Bài tập Tổng và hiệu của hai vectơ có đáp án

Sau khi chịu tác động của lực $\overrightarrow{{F}_{1}}$ , vật dịch chuyển từ vị trí A đến B.

Sau khi chịu tác động của lực $\overrightarrow{{F}_{2}}$ , vật dịch chuyển từ ví trí B đến C.

Do đó sau khi chịu tác động của hai lực $\overrightarrow{{F}_{1}},\ \overrightarrow{{F}_{2}}$ , vật dịch chuyển từ A đến C.

a)

b) Tổng của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ bằng vectơ $\overrightarrow{AC}$

Ta có: M là trung điểm của BC nên $\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{MC}$ .

Khi đó: $\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{PM}$ (1).

Lại có P, M lần lượt là trung điểm của AB và BC nên PM là đường trung bình của tam giác ABC nên PM // = $\frac{1}{2}$ AC.

Mà $AN=\frac{1}{2}AC$ (do N là trung điểm của AC)

Nên PM // = AN.

Khi đó: $\overrightarrow{PM}=\overrightarrow{AN}$ (2).

Từ (1) và (2) suy ra: $\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AN}$ .

a) Ta có ABCD là hình bình hành nên AD // = BC.

Do đó: $\overrightarrow{AD}$ = $\overrightarrow{BC}$.

b) Ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ .

Vậy $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ .

Theo quy tắc hình bình hành, ta có $\overrightarrow{F}=\overrightarrow{{F}_{1}}+\overrightarrow{{F}_{2}}$ .

Trên Hình 48 ta có: hai người đi dọc hai bên bờ sông và cùng kéo một con thuyền với hai lực $\overrightarrow{{F}_{1}}$ và $\overrightarrow{{F}_{2}}$ . Hai lực $\overrightarrow{{F}_{1}}$ và $\overrightarrow{{F}_{2}}$ tạo nên hợp lực $\overrightarrow{F}$ là tổng của hai lực $\overrightarrow{{F}_{1}}$ và $\overrightarrow{{F}_{2}}$ , làm thuyền chuyển động theo hướng của vectơ $\overrightarrow{F}$ .

Do ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ (1).

Khi đó với E là điểm bất kì ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{AD}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})+\overrightarrow{CE}$ (2) (tính chất giao hoán và kết hợp)

Từ (1) và (2) suy ra: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AE}$.

Vậy $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AE}$.

a) Quan sát Hình 54 ta thấy, hai vectơ $\overrightarrow{{P}_{1}}$ và $\overrightarrow{{P}_{2}}$ có cùng hướng và độ dài.

b) Hai vectơ $\overrightarrow{{F}_{1}}$ và $\overrightarrow{{F}_{2}}$ ngược hướng và cùng độ dài.

a)

b) Tổng của hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $(-\overrightarrow{b})$ bằng vectơ $\overrightarrow{MN}$ với N là đỉnh thứ tư của hình bình hành AMCN.

Vì N là trung điểm của BC nên $\overrightarrow{NB}=\overrightarrow{CN}$ .

Nên ta có: $\overrightarrow{CM}-\overrightarrow{NB}=\overrightarrow{CM}-\overrightarrow{CN}=\overrightarrow{CM}+(-\overrightarrow{CN})=\overrightarrow{CM}+\overrightarrow{NC}=\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{NM}$

Do M và N lần lượt là trung điểm của AC và BC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC nên MN = $\frac{1}{2}$ AB = $\frac{1}{2}a$ .

Khi đó: $|\overrightarrow{MN}|=MN=\frac{1}{2}a$

Vậy $|\overrightarrow{CM}-\overrightarrow{NB}|=|MN|=\frac{1}{2}a.$

Đáp án đúng là: C.

Với ba điểm M, N, P bất kì ta có: $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{NP}+\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MP}$

Đáp án đúng là: B.

