Bài tập Ứng dụng để giải các bài toán thực tế lớp 10 (có lời giải)

Đáp án đúng là: C

Để tìm được giá trị của x, ta cần giải phương trình $\sqrt {{{\left( {8-40x} \right)}^2} + {{\left( {7-40x} \right)}^2}} = 5.$ (1).

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

(8 - 40x)$^{2}$ + (7 - 40x)$^{2}$ = 25

⇔ 1 600x$^{2}$ - 640x + 64 + 1 600x$^{2}$ - 560x + 49 = 25

⇔ 3 200x$^{2}$ - 1 200x + 88 = 0

⇔ 400x$^{2}$ - 150x + 11 = 0

⇔ x = 0,1 hoặc x = 0,275.

Thử lại với điều kiện, ta thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn phương trình.

Tuy nhiên, thời gian mà ô tô đi từ vị trí A đến O là $\frac{8}{{40}} = 0{,}2$ (giờ).

Do đó chỉ có x = 0,1 là thỏa mãn bài toán.

Vậy x = 0,1.

Đáp án đúng là: C

Gọi chiều cao của bức tường là x (mét) (x > 0).

Vì chiếc thang cao hơn tường 1 m nên chiều cao của chiếc thang là x + 1 (m).

Quan sát Hình a ta thấy, AC = x, AB = x + 1, tam giác ABC vuông tại C, áp dụng định lý Pythagore ta có: AB$^{2}$ = AC$^{2}$ + BC$^{2}$

Suy ra: BC$^{2}$ = AB$^{2}$ - AC$^{2}$ = (x + 1)$^{2}$ - x$^{2}$ = 2x + 1 (m). $BC = \sqrt {2x + 1} \,$ (m)

Quan sát Hình b, ta thấy chiều cao bức tường không thay đổi nên DG = x (m).

Khi bác Nam dịch chuyển chân thang vào gần tường thêm 0,5 m thì GE = BC - 0,5.

Suy ra $GE = \sqrt {2x + 1} -0{,}5\,$(m)

Lại có tam giác DGE vuông tại G nên ta có: $tan\widehat {DEG} = \frac{{DG}}{{GE}}$

Mà $\widehat {DEG} = 60^\circ ,$ DG = x, $GE = \sqrt {2x + 1} -0{,}5$

Do đó:

$$\frac{x}{{\sqrt {2x + 1} -0{,}5}} = tan60^\circ = \sqrt 3$$

$$\Leftrightarrow \sqrt 3 \left( {\sqrt {2x + 1} -0{,}5} \right) = x$$

$$\Leftrightarrow x = \sqrt {3\left( {2x + 1} \right)} -\frac{{\sqrt 3 }}{2}$$

$$\Leftrightarrow \sqrt {3\left( {2x + 1} \right)} = x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\,\,$$

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

$$3\left( {2x + 1} \right) = {\left( {x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\,} \right)^2}$$

$$\Leftrightarrow {x^2} + \left( {\sqrt 3 - 6} \right)x - \frac{9}{4} = 0$$

$$\Leftrightarrow {x^2} + \left( {\sqrt 3 - 6} \right)x - \frac{9}{4} = 0$$

$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \approx 4{,}7\\x \approx - 0{,}5\end{array} \right.$$

Do x > 0 nên ta chỉ thay x ≈ 4,7 vào phương trình ta thấy thỏa mãn.

Vậy bức tường cao khoảng 4,7 m.

Đáp án đúng là: B

Đổi: 300 m = 0,3 km; 800 m = 0,8 km; 7,2 phút = 0,12 giờ.

Gọi độ dài khoảng cách từ vị trí C đến D là x (km, x > 0).

Khi đó ta có: AC = 0,3 km; CD = x km; BC = 0,8 km; DB = BC - CD = 0,8 - x (km).

Lại có tam giác ACD vuông tại C, áp dụng định lý Pythagore ta có:

AD$^{2}$ = AC$^{2}$ + CD$^{2}$ = (0,3)$^{2}$ + x$^{2}$ = 0,09 + x$^{2}$

Suy ra $AD = \sqrt {0{,}09 + {x^2}}$ (km)

Do đó khoảng cách từ vị trí A đến vị trí D là $AD = \sqrt {0{,}09 + {x^2}}$ (km), mà vận tốc chèo thuyền là 6 km/h và vận tốc dòng nước không đáng kể nên thời gian người đó chèo thuyền từ vị trí A đến vị trí D là ${t_1} = \frac{{\sqrt {0{,}09 + {x^2}} }}{6}$ (giờ).

