Bài tập Vận dụng bội chung và bội chung nhỏ nhất để giải các bài toán thực tế lớp 6 (có lời giải)

Đáp án đúng là: C

Vì cả hai lớp hôm nay cùng làm kiểm tra nên số ngày mà hai lớp lại cùng làm kiểm tra là bội chung của 24 và 32.

Vậy số ngày ít nhất để cả hai cùng làm kiểm tra là BCNN của 24 và 32.

Phân tích các số ra thừa số nguyên tố, ta được:

$$24 = {2^3}.3$$

$$32 = {2^5}$$

Vậy BCNN (24, 32) = ${2^5}.3$ = 96.

Vậy sau ít nhất 96 ngày nữa thì cả hai lớp cùng kiểm tra.

Đáp án đúng là: B

Vì khi chia số học sinh trong câu lạc bộ đó thành từng nhóm 5 học sinh hoặc 12 học sinh thì vừa hết nên số học sinh của câu lạc bộ là bội chung của 5 và 12.

Phân tích các số ra thừa số nguyên tố, ta được:

$$12 = {2^2}.3$$

Vậy BCNN (5, 12) = ${2^2}.3.5$ = 60.

Vậy BC (5, 12) = {0; 60; 120; 180; ....}.

Mà số học sinh trong câu lạc bộ không vượt quá 100 học sinh.

Vậy số học sinh trong câu lạc bộ là 60 học sinh.

Đáp án đúng là: A

Vì khi xếp hàng 2, hàng 7, hàng 8 đều vừa đủ hàng nên số học sinh là bội chung của 2; 7 và 8.

Phân tích các số ra thừa số nguyên tố, ta được:

$$8 = {2^3}$$

Vậy BCNN (2, 7, 8) = ${2^3}.7$= 56.

Vậy BC (2, 7, 8) = {0; 56; 112; 168; ....}.

Mà số học sinh trong khoảng 50 đến 100 học sinh. Vậy số học sinh lớp 6E là 56 học sinh.

Đáp án đúng là: D

Vì khi xếp thành từng bó 10 cuốn, 12 cuốn, 18 cuốn, 22 cuốn đều vừa đủ bó nên số sách là bội chung của 10; 12; 18 và 22.

Phân tích các số ra thừa số nguyên tố, ta được:

10 = 2.5

$$12 = {2^2}.3$$

$$18 = {2.3^2}$$

22 = 2.11

Vậy BCNN (10, 12, 18, 22) = ${2^2}{.3^2}.5.11$= 1 980.

Vậy BC (10, 12, 18, 22) = {0; 1 980; 3 960; ....}.

Mà số sách trong khoảng 1 000 đến 2 000 cuốn. Vậy số sách là 1 980 cuốn.

Đáp án đúng là: C

Vì khi trồng cây thành hàng 15, hàng 35 đều vừa đủ hàng nên số cây bác nông dân trồng là bội chung của 15 và 35.

Phân tích các số ra thừa số nguyên tố, ta được:

15 = 3.5

35 = 5.7

Vậy BCNN (15, 35) = 3.5.7 = 105.

Vậy BC (15, 35) = {0; 105; 210; 315; ....}.

Mà số cây trồng trong khoảng 200 đến 300 cây.

Vậy số cây bác nông dân trồng là 210 cây.

Đáp án đúng là: B

Vì hôm nay ba bạn cùng đến thư viện nên số ngày ba bạn lại cùng đến thư viện là bội chung của 10; 11 và 15.

Vậy số ngày ít nhất để ba bạn cùng đến thư viện là BCNN của 10; 11 và 15.

Phân tích các số ra thừa số nguyên tố, ta được:

10 = 2.5

15 = 3.5

Vậy BCNN (10, 11, 15) = 2.3.5.11 = 330.

Vậy sau ít nhất 330 ngày nữa thì 3 bạn sẽ đến thư viện cùng ngày.

