Bài tập Tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Ta có: ${\rm{S}} = 3 + {\left( { - 3} \right)^2} + {3^3} + {\left( { - 3} \right)^4} + \ldots + {\left( { - 3} \right)^{20}}$

$$\Leftrightarrow {\rm{S}} = 3 + {3^2} + {3^3} + {3^4} + \ldots + {3^{20}}$$

Nhận xét: Dãy số 3; 3$^{2}$; 3$^{3}$; 3$^{4}$; ... ; 3$^{20}$ là cấp số nhân với số hạng đầu là u$_{1}$ = 3 và công bội q = 3.

Do đó, tổng 20 số hạng của dãy số là: $S = \frac{{3 \cdot \left( {1 - {3^{20}}} \right)}}{{1 - 3}} = \frac{{3\left( {{3^{20}} - 1} \right)}}{2}$.

Đáp án đúng là: B

Ta có dãy số (–1); (–1)$^{2}$; (–1)$^{3}$; …; (–1)$^{41}$ là cấp số nhân gồm 41 số hạng với số hạng đầu là u$_{1}$ = −1 và công bội q = −1.

Do đó $S = \frac{{( - 1) \cdot \left[ {1 - {{( - 1)}^{41}}} \right]}}{{1 - ( - 1)}} = \frac{{( - 1) \cdot \left[ {1 + 1} \right]}}{{1 + 1}} = - 1$.

Đáp án đúng là: D

Số nguyên tố bé nhất là 2 nên q = 2.

Ta có: ${S_k} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^k}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{3 \cdot \left( {1 - {2^k}} \right)}}{{1 - 2}} = 3\left( {{2^k} - 1} \right)$

Theo giả thiết, ta có: $3\left( {{2^{\rm{k}}} - 1} \right) = 189$

$\Leftrightarrow {2^{\rm{k}}} - 1 = 63 \Leftrightarrow {2^{\rm{k}}} = 64 \Leftrightarrow {\rm{k}} = 6$.

Đáp án đúng là: B

Ta có dãy số $\frac{1}{4}\,;\,\,\frac{1}{{{4^2}}}\,;\,\,\frac{1}{{{4^3}}}\,;\,\, \ldots \,;\,\,\frac{1}{{{4^n}}}$ theo thứ tự lập thành cấp số nhân với n số hạng, với ${u_1} = \frac{1}{4}\,;\,\,q = \frac{1}{4}$.

Tổng n số hạng đầu tiên của dãy là:

${S_n} = \frac{1}{4} \cdot \frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^n}}}{{1 - \frac{1}{4}}} = \frac{1}{3} \cdot \left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^n}} \right]$.

Đáp án đúng là: B

Nhận xét: $9\left( {5 + 55 + 555 + \ldots + 555 \ldots 5} \right)$

$$= 5.\left( {9 + 99 + 999 + 9999 \ldots 9} \right)$$

Do đó: ${{\rm{S}}_{\rm{n}}} = 5 + 55 + 555 + . + 555 \ldots 5$

$$= \frac{5}{9}\left( {9 + 99 + 999 + \ldots + 999 \ldots 9} \right)$$

$$= \frac{5}{9} \cdot \left[ {(10 - 1) + (100 - 1) + (1000 - 1) + .. + \left( {{{10}^n} - 1} \right)} \right]$$

$$= \frac{5}{9}\left[ {\left( {10 + {{10}^2} + {{10}^3} + .. + {{10}^n}} \right) - n} \right]$$

$= \frac{5}{9} \cdot \left[ {10 \cdot \frac{{1 - {{10}^n}}}{{1 - 10}} - n} \right] = \frac{{50}}{{81}}\left( {{{10}^n} - 1} \right) - \frac{{5n}}{9}$.

Ta có 10 + 10$^{2}$ + 10$^{3}$ + ..+ 10$^{n}$ là tổng của cấp số nhân với số hạng đầu u$_{1}$ =10 và công bội q = 10.

Do đó $10 + {10^2} + {10^3} + .. + {10^{\rm{n}}} = \frac{{10 \cdot \left( {1 - {{10}^n}} \right)}}{{1 - 10}}$.

