Bài tập Ứng dụng định lí Viète trong phân tích đa thức ax^2 + bx + c thành nhân tử lớp 9 (có lời giải)

Đáp án đúng là: D

Nếu x$_{1}$, x$_{2}$ là nghiệm của phương trình ax$^{2}$ + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì ta có thể viết:

ax$^{2}$ + bx + c = a(x – x$_{1}$)(x – x$_{2}$).

Đáp án đúng là: B

Do phương trình x$^{2}$ – 7x + 10 = 0 có hai nghiệm là 2 và 5 nên ta có:

x$^{2}$ – 7x + 10 = (x – 2)(x – 5).

Đáp án đúng là: C

Phương trình 2x$^{2}$ – 5x + 2 = 0 có a = 2, b = –5, c = 2.

Ta có $- \frac{b}{a} = \frac{5}{2} = 2 + \frac{1}{2}$ và $\frac{c}{a} = 1 = 2 \cdot \frac{1}{2}.$

Do đó phương trình trên có hai nghiệm là x$_{1}$ = 2; x$_{2}$ = $\frac{1}{2}.$

Khi đó, ta có:

$$2{x^2}--5x + 2 = 2\left( {x - 2} \right)\left( {x - \frac{1}{2}} \right) = \left( {x - 2} \right)\left( {2x - 1} \right).$$

Đáp án đúng là: D

Xét phương trình x$^{2}$ – 4x – 12 = 0 viết thành –x$^{2}$ + 4x + 12 = 0, phương trình này có a = –1, b = 4, c = 12.

Ta có $- \frac{b}{a} = 4 = - 2 + 6$ và $\frac{c}{a} = - 12 = \left( { - 2} \right) \cdot 6.$

Do đó phương trình trên có hai nghiệm là x$_{1}$ = –2; x$_{2}$ = 6.

Khi đó, ta có:

–x$^{2}$ + 4x + 12 = –(x + 2)(x – 6) = (x + 2)(6 – x).

Đáp án đúng là: B

Phương trình $\sqrt 2 {x^2} - \left( {2\sqrt 2 + 1} \right)x + 2 = 0$ có $a = \sqrt 2 ,\,\,b = - \left( {2\sqrt 2 + 1} \right),\,\,c = 2.$

Ta có $- \frac{b}{a} = \frac{{2\sqrt 2 + 1}}{{\sqrt 2 }} = 2 + \frac{1}{{\sqrt 2 }}$ và $\frac{c}{a} = \sqrt 2 = 2 \cdot \frac{1}{{\sqrt 2 }}.$

Do đó phương trình trên có hai nghiệm là x$_{1}$ = 2; x$_{2}$ = $\frac{1}{{\sqrt 2 }}.$

Khi đó, ta có:

$$\sqrt 2 {x^2} - \left( {2\sqrt 2 + 1} \right)x + 2 = \sqrt 2 \left( {x - 2} \right)\left( {x - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) = \left( {x - 2} \right)\left( {\sqrt 2 x - 1} \right).$$

Đáp án đúng là: A

Phương trình x$^{2}$ – (m + 1)x + 3m = 0 có một nghiệm là x = 2 nên ta có:

2$^{2}$ – (m + 1).2 + 3m = 0 hay 4 – 2m – 2 + 3m = 0, suy ra m = –2.

Thay m = –2 vào phương trình đã cho, ta được:

x$^{2}$ + x – 6 = 0.

Ta có $- \frac{b}{a} = - 1 = - 3 + 2$ và $\frac{c}{a} = - 6 = \left( { - 3} \right) \cdot 2.$

Do đó phương trình trên có hai nghiệm là x$_{1}$ = –3; x$_{2}$ = 2.

Khi đó, ta có:

x$^{2}$ + x – 6 = (x + 3)(x – 2).

Đáp án đúng là: D

Phương trình (m – 2)x$^{2}$ – (2m + 5)x + m + 7 = 0 có a = m – 2, b = –(2m + 5), c = m + 7.

Ta có: a + b + c = m – 2 + [–(2m + 5)] + m + 7 = 0.

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm là x$_{1}$ = 1; x$_{2}$ = $\frac{{m + 7}}{{m - 2}}$ (với m ≠ 2).