Đáp án đúng là: A

Vì hiện giờ hai bạn cùng làm xong một câu nên số giây để hai bạn cùng làm xong 1 câu là bội chung của 120 và 180.

Vậy số giây ít nhất để hai bạn cùng xong là BCNN của 120 và 180.

Phân tích các số ra thừa số nguyên tố, ta được:

$$120 = {2^3}.3.5$$

$$180 = {2^2}{.3^2}.5$$

Vậy BCNN (120, 180) = ${2^3}{.3^2}.5$= 360.

Vậy sau ít nhất 360 giây = 6 phút thì 2 bạn cùng làm xong.

Đáp án đúng là: C

Vì ba tàu cùng khởi hành nên số ngày mà ba tàu cùng cập bến là bội chung của 20; 25 và 30.

Vậy số ngày ít nhất để ba tàu cùng cấp bến là BCNN của 20; 25 và 30.

Phân tích các số ra thừa số nguyên tố, ta được:

$$20 = {2^2}.5$$

$$25 = {5^2}$$

30 = 2.3.5

Vậy BCNN (20, 25, 30) = ${2^2}{.3.5^2}$= 300.

Vậy sau ít nhất 300 ngày thì 3 tàu cùng cập bến.

Đáp án đúng là: C

Vì mỗi công nhân đội 1 phải trồng 14 cây, mỗi công nhân đội 2 phải trồng 16 cây nên số cây mỗi đội phải trồng là bội chung của 14 và 16.

Phân tích các số ra thừa số nguyên tố, ta được:

14 = 2.7

$$16 = {2^4}$$

Vậy BCNN (14, 16) = ${2^4}.7$= 112.

Vậy BC (14, 16) = {0; 112; 224; ....}.

Mà số cây mỗi đội phải trồng trong khoảng 200 đến 300 cây.

Vậy số cây phải trồng là 224 cây.

Đáp án đúng là: A

Vì trận này hai bạn cùng ghi bàn nên số trận để hai bạn lại cùng ghi bàn là bội chung của 7 và 28.

Vậy số trận ít nhất để hai bạn cùng ghi bàn là BCNN của 7 và 28.

Ta có: $28 \vdots 7$

Vậy BCNN (7, 28) = 28.

Vậy sau ít nhất 28 ngày nữa thì hai bạn sẽ cùng ghi bàn.

Đáp án đúng là: B

Gọi thời gian ít nhất để hai xe cùng xuất phát lần tiếp theo là x (phút, x > 0).

Xe thứ nhất cứ 15 phút có một chuyến nên x chia hết cho 15.

Xe thứ hai cứ 20 phút có một chuyến nên x chia hết cho 20.

Đồng thời x là thời gian ít nhất, nên x là bội chung nhỏ nhất của 15 và 20.

Ta phân tích ra thừa số nguyên tố: 15 = 3 ∙ 5; 20 = 2$^{2}$ ∙ 5.

BCNN(15, 20) = 2$^{2}$ ∙ 3 ∙ 5 = 60.

Vậy sau ít nhất 60 phút thì hai xe lại cùng xuất phát.

Đáp án đúng là: A

Số bút bi và số tẩy bằng nhau, số lượng này phải chia hết cho 6 (số bút trong một hộp) và chia hết cho 8 (số tẩy trong một hộp).

Để số lượng mua là ít nhất, số chiếc bút bi (hoặc tẩy) phải là bội chung nhỏ nhất của 6 và 8.

Ta có: 6 = 2 ∙ 3; 8 = 2$^{3}$.

BCNN(6, 8) = 2$^{3}$ ∙ 3 = 24.

Vậy Mai phải mua ít nhất 24 chiếc bút bi.

Đáp án đúng là: C

Số ngày ít nhất để hai bác sĩ cùng trực lại phải chia hết cho chu kỳ trực của cả hai người.

Do đó, số ngày này là bội chung nhỏ nhất của 4 và 6.

Ta có: 4 = 2$^{2}$; 6 = 2 ∙ 3.