Với ba điểm D, E, G bất kì ta có: $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{DE}+(-\overrightarrow{DG})=\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{GD}+\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{GE}$

a) Với bốn điểm A, B, C, D bất kì ta có: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB}$

Nên: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DB})+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DB})$$=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}$

Vậy $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}$.

b) Ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DA}$

$=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})+(\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA})$ (tính chất giao hoán và kết hợp)

$=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CA}$

$=\overrightarrow{0}$

Vậy $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{0}$.

+ Do ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ .

Do đó: $|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}|=|\overrightarrow{AC}|$ . Vậy khẳng định a) đúng.

+ Ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}$

Mà $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ (do AD // = BC)

Do đó: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}=-\overrightarrow{CB}$

Vậy khẳng định b) sai.

+ Do O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của AC và BD.

Khi đó ta có: $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{CO};\ \overrightarrow{OD}=\overrightarrow{BO}$

Do đó: $\{\begin{matrix}\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{BC} \\ \overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{BO}=\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{BC}\end{matrix}$

Suy ra: $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=-(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD})$.

Vậy khẳng định c) sai.

Hai vectơ $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OB}$ đối nhau khi chúng cùng độ dài và ngược hướng.

Ta có A, B nằm trên đường tròn tâm O nên OA, OB là bán kính, do đó: OA = OB.

Khi đó: $|\overrightarrow{OA}|=|\overrightarrow{OB}|$ .

Ta cần thêm điều kiện hai vectơ $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OB}$ ngược hướng, tức là chúng cùng phương và ngược chiều, do đó giá của $\overrightarrow{OA}$ chính là đường thẳng OA và giá của vectơ $\overrightarrow{OB}$ chính là đường thẳng OB phải song song hoặc trùng nhau.

OA và OB giao nhau tại O nên không xảy ra trường hợp song song.

Vậy đường thẳng OA trùng với đường thẳng OB, hay O, B, A thẳng hàng, hay AB là đường kính của đường tròn (O).

Vậy điều kiện cần và đủ để hai vectơ $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OB}$ đối nhau là AB là đường kính của đường tròn (O).

Ta có: $\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MB}+(-\overrightarrow{MA})=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{AB}$ (1).

$\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MD}=\overrightarrow{MC}+(-\overrightarrow{MD})=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{DM}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{DC}$ (2).

Do ABCD là hình bình hành nên AB // = DC, do đó:$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ (3).

Từ (1), (2) và (3) suy ra: $\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MD}$ .

a) Tam giác ABD vuông tại A (hình vuông ABCD), áp dụng định lí Pythagore, ta có: BD$^{2}$ = AD$^{2}$ + AB$^{2}$ = a$^{2}$ + a$^{2}$ = 2a$^{2}$

$\Rightarrow BD=a\sqrt{2}$.

Vì ABCD là hình vuông nên DA // = CB, do đó: $\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{CB}$

Khi đó: $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{DB}$ .

Suy ra: $|\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}|=|\overrightarrow{DB}|=DB=a\sqrt{2}$ .

Vậy $|\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}|=a\sqrt{2}$ .

b) Ta có: $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+(-\overrightarrow{AD})=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DB}$

Do đó: $|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}|=|\overrightarrow{DB}|=DB=a\sqrt{2}$ .

Vậy $|\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}|=a\sqrt{2}$ .

c) O là giao điểm hai đường chéo của hình vuông ABCD nên O là trung điểm của AC và BD.

Do đó ta có: $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{CO}$

Khi đó: $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{CO}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{CB}$ .

Suy ra $|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}|=\overrightarrow{|CB|}=CB=a$ .

Vậy $|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}|=a$ .

Vì ba lực $\overrightarrow{{F}_{1}},\ \overrightarrow{{F}_{2}},\ \overrightarrow{{F}_{3}}$ cùng tác động vào vật tại điểm O và vật đứng yên.

Do đó: $\overrightarrow{{F}_{1}}+\overrightarrow{{F}_{2}}+\overrightarrow{{F}_{3}}=\overrightarrow{0}$$\Leftrightarrow \overrightarrow{{F}_{3}}=-(\overrightarrow{{F}_{1}}+\overrightarrow{{F}_{2}})$ (1).