Quãng đường từ vị trí D đến vị trí B là 0,8 - x (km) và vận tốc chạy bộ là 10 km/h nên thời gian người đó chạy bộ từ vị trí D đến vị trí B là ${t_2} = \frac{{0{,}8 - x}}{{10}}$ (giờ).

Tổng thời gian người đó chèo thuyền là t$_{1}$ + t$_{2}$ = t = 0,12 (giờ).

Khi đó ta có phương trình:

$$\frac{{\sqrt {0{,}09 + {x^2}} }}{6} + \frac{{0{,}8 - x}}{{10}} = 0{,}12$$

$$\Leftrightarrow \frac{{5\sqrt {0{,}09 + {x^2}} }}{{30}} + \frac{{3\left( {0{,}8 - x} \right)}}{{30}} = 0{,}12$$

$$\Leftrightarrow 5\sqrt {0{,}09 + {x^2}} + 2{,}4 - 3x = 3{,}6$$

$\Leftrightarrow 5\sqrt {0{,}09 + {x^2}} = 1{,}2 + 3x\,$ (1)

Bình phương cả hai vế của (1) ta được:

25.(0,09 + x$^{2}$) = (1,2 + 3x)$^{2}$

⇔ 2,25 + 25x$^{2}$ = 1,44 + 7,2x + 9x$^{2}$

⇔ 16x$^{2}$ - 7,2x + 0,81 = 0

⇔ x = 0,225 (thỏa mãn điều kiện x > 0)

Thay x = 0,225 vào (1) ta thấy thỏa mãn.

Vậy khoảng cách từ vị trí C đến D là 0,225 km = 225 m.

Đáp án đúng là: D

Đổi 148 phút = $\frac{{37}}{{15}}$ giờ.

Gọi khoảng cách từ vị trí B đến M là x (km, x > 0).

Khi đó ta có: AB = 4 km, BM = x km, BC = 7 km, MC = BC - BM = 7 - x (km).

Tam giác ABM vuông tại B, áp dụng định lí Pythagore ta có:

AM$^{2}$ = AB$^{2}$ + BM$^{2}$ = 4$^{2}$ + x$^{2}$ = 16 + x$^{2}$

$AM = \sqrt {16 + {x^2}}$ (km).

Do đó khoảng cách từ vị trí A đến M là $AM = \sqrt {16 + {x^2}}$ (km) và vận tốc chèo thuyền là 3 km/h nên thời gian chèo thuyền từ A đến M là ${t_1} = \frac{{\sqrt {16 + {x^2}} }}{3}$ (giờ).

Khoảng cách từ M đến C là 7 - x (km) và người đó đi bộ với vận tốc 5 km/h nên thời gian đi bộ từ M đến C là ${t_2} = \frac{{7-x}}{5}$ (giờ).

Thời gian người đó đi từ A đến C chính bằng tổng thời gian người đó đi từ A đến M và từ M đến C nên ta có t$_{1}$ + t$_{2}$ = t = $\frac{{37}}{{15}}$ (giờ).

Khi đó ta có phương trình:

$$\frac{{\sqrt {16 + {x^2}} }}{3} + \frac{{7-x}}{5} = \frac{{37}}{{15}}$$

$$\Leftrightarrow 5\sqrt {16 + {x^2}} + 3\left( {7-x} \right) = 37$$

$\Leftrightarrow 5\sqrt {16 + {x^2}} = 16 + 3x$ (1)

Bình phương cả hai vế của (1) ta được:

25.(16 + x$^{2}$) = (16 + 3x)$^{2}$

⇔ 400 + 25x$^{2}$ = 256 + 96x + 9x$^{2}$

⇔ 16x$^{2}$ - 96x + 144 = 0

⇔ x = 3 (thỏa mãn điều kiện x > 0)

Thay x = 3 vào phương trình (1) ta thấy thỏa mãn.

Vậy khoảng cách từ vị trí B đến vị trí M là 3 km.

Đáp án đúng là: A

Ta có 135 phút = $\frac{9}{4}$ giờ

Đặt BM = x (km), (0 ≤ x ≤ 7).

Khi đó: $\left\{ \begin{array}{l}AM = \sqrt {{x^2} + 25} \left( {km} \right)\\MC = 7-x \left( {km} \right)\end{array} \right..$

Thời gian chèo đò từ A đến M là: ${t_{AM}} = \frac{{\sqrt {{x^2} + 25} }}{4}$ (h).

Thời gian đi bộ từ M đến C là: ${t_{MC}} = \frac{{7-x}}{6}$ (h).

Thời gian người canh hải đăng đi từ A đến C là:

t$_{AM}$ + t$_{MC}$ = t (h).

