Bài tập Vận dụng đạo hàm cấp hai để giải quyết một số bài toán thực tiễn lớp 11 (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có $s'(t)=\frac{5}{2}\text{t}-2{\text{t}}^{3}+27{\text{t}}^{2};\ a(t)\text{=}=\frac{5}{2}-6{\text{t}}^{2}+54\text{t}$.

Gia tốc tức thời tại thời điểm t = 6 là $\text{a(6)}=\frac{5}{2}-{6.6}^{2}+54.6=110{,}5$ m/s$^{2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có $=\text{4t}+\frac{\text{π}}{\text{6}}\cos (\frac{\text{π}}{\text{6}}\text{t});\text{a(t)}==4-{(\frac{\text{π}}{\text{6}})}^{2}\sin (\frac{\text{π}}{\text{6}}\text{t})$.

Gia tốc của viên bi tại thời điểm t = 2 (s) là $\text{a(2)}=4-{(\frac{\text{π}}{\text{6}})}^{2}\sin (\frac{\text{π}}{\text{6}}\cdot 2)\approx 3{,}76$ cm/s$^{2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có $=\frac{2}{{\text{(1}-\text{2t)}}^{\text{2}}};\text{a(t)}==-\frac{2{[{(1-2\text{t})}^{2}]}^{'}}{{(1-2\text{t})}^{4}}=\frac{8(1-2\text{t)}}{{(1-2\text{t})}^{4}}=\frac{8}{{(1-2\text{t})}^{3}}$.

Tại thời điểm vận tốc bằng 2 cm/s hay v(t) = 2, tức là $\frac{2}{{\text{(1}-\text{2t)}}^{\text{2}}}=2$.

Suy ra (1 – 2t)$^{2}$ = 1.

Suy ra t = 0 hoặc t = 1.

Khi đó, $\text{a(0)}=\frac{8}{{(1-2.0)}^{3}}=8\text{; a(1)}=\frac{8}{{(1-2.1)}^{3}}=-8$ cm/s$^{2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có s*'(t) = 12t$^{3}$ + 21t$^{2}$ – 10t; a(t) = s''*(t) = 36t$^{2}$ + 42t – 10.

Tại thời điểm t$_{0}$ vật có gia tốc bằng 68 cm/s$^{2}$ nên a(t$_{0}$) = 36${\text{t}}_{\text{0}}^{\text{2}}$+ 42t$_{0}$ – 10 = 68.

Suy ra 36${\text{t}}_{\text{0}}^{\text{2}}$+ 42t$_{0}$ – 78 = 0.

Suy ra t$_{0}$ = 1 hoặc t$_{0}$ = $\frac{-13}{6}$.

Vì t ≥ 0 nên t$_{0}$ = 1 (s).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có v(t) = s*'(t) = t$^{2}$ – 4t + 4; a(t) = s''*(t) = 2t – 4.

Tại thời điểm vận tốc bị triệt tiêu nghĩa là v(t) = 0, khi đó t$^{2}$ – 4t + 4 = 0.

Suy ra t = 2 (s).

Vậy gia tốc lúc này là a(2) = 2 . 2 – 4 = 0 m/s$^{2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có v(t) = s*'(t) = 12t$^{2}$ – 18t + 12; a(t) = s''*(t) = 24t – 18.

Tại thời điểm gia tốc bị triệt tiêu nghĩa là a(t) = 0, tức là 24t – 18 = 0.

Suy ra t = $\frac{3}{4}$ (s).

Vận tốc tại thời điểm gia tốc triệt tiêu là:$\text{v}(\frac{3}{4})=12\cdot {(\frac{3}{4})}^{2}-18\cdot \frac{3}{4}+12=\frac{21}{4}$ (cm/s).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Vận tốc tức thời tại thời điểm t của chuyển động là v(t) = s*'*(t) = Aωcos(ωt + φ).

Gia tốc tức thời tại thời điểm t của chuyển động là a(t) = v*'(t) = s''*(t) = – Aω$^{2}$sin(ωt + φ).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có v(t) = s*'(t) = 12t$^{2}$ – 6t + 2; a(t) = s''*(t) = 24t – 6.

Vì v(t) = 8 nên 12t$^{2}$ – 6t + 2 = 8 hay 12t$^{2}$ – 6t – 6 = 0.

Suy ra t = 1 (tm) hoặc t = $\frac{-1}{2}$ (loại vì t ≥ 0).

