Bài tập Ứng dụng tam thức bậc hai, bất phương trình bậc hai vào các bài toán thực tế lớp 10 (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Cứ thêm 1 người thì giá vé còn (300 000 - 5 000.1) đồng/người cho toàn bộ hành khách.

Cứ thêm x người thì giá vé còn (300 000 - 5 000x) đồng/người cho toàn bộ hành khách.

Vậy doanh thu theo x là (50 + x)(300 000 - 5 000x) đồng.

Công ty không bị lỗ khi và chỉ khi

(50 + x)(300 000 - 5 000x) ≥ 15 080 000

⇔ (50 + x)(60 - x) ≥ 3 016

⇔ -x$^{2}$ + 10x - 16 ≥ 0

⇔ 2 ≤ x ≤ 8

Vậy số người của nhóm khách du lich nhiều nhất là 50 + 8 = 58 người.

Đáp án đúng là: C

Cứ thêm 1 người thì giá vé còn (800 000 - 10 000.1) đồng/người cho toàn bộ hành khách.

Cứ thêm x người thì giá vé còn (800 000 - 10 000x) đồng/người cho toàn bộ hành khách.

Vậy doanh thu theo x là (10 + x)(800 000 - 10 000x) đồng.

Chi phí thực sự sau khi thêm x khách là 700 000(10 + x) đồng.

Công ty không bị lỗ khi và chỉ khi

(10 + x)(800 000 - 10 000x) ≥ 700 000(10 + x)

⇔ (10 + x).10 000(80 - x) ≥ 700 000(10 + x)

⇔ (10 + x)(80 - x) ≥ 70(10 + x)

⇔ -x$^{2}$ + 70x + 800 ≥ 700 + 70x

⇔ -x$^{2}$ + 100 ≥ 0

⇔ -10 ≤ x ≤ 10

Vậy số người của nhóm khách du lich nhiều nhất là 10 + 10 = 20 người thì công ty không bị lỗ.

Đáp án đúng là: B

Lợi nhuận của xí nghiệm thu được sau khi bán hết Q sản phẩm là:

1 200Q - (Q$^{2}$ + 180Q + 140 000) = -Q$^{2}$ + 1 020Q - 140 000

Xí nghiệp không bị lỗ khi và chỉ khi

-Q$^{2}$ + 1 020Q - 140 000 ≥ 0

⇔ 163,45 ≤ Q ≤ 857,55

Do đó 164 ≤ Q ≤ 857 do Q ∈ ℕ

Vậy để không bị lỗ thì xí nghiệp cần sản xuất từ 164 đến 857 sản phẩm.

Đáp án đúng là: D

Phương trình chuyển động của viên đạn là

$$y = -\frac{{9{,}8}}{{2 50{0^2}co{s^2}45^\circ }}{x^2} + xtan45^\circ$$

$$\Leftrightarrow y = -\frac{{9{,}8}}{{250 000}}{x^2} + x$$

Để viên đạn bay qua ngọn núi cao 4 000 mét thì

$$-\frac{{9{,}8}}{{250 000}}{x^2} + x > 4 000$$

$$\Leftrightarrow -\frac{{9{,}8}}{{250 000}}{x^2} + x-4 000 > 0$$

⇔ 4 967,17 < x < 20 543,03

Vậy khẩu pháo phải đặt cách chân núi trong khoảng từ 4 967 m đến 20 543 m thì viên đạn bay qua ngọn núi.

Đáp án đúng là: C

Phương trình của parabol là $h = h(t) = a{t^2} + bt + c\,$(a ≠ 0), trong đó h là độ cao, t là thời gian, a, b, c là các hằng số cần tìm.

Quỹ đạo của quả bóng là một parabol đi qua điểm A(0; 0,2) nên thay t = 0 và h = 0,2 vào hàm số ta được: c = 0,2.

Khi đó: h = h(t) = at$^{2}$ + bt + 0,2.

Lại có quả bóng đạt độ cao 8,5 m sau 1 giây và đạt độ cao 6 m sau 2 giây.

Do đó quỹ đạo của bóng là parabol đi qua các điểm có tọa độ (1; 8,5) và (2; 6)

Ta có hệ: $\left\{ \begin{array}{l}8{,}5 = a + b + 0{,}2\\6 = a.4 + b.2 + 0{,}2\end{array} \right.$

$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}8{,}3 = a + b\\5{,}8 = 4a + 2b\end{array} \right.$$

$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{{-27}}{5}\\b = \frac{{137}}{{10}}\end{array} \right.$$

Vậy hàm số bậc hai biểu thị quỹ đạo chuyển động của quả bóng là:

$$h = h(t) = -\frac{{27}}{5}{t^2} + \frac{{137}}{{10}}t + 0{,}2$$

Bóng chưa chạm đất khi và chỉ khi h > 0

⇔ $-\frac{{27}}{5}{t^2} + \frac{{137}}{{10}}t + 0{,}2 > 0$

⇒ -0,01 < t < 2,55

Vậy trong khoảng thời gian từ 0 đến 2,55 giây thì bóng vẫn chưa chạm đất.

