Bài tập Vận dụng định nghĩa, tính chất của tam giác cân để chứng minh tính chất khác lớp 7 (có lời giải)

Đáp án đúng là: D

Xét ∆BDM và ∆CEM, có:

$\widehat {BDM} = \widehat {CEM} = 90^\circ$.

$\widehat {DBM} = \widehat {ECM}$ (∆ABC cân tại A).

MB = MC (M là trung điểm BC).

Do đó ∆BDM = ∆CEM (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra BD = CE và $\widehat {BMD} = \widehat {CME}$ (cặp cạnh và cặp góc tương ứng).

Do đó đáp án A, C đúng.

Xét ∆ADM và ∆AEM, có:

$\widehat {ADM} = \widehat {AEM} = 90^\circ$.

AM là cạnh chung.

DM = EM (∆BDM = ∆CEM).

Do đó ∆ADM = ∆AEM (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra AD = AE (cặp cạnh tương ứng).

Do đó đáp án B đúng.

Vậy ta chọn đáp án D.

Đáp án đúng là: B

Ta xét từng đáp án:

+ Đáp án B, D:

Vì ∆ABC cân tại A nên ta có AB = AC và $\widehat {ABC} = \widehat {ACB}$.

Xét ∆ABE và ∆ACD, có:

$\widehat {BAC}$ là góc chung.

AB = AC (chứng minh trên).

AD = AE (giả thiết).

Do đó ∆ABE = ∆ACD (cạnh – góc – cạnh).

Suy ra BE = CD và $\widehat {ABE} = \widehat {ACD}$ (cặp cạnh và cặp góc tương ứng).

Do đó đáp án B đúng, đáp án D sai.

Đến đây ta có thể chọn đáp án B.

+ Đáp án C:

Ta có A, D, B thẳng hàng. Suy ra BD = AB – AD.

Ta có A, E, C thẳng hàng. Suy ra EC = AC – AE.

Ta có AB = AC (chứng minh trên) và AD = AE (giả thiết).

Suy ra AB – AD = AC – AE.

Do đó BD = EC.

Do đó đáp án C sai.

+ Đáp án A:

Xét ∆BDC và ∆CEB, có:

BC là cạnh chung.

BD = EC (chứng minh trên).

$\widehat {DBC} = \widehat {ECB}$ (chứng minh trên).

Do đó ∆BDC = ∆CEB (cạnh – góc – cạnh).

Suy ra $\widehat {BDC} = \widehat {CEB}$ (cặp góc tương ứng).

Do đó đáp án A sai.

Vậy ta chọn đáp án B.

Đáp án đúng là: D

Ta có M là trung điểm AC (giả thiết).

Do đó AC = 2AM = 2CM (1).

Ta có N là trung điểm AB (giả thiết).

Do đó AB = 2AN = 2BN (2).

Vì ∆ABC cân tại A nên AB = AC (3).

Từ (1), (2), (3), ta suy ra AM = AN = CM = BN.

Xét ∆ABM và ∆ACN, có:

AB = AC (∆ABC cân tại A).

$\widehat {BAC}$ là góc chung.

AM = AN (chứng minh trên).

Do đó ∆ABM = ∆ACN (cạnh – góc – cạnh).

Suy ra (I) đúng.

Xét ∆BMC và ∆CNB, có:

BC là cạnh chung.

CM = BN (chứng minh trên).

$\widehat {NBC} = \widehat {MBC}$ (∆ABC cân tại A).

Do đó ∆BMC = ∆CNB (cạnh – góc – cạnh).

Suy ra (II) đúng.

Vậy ta chọn đáp án D.

Đáp án đúng là: A

Vì AM = AN nên ∆AMN cân tại A.

Suy ra $\widehat {AMN} = \widehat {ANM}$.

Do đó đáp án D sai.

Xét ∆AMN, có: $\widehat {MAN} + \widehat {AMN} + \widehat {ANM} = 180^\circ$.

Suy ra $2\widehat {AMN} = 180^\circ - \widehat {MAN} = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$.

Do đó $\widehat {AMN} = 40^\circ$.

Xét ∆ABC, có: $\widehat {BAC} + \widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 180^\circ$.

Suy ra $2\widehat {ABC} = 180^\circ - \widehat {BAC} = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ$.