Vậy a(t) = 24 . 1 – 6 = 18 cm/s$^{2}$.

Đáp án đúng là: A

Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t là đạo hàm cấp một của hàm số quãng đường s(t): v(t) = s′(t) = (t$^{3}$ – 3t$^{2}$ + 5t + 1)′ = 3t$^{2}$ – 6t + 5 (m/s)

Gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t là đạo hàm cấp hai của hàm số quãng đường s(t): a(t) = s′′(t) = v′(t) = (3t$^{2}$ – 6t + 5)′ = 6t – 6 (m/s$^{2}$)

Tại thời điểm t = 3 giây, gia tốc tức thời của vật là: a(3) = 6 ⋅ 3 – 6 = 12 (m/s$^{2}$).

Đáp án đúng là: C

Vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t là đạo hàm cấp một của phương trình chuyển động s(t):

v(t) = s′(t) = ${\left[ {2\sin \left( {2\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)} \right]^\prime }$ = 2 ⋅ 2$\pi$ ⋅ cos$\left( {2\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)$ = 4$\pi$cos$\left( {2\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)$ (cm/s)

Gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t là đạo hàm cấp hai của phương trình chuyển động s(t):

a(t) = s′′(t) = v′(t) = ${\left[ {4\pi \cos \left( {2\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)} \right]^\prime }$

= –4$\pi$ ⋅ 2$\pi$ ⋅ sin$\left( {2\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)$ = –8$\pi$$^{2}$sin$\left( {2\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)$ (cm/s$^{2}$)

Tại thời điểm t = 1 giây, gia tốc tức thời của chất điểm là:

a(1) = –8$\pi$$^{2}$sin$\left( {2\pi \cdot 1 + \frac{\pi }{3}} \right)$ = –8$\pi$$^{2}$sin$\left( {\frac{\pi }{3}} \right)$ = –8$\pi$$^{2}$ ⋅ $\frac{{\sqrt 3 }}{2}$ = –4$\pi$$^{2}$$\sqrt 3$ (cm/s$^{2}$).

Đáp án đúng là: A

Vận tốc tức thời của con lắc tại thời điểm t là đạo hàm cấp một của x(t):

v(t) = x′(t) = ${\left[ {5\cos \left( {10t - \frac{\pi }{6}} \right)} \right]^\prime }$ = –5 ⋅ 10 ⋅ sin$\left( {10t - \frac{\pi }{6}} \right)$ = –50sin$\left( {10t - \frac{\pi }{6}} \right)$ (cm/s)

Gia tốc tức thời của con lắc tại thời điểm t là đạo hàm cấp hai của x(t):

a(t) = x′′(t) = v′(t) = ${\left[ { - 50\sin \left( {10t - \frac{\pi }{6}} \right)} \right]^\prime }$

= –50 ⋅ 10 ⋅ cos$\left( {10t - \frac{\pi }{6}} \right)$ = –500cos$\left( {10t - \frac{\pi }{6}} \right)$ (cm/s$^{2}$)

Vì –1 ≤ cos$\left( {10t - \frac{\pi }{6}} \right)$ ≤ 1 nên a(t) đạt giá trị lớn nhất (gia tốc cực đại)

⇔ cos$\left( {10t - \frac{\pi }{6}} \right)$ = –1

Do đó: a$_{max}$ = –500 ⋅ (–1) = 500 (cm/s$^{2}$).

Đáp án đúng là: A

Cường độ dòng điện tức thời tại thời điểm t là đạo hàm cấp một của hàm số điện lượng Q(t): I(t) = Q′(t) = (2t$^{3}$ – 3t$^{2}$ + 4t)′ = 6t$^{2}$ – 6t + 4 (A)

Tốc độ biến thiên của cường độ dòng điện tại thời điểm t là đạo hàm của I(t):

I′(t) = Q′′(t) = (6t$^{2}$ – 6t + 4)′ = 12t – 6 (A/s)

Tại thời điểm t = 2 giây, tốc độ biến thiên của cường độ dòng điện là:

I′(2) = 12 ⋅ 2 – 6 = 18 (A/s).

Đáp án đúng là: B

Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t là đạo hàm cấp một của phương trình quãng đường s(t): v(t) = s′(t) = ${\left( {\frac{1}{3}{t^3} - 2{t^2} + 3t + 5} \right)^\prime }$ = t$^{2}$ – 4t + 3 (m/s)

Gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t là đạo hàm cấp hai của phương trình quãng đường s(t): a(t) = s′′(t) = v′(t) = (t$^{2}$ – 4t + 3)′ = 2t – 4 (m/s$^{2}$)

Cho gia tốc bằng 0, ta có phương trình:

a(t) = 0 ⇔ 2t – 4 = 0 ⇔ 2t = 4 ⇔ t = 2 (thỏa mãn t ≥ 0).

