Bài tập Vận dụng các phép toán giới hạn để tìm giới hạn của dãy số hạng chứa lũy thừa lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Ta thấy $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }{2}^{n}$ có dạng $\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }{q}^{n}=+\infty$ với q > 1. Vậy đáp án đúng là B.

Đáp án đúng là: A

$\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{{2}^{5n+1}}{{3}^{5n+3}}=\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{{2.2}^{5n}}{{27.3}^{5n}}\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }[\frac{2}{27}.{(\frac{2}{3})}^{5n}]=\frac{2}{27}.0=0$.

Đáp án đúng là: A

$\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{{3}^{n}-{4.2}^{n+3}-3}{{3.2}^{n+1}+{4}^{n+2}}=\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{{3}^{n}-{32.2}^{n}-3}{{6.2}^{n}+{16.4}^{n}}\underset{n\rightarrow +\infty }{=\lim }\frac{\frac{{3}^{n}}{{4}^{n}}-32.\frac{{2}^{n}}{{4}^{n}}-\frac{3}{{4}^{n}}}{6.\frac{{2}^{n}}{{4}^{n}}+16.\frac{{4}^{n}}{{4}^{n}}}$

$\underset{n\rightarrow +\infty }{=\lim }\frac{{(\frac{3}{4})}^{n}-32.{(\frac{2}{4})}^{n}-\frac{3}{{4}^{n}}}{6.{(\frac{2}{4})}^{n}+16.1}=\frac{0}{16}=0$.

Đáp án đúng là: C

$\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{4-{5}^{n+3}}{{3}^{n+2}+{2.5}^{n+1}}=\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{4-{5}^{n}.125}{{3}^{n}.9+{10.5}^{n}}=\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{\frac{4}{{5}^{n}}-1.125}{{(\frac{3}{5})}^{n}.9+10.1}$

$=\frac{0-125}{0.9+10}=-\frac{25}{2}$.

Đáp án đúng là: D

$\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{{3}^{n}-1}{{2}^{n}-{2.3}^{n}+1}=\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{1-\frac{1}{{3}^{n}}}{{(\frac{2}{3})}^{n}-2.1+\frac{1}{{3}^{n}}}=\frac{1-0}{0-2+0}=-\frac{1}{2}$.

Đáp án đúng là: A

$\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{{2}^{n+1}+3n+10}{{3}^{n+2}-{3}^{n}+2}=\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{{2.2}^{n}+3n+10}{{3}^{n}.8+2}$

$=\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{2.{(\frac{2}{3})}^{n}+3\frac{n}{{3}^{n}}+\frac{10}{{3}^{n}}}{8+\frac{2}{{3}^{n}}}=\frac{2.0+3.0+0}{8+0}=0$.

Đáp án đúng là: A

$\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{n-1}{{n}^{3}+3}=\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{{n}^{3}(\frac{1}{{n}^{2}}-\frac{1}{{n}^{3}})}{{n}^{3}(1+\frac{3}{{n}^{3}})}=\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{\frac{1}{{n}^{2}}-\frac{1}{{n}^{3}}}{1+\frac{3}{{n}^{3}}}=0$.

Đáp án đúng là: A

$\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{7{n}^{2}-2{n}^{3}+1}{3{n}^{3}+2{n}^{2}+1}=\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{{n}^{3}(\frac{7}{n}-2+\frac{1}{{n}^{3}})}{{n}^{3}(3+\frac{2}{n}+\frac{1}{{n}^{3}})}$

$=\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{\frac{7}{n}-2+\frac{1}{{n}^{3}}}{3+\frac{2}{n}+\frac{1}{{n}^{3}}}=\frac{0-2+0}{3+0+0}=-\frac{2}{3}$.

Đáp án đúng là: A

$\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{2{n}^{3}-3}{{n}^{6}+5{n}^{5}}=\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{{n}^{6}(\frac{2}{{n}^{3}}-\frac{3}{{n}^{6}})}{{n}^{6}(1-\frac{5}{n})}=\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{\frac{2}{{n}^{3}}-\frac{3}{{n}^{6}}}{1-\frac{5}{n}}=\frac{0-0}{1-0}=0$.