Đáp án đúng là: B

Ta có ${S_{\left( {O;AB} \right)}} = \frac{\pi }{4}A{B^2};$ ${S_{\left( {{O_1};AM} \right)}} = \frac{\pi }{4}{x^2};$ ${S_{\left( {{O_2};MB} \right)}} = \frac{\pi }{4}{\left( {4-x} \right)^2}.$

${S_x} = {S_{\left( {O;AB} \right)}}-{S_{\left( {{O_1};AM} \right)}}-{S_{\left( {{O_2};MB} \right)}}$

$= \frac{\pi }{4}\left[ {A{B^2}-{x^2}-{{\left( {4-x} \right)}^2}} \right]$

= $\frac{\pi }{4}\left( {-2{x^2} + 8x} \right)$

${S_x} \le \frac{1}{2}\left( {{S_{\left( {{O_1};AM} \right)}} + {S_{\left( {{O_2};MB} \right)}}} \right)$

$\Rightarrow \frac{\pi }{4}\left( {-2{x^2} + 8x} \right) \le \frac{1}{2}.\frac{\pi }{4}\left[ {{x^2} + \left( {4-{x^2}} \right)} \right]$

⇒ 3x$^{2}$ - 12x + 8 ≥ 0

$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}0 \le x \le \frac{{6-2\sqrt 3 }}{3}\\\frac{{6 + 2\sqrt 3 }}{3} \le x < 4\end{array} \right.$

Xét các phương án ta thấy chỉ có phương án B thỏa mãn điều kiện trên.

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: B

Giả sử độ dài của một hàng rào vuông góc bờ sông là x (m) và độ dài của hàng rào song song với bờ sông là y (m) (x, y > 0)

Khi đó, tổng số tiền để mua hàng rào là:

3x.40 000 + y.60 000 = 6 000 000 ⇔ y = 100 - 2x.

Diện tích khu đất là S = x.y = x(100 - 2x) = -2(x -25)$^{2}$ + 1 250 ≤ 1 250

Vậy diện tích khu đất lớn nhất là 1250 (m$^{2}$) khi x = 25 (m) và y = 50 (m).

Đáp án đúng là: A

Gọi E, F, G, H là bốn đỉnh của viên gạch hình vuông nội tiếp trong hình vuông ABCD có cạnh 20 cm như hình vẽ:

Ta có cạnh viên gạch là $EF = \sqrt {{x^2} + {{\left( {20-x} \right)}^2}} = \sqrt {2{x^2}-40x + 400}$

Diện tích của viên gạch là: EF$^{2}$ = 2x$^{2}$ - 40x + 400

Theo đề ta có diện tích viên gạch không vượt quá 208 cm$^{2}$

⇔ 2x$^{2}$ - 40x + 400 ≤ 208

⇔ 2x$^{2}$ - 40x + 192 ≤ 0

⇔ 8 ≤ x ≤ 12.

Đáp án đúng là: A

Gọi số tiền cần tăng giá mỗi chiếc khăn là x (nghìn đồng).

Vì cứ tăng giá thêm 1 (nghìn đồng) thì số khăn bán ra giảm 100 chiếc nên tăng x (nghìn đồng) thì số xe khăn bán ra giảm 100x chiếc. Do đó tổng số khăn bán ra mỗi tháng là: 3 000 - 100x chiếc.

Lúc đầu bán với giá 30 (nghìn đồng), mỗi chiếc khăn có lãi 12 (nghìn đồng).

Sau khi tăng giá, mỗi chiếc khăn thu được số lãi là: 12 + x (nghìn đồng).

Do đó tổng số lợi nhuận một tháng thu được sau khi tăng giá là:

f(x) = (3 000 - 100x)(12 + x) (nghìn đồng).

Xét hàm số f(x) = (3 000 - 100x)(12 + x) trên (0; +∞)

Ta có: f(x) = -100x$^{2}$ + 1 800x + 36 000 = -100(x - 9)$^{2}$ + 44 100 ≤ 44 100

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 9

Như vậy, để thu được lợi nhuận cao nhất thì cơ sở sản xuất cần tăng giá bán mỗi chiếc khăn là 9 000 đồng, tức là mỗi chiếc khăn bán với giá mới là 39 000 đồng.

Đáp án đúng là: B

Cân nặng của x con cá là: f(x) = x(480 - 20x) = 480x - 20x$^{2}$, (0 < x < 240)

Xét hàm số f(x) = - 20x$^{2}$ + 480x trên (0; 240)

Có hoành độ đỉnh x = 12 và hệ số a = -20 < 0

Lập bảng biến thiên:

Vậy thu hoạch sản lượng cá nhiều nhất thì phải thả trên một đơn vị diện tích mặt hồ 12 con cá.