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t là đạo hàm cấp một của phương trình quãng đường s(t): v(t) = s′(t) = (t$^{3}$ – 6t$^{2}$ + 15t + 2)′ = 3t$^{2}$ – 12t + 15 (m/s).

b) Đúng. Gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t là đạo hàm cấp hai của phương trình quãng đường s(t): a(t) = s′′(t) = v′(t) = (3t$^{2}$ – 12t + 15)′ = 6t – 12 (m/s$^{2}$).

c) Sai. Vật dừng lại khi vận tốc tức thời bằng 0, tức là v(t) = 0 ⇔ 3t$^{2}$ – 12t + 15 = 0

Vì ∆′ = 36 – 45 = –9 < 0 ⇒ Phương trình này vô nghiệm

Tại thời điểm t = 2 giây, vận tốc của vật là v(2) = 3 ⋅ 2$^{2}$ – 12 ⋅ 2 + 15 = 3m/s ≠ 0

Do đó vật vẫn đang chuyển động.

d) Đúng. Ta có: v(t) = 3t$^{2}$ – 12t + 15 = 3(t – 2)$^{2}$ + 3 ≥ 3 với mọi t

Do đó, vận tốc đạt giá trị nhỏ nhất v$_{min}$ = 3m/s tại thời điểm t = 2 giây

Khi đó, gia tốc của chuyển động là a(2) = 6 ⋅ 2 – 12 = 0m/s$^{2}$.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t là đạo hàm cấp một của phương trình quãng đường s(t): v(t) = s′(t) = ${\left( {\frac{1}{2}g{t^2}} \right)^\prime }$ = gt (m/s).

b) Sai. Gia tốc tức thời của chuyển động là đạo hàm cấp hai của phương trình quãng đường s(t): a(t) = s′′(t) = v′(t) = (gt)′ = g = 9,8 (m/s$^{2}$)

⇒ Gia tốc này là một hằng số không phụ thuộc vào thời gian t.

c) Đúng. Vì a(t) = g = 9,8m/s$^{2}$ là hằng số nên gia tốc tức thời tại mọi thời điểm đều bằng 9,8m/s$^{2}$.

d) Đúng. Quãng đường vật đi được trong giây thứ 3 (từ t = 2s đến t = 3s) bằng hiệu quãng đường vật đi được trong 3 giây đầu và quãng đường vật đi được trong 2 giây đầu:

∆$_{s}$ = s(3) – s(2) = $\frac{1}{2}g \cdot {3^2}$ – $\frac{1}{2}g \cdot {2^2}$= $\frac{1}{2}$g⋅(9 – 4) = $\frac{5}{2}$g = 2,5g

Thay g = 9,8m/s$^{2}$: ∆$_{s}$ = 2,5 ⋅ 9,8 = 24,5 (m).

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t là đạo hàm cấp một của hàm số li độ x(t):

v(t) = x′(t) = ${\left[ {4\cos \left( {\pi t - \frac{\pi }{4}} \right)} \right]^\prime }$ = –4${\left( {\pi t - \frac{\pi }{4}} \right)^\prime }$ ⋅ sin$\left( {\pi t - \frac{\pi }{4}} \right)$ = –4$\pi$sin$\left( {\pi t - \frac{\pi }{4}} \right)$ (cm/s).

b) Đúng. Gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t là đạo hàm cấp hai của hàm số li độ x(t):

a(t) = v′(t) = x′′(t) = ${\left[ { - 4\pi \sin \left( {\pi - \frac{\pi }{4}} \right)} \right]^\prime }$

= –4$\pi$${\left( {\pi t - \frac{\pi }{4}} \right)^\prime }$ ⋅ cos$\left( {\pi t - \frac{\pi }{4}} \right)$ = –4$\pi$$^{2}$cos$\left( {\pi t - \frac{\pi }{4}} \right)$ (cm/s$^{2}$).

c) Đúng. Ta có: a(t) = –4$\pi$$^{2}$cos$\left( {\pi t - \frac{\pi }{4}} \right)$ = –$\pi$$^{2}$ ⋅ $\left[ {4\cos \left( {\pi t - \frac{\pi }{4}} \right)} \right]$ = –$\pi$$^{2}$x(t)

Do đó, gia tốc của con lắc luôn thỏa mãn hệ thức a(t) = –$\pi$$^{2}$x(t).

d) Sai. Tại t = 0,25s, gia tốc của con lắc là:

a(0,25) = –4$\pi$$^{2}$cos$\left( {\frac{\pi }{4} - \frac{\pi }{4}} \right)$ = –4$\pi$$^{2}$cm/s$^{2}$ ≠ 0cm/s$^{2}$.