Do đó $\widehat {ABC} = 40^\circ$.

Ta suy ra $\widehat {AMN} = \widehat {ABC} = 40^\circ$.

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị.

Suy ra MN // BC.

Do đó đáp án A đúng.

Vì ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác và MN // BC.

Nên MN không song song với AB và MN không song song với AC.

Do đó đáp án B, C sai.

Vậy ta chọn đáp án A.

Đáp án đúng là: C

Vì ∆ABC cân tại A nên AB = AC.

Mà AE = AD (giả thiết).

Do đó AB – AE = AC – AD.

Suy ra EB = DC.

Xét ∆CBE và ∆BCD, có:

BC là cạnh chung.

EB = DC (chứng minh trên).

$\widehat {EBC} = \widehat {DCB}$ (∆ABC cân tại A).

Do đó ∆CBE = ∆BCD (cạnh – góc – cạnh).

Suy ra $\widehat {CEB} = \widehat {BDC} = 90^\circ$ (cặp góc tương ứng).

Khi đó ta có CE ⊥ BE hay CE ⊥ AB.

Do đó đáp án C đúng.

Vì A, B, C tạo thành một tam giác và CE ⊥ AB.

Nên CE không vuông góc với BC và CE không vuông góc với AC.

Do đó đáp án B, D sai.

∆ADE có AE = AD.

Suy ra ∆ADE cân tại A.

Do đó $\widehat {AED} = \widehat {ADE}$.

∆ADE có: $\widehat {BAC} + \widehat {AED} + \widehat {ADE} = 180^\circ$.

Suy ra $2\widehat {AED} = 180^\circ - \widehat {BAC}$ (1).

∆ABC có: $\widehat {BAC} + \widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 180^\circ$.

Suy ra $2\widehat {ABC} = 180^\circ - \widehat {BAC}$ (2).

Từ (1), (2), ta suy ra $\widehat {AED} = \widehat {ABC}$.

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị.

Do đó DE // BC.

Suy ra đáp án A sai.

Vậy ta chọn đáp án C.

Đáp án đúng là: A

Xét ∆ABE và ∆ACD, có:

AB = AC (∆ABC cân tại A).

AE = AD (giả thiết).

$\widehat {BAE} = \widehat {CAD}$ (hai góc đối đỉnh).

Do đó ∆ABE = ∆ACD (cạnh – góc – cạnh).

Suy ra EB = DC và $\widehat {BEA} = \widehat {CDA}$ (cặp cạnh và cặp góc tương ứng).

Do đó đáp án A sai, đáp án C đúng.

Đến đây ta có thể chọn đáp án A.

Xét ∆ABM và ∆ACM, có:

AB = AC (∆ABC cân tại A).

BM = CM (AM là đường trung tuyến của ∆ABC).

$\widehat {ABM} = \widehat {ACM}$ (∆ABC cân tại A).

Do đó ∆ABM = ∆ACM (cạnh – góc – cạnh).

Suy ra $\widehat {BAM} = \widehat {CAM}$ (cặp góc tương ứng).

Lại có $\widehat {BAM} = \widehat {DAH}$ (hai góc đối đỉnh) và $\widehat {HAE} = \widehat {CAM}$ (hai góc đối đỉnh).

Suy ra $\widehat {HAE} = \widehat {DAH}$.

Do đó đáp án D đúng.

Vì AD = AE (giả thiết).

Nên ∆ADE cân tại A.

Xét ∆DAH và ∆HAE, có:

AD = AE (giả thiết).

$\widehat {AEH} = \widehat {ADH}$ (∆ADE cân tại A).

$\widehat {HAE} = \widehat {DAH}$ (chứng minh trên).

Do đó ∆DAH = ∆HAE (góc – cạnh – góc).

Suy ra $\widehat {AHE} = \widehat {AHD}$ (cặp góc tương ứng).

Lại có: $\widehat {AHE} + \widehat {AHD} = 180^\circ$ (hai góc kề bù).

Do đó $\widehat {AHE} = \widehat {AHD} = 90^\circ$.

Do đó đáp án B đúng.

Vậy ta chọn đáp án A.

Đáp án đúng là: D

Vì ∆ABC cân tại A nên $\widehat {ABC} = \widehat {ACB}$.

