Bài tập Vận dụng định nghĩa đạo hàm vào giải quyết một số bài toán thực tiễn lớp 11 (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Vận tốc của vật tại thời điểm t = 7 là:

v(7) = s*'*(7) = $\underset{\text{t}\rightarrow 7}{\lim }\frac{\frac{1}{2}\cdot 9{,}8{t}^{2}-\frac{1}{2}\cdot 9{,}8\cdot {7}^{2}}{\text{t}-7}=\underset{\text{t}\rightarrow 7}{\lim }\frac{4{,}9(\text{t}-7)(\text{t}+7)}{\text{t}-7}=\underset{\text{t}\rightarrow 7}{\lim }[4{,}9(\text{t}+7)]=68{,}6$.

Vậy vận tốc của vật tại thời điểm t = 7 là 68,6 m/s.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Vận tốc của vật tại thời điểm t = 3 là:

v(3) = s*'*(3) = $\underset{\text{t}\rightarrow 3}{\lim }\frac{{\text{t}}^{3}-{\text{t}}^{\text{2}}+2\text{t}+5-29}{\text{t}-3}=\underset{\text{t}\rightarrow 3}{\lim }\frac{{\text{t}}^{3}-{\text{t}}^{\text{2}}+2\text{t}-24}{\text{t}-3}=\underset{\text{t}\rightarrow 3}{\lim }{\text{(t}}^{2}+2\text{t}+8)=23$.

Vậy vận tốc của vật tại thời điểm t = 3 là 23 m/s.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: ${\text{C'(x}}_{\text{0}}\text{)}=\underset{\text{x}\rightarrow {\text{x}}_{\text{0}}}{\text{lim}}\frac{1200+12\text{x}-0{,}1{\text{x}}^{2}-1200-12{\text{x}}_{0}+0{,}1{\text{x}}_{0}}{\text{x}-{\text{x}}_{0}}$

$=\underset{\text{x}\rightarrow {\text{x}}_{\text{0}}}{\text{lim}}\frac{12(\text{x}-{\text{x}}_{0})-0{,}1({\text{x}}^{2}-{\text{x}}_{0})}{\text{x}-{\text{x}}_{0}}$

$=\underset{\text{x}\rightarrow {\text{x}}_{\text{0}}}{\text{lim}}[12-0{,}1(\text{x}+{\text{x}}_{0})]$

= 12 – 0,2x$_{0}$.

Vậy C*'*(x) = 12 – 0,2x.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B
Cường độ của dòng điện trong dây dẫn tại t = 8 là

I(8) = Q*'*(8) = $\underset{\text{t}\rightarrow 8}{\lim }\frac{5t+3-43}{\text{t}-8}=\underset{\text{t}\rightarrow 8}{\lim }\frac{5(t-8)}{\text{t}-8}=\underset{\text{t}\rightarrow 8}{\lim }5=5$.

Vậy I(8) = 5 A.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

+ Đặt h = f(t) = 19,6t – 4,9t$^{2}$.

Với x$_{0}$ bất kì, ta có:

${}_{\text{0}}\text{)}=\underset{\text{t}\rightarrow {\text{t}}_{\text{0}}}{\text{lim}}\frac{19{,}6t-4{,}9{t}^{2}-19{,}6{t}_{0}+4{,}9{t}_{0}^{2}}{\text{t}-{\text{t}}_{0}}=\underset{t\rightarrow {t}_{0}}{\lim }\frac{-4{,}9({t}^{2}-{t}_{0}^{2})+19{,}6(t-{t}_{0})}{t-{t}_{0}}$

$=\underset{t\rightarrow {t}_{0}}{\lim }(-4{,}9t-4{,}9{t}_{0}+19{,}6)=-9{,}8{t}_{0}+19{,}6$.

Vậy hàm số h = 19,6t – 4,9t$^{2}$ có đạo hàm là hàm số h*'* = –9,8t + 19,6.

Khi vật chạm đất thì h = 0, tức là 19,6t – 4,9t$^{2}$ = 0, tức là t = 0 hoặc t = 4.