Khi đó ta có phương trình:

$$\frac{{\sqrt {{x^2} + 25} }}{4} + \frac{{7-x}}{6} = \frac{9}{4}$$

$$\Leftrightarrow 3\sqrt {{x^2} + 25} + 2\left( {7-x} \right) = 27$$

$\Leftrightarrow 3\sqrt {{x^2} + 25} = 13 + 2x$ (1)

Bình phương hai vế của phương trình, ta được:

9(x$^{2}$ + 25) = (13 + 2x)$^{2}$

⇔ 9x$^{2}$ + 225 = 169 + 52x + 4x$^{2}$

⇔ 5x$^{2}$ - 52x + 56 = 0

$$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{26 - 6\sqrt {11} }}{5} \approx 1{,}22\\x = \frac{{26 + 6\sqrt {11} }}{5} \approx 9{,}18\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.$$

Thay x = 1,22 vào phương trình (1) ta thấy thỏa mãn)

Vậy vị trí của điểm M cách B một khoảng 1,22 km.

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác MOB có:

Áp dụng định lí Côsin, ta có:

MB$^{2}$ = OM$^{2}$ + OB$^{2}$ - 2.OM.OB.$cos\widehat {BOM}$

⇔ MB$^{2}$ = x$^{2}$ + 2$^{2}$ - 2.x.2.cos60°

$\Leftrightarrow MB = \sqrt {{x^2}-2x + 4}$ (km)

Ta lại có: $\widehat {AOM} + \widehat {BOM} = 180^\circ$

Do đó $\widehat {AOM} = 180^\circ -\widehat {BOM} = 180^\circ -60^\circ = 120^\circ$.

Xét tam giác MOA, áp dụng định lí Côsin, ta có:

MA$^{2}$ = OM$^{2}$ + OA$^{2}$ - 2.OM.OA.$cos\widehat {AOM}$

⇔ MA$^{2}$ = x$^{2}$ + 1$^{2}$ - 2.x.1.cos120°

⇔ MA$^{2}$ = x$^{2}$ + 1 + x

$\Leftrightarrow MA = \sqrt {{x^2} + x + 1}$ (km)

Để khoảng cách từ tàu đến B bằng $\frac{4}{5}$ khoảng cách từ tàu đến A thì

$\sqrt {{x^2}-2x + 4} = \frac{4}{5}\sqrt {{x^2} + x + 1}$

Bình phương hai vế của phương trình ta được:

x$^{2}$ - 2x + 4 = $\frac{{16}}{{25}}$(x$^{2}$ + x + 1)

⇔ 25x$^{2}$ - 50x + 100 = 16x$^{2}$ + 16x + 16

⇔ 9x$^{2}$ - 66x + 84 = 0

$\Leftrightarrow x = \frac{{11 \pm \sqrt {37} }}{3}$

Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình đã cho ta thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn.

Vậy với $x = \frac{{11-\sqrt {37} }}{3}$ hoặc $x = \frac{{11 + \sqrt {37} }}{3}$ thì khoảng cách từ tàu đến B bằng $\frac{4}{5}$ khoảng cách từ tàu đến A.

Đáp án đúng là: B

Trạm hải đăng ở vị trí A; bến Bính ở B và thôn Hoành ở C.

Giả sử bác Việt chèo thuyền cập bến ở vị trí M và ta đặt BM = x (km) (x > 0).

Ta có: BC = BM + MC, suy ra MC = BC - BM = 9,25 - x (km) hay quãng đường của anh Nam từ thôn Hoành đến điểm gặp nhau của 2 người là 9,25 - x (km).

Vận tốc của anh Nam là 5 km/h nên thời gian di chuyển của anh Nam đến điểm hẹn gặp nhau là: $\frac{{9{,}25-x}}{5}$ (giờ).

Tam giác ABC vuông tại B, theo định lí Pythagore ta có:

AM$^{2}$ = AB$^{2}$ + BM$^{2}$ = 4$^{2}$ + x$^{2}$ = x$^{2}$ + 16

Suy ra $AM = \sqrt {{x^2} + 16}$ (km) hay quãng đường di chuyển của bác Việt đến điểm hẹn là $\sqrt {{x^2} + 16}$ (km).

Vận tốc của bác Việt là 4 km/h nên thời gian di chuyển của bác Việt tới điểm hẹn gặp nhau là: $\frac{{\sqrt {{x^2} + 16} }}{4}$ (giờ).