Đáp án đúng là: A

Theo đề bài ta có: $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{S_n} = 728}\\{{u_n} = 486}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{\frac{{{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right)}}{{1 - q}} = 728}\\{{u_1} \cdot {q^{n - 1}} = 486}\end{array}} \right.} \right.$

$$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{u_1} - {u_1}{q^n} = 728\left( {1 - q} \right)}\\{{u_1} \cdot {q^n} = 486q}\end{array}} \right.$$

Thay q= 3 vào (*) ta được :

$$\Rightarrow {{\rm{u}}_1} - 486{\rm{q}} = 728\left( {1 - q} \right)$$

${{\rm{u}}_1} - 486.3 = 728.(1 - 3)$$\Leftrightarrow {{\rm{u}}_1} = 2$

Đáp án đúng là: A

Ta có: $B = 7 + 77 + 777 + \cdots + \underbrace {{\rm{77}}...{\rm{7 }}}_{n\,{\rm{ số \, 7}}}$

$$\Leftrightarrow B = 7\left( {1 + 11 + 111 + \cdots + \underbrace {{\rm{11}}...{\rm{1 }}}_{n\,{\rm{ số }}\,1}} \right)$$

$$\Leftrightarrow \frac{B}{7} = 1 + 11 + 111 + \cdots + \underbrace {{\rm{11}}...{\rm{1 }}}_{n\,{\rm{ số\, }}1}$$

$$\Leftrightarrow \frac{{9B}}{7} = 9 + 99 + 999 + \cdots + \underbrace {{\rm{99}}...{\rm{9 }}}_{n\,{\rm{ số\, 9}}}$$

$$\Leftrightarrow \frac{{9B}}{7} = (10 - 1) + \left( {{{10}^2} - 1} \right) + \left( {{{10}^3} - 1} \right) + \cdots + \left( {{{10}^n} - 1} \right)$$

$$\Leftrightarrow \frac{{9B}}{7} = \left( {10 + {{10}^2} + {{10}^3} + \cdots + {{10}^n}} \right) - (1 + 1 + \underbrace {......}_{n{\rm{ \,số\, }}1} + 1)$$

$$\Leftrightarrow \frac{{9B}}{7} = \frac{{10\left( {1 - {{10}^n}} \right)}}{{1 - 10}} - n$$

$$\Leftrightarrow \frac{{9B}}{7} = \frac{{{{10}^{n + 1}} - 9n - 10}}{9}$$

$\Leftrightarrow B = \frac{{7\left( {{{10}^{n + 1}} - 9n - 10} \right)}}{{81}}$.

Vậy $B = 7 + 77 + 777 + \cdots + \underbrace {{\rm{77}}...{\rm{7 }}}_{n{\rm{ \,số\, 7}}} = \frac{{7\left( {{{10}^{n + 1}} - 9n - 10} \right)}}{{81}}$.

Đáp án đúng là: B

Đặt ${v_{{\rm{n}} + 1}} = \frac{{{u_{{\rm{n}} + 1}}}}{{{\rm{n}} + 1}} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{v_{{\rm{n}} + 1}} = \frac{1}{3}\;{v_{\rm{n}}}}\\{{v_1} = \frac{1}{3}}\end{array}} \right.$

Suy ra ${\rm{S}} = \sum\limits_1^{10} {\;{v_{\rm{n}}}}$ trong đó là cấp số nhân với công sai ${\rm{q}} = \frac{1}{3}$.

Do đó ${\rm{S}} = \frac{1}{3} \cdot \frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{10}}}}{{1 - \frac{1}{3}}} = \frac{{29\,\,524}}{{59\,\,049}}$.

Đáp án đúng là: D

Tổng của n số hạng đầu tiên của dãy là:

$${S_n} = \frac{{4 \cdot \left( {{2^n} - 1} \right)}}{{2 - 1}} = 2044$$

$$\Leftrightarrow {2^{\rm{n}}} - 1 = 511 \Leftrightarrow {2^{\rm{n}}} = 512 \Leftrightarrow {\rm{n}} = 9.$$

Khi đó: ${S_{18}} = \frac{{4 \cdot \left( {{2^{18}} - 1} \right)}}{{2 - 1}} = 4 \cdot \left( {{2^{18}} - 1} \right)$.

Đáp án đúng là: C

Gọi q là công bội của cấp số nhân.