Khi t = 4, vận tốc của vật khi nó chạm đất là v(4) = h*'*(4) = –9,8 ∙ 4 + 19,6 = –19,6 (m/s).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có v(t$_{0}$) = s*'*(t$_{0}$).

${\text{s'(t}}_{\text{0}}\text{)}=\underset{\text{t}\rightarrow {\text{t}}_{\text{0}}}{\text{lim}}\frac{{\text{6t}}^{2}-{\text{t}}^{3}-6{\text{t}}_{0}^{2}+{\text{t}}_{0}^{3}}{\text{t}-{\text{t}}_{0}}=\underset{\text{t}\rightarrow {\text{t}}_{\text{0}}}{\text{lim}}\frac{6({\text{t}}^{2}-{\text{t}}_{0}^{2})-({\text{t}}^{3}-{\text{t}}_{0}^{3})}{\text{t}-{\text{t}}_{0}}$

$=\underset{\text{t}\rightarrow {\text{t}}_{\text{0}}}{\text{lim}}[6(\text{t}+{\text{t}}_{0})-({\text{t}}^{2}+{\text{tt}}_{\text{0}}+{\text{t}}_{\text{0}}^{\text{2}})]=12{\text{t}}_{0}-3{\text{t}}_{0}^{2}$.

Ta có ${\text{v(t}}_{\text{0}}\text{)}=12{\text{t}}_{0}-3{\text{t}}_{0}^{2}=-3{({\text{t}}_{\text{0}}-2)}^{2}+12$.

Vì – 3(t$_{0}$ – 2)$^{2}$ + 12 ≤ 12 với mọi t.

Dấu “=” xảy ra khi t$_{0}$– 2 = 0, tức là t$_{0}$ = 2 (s).

Vậy tàu có vận tốc lớn nhất tại thời điểm t = 2 giây.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Tốc độ truyền bệnh (người/ngày) là:

${\text{f'(t}}_{\text{0}}\text{)}=\underset{\text{t}\rightarrow {\text{t}}_{\text{0}}}{\text{lim}}\frac{-{\text{t}}^{3}+45{\text{t}}^{2}-22+{\text{t}}_{0}^{3}-45{\text{t}}_{0}^{2}+22}{\text{t}-{\text{t}}_{0}}=\underset{\text{t}\rightarrow {\text{t}}_{\text{0}}}{\text{lim}}\frac{-({\text{t}}^{3}-{\text{t}}_{0}^{3})+45({\text{t}}^{2}-{\text{t}}_{0}^{2})}{\text{t}-{\text{t}}_{0}}$

$=\underset{\text{t}\rightarrow {\text{t}}_{\text{0}}}{\text{lim}}[-({\text{t}}^{2}+{\text{tt}}_{\text{0}}+{\text{t}}_{\text{0}}^{\text{2}})+45(\text{t}+{\text{t}}_{0})]=-3{\text{t}}_{0}^{2}+90{\text{t}}_{0}$.

Nhận thấy f*'(t) là một Parabol có hệ số a = –3 < 0 nên f'*(t) đạt giá trị lớn nhất tại $t=\frac{-90}{2\cdot (-3)}=15$.

Vậy tốc độ truyền bệnh sẽ lớn nhất vào ngày thứ 15.

Đáp án đúng là: A

Vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t$_{0}$ = 4s là đạo hàm của hàm số quãng đường S(t) tại t$_{0}$ = 4: v(4) = S′(4) = $\mathop {\lim }\limits_{t \to 4} \frac{{S\left( t \right) - S\left( 4 \right)}}{{t - 4}}$

Ta có:

S(4) = 4 ⋅ 4$^{2}$ + 2 = 66 (m)

S(t) – S(4) = (4t$^{2}$ + 2) – 66 = 4t$^{2}$ – 64 = 4(t$^{2}$ – 16) = 4(t – 4)(t + 4)

⇒ v(4) = $\mathop {\lim }\limits_{t \to 4} \frac{{4\left( {t - 4} \right)\left( {t + 4} \right)}}{{t - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 4} 4\left( {t + 4} \right)$= 4 ⋅ (4 + 4) = 32 (m/s)

Vậy vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t = 4s là v(4) = 32m/s.