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai. Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t là đạo hàm cấp một của hàm quãng đường s(t): v(t) = s′(t) = (2t$^{3}$ – 9t$^{2}$ + 12t + 1)′ = 6t$^{2}$ – 18t + 12 (m/s)

Tại thời điểm t = 1 giây, vận tốc tức thời của vật là: v(1) = 6 ⋅ 1$^{2}$ – 18 ⋅ 1 + 12 = 0 (m/s).

b) Đúng. Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t = 2 giây là:

v(2) = 6 ⋅ 2$^{2}$ – 18 ⋅ 2 + 12 = 24 – 36 + 12 = 0 (m/s).

c) Đúng. Gia tốc tức thời của vật tại thời điểm t là đạo hàm cấp hai của hàm quãng đường s(t): a(t) = s′′(t) = v′(t) = (6t$^{2}$ – 18t + 12)′ = 12t – 18 (m/s$^{2}$)

Tại thời điểm t = 2 giây, gia tốc tức thời của vật là: a(2) = 12 ⋅ 2 – 18 = 6 (m/s$^{2}$).

d) Đúng. Gia tốc tức thời của vật tại thời điểm t = 3 giây là: a(3) = 12 ⋅ 3 – 18 = 18 (m/s$^{2}$).

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Cường độ dòng điện tức thời là đạo hàm cấp nhất của điện lượng theo thời gian:

I(t) = Q′(t) = [sin(100$\pi$t)]′ = (100$\pi$t)′ ⋅ cos(100$\pi$t) = 100$\pi$cos(100$\pi$t) (A).

b) Đúng. Đạo hàm của cường độ dòng điện theo thời gian là:

I′(t) = [100$\pi$cos(100$\pi$t)]′ = 100$\pi$ ⋅ [–(100$\pi$t)′ ⋅ sin(100$\pi$t)]

I′(t) = –10000$\pi$$^{2}$sin(100$\pi$t) (A/s).

c) Đúng. Vì –1 ≤ cos(100$\pi$t) ≤ 1 với mọi t ≥ 0, nên: I(t) = 100$\pi$cos(100$\pi$t) ≤ 100$\pi$ (A)

Dấu "=" xảy ra ⇔ cos(100$\pi$t) = 1

Vậy giá trị lớn nhất của cường độ dòng điện là 100$\pi$ (A).

d) Sai. Tốc độ biến thiên cường độ dòng điện tại thời điểm t là $\left| {I'\left( t \right)} \right|$

Tại thời điểm t = 0,01 giây, ta có:

I′(0,01) = –10000$\pi$$^{2}$sin(100$\pi$ ⋅ 0,01) = –10000$\pi$$^{2}$sin($\pi$) = 0.

Do đó, tốc độ biến thiên cường độ dòng điện tại thời điểm t = 0,01 giây bằng 0.

Đáp án: -1

Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t là đạo hàm cấp một của quãng đường theo thời gian: v(t) = s′(t) = ${\left( { - \frac{1}{2}{t^2} + 20t} \right)^\prime }$ = –t + 20 (m/s)

Gia tốc tức thời của vật tại thời điểm t là đạo hàm cấp hai của quãng đường:

a(t) = v′(t) = s′′(t) = (–t + 20)′ = –1 (m/s$^{2}$)

Do gia tốc là hằng số a(t) = –1m/s$^{2}$ với mọi thời điểm t, nên gia tốc tức thời của vật tại thời điểm t = 8 giây là: a(8) = –1 (m/s$^{2}$).

