nằm trong mặt cầu.

Vậy người đi biển đi qua điểm M mà vẫn thuộc vùng phủ sáng.

>

Đáp án đúng là: C

Ta thấy quỹ đạo của Rađa là một khối cầu giới hạn bởi mặt cầu (S) có tâm là vị trí Rađa có tọa độ là O(0; 0; 0) và bán kính R = 2.

Do đó ta có phương trình mặt cầu (S): x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ = 4.

Vật thể bắt đầu bị phát hiện khi nó nằm trong hoặc trên mặt cầu (S).

Trong các đáp án trên thì ta thấy đáp án C thỏa mãn phương trình mặt cầu (S) các đáp án còn lại đều nằm ngoài (S).

Đáp án đúng là: B

Ta có IA = 3 > 2, $IB = \sqrt 3 < 2,IC = \sqrt {13} > 2,ID = 6 > 2$.>

Vậy người đứng tại điểm B nằm trong mặt cầu sẽ sử dụng được dịch vụ của trạm thu phát sóng điện thoại di động.

Đáp án đúng là: C

Tâm của mặt cầu là I(100; 300; 2000),

Bán kính $R = \sqrt {{{100}^2} + {{300}^2} + {{2000}^2} - 4099900} = 10$.

Đáp án đúng là: A

Tâm mặt cầu có tọa độ I(−1; 2; 3).

Bán kính mặt cầu R = 5000 m = 5 km.

Vậy phương trình mặt cầu mô tả vùng phủ sóng của trạm phát sóng là

(x + 1)$^{2}$ + (y – 2)$^{2}$ + (z – 3)$^{2}$ = 25.

Đáp án đúng là: A

Để 4 thiết bị thu tín hiệu cùng một thời điểm thì điểm phát tín hiệu phải cách đều 4 điểm A, B, C, D.

Vậy điểm phát tín hiệu sẽ đặt tại tâm I của mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D.

Giả sử phương trình mặt cầu đó là x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ + Ax + By + Cz + D = 0 ta có hệ phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l} - 2A + 3B + 5C + D = - 38\\2B + 8C + D = - 68\\A - 3B + 7C + D = - 59\\4A + B + D = - 17\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A = - \frac{{453}}{{131}}\\B = - \frac{{117}}{{131}}\\C = - \frac{{1047}}{{131}}\\D = - \frac{{298}}{{131}}\end{array} \right.$ tâm $I\left( {\frac{{453}}{{262}};\frac{{117}}{{262}};\frac{{1047}}{{262}}} \right)$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $\overrightarrow {IB} = \left( {0;1;0} \right)$ IB = 1 < R nên điểm B(1; 1; −1) nằm bên trong mặt cầu trên.

Suy ra điểm B thuộc vùng phủ sóng của thiết bị.

>

Đáp án đúng là: B

Khoảng cách từ tâm Trái Đất đến vị tinh là 18900 + 6300 = 25200 tương ứng bằng 4 đơn vị.

Ta thấy quỹ đạo chuyển động của vệ tinh quanh Trái Đất là một mặt cầu có tâm là tâm Trái Đất có tọa độ là O(0; 0; 0) và bán kính R = 4.

Do đó phương trình mặt cầu là x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ = 16.

Đáp án đúng là: C

Ta có x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ – 2x – 4y – 6z + 5 = 0 (x – 1)$^{2}$ + (y – 2)$^{2}$ + (z – 3)$^{2}$ = 3$^{2}$.

Khoảng cách xa nhất gữa hai điểm thuộc vùng phủ sóng là đường kính của mặt cầu, tức là 6 km.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Vì mái vòm bán cầu có tâm đường tròn là gốc tọa độ O(0; 0; 0) nằm trên mặt sàn Oxy, nên tâm của mặt cầu chứa mái vòm chính là gốc tọa độ O(0; 0; 0). Đỉnh cao nhất là M(0; 0; 12) thuộc mặt cầu, suy ra R = OM = 12 m.

Phương trình cần tìm là: x$^{2}$ + y$^{2}$ + z$^{2}$ = 144.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Thiết bị hình cầu nổi một nửa trên mặt nước và tiếp xúc với mặt biển (mặt phẳng Oxy), do đó tâm I sẽ cách mặt phẳng Oxy một khoảng đúng bằng bán kính R = 2 m.

Vì thiết bị ở phía trên mặt nước nên cao độ zI > 0 => zI = 2.

Hình chiếu của tâm trên Oxy là (12; -5; 0) nên tọa độ tâm I(12; -5; 2).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Từ phương trình, ta có: R = $\sqrt {{1^2} + {2^2} + {2^2} - \left( { - 16} \right)} = \sqrt {25}$ = 5.

Khoảng cách từ máy bay M(4; 6; 5) đến tâm I là:

IM = $\sqrt {{{\left( {4 - 1} \right)}^2} + {{\left( {6 - 2} \right)}^2} + {{\left( {5 - 2} \right)}^2}} = \sqrt {34} > R = 5$ nên máy bay nằm ở phía ngoài vùng phủ sóng.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Từ phương trình trên, ta có tâm I(4; 5; 1) và bán kính R = 2 m.