Đáp án đúng là: A

Cường độ dòng điện tức thời tại t$_{0}$ = 3 là I(3) = Q′(3)

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{t \to 3} \frac{{Q\left( t \right) - Q\left( 3 \right)}}{{t - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 3} \frac{{\left( {2{t^2} + 5t} \right) - \left( {2 \cdot {3^2} + 5 \cdot 3} \right)}}{{t - 3}}$ = $\mathop {\lim }\limits_{t \to 3} \frac{{2{t^2} + 5t - 33}}{{t - 3}}$

= $\mathop {\lim }\limits_{t \to 3} \frac{{\left( {t - 3} \right)\left( {2t + 11} \right)}}{{t - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 3} \left( {2t + 11} \right)$ = 17A.

Đáp án đúng là: C

Vận tốc tức thời tại t$_{0}$ = 4 là v(4) = s′(4)

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{t \to 4} \frac{{s\left( t \right) - s\left( 4 \right)}}{{t - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 4} \frac{{5{t^2} - 5 \cdot {4^2}}}{{t - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 4} \frac{{5\left( {{t^2} - 16} \right)}}{{t - 4}}$ $\mathop {\lim }\limits_{t \to 4} 5\left( {t + 4} \right)$ = 40m/s.

Đáp án đúng là: C

Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t$_{0}$ = 3 là đạo hàm của hàm số quãng đường s(t) tại t$_{0}$ = 3:

v(3) = s′(3) = $\mathop {\lim }\limits_{t \to 3} \frac{{s\left( t \right) - s\left( 3 \right)}}{{t - 3}}$

Ta có:

s(3) = $\frac{1}{3}$ ⋅ 3$^{3}$ – 3$^{2}$ = 9 – 9 = 0 (m)

s(t) – s(3) = $\frac{1}{3}{t^3} - {t^2} = {t^2}\left( {\frac{1}{3}t - 1} \right) = \frac{1}{3}{t^2}\left( {t - 3} \right)$

⇒ v(3) = $\mathop {\lim }\limits_{t \to 3} \frac{{\frac{1}{3}{t^2}\left( {t - 3} \right)}}{{t - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 3} \left( {\frac{1}{3}{t^2}} \right) = \frac{1}{3} \cdot {3^2}$ = 3 (m/s)

Vậy vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t = 3 là 3m/s.

Đáp án đúng là: B

Tốc độ biến đổi tức thời của điện lượng tại t$_{0}$ = 5 giây chính là đạo hàm của hàm số điện lượng Q(t) tại t$_{0}$ = 5:

I(5) = Q′(5) = $\mathop {\lim }\limits_{t \to 5} \frac{{Q\left( t \right) - Q\left( 5 \right)}}{{t - 5}}$

Ta có:

Q(5) = 5$^{2}$ + 3 ⋅ 5 + 2 = 42 (C)

Q(t) – Q(5) = (t$^{2}$ + 3t + 2) – 42 = t$^{2}$ + 3t – 40 = (t – 5)(t + 8)

I(5) = $\mathop {\lim }\limits_{t \to 5} \frac{{\left( {t - 5} \right)\left( {t + 8} \right)}}{{t - 5}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 5} \left( {t + 8} \right)$ = 5 + 8 = 13 (C/s)

Vậy tốc độ biến đổi tức thời của điện lượng tại t$_{0}$ = 5 giây là 13 C/s.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Quãng đường hạt đi được sau giây đầu tiên chính là giá trị s(2):

s(2) = 2 ⋅ 2$^{2}$ + 2 = 10 (m).

b) Đúng. Ta có s(1) = 2 ⋅ 1$^{2}$ + 1 = 3m và s(2) = 10m

Vận tốc trung bình của hạt trong khoảng thời gian từ t = 1 đến t = 2 là:

v$_{tb}$ = $\frac{{s\left( 2 \right) - s\left( 1 \right)}}{{2 - 1}} = \frac{{10 - 3}}{1}$ = 7 (m/s).

c) Đúng. Vận tốc tức thời của hạt tại thời điểm t0 bất kì là đạo hàm của quãng đường s(t) tại t$_{0}$: v(t$_{0}$) = s'(t$_{0}$) = $\mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} \frac{{s\left( t \right) - s\left( {{t_0}} \right)}}{{t - {t_0}}}$