Đáp án đúng là: B

$\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{2{n}^{2}+3n+1}{2n-3}=\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{{n}^{2}(2+\frac{3}{n}+\frac{1}{{n}^{2}})}{{n}^{2}(\frac{2}{n}-\frac{3}{{n}^{2}})}=\underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }\frac{2+\frac{3}{n}+\frac{1}{{n}^{2}}}{\frac{2}{n}-\frac{3}{{n}^{2}}}=+\infty$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty }$$\frac{{{2^n} + {3^n}}}{{{3^n} + 1}}$ = $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty }$$\frac{{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n} + 1}}{{1 + {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^n}}}$ = 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty }$$\frac{{3 \cdot {2^n} - {4^n}}}{{{4^n} + 5 \cdot {3^n}}}$ = $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty }$$\frac{{3 \cdot {{\left( {\frac{2}{4}} \right)}^n} - 1}}{{1 + 5 \cdot {{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^n}}}$ = $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty }$$\frac{{3 \cdot {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n} - 1}}{{1 + 5 \cdot {{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^n}}}$ = $\frac{{0 - 1}}{{1 + 0}} = - 1$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có tử số: 2$^{n+1}$ – 5$^{n}$ = 2 ∙ 2$^{n}$ - 5$^{n}$

Chia cả tử và mẫu cho 5$^{n}$, ta được:

$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty }$$\frac{{{2^{n + 1}} - {5^n}}}{{3 \cdot {5^n} + 2}}$ = $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty }$$\frac{{2 \cdot {{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^n} - 1}}{{3 + 2 \cdot {{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^n}}} = \frac{{0 - 1}}{{3 + 0}} = - \frac{1}{3}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: 4$^{n+1}$ = 4 ∙ 4$^{n}$ và 6$^{n+2}$ = 36 ∙ 6$^{n}$.

Chia cả tử và mẫu cho 6$^{n}$, ta được:

$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty }$$\frac{{{4^{n + 1}} + {6^{n + 2}}}}{{{5^n} + 8 \cdot {6^n}}}$ = $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty }$$\frac{{4 \cdot {{\left( {\frac{4}{6}} \right)}^n} + 36}}{{{{\left( {\frac{5}{6}} \right)}^n} + 8}}$ = $\frac{{0 + 36}}{{0 + 8}} = \frac{9}{2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty }$$\frac{{a \cdot {7^n} + {3^n}}}{{2 \cdot {7^n} - {5^n}}}$ = $\frac{{a + {{\left( {\frac{3}{7}} \right)}^n}}}{{2 - {{\left( {\frac{5}{7}} \right)}^n}}} = \frac{a}{2} = 2$ ⇒ a = 4.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Chia cho lũy thừa có cơ số lớn nhất là 4$^{n}$.

b) Đúng. Các cơ số là 2, 3, 4 thì 4 là cơ số lớn nhất.

c) Sai. Chia tử mẫu cho 4$^{n}$ ta được $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty }$$\frac{{{{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^n} - 1}}{{1 + {{\left( {\frac{2}{4}} \right)}^n}}} = - 1$.

d) Đúng. Giới hạn bằng -1 là một số thực hữu hạn.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty }$u$_{n}$ = $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty }$$\frac{{a \cdot {5^n} + {4^n}}}{{3 \cdot {5^n} - {2^n}}}$ = $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{a + {{\left( {\frac{4}{5}} \right)}^n}}}{{3 - {{\left( {\frac{2}{5}} \right)}^n}}}$.

Vì $\frac{4}{5}$ < 1 và $\frac{2}{5}$ < 1 ⇒ $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {\left( {\frac{4}{5}} \right)^n} = 0$ và $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } {\left( {\frac{2}{5}} \right)^n} = 0$.

⇒ $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty }$u$_{n}$ = $\frac{{a + 0}}{{3 - 0}} = \frac{a}{3}$.

a) Đúng. Khi a = 0 thì $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty }$u$_{n}$ = $\frac{0}{3}$ = 0.

b) Đúng. Nếu a = 3 thì $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty }$u$_{n}$ = $\frac{3}{3}$ = 1.

c) Đúng. $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty }$u$_{n}$ = $\frac{a}{3}$ ⇒ phụ thuộc vào giá trị của a.

d) Sai. Để $\frac{a}{3}$ = 2 ⇒ a = 6, không phải 5.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai. Chia cả tử và mẫu của u$_{n}$ cho 3$^{n}$, ta được $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty }$$\frac{{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n}}}{{1 + {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^n}}} = \frac{0}{1} = 0$.

b) Đúng. Chia cả tử và mẫu của v$_{n}$ cho 3$^{n}$, ta được $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty }$$\frac{1}{{{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n} + 1}} = \frac{1}{1} = 1$.

c) Đúng. $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty }$(u$_{n}$ + v$_{n}$) = $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty }$u$_{n}$ + $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty }$v$_{n}$ = 0 + 1 = 1.

d) Đúng. $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty }$(u$_{n}$ ∙ v$_{n}$) = $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty }$u$_{n}$ ∙ $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty }$v$_{n}$ = 0 ∙ 1 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Vì $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty }$${\left( { - \frac{1}{3}} \right)^n}$ = 0 do $\left| { - \frac{1}{3}} \right|$ < 1.