Khi đó, ta có:

(m – 2)x$^{2}$ – (2m + 5)x + m + 7

= (m – 2)(x – 1)(x – $\frac{{m + 7}}{{m - 2}}$)

= (x – 1)[(m – 2)x – m – 7].

Đáp án đúng là: B

Với m = –4, đa thức đã cho trở thành 7x – 7, ta có thể phân tích thành đa thức sau: 7(x – 1).

Với m ≠ –4, xét phương trình (m + 4)x$^{2}$ – (2m + 1)x + m – 3 = 0 là phương trình bậc hai một ẩn x có a = m + 4, b = – (2m + 1), c = m – 3.

Ta có: a – b + c = m + 4 + [–(2m + 1)] + m – 3 = 0.

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm là x$_{1}$ = –1; x$_{2}$ = $\frac{{3 - m}}{{m + 4}}$ (với m ≠ –4).

Khi đó, ta có:

(m + 4)x$^{2}$ – (2m + 1)x + m – 3

= (m + 4)(x + 1)(x – $\frac{{3 - m}}{{m + 4}}$)

= (x + 1)[(m + 4)x + m – 3).

Đáp án đúng là: B

Xét phương trình x$^{2}$ – 2mx + m$^{2}$ – 1 = 0 có:

∆' = (–m)$^{2}$ – 1.(m$^{2}$ – 1) = m$^{2}$ – m$^{2}$ + 1 = 1 > 0.

Do đó phương trình x$^{2}$ – 2mx + m$^{2}$ – 1 = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt x$_{1}$, x$_{2}$ với mọi m, nên theo định lí Viète, ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 1\end{array} \right..$

Ta thấy rằng có hai số m – 1 và m + 1 thỏa mãn m – 1 + m + 1 = 2m và (m – 1).(m + 1) = m$^{2}$ – 1.

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm là x$_{1}$ = m – 1, x$_{2}$ = m + 1.

Khi đó, ta có:

x$^{2}$ – 2mx + m$^{2}$ – 1

= [x – (m – 1)].[x – (m + 1)]

= (x – m + 1)(x – m – 1).

Đáp án đúng là: B

Xét phương trình –x$^{2}$ + 3mx – 2m$^{2}$ – 3m + 9 = 0 có:

∆ = (3m)$^{2}$ – 4.(–1).(– 2m$^{2}$ – 3m + 9 ) = 9m$^{2}$ – 8m$^{2}$ – 12m + 36

= m$^{2}$ – 12m + 36 = (m – 6)$^{2}$ ≥ 0 với mọi m.

Do đó phương trình –x$^{2}$ + 3mx – 2m$^{2}$ – 3m + 9 = 0 luôn có hai nghiệm x$_{1}$, x$_{2}$ với mọi m, nên theo định lí Viète, ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 3m\\{x_1}{x_2} = 2{m^2} + 3m - 9 = \left( {2m - 3} \right)\left( {m + 3} \right)\end{array} \right..$

Ta thấy rằng có hai số 2m – 3 và m + 3 thỏa mãn 2m – 3 + m + 3 = 3m và (2m – 3).(m + 3) = 2m$^{2}$ + 3m – 9.

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm là x$_{1}$ = 2m – 3, x$_{2}$ = m + 3.

Khi đó, ta có:

–x$^{2}$ + 3mx – 2m$^{2}$ – 3m + 9

= –[x – (2m – 3)].[x – (m + 3)]

= –(x – 2m + 3)(x – m – 3)

= (2m – 3 – x)(x – m – 3)

= (x – 2m + 3)(m + 3 – x).

Vậy ta chọn phương án B.

Đáp án đúng là: B

Nếu x$_{1}$, x$_{2}$ là các nghiệm của phương trình ax$^{2}$ + bx + c = 0 (a ≠ 0) thì

ax$^{2}$ + bx + c = a(x – x$_{1}$)(x – x$_{2}$).

Đáp án đúng là: A

Vì x$_{1}$, x$_{2}$ là các nghiệm của phương trình x$^{2}$ + ax + b = 0 nên

x$^{2}$ + ax + b = 1.(x – x$_{1}$)(x – x$_{2}$) = (x – x$_{1}$)(x – x$_{2}$).