BCNN(4, 6) = 2$^{2}$ ∙ 3 = 12.

Vậy ít nhất 12 ngày nữa hai bác sĩ sẽ cùng trực ban đêm.

Đáp án đúng là: D

Chiều cao của mỗi cột được tạo thành từ các hộp lập phương, nên chiều cao cột thứ nhất chia hết cho 10, chiều cao cột thứ hai chia hết cho 15.

Vì chiều cao hai cột bằng nhau và yêu cầu tìm chiều cao nhỏ nhất, nên chiều cao đó là bội chung nhỏ nhất của 10 và 15.

Ta có: 10 = 2 ∙ 5; 15 = 3 ∙ 5.

BCNN(10, 15) = 2 ∙ 3 ∙ 5 = 30.

Vậy chiều cao nhỏ nhất của mỗi cột là 30 cm.

Đáp án đúng là: A

Gọi số học sinh khối 6 là x (học sinh).

Khi xếp hàng 12, hàng 15 vừa đủ tức là x chia hết cho 12 và 15.

Suy ra x ∈ BC(12, 15).

Ta có: 12 = 2$^{2}$ ∙ 3; 15 = 3 ∙ 5.

Suy ra BCNN(12, 15) = 2$^{2}$ ∙ 3 ∙ 5 = 60.

Do đó BC(12, 15) = B(60) = {0; 60; 120; 180; ...}.

Vì số học sinh nằm trong khoảng từ 100 đến 150 nên x = 120. Số học sinh khối 6 là 120 bạn.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Để ba bóng nháy sáng cùng lúc, khoảng thời gian phải chia hết cho cả 8, 10 và 12. Thời gian ít nhất chính là bội chung nhỏ nhất, nó thuộc tập hợp các bội chung.

b) Sai. Ta tìm BCNN(8, 10, 12). Phân tích ra thừa số nguyên tố:

8 = 2$^{3}$;

10 = 2 ∙ 5;

12 = 2$^{2}$ ∙ 3.

Suy ra BCNN (8, 10, 12) = 2$^{3}$ ∙ 3 ∙ 5 = 120.

c) Sai. Từ 20 giờ 00 phút đến 20 giờ 05 phút là 5 phút, tương đương 300 giây.

Vì cứ 120 giây các bóng cùng nháy 1 lần, ta có 300 : 120 = 2 (dư 60).

Như vậy trong 5 phút này, bóng nháy chung thêm 2 lần (ở giây thứ 120 và giây thứ 240).

d) Đúng. Lần thứ hai nháy sáng cùng nhau cách lần đầu 120 giây (bằng 2 phút). Thời điểm đó chính xác là 20 giờ 02 phút 00 giây.

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Sai. Để hai điểm đánh dấu lại khớp nhau, số lượng răng đi qua phải chia hết cho cả số răng của bánh A (24) và bánh B (36).

Do đó, số lượng răng phải là bội chung, không phải ước chung.

b) Đúng. Ta có 24 = 2$^{3}$ ∙ 3 và 36 = 2$^{2}$ ∙ 3$^{2}$.

Suy ra BCNN(24, 36) = 2$^{3}$ ∙ 3$^{2}$ = 8 ∙ 9 = 72.

c) Đúng. Số răng ít nhất quay được để hai điểm khớp nhau lần đầu là 72 răng.

Số vòng quay của bánh răng B là 72 : 36 = 2 (vòng).

d) Sai. Tương tự ý c, số vòng quay của bánh răng A khi đó phải là 72 : 24 = 3 (vòng), không phải 4 vòng.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Vì các cuốn sách cùng loại được xếp chồng lên nhau nên chiều cao chồng sách phải chia hết cho độ dày của từng loại.

Để 3 chồng cao bằng nhau, độ cao đó phải là bội chung của 15, 20 và 25.

b) Sai. Ta có 15 = 3 ∙ 5; 20 = 2$^{2}$ ∙ 5; 25 = 5$^{2}$.