Ta có: s(t) – s(t$_{0}$) = (2t$^{2}$ + t) – (2t$_{0}$$^{2}$ + t$_{0}$) = 2(t$^{2}$ – t$_{0}$$^{2}$) + (t – t$_{0}$) = (t – t$_{0}$)[2(t + t$_{0}$) + 1]

Với t ≠ t$_{0}$, lập tỉ số: $\frac{{s\left( t \right) - s\left( {{t_0}} \right)}}{{t - {t_0}}} = \frac{{\left( {t - {t_0}} \right)\left[ {2\left( {t + {t_0}} \right) + 1} \right]}}{{t - {t_0}}}$ = 2(t + t$_{0}$) + 1

Do đó: v(t$_{0}$) = $\mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} \left[ {2\left( {t + {t_0}} \right) + 1} \right]$ = 2(t$_{0}$ + t$_{0}$) + 1 = 4t$_{0}$ + 1.

d) Sai. Vận tốc tức thời của hạt tại thời điểm t = 3 giây là:

v(3) = 4 ⋅ 3 + 1 = 13 (m/s).

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Ta có Q(0) = 3 ⋅ 0$^{2}$ + 1 = 1 (C) và Q(2) = 3 ⋅ 2$^{2}$ + 1 = 13 (C).

Cường độ dòng điện trung bình trong khoảng thời gian từ t = 0 đến t = 2 là:

Itb = $\frac{{Q\left( 2 \right) - Q\left( 0 \right)}}{{2 - 0}} = \frac{{13 - 1}}{2}$ = 6 (A).

b) Đúng. Theo ý nghĩa vật lý của đạo hàm, $\mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} \frac{{Q\left( t \right) - Q\left( {{t_0}} \right)}}{{t - {t_0}}}$ chính là tốc độ biến đổi tức thời của điện lượng, đại diện cho cường độ dòng điện tức thời tại thời điểm t$_{0}$.

c) Đúng. Cường độ dòng điện tức thời tại t$_{0}$ = 1 giây là đạo hàm của điện lượng Q(t) tại t$_{0}$ = 1:

I(1) = Q′(1) = $\mathop {\lim }\limits_{t \to 1} \frac{{Q\left( t \right) - Q\left( 1 \right)}}{{t - 1}}$

Ta có:

Q(1) = 3 ⋅ 1$^{2}$ + 1 = 4 (C)

Q(t) – Q(1) = (3t$^{2}$ + 1) – 4 = 3t$^{2}$ – 3 = 3(t – 1)(t + 1)

⇒ I(1) = $\mathop {\lim }\limits_{t \to 1} \frac{{3\left( {t - 1} \right)\left( {t + 1} \right)}}{{t - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 1} 3\left( {t + 1} \right)$ = 3(1 + 1) = 6 (A).

d) Sai. Cường độ dòng điện tức thời tại thời điểm t$_{0}$ = 4 giây là: I(4) = Q′(4) = $\mathop {\lim }\limits_{t \to 4} \frac{{Q\left( t \right) - Q\left( 4 \right)}}{{t - 4}}$

Ta có:

Q(4) = 3 ⋅ 4$^{2}$ + 1 = 49 C

Q(t) – Q(4) = (3t$^{2}$ + 1) – 49 = 3(t$^{2}$ – 16) = 3(t – 4)(t + 4)

⇒ I(4) = $\mathop {\lim }\limits_{t \to 4} \frac{{3\left( {t - 4} \right)\left( {t + 4} \right)}}{{t - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 4} 3\left( {t + 4} \right)$ = 3(4 + 4) = 24 (A).

