Bài tập Ứng dụng hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có đáp án

a) Điều kiện của x, y và z là x, y, z là các số tự nhiên nhỏ hơn 3000.

b) Từ giả thiết của bài toán, ta có:

x + y = 3000 (1)

x : y = 5 : 3 hay 5x = 3y hay 5x – 3y = 0 (2)

(x – z) : y = 1 : 10,5 hay x – z = 10,5y hay x – 10,5y – z = 0 (3)

Vậy ta có hệ phương trình:

c) Giải hệ phương trình thu được ở câu b) ta được x = SAI ĐỀ!

Giả sử x, y, z, t là bốn số nguyên dương thoả mãn cân bằng phản ứng:

xC$_{8}$H$_{18}$ + yO$_{2}$ → zCO$_{2}$ + tH$_{2}$O.

Vì số nguyên tử C, H, O ở hai vế bằng nhau nên ta có hệ: $\{\begin{matrix}8x=z \\ 18x=2t \\ 2y=2z+t\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}8\frac{x}{t}=\frac{z}{t} \\ 9\frac{x}{t}=1 \\ 2\frac{y}{t}=2\frac{z}{t}+1\end{matrix}.$

Đặt X = $\frac{x}{t}$ , Y = $\frac{y}{t}$ , Z = $\frac{z}{t}$ ta được hệ phương trình bậc nhất ba ẩn: $\{\begin{matrix}8X=Z \\ 9X=1 \\ 2Y=2Z+1\end{matrix}$

hay $\{\begin{matrix}8X-Z=0 \\ 9X-1=0 \\ 2Y-2Z-1=0\end{matrix}.$

Giải hệ này ta được X =$\frac{1}{9}$ , Y =$\frac{25}{18}$ , Z =$\frac{8}{9}.$ Từ đây suy ra x = $\frac{1}{9}$ t, y = $\frac{25}{18}$ t, z = $\frac{8}{9}.$ t.

Chọn t = 18 ta được x = 2, y = 25, z = 16. Từ đó ta được phương trình cân bằng:

2C$_{8}$H$_{18}$ + 25O$_{2}$ → 16CO$_{2}$ + 18H$_{2}$O.

a) Mức giá thịt lợn x, thịt bò y và thịt gà z phải thoả mãn các điều kiện:

– Lượng thịt lợn mà người bán chấp thuận bán với giá x bằng lượng thịt lợn mà người mua chấp thuận mua với giá x.

– Lượng thịt bò mà người bán chấp thuận bán với giá y bằng lượng thịt bò mà người mua chấp thuận mua với giá y.

– ượng thịt gà mà người bán chấp thuận bán với giá z bằng lượng thịt gà mà người mua chấp thuận mua với giá z.

b) Hệ phương trình ràng buộc giữa x, y, z để người bán và người mua cùng hài lòng:

$\{\begin{matrix}{Q}_{{S}_{1}}={Q}_{{D}_{1}} \\ {Q}_{{S}_{2}}={Q}_{{D}_{2}} \\ {Q}_{{S}_{3}}={Q}_{{D}_{3}}\end{matrix}.$

Hệ phương trình cân bằng cung – cầu là: $\{\begin{matrix}-300+x=1300-3x+4y-z \\ -450+3y=1150+2x-5y-z \\ -400+2z=900-2x-3y+4z\end{matrix}.$

Thu gọn ta được hệ phương trình: $\{\begin{matrix}4x-4y+z=1600 \\ 2x-8y-z=-1600 \\ 2x+3y-2z=1300\end{matrix}.$

Giải hệ này ta được x = 600, y = 300, z = 400.

Vậy mức giá cua, tôm và cá mà người bán và người mua cùng hài lòng lần lượt là 600 nghìn đồng 1 kg, 300 nghìn đồng 1 kg và 400 nghìn đồng 1 kg.