Suy ra BCNN = 2$^{2}$ ∙ 3 ∙ 5$^{2}$ = 300.

c) Đúng. Theo kết quả tính BCNN ở ý b, chiều cao nhỏ nhất để ba chồng sách bằng nhau chính là 300 mm.

d) Sai. Tại chiều cao 300 mm:

Số sách Toán là 300 : 15 = 20 (cuốn).

Số sách Văn là 300 : 20 = 15 (cuốn).

Số sách Anh là 300 : 25 = 12 (cuốn).

Tổng số sách là 20 + 15 + 12 = 47 (cuốn).

Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai. Thời gian để một người về vạch xuất phát là các bội của thời gian chạy một vòng.

Để cả ba gặp nhau, thời gian phải chia hết cho thời gian của từng người, nên phải là bội chung nhỏ nhất, không phải ước chung lớn nhất.

b) Sai. Ta có 6 = 2 ∙ 3; 8 = 2$^{3}$; 9 = 3$^{2}$.

Suy ra BCNN(6, 8, 9) = 2$^{3}$ ∙ 3$^{2}$ = 72.

Thời gian để gặp nhau lần đầu là 72 phút.

c) Đúng. Theo ý b), BCNN là 72 phút nên đó là khoảng thời gian ngắn nhất.

d) Đúng. Sau 72 phút:

Người thứ nhất chạy được 72 : 6 = 12 (vòng).

Người thứ hai chạy được 72 : 8 = 9 (vòng).

Người thứ nhất chạy nhiều hơn người thứ hai là 12 – 9 = 3 (vòng).

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Để lát vừa khít bằng cả hai loại gạch mà không phải cắt xén, độ dài cạnh sàn phòng hình vuông phải chia hết cho cả 80 và 60.

Do cần tìm kích thước nhỏ nhất, độ dài cạnh sàn phòng chính là bội chung nhỏ nhất của 80 và 60.

b) Sai. Ta tính BCNN(80, 60).

Ta có 80 = 2$^{4}$ ∙ 5 và 60 = 2$^{2}$ ∙ 3 ∙ 5.

Suy ra BCNN(80, 60) = 2$^{4}$ ∙ 3 ∙ 5 = 240.

Cạnh sàn phòng nhỏ nhất là 240 cm.

c) Đúng. Diện tích hình vuông nhỏ nhất với cạnh là 240 cm là:

240 ∙ 240 = 57 600 (cm$^{2}$).

d) Sai. Diện tích một viên gạch loại 60 cm là 60 ∙ 60 = 3 600 (cm$^{2}$).

Số viên gạch cần dùng là 57 600 : 3 600 = 16 (viên).

Hoặc tính số gạch theo một cạnh là 240 : 60 = 4 (viên), cả nền cần 4 ∙ 4 = 16 (viên).

Đáp án: 270.

Gọi số bánh xưởng sản xuất là x (chiếc).

Vì đóng gói vào hộp 10, 15, 18 đều vừa đủ nên x chia hết cho 10, 15 và 18.

Do đó x là bội chung của 10, 15, 18.

Phân tích thừa số nguyên tố: 10 = 2 ∙ 5; 15 = 3 ∙ 5; 18 = 2 ∙ 3$^{2}$.

Suy ra BCNN(10, 15, 18) = 2 ∙ 3$^{2}$ ∙ 5 = 90.

Do đó BC(10, 15, 18) = B(90) = {0; 90; 180; 270; 360; ...}.

Vì 200 < x < 300 nên giá trị thỏa mãn duy nhất là 270.

Vậy xưởng đã sản xuất 270 chiếc bánh trong ca đó.

Đáp án: 1800.

Gọi số học sinh là x (học sinh).

Vì xếp 40, 45, 50 em đều vừa đủ nên x chia hết cho 40, 45 và 50.

Suy ra x là bội chung của 40; 45; 50.

Ta có: 40 = 2$^{3}$ ∙ 5; 45 = 3$^{2}$ ∙ 5; 50 = 2 ∙ 5$^{2}$.