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Khi vật chạm đất, quãng đường chuyển động bằng độ cao đài quan sát:

s(t) = 180 ⇔ 5t$^{2}$ = 180 ⇔ t$^{2}$ = 36 ⇔ t = 6 (do t ≥ 0)

Vậy vật chạm đất tại thời điểm t = 6.

b) Đúng. Vận tốc tức thời tại thời điểm t$_{0}$ bất kì (t0 ≥ 0) là đạo hàm của hàm số quãng đường s(t) tại t$_{0}$: v(t$_{0}$) = s'(t$_{0}$) = $\mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} \frac{{s\left( t \right) - s\left( {{t_0}} \right)}}{{t - {t_0}}}$

Ta có: s(t) – s(t$_{0}$) = 5t$^{2}$ – 5t$_{0}$$^{2}$ = 5(t$^{2}$ – t$_{0}$$^{2}$) = 5(t – t$_{0}$)(t + t$_{0}$)

Với t ≠ t$_{0}$, lập tỉ số: $\frac{{s\left( t \right) - s\left( {{t_0}} \right)}}{{t - {t_0}}} = \frac{{5\left( {t - {t_0}} \right)\left( {t + {t_0}} \right)}}{{t - {t_0}}}$ = 5(t + t$_{0}$)

Do đó: v(t$_{0}$) = $\mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} 5\left( {t + {t_0}} \right)$ = 5(t$_{0}$ + t$_{0}$) = 10t$_{0}$ (m/s).

c) Sai. Vận tốc của vật tại thời điểm t = 2 giây là: v(2) = 10 ⋅ 2 = 20 (m/s) ≠ 10 (m/s).

d) Đúng. Vật chạm đất tại t = 6 giây, do đó vận tốc của vật khi chạm đất là:

v(6) = 10 ⋅ 6 = 60 (m/s).

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Quãng đường vật đi được trong 3 giây đầu tiên là:

s(3) = 3$^{2}$ + 6 ⋅ 3 = 27 (m).

b) Đúng. Ta có s(0) = 0m và s(3) = 27m.

Vận tốc trung bình của vật từ thời điểm t = 0 đến t = 3 là:

v$_{tb}$ = $\frac{{s\left( 3 \right) - s\left( 0 \right)}}{{3 - 0}} = \frac{{27 - 0}}{3}$ = 9 (m/s).

c) Đúng. Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t$_{0}$ = 3 giây là đạo hàm của quãng đường s(t) tại t$_{0}$ = 3:

v(3) = s′(3) = $\mathop {\lim }\limits_{t \to 3} \frac{{s\left( t \right) - s\left( 3 \right)}}{{t - 3}}$

Ta có:

s(3) = 27m

s(t) – s(3) = (t$^{2}$ + 6t) – 27 = t$^{2}$ + 6t – 27 = (t – 3)(t + 9)

⇒ v(3) = $\mathop {\lim }\limits_{t \to 3} \frac{{\left( {t - 3} \right)\left( {t + 9} \right)}}{{t - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 3} \left( {t + 9} \right)$ = 3 + 9 = 12 (m/s)

d) Sai. Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm ban đầu t$_{0}$ = 0 giây là:

v(0) = s′(0) = $\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{s\left( t \right) - s\left( 0 \right)}}{{t - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{{t^2} + 6t}}{t} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \left( {t + 6} \right)$ = 6 (m/s) ≠ 0 (m/s).

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Lượng điện truyền qua mạch tại thời điểm t = 1 giây là:

Q(1) = 4 ⋅ 1$^{2}$ + 2 ⋅ 1 + 3 = 9 (C).

b) Đúng. Ta có Q(1) = 9C và Q(2) = 4 ⋅ 2$^{2}$ + 2 ⋅ 2 + 3 = 23C

Cường độ dòng điện trung bình từ t = 1 đến t = 2 giây là:

I$_{tb}$ = $\frac{{Q\left( 2 \right) - Q\left( 1 \right)}}{{2 - 1}} = \frac{{23 - 9}}{1}$ = 14 (A).

c) Đúng. Cường độ dòng điện tức thời tại thời điểm t$_{0}$ bất kì (t$_{0}$ ≥ 0) là đạo hàm của hàm số điện lượng: I(t$_{0}$) = Q'(t$_{0}$) = $\mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} \frac{{Q\left( t \right) - Q\left( {{t_0}} \right)}}{{t - {t_0}}}$

Ta có:

Q(t) – Q(t$_{0}$) = (4t$^{2}$ + 2t + 3) – (4t$_{0}$$^{2}$ + 2t$_{0}$ + 3) = 4(t$^{2}$ – t$_{0}$$^{2}$) + 2(t – t$_{0}$) = (t – t$_{0}$)[4(t + t$_{0}$) + 2]

Với t ≠ t$_{0}$, lập tỉ số: $\frac{{Q\left( t \right) - Q\left( {{t_0}} \right)}}{{t - {t_0}}} = \frac{{\left( {t - {t_0}} \right)\left[ {4\left( {t + {t_0}} \right) + 2} \right]}}{{t - {t_0}}}$ = 4(t + t$_{0}$) + 2

Do đó: I(t$_{0}$) = $\mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} \left[ {4\left( {t + {t_0}} \right) + 2} \right]$ = 4(t$_{0}$ + t$_{0}$) + 2 = 8t$_{0}$ + 2 (A).

d) Sai. Cường độ dòng điện tức thời tại thời điểm t = 2 giây là:

I(2) = 8 ⋅ 2 + 2 = 18 (A).

Đáp án: 89

Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t$_{0}$ = 3s là đạo hàm của hàm số quãng đường tại t$_{0}$ = 3:

v(3) = s′(3) = $\mathop {\lim }\limits_{t \to 3} \frac{{s\left( t \right) - s\left( 3 \right)}}{{t - 3}}$

Ta có:

s(3) = 2 ⋅ 3$^{3}$ + 6 ⋅ 3$^{2}$ – 3 = 54 + 54 – 3 = 105 (m)

s(t) – s(3) = (2t$^{3}$ + 6t$^{2}$ – t) – 105 = (t – 3)(2t$^{2}$ + 12t + 35)

⇒ v(3) = $\mathop {\lim }\limits_{t \to 3} \frac{{\left( {t - 3} \right)\left( {2{t^2} + 12t + 35} \right)}}{{t - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 3} \left( {2{t^2} + 12t + 35} \right)$

v(3) = 2 ⋅ 3$^{2}$ + 12 ⋅ 3 + 35 = 18 + 36 + 35 = 89 (m/s)

Vậy vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t = 3s bằng 89m/s.

Đáp án: 43

Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t$_{0}$ = 5 giây là đạo hàm của hàm số quãng đường s(t) tại t$_{0}$ = 5:

v(5) = s′(5) = $\mathop {\lim }\limits_{t \to 5} \frac{{s\left( t \right) - s\left( 5 \right)}}{{t - 5}}$

Ta có:

s(5) = 4 ⋅ 5$^{2}$ + 3 ⋅ 5 = 100 + 15 = 115 (m)

s(t) – s(5) = (4t$^{2}$ + 3t) – 115 = (t – 5)(4t + 23)

⇒ v(5) = $\mathop {\lim }\limits_{t \to 5} \frac{{\left( {t - 5} \right)\left( {4t + 23} \right)}}{{t - 5}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 5} \left( {4t + 23} \right)$ = 4 ⋅ 5 + 23 = 43 (m/s)

Vậy vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t$_{0}$ = 5 giây bằng 43m/s.

Đáp án: 3

Vận tốc tức thời của quả bóng tại thời điểm t$_{0}$ bất kì (t$_{0}$ ≥ 0) là đạo hàm của hàm số quãng đường: v(t) = s′(t$_{0}$) = $\mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} \frac{{s\left( t \right) - s\left( {{t_0}} \right)}}{{t - {t_0}}}$

Ta có: s(t) – s(t$_{0}$) = (6t$^{2}$ + 2t) – (6t$_{0}$$^{2}$ + 2t$_{0}$) = 6(t$^{2}$ – t$_{0}$$^{2}$) + 2(t – t$_{0}$) = (t – t$_{0}$)[6(t + t$_{0}$) + 2]

Với t ≠ t$_{0}$, lập tỉ số: $\frac{{s\left( t \right) - s\left( {{t_0}} \right)}}{{t - {t_0}}} = \frac{{\left( {t - {t_0}} \right)\left[ {6\left( {t + {t_0}} \right) + 2} \right]}}{{t - {t_0}}}$ = 6(t + t$_{0}$) + 2