Khoảng cách từ robot A(1; 1; 1) đến tâm I là: AI = $\sqrt {{{\left( {4 - 1} \right)}^2} + {{\left( {5 - 1} \right)}^2} + {{\left( {1 - 1} \right)}^2}} = 5$m.

Khoảng cách ngắn nhất từ robot đến bề mặt trạm sạc là: d$_{min}$ = AI – R = 5 – 2 = 3 m.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Từ phương trình, ta có: R = $\sqrt {{5^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2} - \left( { - 5} \right)} = \sqrt {35}$ m.

Diện tích bề mặt hình cầu là: S = 4$π$R$^{2}$ = 4×3,14×${\left( {\sqrt {35} } \right)^2}$= 439,6 m$^{2}$ $\approx$ 440 m$^{2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai. Ta có: R = 5 km = 5000 m.

Phương trình cần tìm là: (x – 25)$^{2}$ + (y – 30)$^{2}$ + (z – 50)$^{2}$ = 5000$^{2}$.

b) Đúng. Ta có: IA = $\sqrt {{{\left( {1025 - 25} \right)}^2}} = 1000 < 5000 = R$. Suy ra điểm A nằm bên trong mặt cầu (S).

c) Đúng. Ta có: IM = $\sqrt {{{20}^2} + {{30}^2}} = 10\sqrt {13} < 5000 = R$, suy ra điểm M nằm bên trong mặt cầu (S). Do đó người ở vị trí M(45; 60; 50) thì có thể được chiếu sáng bởi ánh sáng của ngọn hải đăng.

d) Đúng. Ta có IN = $\sqrt {{{5100}^2} + {{\left( { - 50} \right)}^2}} > 5000 = R$, suy ra điểm M nằm ngoài mặt cầu (S).

Do đó, người ở vị trí N(5125; 30; 0) thì không thể được chiếu sáng bởi ánh sáng của ngọn hải đăng.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai. Mặt cầu (S) có phương trình (x – 32)$^{2}$ + (y – 50)$^{2}$ + (z – 10)$^{2}$ = 109 nên có tâm I(32; 50; 10) và bán kính R = $\sqrt {109}$.

b) Đúng. Ta có J là hình chiếu vuông góc của tâm I trên sân bóng có phương trình z = 0 nên tọa độ điểm J(32; 50; 0).

c) Đúng. Khoảng cách từ tâm I đến sân có phương trình (Oxy): z = 0 là: d(I, (Oxy)) = IJ = |10| = 10.

d) Đúng.

Ta có: $\Delta$IMJ là tam giác vuông tại J nên MJ = $\sqrt {M{I^2} - I{J^2}} = \sqrt {109 - {{10}^2}} = 3$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

Vectơ vận tốc: $\overrightarrow {AB} = \left( {0;\,\,1200;\,\,0} \right)$.

a) Sai. Tại thời điểm 5h10, An đi được 10 phút. Lúc này ở tại điểm M thỏa $\overrightarrow {AM} = \frac{{10}}{{15}}\overrightarrow {AB} = \left( {0;\,\,800;\,\,0} \right)$ => M(-100; 850; 0).

=> IM = $\sqrt {{{300}^2} + {{400}^2} + {{60}^2}} = 20\sqrt {634} \approx 503{,}6 < 600\,\,m$ do đó An sử dụng được dịch vụ của trạm phát sóng.

b) Sai. Tại thời điểm 5h12p, An đi được 12 phút. Lúc này An ở tại điểm N thỏa $\overrightarrow {AN} = \frac{{12}}{{15}}\overrightarrow {AB} = \left( {0;\,\,960;\,\,0} \right)$ Þ M(-100; 1010; 0).

=> IM = $\sqrt {{{300}^2} + {{560}^2} + {{60}^2}} \approx 638 > 600\,\,m$

c) Đúng. Ta có: IA = $\sqrt {{{300}^2} + {{400}^2} + {{60}^2}} = 20\sqrt {634} \approx 503{,}6 < 600$.

d) Sai. Phương trình mặt cầu mô tả ranh giới bên ngoài và bên trong của vùng phủ sóng là (x – 200)$^{2}$ + (y – 450)$^{2}$ + (z – 60)$^{2}$ = 360000.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Đường kính phủ sóng là 10000 m nên bán kính phủ sóng R = 5000 m = 5 km.

b) Đúng. Phương trình mặt cầu là: (x – 1)$^{2}$ + (y – 2)$^{2}$ + (z – 2)$^{2}$ = 25.

c) Đúng. Ta có: IA =$\sqrt {{{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - 2} \right)}^2} + {{\left( {6 - 2} \right)}^2}}= 4 < R$. Vậy điểm A(1; 2; 6) nằm trong vùng phủ sóng của trạm phát sóng điện thoại.

d) Sai. Ta có: IM =$\sqrt {{{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {2 - 2} \right)}^2} + {{\left( {7 - 2} \right)}^2}}= 5$= R.