Đáp án đúng là: C

Vì phương trình 2x$^{2}$ – x – 1 = 0 có hai nghiệm là x$_{1}$ = –0,5 và x$_{2}$ = 1 nên

2x$^{2}$ – x – 1 = 2[x – (–0,5)](x – 1) = 2(x + 0,5)(x – 1).

Đáp án đúng là: D

Vì 0,25x$^{2}$ – x – 1,25 = 0 nên x$^{2}$ – 4x – 5 = 0.

Do đó, phương trình x$^{2}$ – 4x – 5 = 0 có hai nghiệm là x$_{1}$ = –1 và x$_{2}$ = 5.

Suy ra: x$^{2}$ – 4x – 5 = [x – (–1)](x – 5) = (x + 1)(x – 5).

Vậy đa thức x$^{2}$ – 4x – 5 phân tích thành nhân tử được 2 nhân tử là x + 1 và x – 5.

Đáp án đúng là: C

Vì $\frac{1}{2}{{\rm{x}}^2} - \frac{3}{4}{\rm{x}} - \frac{5}{4} = 0$ nên 2x$^{2}$ – 3x – 5 = 0.

Do đó, phương trình 2x$^{2}$ – 3x – 5 = 0 có hai nghiệm là x$_{1}$ = –1 và ${{\rm{x}}_2} = \frac{5}{2}$.

Suy ra $2{{\rm{x}}^2} - 3{\rm{x}} - 5 = 2\left[ {{\rm{x}} - \left( { - 1} \right)} \right]\left( {{\rm{x}} - \frac{5}{2}} \right) = 2\left( {{\rm{x}} + 1} \right)\left( {{\rm{x}} - \frac{5}{2}} \right)$.

Vậy ${\rm{A}} = 2\left( {{\rm{x}} + 1} \right)\left( {{\rm{x}} - \frac{5}{2}} \right)$.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng.

Vì $\Delta$’ = (–4)$^{2}$ – 1.12 = 4 > 0 nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

b) Đúng.

Phương trình (1) có hai nghiệm là ${{\rm{x}}_1} = \frac{{ - \left( { - 4} \right) + \sqrt 4 }}{1} = 6;\;\,{{\rm{x}}_2} = \frac{{ - \left( { - 4} \right) - \sqrt 4 }}{1} = 2$.

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm là x$_{1}$ = 6 và x$_{2}$ = 2.

c) Đúng.

Vì phương trình x$^{2}$ – 8x + 12 = 0 có 2 nghiệm là x$_{1}$ = 6 và x$_{2}$ = 2 nên

x$^{2}$ – 8x + 12 = (x – 6)(x – 2).

Vậy đa thức x$^{2}$ – 8x + 12 phân tích thành nhân tử thành hai nhân tử là x – 6 và x – 2.

d) Đúng.

Vì x$^{2}$ – 8x + 12 = 0 nên 0,5x$^{2}$ – 4x + 6 = 0.

Do đó, phương trình 0,5x$^{2}$ – 4x + 6 = 0 có hai nghiệm là x$_{1}$ = 6 và x$_{2}$ = 2.

Vậy 0,5x$^{2}$ – 4x + 6 = 0,5(x – 6)(x – 2).

Vậy đa thức 0,5x$^{2}$ – 4x + 6 viết được thành 0,5(x – 6)(x – 2).

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Sai.

Ta có: a + b + c = 1 + (–5) + 4 = 0.

Vậy phương trình (1) có tổng các hệ số bằng 0.

b) Đúng.

Vì a + b + c = 0 nên phương trình (1) có hai nghiệm là x$_{1}$ = 1 và ${{\rm{x}}_2} = \frac{4}{1} = 4.$

Vậy hai nghiệm của phương trình (1) là x$_{1}$ = 1 và x$_{2}$ = 4.

c) Sai.

Vì phương trình x$^{2}$ – 5x + 4 = 0 có hai nghiệm là x$_{1}$ = 1 và x$_{2}$ = 4 nên ta có:

x$^{2}$ – 5x + 4 = (x – 1)(x – 4).