Do đó: v(t$_{0}$) = $\mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} \left[ {6\left( {t + {t_0}} \right) + 2} \right]$ = 6(t$_{0}$ + t$_{0}$) + 2 = 12t$_{0}$ + 2 (m/s)

Theo đề bài, vận tốc tức thời tại thời điểm t$_{0}$ bằng 38m/s, ta có phương trình:

v(t$_{0}$) = 38 ⇔ 12t$_{0}$ + 2 = 38 ⇔ 12t$_{0}$ = 36 ⇔ t$_{0}$ = 3 (thỏa mãn t$_{0}$ ≥ 0)

Vậy thời điểm cần tìm là t$_{0}$ = 3 giây.

Đáp án: 11

Tốc độ tăng nhiệt độ của bình tại thời điểm t$_{0}$ = 5 giây là đạo hàm của hàm số f(t) tại t$_{0}$ = 5:

f′(5) = $\mathop {\lim }\limits_{t \to 5} \frac{{f\left( t \right) - f\left( 5 \right)}}{{t - 5}}$

Ta có:

f(5) = 5$^{2}$ + 5 + 1 = 31 (°C)

f(t) – f(5) = (t$^{2}$ + t + 1) – 31 = t$^{2}$ + t – 30 = (t – 5)(t + 6)

⇒ f′(5) = $\mathop {\lim }\limits_{t \to 5} \frac{{\left( {t - 5} \right)\left( {t + 6} \right)}}{{t - 5}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 5} \left( {t + 6} \right)$ = 5 + 6 = 11 (°C/s)

Vậy tốc độ tăng nhiệt độ của bình tại thời điểm t = 5 giây bằng 11°C/s.

Đáp án: 162

Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t$_{0}$ (t$_{0}$ ≥ 0) là đạo hàm của hàm số quãng đường: v(t$_{0}$) = s′(t$_{0}$) = $\mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} \frac{{s\left( t \right) - s\left( {{t_0}} \right)}}{{t - {t_0}}}$

Ta có: s(t) – s(t$_{0}$) = $\left( { - \frac{1}{3}{t^3} + 4{t^2} + 9t} \right) - \left( { - \frac{1}{3}t_0^3 + 4t_0^2 + 9{t_0}} \right)$

= $- \frac{1}{3}\left( {{t^3} - t_0^3} \right) + 4\left( {{t^2} - t_0^2} \right) + 9\left( {t - {t_0}} \right)$ = $\left( {t - {t_0}} \right)\left[ { - \frac{1}{3}\left( {{t^2} + t \cdot {t_0} + t_0^2} \right) + 4\left( {t + {t_0}} \right) + 9} \right]$

Với t ≠ t$_{0}$, lập tỉ số: $\frac{{s\left( t \right) - s\left( {{t_0}} \right)}}{{t - {t_0}}} = - \frac{1}{3}\left( {{t^2} + t \cdot {t_0} + t_0^2} \right)$ + 4(t + t$_{0}$) + 9

Do đó:

v(t$_{0}$) = $\mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} \left[ { - \frac{1}{3}\left( {{t^2} + t \cdot {t_0} + t_0^2} \right) + 4\left( {t + {t_0}} \right) + 9} \right]$ = $- \frac{1}{3} \cdot 3t_0^2 + 4 \cdot 2{t_0} + 9 = - t_0^2 + 8{t_0} + 9$ (m/s)

Thời điểm vật có vận tốc bằng không ứng với:

v(t$_{0}$) = 0 ⇔ –t$_{0}$$^{2}$ + 8t$_{0}$ + 9 = 0 ⇔ $\left[ \begin{array}{l}{t_0} = - 1\\{t_0} = 9\end{array} \right.$ ⇒ t$_{0}$ = 9 thỏa mãn điều kiện t$_{0}$ ≥ 0

Quãng đường vật chuyển động được từ lúc t = 0 đến lúc dừng lại (t = 9) là:

S = s(9) – s(0) = $\left( { - \frac{1}{3} \cdot {9^3} + 4 \cdot {9^2} + 9 \cdot 9} \right)$ – 0 = 162 (m).