∆ABC có: $\widehat {BAC} + \widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 180^\circ$.

Suy ra $2\widehat {ABC} = 180^\circ - \widehat {BAC} = 180^\circ - 36^\circ = 144^\circ$.

Do đó $\widehat {BCA} = \widehat {ABC} = 72^\circ$.

Vì BD là phân giác của $\widehat {ABC}$.

Nên $\widehat {ABD} = \widehat {DBC} = \frac{{72^\circ }}{2} = 36^\circ$.

Ta có $\widehat {ABD} = \widehat {BAD} = 36^\circ$.

Nên ∆ABD cân tại D.

Suy ra DA = DB (1).

Do đó đáp án A đúng.

∆ABD cân tại D: $\widehat {ADB} = 180^\circ - \widehat {ABD} - \widehat {BAD} = 180^\circ - 36^\circ - 36^\circ = 108^\circ$.

Ta có $\widehat {ADB} + \widehat {BDC} = 180^\circ$ (hai góc kề bù).

Suy ra $\widehat {BDC} = 180^\circ - \widehat {ADB} = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$.

Ta có $\widehat {BDC} = \widehat {BCD} = 72^\circ$.

Suy ra ∆BCD cân tại B.

Do đó BD = BC (2).

Do đó đáp án D sai.

Từ (1), (2), ta suy ra DA = DB = BC.

Do đó đáp án B, C đúng.

Vậy ta chọn đáp án D.

Đáp án đúng là: B

Xét ∆ABM và ∆ACM, có:

AB = AC (∆ABC cân tại A).

$\widehat {ABM} = \widehat {ACM}$ (∆ABC cân tại A).

BM = CM (M là trung điểm BC).

Do đó ∆ABM = ∆ACM (cạnh – góc – cạnh).

Suy ra $\widehat {BAM} = \widehat {CAM}$ (cặp góc tương ứng).

Xét ∆ADK và ∆AEK, có:

$\widehat {AKD} = \widehat {AKE} = 90^\circ$.

AK là cạnh chung.

$\widehat {DAK} = \widehat {EAK}$ (chứng minh trên).

Do đó ∆ADK = ∆AEK (góc – cạnh – góc).

Suy ra AD = AE và DK = KE (các cặp cạnh tương ứng).

Do đó đáp án B đúng và đáp án A, C, D sai.

Vậy ta chọn đáp án B.

Đáp án đúng là: C

∆ABC vuông tại A. Suy ra $\widehat {BAC} = 90^\circ$.

Ta có $\widehat {DAB} + \widehat {BAC} + \widehat {CAE} = 180^\circ$.

Suy ra $\widehat {DAB} + \widehat {CAE} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Xét ∆ABD và ∆CAE, có

$\widehat {BDA} = \widehat {CEA} = 90^\circ$.

AB = AC (giả thiết).

$\widehat {DAB} = \widehat {ECA}$ (cùng phụ với $\widehat {CAE}$).

Do đó ∆ABD = ∆CAE (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra DA = EC và DB = EA (các cặp cạnh tương ứng).

Do đó đáp án A, D đúng, đáp án C sai.

Ta có ba điểm D, A, E thẳng hàng và A nằm giữa D, E.

Do đó DE = DA + AE = EC + DB.

Do đó đáp án B đúng.

Vậy ta chọn đáp án C.

Đáp án đúng là: D

Xét ∆BDI và ∆CEI, có:

BI = CI (I là trung điểm BC).

$\widehat {BID} = \widehat {CIE}$ (hai góc đối đỉnh).

DI = EI (I là trung điểm DE).

Do đó ∆BDI = ∆CEI (cạnh – góc – cạnh).

Suy ra BD = CE (cặp cạnh tương ứng).

Do đó đáp án A đúng, đáp án C sai.

Ta có ∆BDI = ∆CEI (chứng minh trên).

Suy ra $\widehat {DBI} = \widehat {ECI}$ (cặp cạnh tương ứng).

Mà $\widehat {DBI} = \widehat {ACI}$ (∆ABC cân tại A).

Do đó $\widehat {ECI} = \widehat {ACI}$.

Khi đó CI là tia phân giác $\widehat {ACE}$.

Hay CB là tia phân giác $\widehat {ACE}$.

Do đó đáp án B đúng.

Vậy ta chọn đáp án D.