Hệ phương trình cân bằng cung – cầu là: $\{\begin{matrix}-4+x=70-x-2y-6z \\ -3+y=76-3x-y-4z \\ -6+3z=70-2x-3y-2z\end{matrix}.$

Thu gọn ta được hệ phương trình: $\{\begin{matrix}x+y+3z=37 \\ 3x+2y+4z=79 \\ 2x+3y+5z=76\end{matrix}.$

Giải hệ này ta được x = 15, y = 7, z = 5.

Gọi tuổi hiện nay của em Hà, chị Mai, anh Nam lần lượt là x, y, z.

Theo đề bài ta có:

– Tuổi của anh Nam gấp ba lần tuổi của em Hà, suy ra z = 3x hay 3x – z = 0 (1).

– Cách đây bảy năm tuổi của chị Mai bằng nửa số tuổi của anh Nam, suy ra (y – 7) = $\frac{1}{2}$ (z – 7) hay 2y – z = 7 (2).

– Ba năm nữa tuổi của anh Nam bằng tổng số tuổi của chị Mai và em Hà, suy ra (z + 3) = (x + 3) + (y + 3) hay x + y – z = –3 (3).

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: $\{\begin{matrix}3x-z=0 \\ 2y-z=7 \\ x+y-z=-3\end{matrix}.$

Giải hệ này ta được x = 13, y = 23, z = 39.

Vậy tuổi hiện nay của em Hà, chị Mai, anh Nam lần lượt là 13, 23, 39.

Gọi số tiền bác Việt đầu tư vào chứng khoán, mua vàng, gửi tiết kiệm lần lượt là x, y, z (nghìn đồng).

Theo đề bài ta có:

– Tổng số tiền là 330740 nghìn đồng, suy ra x + y + z = 330740 (1).

– Số tiền kể cả gốc lẫn lãi bác Việt thu được từ ba khoản là x + 4%x, y + 5%y, z + 6%z. Vì bác thu được ba món tiền bằng nhau nên x + 4%x = y + 5%y = z + 6%z

$\Rightarrow$104%x = 105%y = 106%z

$\Rightarrow$104x – 105y = 0 (2) và 105y – 106z = 0 (3).

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: $\{\begin{matrix}x+y+z=330740 \\ 104x-105y=0 \\ 105y-106z=0\end{matrix}.$

Giải hệ này ta được x = 111300, y = 110240, z = 109200.

Vậy số tiền bác Việt đầu tư vào chứng khoán, mua vàng, gửi tiết kiệm lần lượt là 111300 nghìn đồng, 110240 nghìn đồng, 109200 nghìn đồng.

Gọi số vé bán ra loại đi lên, đi xuống và hai chiều lần lượt là x, y, z.

Theo đề bài ta có:

– Nhà ga cáp treo thu được tổng số tiền là 251 triệu đồng, suy ra 250000x + 200000y + 400000z = 251000000 hay 250x + 200y + 400z = 251000 (1).

– Có 680 lượt người đi lên, suy ra x + z = 680 (2).

– Có 520 lượt người đi xuống, suy ra y + z = 520 (3).

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: $\{\begin{matrix}250x+200y+400z=251000 \\ x+z=680 \\ y+z=520\end{matrix}.$

Giải hệ này ta được x = 220, y = 40, z = 460.

Vậy số vé bán ra loại đi lên, đi xuống và hai chiều lần lượt là 220, 60, 460.

Gọi số học sinh ba lớp 10A, 10B, 10C lần lượt là x, y, z.

Theo đề bài ta có:

– Ba lớp có 128 học sinh, suy ra x + y + z = 128 (1).

– Cả ba lớp trồng được tổng cộng 476 cây xoan, suy ra 3x + 2y + 6z = 476 (2).

Cả ba lớp trồng được tổng cộng 375 cây bạch đàn, suy ra 4x + 5y = 375 (3).

Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình: $\{\begin{matrix}x+y+z=128 \\ 3x+2y+6z=476 \\ 4x+5y=375\end{matrix}.$

Giải hệ này ta được x = 40, y = 43, z = 45.

Vậy số học sinh ba lớp 10A, 10B, 10C lần lượt là 40, 43, 45 học sinh.

Giả sử x, y, z, t là bốn số nguyên dương thoả mãn cân bằng phản ứng:

xCH4 + yO2 → zCO2 + tH2O.

Vì số nguyên tử C, H, O ở hai vế bằng nhau nên ta có hệ: $\{\begin{matrix}x=z \\ 4x=2t \\ 2y=2z+t\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}\frac{x}{t}=\frac{z}{t} \\ 2\frac{x}{t}=1 \\ 2\frac{y}{t}=2\frac{z}{t}+1\end{matrix}.$

Đặt X =$\frac{x}{t}$ , Y = $\frac{y}{t}$ , Z =$\frac{z}{t}$ ta được hệ phương trình bậc nhất ba ẩn: $\{\begin{matrix}X=Z \\ 2X=1 \\ 2Y=2Z+1\end{matrix}$

hay $\{\begin{matrix}X-Z=0 \\ 2X-1=0 \\ 2Y-2Z-1=0\end{matrix}.$

Giải hệ này ta được X = $\frac{1}{2}$ , Y = 1, Z =$\frac{1}{2}$ Từ đây suy ra x = $\frac{1}{2}$ t, y = t, z =$\frac{1}{2}$ t.

Chọn t = 2 ta được x = 1, y = 2, z = 1. Từ đó ta được phương trình cân bằng:

CH4 + 2O2 → CO2 + 2H2O.

Từ sơ đồ mạch điện, ta có hệ phương trình: $\{\begin{matrix}{I}_{1}+{I}_{3}=I \\ \begin{matrix}{R}_{1}{I}_{1}+{R}_{2}{I}_{2}=U \\ {R}_{3}{I}_{3}=U\end{matrix}\end{matrix}$

hay $\{\begin{matrix}{I}_{1}+2=3 \\ \begin{matrix}6{I}_{1}+8{I}_{2}=U \\ 2{R}_{3}=U\end{matrix}\end{matrix}$ (*).

Lại có I1 = I2 nên (*) tương đương với $\{\begin{matrix}{I}_{1}+2=3 \\ \begin{matrix}14{I}_{1}=U \\ 2{R}_{3}=U\end{matrix}\end{matrix}$ hay $\{\begin{matrix}{I}_{1}=1 \\ \begin{matrix}14{I}_{1}-U=0 \\ 2{R}_{3}-U=0\end{matrix}\end{matrix}.$

Giải hệ này ta được ${I}_{1}=1A,\ {R}_{2}=7\ Ω$ và U = 14 V.

Giả sử bác An cần trộn 1 kg phân bón với khối lượng ba loại phân bón này lần lượt là x, y, z.

Khi đó, tổng khối lượng phân đạm N trong 1 kg này là: 12%x + 6%y + 30%z;

tổng khối lượng phân lân P trong 1 kg này là: 7%x + 30%y + 16%z;

tổng khối lượng phân kali K trong 1 kg này là: 12%x + 25%y + 11%z.

Vì hỗn hợp phân bón mới có tỉ lệ N : P : K là 15 : 15 : 15 nên ta có:

12%x + 6%y + 30%z = 15% . 1 (kg);

7%x + 30%y + 16%z = 15% . 1 (kg);

12%x + 25%y + 11%z = 15% . 1 (kg)

hay $\{\begin{matrix}12x+6y+30z=15 \\ 7x+30y+16z=15 \\ 12x+25y+11z=15\end{matrix}.$

Giải hệ phương trình này ta được x = 0,5; y = 0,25; z = 0,25.

Vậy tỉ lệ ba loại phân trong đề bài là 0,5 : 0,25 : 0,25 hay 2 : 1 : 1.