Vậy đa thức x$^{2}$ – 5x + 4 phân tích thành nhân tử được 2 nhân tử là x – 1 và x – 4.

d) Sai.

Vì x$^{2}$ – 5x + 4 = 0 nên –x$^{2}$ + 5x – 4 = 0.

Do đó, phương trình –x$^{2}$ + 5x – 4 = 0 có hai nghiệm là x$_{1}$ = 1 và x$_{2}$ = 4.

Suy ra, –x$^{2}$ + 5x – 4 = –(x – 1)(x – 4) = (1 – x)(x – 4).

Vậy đa thức –x$^{2}$ + 5x – 4 viết được thành tích của hai đa thức 1 – x và x – 4.

Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Sai.

Ta có: ${\rm{a}} - {\rm{b}} + {\rm{c}} = - \sqrt 6 + \left( {\sqrt 6 - 1} \right) + 1 = 0$.

Vậy phương trình (1) có a – b + c = 0.

b) Sai.

Vì a – b + c = 0 nên phương trình (1) có hai nghiệm là ${{\rm{x}}_1} = - 1;\;\,{{\rm{x}}_2} = \frac{{ - 1}}{{ - \sqrt 6 }} = \frac{{\sqrt 6 }}{6}$.

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu.

c) Sai.

Vì phương trình $- \sqrt 6 {{\rm{x}}^2} - \left( {\sqrt 6 - 1} \right){\rm{x}} + 1 = 0$ có hai nghiệm là ${{\rm{x}}_1} = - 1;\;\,{{\rm{x}}_2} = \frac{{\sqrt 6 }}{6}$ nên

$- \sqrt 6 {{\rm{x}}^2} - \left( {\sqrt 6 - 1} \right){\rm{x}} + 1 = - \sqrt 6 \left( {{\rm{x}} + 1} \right)\left( {{\rm{x}} - \frac{{\sqrt 6 }}{6}} \right)$.

d) Đúng.

Vì $- \sqrt 6 {{\rm{x}}^2} - \left( {\sqrt 6 - 1} \right){\rm{x}} + 1 = 0$ nên $\sqrt 6 {{\rm{x}}^2} + \left( {\sqrt 6 - 1} \right){\rm{x}} - 1 = 0$.

Do đó, phương trình $\sqrt 6 {{\rm{x}}^2} + \left( {\sqrt 6 - 1} \right){\rm{x}} - 1 = 0$ có hai nghiệm là ${{\rm{x}}_1} = - 1;\;\,{{\rm{x}}_2} = \frac{{\sqrt 6 }}{6}.$

Suy ra: $\sqrt 6 {{\rm{x}}^2} + \left( {\sqrt 6 - 1} \right){\rm{x}} - 1 = \sqrt 6 \left( {{\rm{x}} + 1} \right)\left( {{\rm{x}} - \frac{{\sqrt 6 }}{6}} \right) = \left( {{\rm{x}} + 1} \right)\left( {\sqrt 6 {\rm{x}} - 1} \right).$

Vậy đa thức $\sqrt 6 {{\rm{x}}^2} + \left( {\sqrt 6 - 1} \right){\rm{x}} - 1$ viết được thành tích của hai đa thức x + 1 và $\sqrt 6 {\rm{x}} - 1.$

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng.

(x – 1)$^{2}$ + 2x = 6x – 7

x$^{2}$ – 2x + 1 + 2x = 6x – 7

x$^{2}$– 6x + 8 = 0.

Vậy phương trình (1) đưa được về phương trình x$^{2}$– 6x + 8 = 0.

b) Đúng.

Phương trình x$^{2}$– 6x + 8 = 0 có $\Delta$’ = (–3)$^{2}$ – 1.8 = 1 > 0.

Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

c) Sai.

Phương trình x$^{2}$– 6x + 8 = 0 có hai nghiệm là ${{\rm{x}}_1} = - \left( { - 3} \right) + \sqrt 1 = 4;\;\,{{\rm{x}}_2} = - \left( { - 4} \right) - \sqrt 1 = 2.$

Vậy nghiệm lớn nhất của phương trình (1) là x = 4.

d) Đúng.