IN = $\sqrt {{{\left( {5 - 1} \right)}^2} + {{\left( {5 - 2} \right)}^2} + {{\left( {5 - 2} \right)}^2}} = \sqrt {34} > R$.

Vậy nhà bạn Dũng nằm trong vùng phủ sóng của trạm phát sóng điện thoại. Nhà bạn Nam không nằm trong vùng phủ sóng của trạm phát sóng điện thoại.

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai. Từ phương trình ta có: tâm I(2; 2; 2), bán kính R = $\sqrt {{2^2} + {2^2} + {2^2} + 13} = 5$ m.

b) Đúng. Thể tích khối cầu là: V = $\frac{4}{3}$pR$^{3}$ = $\frac{4}{3}$$π$×5$^{3}$ = $\frac{{500}}{3}$p (m$^{3}$).

c) Đúng. Diện tích mặt cầu: S = 4$π$R$^{2}$ = 4$π$×5$^{2}$ = 100$π$ (m$^{2}$).

d) Đúng. Chi phí = Diện tích × Đơn giá = 100$π$×100 000 = 10 000 000$π$ (đồng).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 6

Mặt cầu đã cho có tâm I(2; 3; 1) và bán kính R = $\sqrt {{2^2} + {3^2} + {1^2} - 5} = 3$.

Khoảng cách xa nhất giữa hai điểm thuộc vùng phủ sóng bằng đường kính mặt cầu.

Vậy khoảng cách xa nhất cần tìm là: 2R = 6 km.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 512

Để một người dùng điện thoại ở vị trí A(m + 100; m + 370; 0) có thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng 5G có bán kính vùng phủ sóng của trạm ở ngưỡng 600 m được đặt ở vị trí I(200; 450; 60) thì IA £ 600

<=> (m – 100)$^{2}$ + (m – 80)$^{2}$ + (-60)$^{2}$ $\le$ 600$^{2}$

<=> 2m$^{2}$ – 360m – 340000 $\le$ 0

<=> $\frac{{180 - \sqrt {712400} }}{2} \le m \le \frac{{180 + \sqrt {712400} }}{2}$.

Vậy giá trị lớn nhất của m là: $\frac{{180 + \sqrt {712400} }}{2}$ $\approx$ 512.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 23,9

Ta đặt hệ trục vào căn phòng sao cho có hai bức tường là mặt (Oxz), (Oyz), và nền (Oxy)

Vậy bài toán dẫn đến việc tìm đường kính của mặt cầu tiếp xúc với 3 mặt phẳng tọa độ và chứa điểm M(17; 18; 21).

Gọi phương trình mặt cầu là (S): (x – a)$^{2}$ + (y – a)$^{2}$ + (z – a)$^{2}$ = a$^{2}$, với a > 0 (do mặt cầu tiếp xúc với các mặt phẳng tọa độ nên a = b = c = R ).

Do M(17; 18; 21) Î (S) nên (17 – a)$^{2}$ + (18 – a)$^{2}$ + (21 – a)$^{2}$ = a$^{2}$

=> 2a$^{2}$ – 112a + 1054 = 0 Û $\left[ \begin{array}{l}a = 28 - \sqrt {257} \\a = 28 + \sqrt {257} \end{array} \right.$

Vì quả bóng rổ tiêu chuẩn có đường kính từ 23 cm đến 24,5 cm nên a = $28 - \sqrt {257}$.

Vậy đường kính quả bóng bằng 2a = $56 - 2\sqrt {257} \approx 23{,}9\,\,$cm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 13

Vùng phủ sóng của thiết bị đã cho là mặt cầu (S) tâm A(3; 1; 1), bán kính R = 11.

Ta có: AE = $\sqrt {{6^2} + {7^2} + {{\left( {m - 1} \right)}^2}} = \sqrt {{m^2} - 2m + 86}$.

Để điện thoại của người đó bắt được tín hiệu wifi tố nhất của thiết bị nói trên thì

AE $\le$R <=> $\sqrt {{m^2} - 2m + 86}$ £ 11 Û $\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 2m + 86 \ge 0\\{m^2} - 2m + 86 \le 121\end{array} \right. \Leftrightarrow - 5 \le m \le 7$

Vì m $\in$ℤ nên m $\in$ {-5; -4; - 3; ...; 7}.

Vậy có 13 giá trị nguyên của m thỏa mãn.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 14

Bề mặt ngoài của quả bóng (S) là mặt cầu có tâm I(1; 1; 3) và bán kính R = 3.

Ta có: MI = $\sqrt {{{\left( {1 - 15} \right)}^2} + {{\left( {1 - 1} \right)}^2} + {{\left( {3 - 6} \right)}^2}} = \sqrt {205}$.

Suy ra MA = $\sqrt {M{I^2} - I{A^2}} = \sqrt {205 - 9} = 14$.

Vậy MA = 14 m.