b) Đúng. Vì $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty }$${\left( {\frac{2}{3}} \right)^n}$ = 0.

c) Sai. Ta có u$_{n}$ = ${\left( { - \frac{1}{3}} \right)^n}$ + ${\left( {\frac{2}{3}} \right)^n}$. Do đó $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty }$u$_{n}$ = 0 + 0 = 0.

d) Đúng. Áp dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối: |x + y| ≤ |x| + |y|, ta có:

|u$_{n}$| ≤ $\left| {\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{3^n}}}} \right| + \left| {\frac{{{2^n}}}{{{3^n}}}} \right|$ = ${\left( {\frac{1}{3}} \right)^n}$ + ${\left( {\frac{2}{3}} \right)^n}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Vì a < b nên 0 < $\frac{a}{b}$ < 1. Khi đó $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty }$${\left( {\frac{a}{b}} \right)^n}$ = 0.

b) Đúng. Vì a = b nên $\frac{a}{b}$ = 1. Dãy số trở thành u$_{n}$ = 1$^{n}$ = 1, $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty }$u$_{n}$ = 1.

c) Sai. Khi a > b thì $\frac{a}{b}$ > 1. Khi đó $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty }$${\left( {\frac{a}{b}} \right)^n}$ = + ∞.

d) Sai. Nếu b = 2a thì $\frac{a}{b}$ = $\frac{1}{2}$ < 1, do đó $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty }$u$_{n}$ = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 4

Biến đổi mẫu số: 4$^{n-1}$ = $\left( {\frac{1}{4}} \right)$ ∙ 4$^{n}$.

Chia cả tử và mẫu cho 4$^{n}$, ta được:

$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty }$$\frac{{10 \cdot {3^n} - {4^n}}}{{3 \cdot {2^n} - {4^{n - 1}}}}$ = $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty }$$\frac{{10 \cdot {{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^n} - 1}}{{3 \cdot {{\left( {\frac{2}{4}} \right)}^n} - \frac{1}{4}}} = \frac{{0 - 1}}{{0 - \frac{1}{4}}} = 4$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2

Biến đổi tử số: 2$^{2n+1}$ = 2$^{1}$ ∙ (2$^{2}$)$^{n}$ = 2 ∙ 4$^{n}$.

Dãy số trở thành: $\frac{{2 \cdot {4^n} + {3^n}}}{{{4^n} + 5}}$.

Chia cả tử và mẫu cho 4$^{n}$, ta được:

$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty }$$\frac{{2 \cdot {4^n} + {3^n}}}{{{4^n} + 5}}$ = $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty }$$\frac{{2 + {{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^n}}}{{1 + 5 \cdot {{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^n}}} = \frac{2}{1} = 2$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 4

Biến đổi tử số: 7$^{n+1}$ = 7 ∙ 7$^{n}$, do đó biểu thức trở thành 5$^{n}$ - 7a ∙ 7$^{n}$.

Chia cả tử và mẫu cho 7$^{n}$, ta được: $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty }$$\frac{{{{\left( {\frac{5}{7}} \right)}^n} - 7a}}{{2 + {{\left( {\frac{4}{7}} \right)}^n}}}$ = $- \frac{{7a}}{2}$.

Theo giả thiết: $- \frac{{7a}}{2}$ = -14 ⇒ 7a = 28 ⇒ a = 4.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 4

Biến đổi tử số: 2$^{n+2}$ = 4 ∙ 2$^{n}$.

Biến đổi mẫu số: 3$^{n-1}$ = $\frac{1}{3}$ ∙ 3$^{n}$.

Chia cả tử và mẫu cho 3$^{n}$, ta được:

$\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty }$$\frac{{8 + 4 \cdot {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n}}}{{\frac{a}{3} + {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^n}}} = \frac{8}{{\left( {\frac{a}{3}} \right)}} = \frac{{24}}{a}$ = 6 ⇒ a = 4.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 12

Biến đổi mẫu số: 3$^{2n}$ = (3$^{2}$)$^{n}$ = 9$^{n}$.

Biểu thức trở thành: $\frac{{a \cdot {9^n} + b \cdot {5^n}}}{{{9^n} + {4^n}}}$

Chia cả tử và mẫu cho 9$^{n}$, ta được: $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty }$$\frac{{a + b \cdot {{\left( {\frac{5}{9}} \right)}^n}}}{{1 + {{\left( {\frac{4}{9}} \right)}^n}}} = \frac{a}{1} = a$.

Theo giả thiết $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty }$$\frac{{a \cdot {9^n} + b \cdot {5^n}}}{{{3^{2n}} + {4^n}}} = 7$ ⇒ a = 7.

Ta lại có a – b = 2 ⇒ b = 5.

Vậy a + b = 7 + 5 = 12.