Đáp án: 12

Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t là đạo hàm cấp một của quãng đường theo thời gian: v(t) = s′(t) = (–t$^{3}$ + 3t$^{2}$ + 9t)′ = –3t$^{2}$ + 6t + 9 (m/s)

Gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t là đạo hàm cấp hai của quãng đường theo thời gian: a(t) = v′(t) = s′′(t) = (–3t$^{2}$ + 6t + 9)′ = –6t + 6 (m/s$^{2}$)

Gia tốc triệt tiêu khi a(t) = 0 ⇔ –6t + 6 = 0 ⇔ 6t = 6 ⇔ t = 1 (giây)

Vận tốc của chuyển động tại thời điểm gia tốc triệt tiêu (t = 1 giây) là:

v(1) = –3 ⋅ 1$^{2}$ + 6 ⋅ 1 + 9 = –3 + 6 + 9 = 12 (m/s).

Đáp án: -59

Vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t là đạo hàm cấp một của li độ theo thời gian: v(t) = s′(t) = ${\left[ {3\cos \left( {2\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)} \right]^\prime }$ = –3 ⋅ ${\left( {2\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)^\prime }$ ⋅ sin$\left( {2\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)$

v(t) = –6$\pi$sin$\left( {2\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)$ (cm/s)

Gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t là đạo hàm cấp hai của li độ theo thời gian:

a(t) = v′(t) = s′′(t) = ${\left[ { - 6\pi \sin \left( {2\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)} \right]^\prime }$

a(t) = –6$\pi$ ⋅ ${\left( {2\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)^\prime }$ ⋅ cos$\left( {2\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)$ = –12$\pi$$^{2}$cos$\left( {2\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)$ (cm/s$^{2}$)

Gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t = 2s là:

a(2) = –12$\pi$$^{2}$cos$\left( {2\pi \cdot 2 + \frac{\pi }{3}} \right)$ = –12$\pi$$^{2}$cos$\left( {4\pi + \frac{\pi }{3}} \right)$

a(2) = –12$\pi$$^{2}$cos$\left( {\frac{\pi }{3}} \right)$ = –12$\pi$$^{2}$ ⋅ $\frac{1}{2}$ = –6$\pi$$^{2}$≈ –59 (cm/s$^{2}$).

Đáp án: 0

Vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t là đạo hàm cấp một của quãng đường theo thời gian: v(t) = s′(t) = (–t$^{3}$ + t$^{2}$ + t + 4)′ = –3t$^{2}$ + 2t + 1 (m/s)

Gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t là đạo hàm cấp hai của quãng đường theo thời gian: a(t) = v′(t) = s′′(t) = (–3t$^{2}$ + 2t + 1)′ = –6t + 2 (m/s$^{2}$)

Biến đổi biểu thức vận tốc v(t), ta có:

v(t) = –3$\left( {{t^2} - \frac{2}{3}t} \right)$ + 1 = –3${\left( {t - \frac{1}{3}} \right)^2}$ + $\frac{1}{3}$ + 1 = –3${\left( {t - \frac{1}{3}} \right)^2}$ + $\frac{4}{3}$ ≤ $\frac{4}{3}$

Do đó, vận tốc đạt giá trị lớn nhất bằng $\frac{4}{3}$m/s tại thời điểm t = $\frac{1}{3}$ giây

Thay t = $\frac{1}{3}$ giây vào biểu thức gia tốc, ta được: a$\left( {\frac{1}{3}} \right)$ = –6 ⋅ $\frac{1}{3}$ + 2 = –2 + 2 = 0 (m/s$^{2}$)

Vậy gia tốc của chuyển động tại thời điểm vận tốc đạt giá trị lớn nhất bằng 0m/s$^{2}$.

Đáp án: -18

Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t là đạo hàm cấp một của quãng đường theo thời gian: v(t) = s′(t) = (t$^{3}$ + mt$^{2}$ + 2)′ = 3t$^{2}$ + 2mt (m/s)

Gia tốc tức thời của vật tại thời điểm t là đạo hàm cấp hai của quãng đường theo thời gian:

a(t) = v′(t) = s′′(t) = (3t$^{2}$ + 2mt)′ = 6t + 2m (m/s$^{2}$)

Theo bài ra, tại thời điểm t = 10s vận tốc bị triệt tiêu, nghĩa là v(10) = 0:

⇒ 3 ⋅ 10$^{2}$ + 2m ⋅ 10 = 0 ⇔ 300 + 20m = 0 ⇔ 20m = –300 ⇔ m = –15

Khi đó, biểu thức gia tốc của vật là: a(t) = 6t + 2 ⋅ (–15) = 6t – 30 (m/s$^{2}$)

Gia tốc của chuyển động tại thời điểm t = 2s là:

a(2) = 6 ⋅ 2 – 30 = 12 – 30 = –18 (m/s$^{2}$).