Suy ra BCNN(40, 45, 50) = 2$^{3}$ ∙ 3$^{2}$ ∙ 5$^{2}$ = 1800.

Do đó BC (40, 45, 50) = B(1800) = {0; 1800; 3600; 5400; ...}.

Vì số học sinh là số có 4 chữ số và bắt đầu bằng chữ số 1, nên x = 1 800 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vậy trường đó có 1 800 học sinh đi tham quan.

Đáp án: 185.

Gọi số trứng thu hoạch được là x (quả), x < 200.

Vì xếp vào vỉ 12, 18, 20 đều thừa 5 quả nên (x – 5) sẽ chia hết cho 12, 18 và 20 (điều kiện 5 < x < 200).

Tức là (x – 5) là bội chung của 12, 18, 20.

Ta tìm BCNN(12, 18, 20).

Ta có 12 = 2$^{2}$ ∙ 3; 18 = 2 ∙ 3$^{2}$; 20 = 2$^{2}$ ∙ 5.

Suy ra BCNN(12, 18, 20) = 2$^{2}$ ∙ 3$^{2}$ ∙ 5 = 180.

Do đó BC(12, 18, 20) = B(180) = {0; 180; 360; ...}.

Khi đó (x – 5) ∈ {0; 180; 360; ...}.

Vì x < 200 nên x – 5 < 195.

Từ đó x – 5 = 180, suy ra x = 185.

Vậy bác nông dân đã thu hoạch được 185 quả trứng.

Đáp án: 119.

Gọi số bậc thang là n (bậc), n < 200.

Vì bước 4, 5, 6 bậc đều thiếu 1 bậc, có nghĩa là nếu thêm 1 bậc nữa thì sẽ chia hết cho 4, 5 và 6.

Vậy (n + 1) chia hết cho 4, 5 và 6 nên (n + 1) là bội chung của 4, 5, 6.

Ta có BCNN (4, 5, 6) = 60.

Suy ra BC(4, 5, 6) = B(60) = {0; 60; 120; 180; 240;...}.

Nên n + 1 ∈ {60; 120; 180;...}, suy ra n ∈ {59; 119; 179;...}.

Ta kiểm tra điều kiện bước 7 bậc vừa khít, tức là n chia hết cho 7:

n = 59, 59 không chia hết cho 7.

n = 119, 119 : 7 = 17 (chia hết).

n = 179, 179 không chia hết cho 7.

Vậy số bậc thang là 119 bậc.

Đáp án: 281.

Gọi số quyển vở cần tìm là x (với x ∈ ℕ và 200 ≤ x ≤ 300).

Theo đề bài, khi chia x cho 12 thì thừa 5 quyển, nên nếu ta thêm vào 7 quyển nữa thì số vở mới sẽ chia hết cho 12 (vì 12 – 5 = 7), tức là (x + 7) ⋮ 12.

Tương tự, khi chia cho 18 thừa 11 quyển nên (x + 7) ⋮ 18 (vì 18 – 11 = 7).

Khi chia cho 24 thừa 17 quyển nên (x + 7) ⋮ 24 (vì 24 – 17 = 7).

Do đó, (x + 7) đồng thời chia hết cho các số 12, 18 và 24, suy ra (x + 7) ∈ BC(12, 18, 24).

Phân tích các số chia ra thừa số nguyên tố:

1. = 2$^{2}$ . 3; 18 = 2 . 3$^{2}$; 24 = 2$^{3}$ . 3.

Suy ra BCNN(12, 18, 24) = 2$^{3}$ . 3$^{2}$ = 8 . 9 = 72.

Do đó (x + 7) ∈ B(72) = {0; 72; 144; 216; 288; 360; ...}

Mà 200 ≤ x ≤ 300 nên 207 ≤ x + 7 ≤ 307.

Suy ra x + 7 = 288 nên x = 288 – 7 = 281.

Vậy số lượng quyển vở mà nhà trường có là 281 quyển.