Ta cần tính $\overrightarrow{{F}_{1}}+\overrightarrow{{F}_{2}}$ .

Cường độ của $\overrightarrow{{F}_{1}}$ và $\overrightarrow{{F}_{2}}$ đều là 120 N.$\Rightarrow |\overrightarrow{{F}_{1}}|=|\overrightarrow{{F}_{2}}|=120\ N.$

Dựng hình bình hành OADB có $\overrightarrow{{F}_{1}}=\overrightarrow{OA},\ \overrightarrow{{F}_{2}}=\overrightarrow{OB}$ và $\widehat{AOB}=120^{\circ}$ .

Do đó OA = OB = 120 nên OADB là hình thoi.

Gọi E là giao điểm của hai đường chéo AB và OD thì E là trung điểm của mỗi đường.

Đường chéo OD đồng thời là tia phân giác của góc AOB.

Suy ra:$\widehat{AOD}=\frac{1}{2}\widehat{AOB}=\frac{1}{2}.120^{\circ}=60^{\circ}$ .

Xét tam giác OAD có: OA = AD (tính chất hình thoi OADB)

Suy ra tam giác OAD cân tại A.

Mà $\widehat{AOD}=60^{\circ}$.

Do đó tam giác AOD là tam giác đều.

Suy ra: OD = OA = 120.

Do OADB là hình bình hành nên $\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$ .

$\Rightarrow \overrightarrow{OD}=\overrightarrow{{F}_{1}}+\overrightarrow{{F}_{2}}$(2).

Từ (1) và (2) suy ra: $\overrightarrow{{F}_{3}}=-(\overrightarrow{{F}_{1}}+\overrightarrow{{F}_{2}})=-\overrightarrow{OD}$

Vậy lực $\overrightarrow{{F}_{3}}$ có hướng ngược với hướng của $\overrightarrow{OD}$ và có cường độ: $|\overrightarrow{{F}_{3}}|=|\overrightarrow{OD}|=120\ N.$

Ca nô chuyển từ đông sang tây, giả sử ca nô đi theo hướng A sang C, khi đó vận tốc so với mặt nước của ca nô được biểu thị bởi $\overrightarrow{{v}_{1}}=\overrightarrow{AC}$ và có độ lớn $|\overrightarrow{{v}_{1}}|=40\ km/h$ , vận tốc dòng chảy được biểu thị bởi $\overrightarrow{{v}_{2}}=\overrightarrow{AB}$ và có độ lớn $|\overrightarrow{{v}_{2}}|=10\ km/h$ .

Khi đó vận tốc của ca nô so với bờ sông được biểu thị bởi $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{{v}_{1}}+\overrightarrow{{v}_{2}}$ .

Ta cần tính độ lớn của vectơ $\overrightarrow{v}$ , hay chính là $|\overrightarrow{{v}_{1}}+\overrightarrow{{v}_{2}}|$ .

Dựng hình bình hành ACDB như hình vẽ.

Do hướng nam bắc vuông góc với hướng đông tây nên AB và AC vuông góc với nhau.

Suy ra ACDB là hình chữ nhật.

Nên AB = CD = 10, AC = BD = 40.

Sử dụng định lí Pythagore trong tam giác vuông ACD, ta có:

AD$^{2}$ = AC$^{2}$ + CD$^{2}$ = 40$^{2}$+ 10$^{2}$ = 1700

$\Rightarrow AD=\sqrt{1700}=10\sqrt{17}$.

Lại có do ACDB là hình bình hành nên: $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{{v}_{1}}+\overrightarrow{{v}_{2}}$ .

Do đó: $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AD}$$\Rightarrow |\overrightarrow{v}|=|\overrightarrow{AD}|=AD=10\sqrt{17}$ .

Vậy vận tốc của ca nô so với bờ sông là $10\sqrt{17}$ km/h.