Vì x$^{2}$– 6x + 8 = 0 nên –x$^{2}$ + 6x – 8 = 0.

Do đó, phương trình –x$^{2}$ + 6x – 8 = 0 có hai nghiệm là x$_{1}$ = 4; x$_{2}$ = 2.

Do đó, –x$^{2}$ + 6x – 8 = –(x – 4)(x – 2) = (4 – x)(x – 2).

Vậy A = (4 – x)(x – 2).

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng.

Vì x = 2 là nghiệm của phương trình (1) nên 2$^{2}$ – 2(m – 1) + 3m = 0, suy ra m + 6 = 0.

Vậy m = –6.

b) Sai.

Với m = –6 thì phương trình (1) có tổng hai nghiệm bằng –7.

Vậy nghiệm còn lại của phương trình bằng –9.

c) Sai.

Với m = –6 thì phương trình (1) trở thành: x$^{2}$ – (–6 – 1)x + 3(–6) = 0 hay x$^{2}$ + 7x –18 = 0.

Vậy phương trình (1) là: x$^{2}$ + 7x –18 = 0.

d) Đúng.

Vì phương trình x$^{2}$ + 7x – 18 = 0 có hai nghiệm là x$_{1}$ = 2 và x$_{2}$ = –9.

Do đó, A = –(x$^{2}$ + 7x – 18) = –(x + 9)(x – 2).

Vậy A = –(x + 9)(x – 2).

Đáp án: –2

Vì hai số tự nhiên nhỏ nhất là 0 và 1 nên phương trình (1) có hai nghiệm là x$_{1}$ = 0; x$_{2}$ = 1.

Do đó ta có: x$^{2}$ + bx + c = (x – 0)(x – 1).

Suy ra m = 0; n = –1.

Vậy 2n + 5m = –2.

Đáp án: 4

Ta có: 6 = 1.6 = 2.3.

Vì phương trình (1) có hai nghiệm là hai số tự nhiên liên tiếp nên hai nghiệm của phương trình đó là 2 và 3.

Do đó, tổng hai nghiệm của phương trình (1) bằng 5.

Suy ra, phương trình (1) là phương trình x$^{2}$ – 5x + 6 = 0.

Suy ra: A = x$^{2}$ – 5x + 6 = (x – 2)(x – 3) nên m = 3; p = 2.

Vậy 2m – p = 4.

Đáp án: 13

Vì phương trình (1) có tổng hai nghiệm bằng 7 và tích hai nghiệm bằng 6 nên ta có:

x$^{2}$ – 7x + 6 = 0 (2).

Phương trình (2) có 1 – 7 + 6 = 0 nên phương trình (2) có hai nghiệm là x$_{1}$ = 1 và x$_{2}$ = 6.

Do đó, A = (x – 1)(x – 6) nên m = 6, n = 1.

Vậy 2m + n = 13.

Đáp án: 7

Vì x = 1 là nghiệm của phương trình (1) nên 3$^{2}$ – 2.3 + m = 0, suy ra m = –3.

Với m = –3 thì phương trình (1) trở thành x$^{2}$ – 2x – 3 = 0 (2).

Vì 1 – (–2) – 3 = 0 nên phương trình (2) có hai nghiệm x$_{1}$ = 3 và x$_{2}$ = –1.

Vì x$^{2}$ – 2x – 3 = 0 nên –x$^{2}$ + 2x + 3 = 0.

Do đó, phương trình –x$^{2}$ + 2x + 3 = 0 có hai nghiệm x$_{1}$ = 3 và x$_{2}$ = –1.

Suy ra: A = –(x – 3)(x + 1) = (3 – x)(x + 1).

Do đó, a = 1, b = 3. Vậy a + b – m = 7.

Đáp án: 16

Phương trình x$^{2}$ + (2m – 1)x – 2m = 0 có 1 + 2m – 1 – 2m = 0 nên phương trình đó có hai nghiệm là x = 1 và x = –2m.

Do đó x$^{2}$ + (2m – 1)x – 2m = (x – 1)(x + 2m).

Suy ra a = 1 và b = 2.

Vậy 2a + 7b = 16.