Để hai người không phải chờ nhau thì thời gian chèo thuyền bằng thời gian kéo xe nên ta có phương trình:

$\frac{{\sqrt {{x^2} + 16} }}{4} = \frac{{9{,}25-x}}{5}$

$\Leftrightarrow 5\sqrt {{x^2} + 16} = 37-4x$ (1)

Bình phương hai vế phương trình trên ta được:

25(x$^{2}$ + 16) = 1 369 - 296x + 16x$^{2}$

⇔ 9x$^{2}$ + 296x - 969 = 0

⇔ x = 3 hoặc x = $- \frac{{323}}{9}$

Thử lại ta thấy cả hai giá trị x = 3 và x = $- \frac{{323}}{9}$ đều thỏa mãn phương trình (1).

Mà điều kiện của x là x > 0 nên ta chọn x = 3.

Vậy vị trí hai người hẹn gặp nhau cách bến Bính 3 km hay cách thôn Hoành 9,25 - 3 = 6,25 km.

Đáp án đúng là: B

Đổi 300 m = 0,3 km; 1 400 m = 1,4 km.

Đặt CH = x (km) (x > 0). Ta có: $AC = \sqrt {0,{3^2} + {x^2}}$, CB = 1,4 - x.

Vì hai người gặp nhau cùng lúc tại C nên

$\frac{{\sqrt {0,{3^2} + {x^2}} }}{3} = \frac{{1{,}4 - x}}{6}$

$\Leftrightarrow 2\sqrt {0{,}09 + {x^2}} = 1{,}4-x$

Bình phương hai vế phương trình trên ta được:

4(0,09 + x$^{2}$) = (1,4 - x)$^{2}$

⇔ 4x$^{2}$ + 0,36 = 1,96 - 2,8x + x$^{2}$

⇔ 3x$^{2}$ + 2,8x - 1,6 = 0

⇔ x = 0,4 hoặc x = $-\frac{4}{3}$

Vì x > 0 nên x = 0,4 (km) = 400 m.

Vậy khoảng cách CB = 1 400 - 400 = 1 000 (m).

Đáp án đúng là: C

Đặt độ dài một cạnh của hình chữ nhật là x (m) (0 < x < 50).

Vì độ dài đường chéo hình chữ nhật bằng đường kính hình tròn nên độ dài cạnh còn lại của hình chữ nhật đó là $\sqrt {2 500-{x^2}}$ (m).

Khi đó, tổng quãng đường đi xung quanh vườn hoa bằng chu vi hình chữ nhật nên ta có phương trình

$2\left( {\sqrt {2 500-{x^2}} + x} \right) = 140$

$\Leftrightarrow 2\sqrt {2 500-{x^2}} + 2x = 140$

$\Leftrightarrow \sqrt {2 500-{x^2}} = 70-x$ (1)

Bình phương hai vế của phương trình trên ta được:

2 500 - x$^{2}$ = (70 - x)$^{2}$

⇔ 2 500 - x$^{2}$ = 4 900 - 140x + x$^{2}$

⇔ 2x$^{2}$ - 140x + 2 400 = 0

⇔ x$^{2}$ - 70x + 1 200 = 0

⇔ x = 30 hoặc x = 40.

Nếu x = 30 (m) thì độ dài cạnh còn lại là 40 (m) và ngược lại.

Vậy diện tích vườn hoa hình chữ nhật là: 30.40 = 1 200 (m$^{2}$).

Đáp án đúng là: C

Áp dụng định lí côsin cho ∆ABM, ta có:

BM$^{2}$ = AM$^{2}$ + AB$^{2}$ - 2AM.AB.cosA

= x$^{2}$ + 200$^{2}$ - 2x.200.cos120°

= x$^{2}$ + 40 000 + 200x

Do đó $BM = \sqrt {{x^2} + 200x + 40\,\,000}$

Áp dụng định lí côsin cho ∆ABS, ta được:

BS$^{2}$ = AS$^{2}$ + AB$^{2}$ - AS.AB.cosA

= (x + 300)$^{2}$ + 200$^{2}$ - 2.(x + 300).200.cos120°

= x$^{2}$ + 600x + 90 000 + 40 000 + 200x + 60 000

= x$^{2}$ + 800x + 190 000

Do đó $BS = \sqrt {{x^2} + 800x + 190\,\,000}$

Theo bài, quãng đường từ nhà Bình đến siêu thị gấp đôi quãng đường từ nhà Bình đến nhà bác Mai nên ta có:

BS = 2BM.

$\Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 800x + 190\,\,000} = 2\sqrt {{x^2} + 200x + 40\,\,000}$ (1)

Bình phương hai vế của phương trình (1), ta được:

x$^{2}$ + 800x + 190 000 = 4(x$^{2}$ + 200x + 40 000)

⇒ -3x$^{2}$ + 30 000 = 0

⇒ x = 100 (thỏa mãn x > 0) hoặc x = -100 (không thỏa mãn).

Vậy ta chọn phương án C.