Theo giả thiết ta có:

$$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{u_4} = \frac{1}{{27}}}\\{{u_3} = 243{u_8}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{u_1} \cdot {q^3} = \frac{1}{{27}}}\\{{u_1} \cdot {q^2} = 243{u_1} \cdot {q^7}}\end{array}} \right.} \right.$$

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{u_1} \cdot {q^3} = \frac{1}{{27}}}\\{{q^2} = 243{q^7}}\end{array}} \right.$ (vì ${u_1} \ne 0$)

$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{u_1} \cdot {q^3} = \frac{1}{{27}}}\\{1 = 243{q^5}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{u_1} = 1}\\{q = \frac{1}{3}}\end{array}} \right.} \right.$.

Tổng 20 số hạng đầu của cấp số nhân là:

${S_{20}} = {u_1} \cdot \frac{{1 - {q^{20}}}}{{1 - q}} = 1 \cdot \frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{20}}}}{{1 - \frac{1}{3}}} = \frac{3}{2} \cdot \left[ {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^{20}}} \right]$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: S$_{10}$ = ${u_1} \cdot \frac{{1 - {q^{10}}}}{{1 - q}} = - 3 \cdot \frac{{1 - {{\left( { - 2} \right)}^{10}}}}{{1 - \left( { - 2} \right)}} = 1023$.

Đáp án đúng là: A

Gọi công bội của cấp số nhân bằng q.

Suy ra u$_{4}$ = u$_{2}$q$^{2}$ ⇔ q = ±2.

Do cấp số nhân có các số hạng không âm nên q = 2.

Ta có: ${S_{12}} = {u_1} \cdot \frac{{1 - {q^{12}}}}{{1 - q}} = 3 \cdot \frac{{1 - {2^{12}}}}{{1 - 2}} = 3\left( {{2^{12}} - 1} \right)$.

Đáp án đúng là: A

${S_{2019}} = \underbrace {\left[ {\frac{1}{2} + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + .... + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{2019}}} \right]}_A + \underbrace {\left( {1 + 1 + ... + 1} \right)}_{2019\,\,s\^o }$

Xét dãy số (v$_{n}$) với v$_{n}$ = ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^n}$.

Ta có: $\frac{{{v_{n + 1}}}}{{{v_n}}} = \frac{{{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{n + 1}}}}{{{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}}} = \frac{1}{2}$ nên (v$_{n}$) là một cấp số nhân với v$_{1}$ = $\frac{1}{2}$ và công bội q = $\frac{1}{2}$.

Áp dụng công thức tổng quát: ${S_n} = {v_1}\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}$

Khi đó $A = \frac{1}{2} \cdot \frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{2019}}}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 1 - \frac{1}{{{2^{2019}}}}$

${S_{2019}} = A + 2019 = \left( {1 - \frac{1}{{{2^{2019}}}}} \right) + 2019 = 2020 - \frac{1}{{{2^{2019}}}}$.

Đáp án đúng là: C

Từ giả thiết suy ra 3S = 3 + 2.3$^{2}$ + 3.3$^{3}$ + .... + 11.3$^{11}$.

Do đó: -2S = S - 3S = 1 + 3 + 3$^{2}$ + ... + 3$^{10}$ - 11.3$^{11}$

= $\frac{{1 - {3^{11}}}}{{1 - 3}} - 11 \cdot {3^{11}} = - \frac{1}{2} - \frac{{21 \cdot {3^{11}}}}{2} \Rightarrow S = \frac{1}{4} + \frac{{21}}{4} \cdot {3^{11}}$

Do đó, $a=\frac{1}{4};b=11\overset{}{\rightarrow }P=\frac{1}{4}+\frac{11}{4}=3$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: u$_{3}$ = S$_{3}$ - S$_{2}$ = 9 => u$_{1}$q$^{2}$ = 9 => u$_{1}$ = $\frac{9}{{{q^2}}}$.

Vì S$_{2}$ = 4 nên u$_{1}$ + u$_{1}$q = 4. Do đó $\frac{9}{{{q^2}}} + \frac{9}{q} = 4 \Leftrightarrow 4{q^2} - 9q - 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}q = 3\\q = - \frac{3}{4}\end{array} \right.$

Với $q = 3$ thì u$_{1}$ = 1, u$_{6}$ = u$_{1}$q$^{5}$ = 243. Suy ra ${S_5} = \frac{{{u_1} - {u_6}}}{{1 - q}} = \frac{{1 - 243}}{{1 - 3}} = 121$.

Với q = $- \frac{3}{4}$ thì u$_{1}$ = 16, u$_{6}$ = $- \frac{{243}}{{64}}$. Suy ra ${S_5} = \frac{{{u_1} - {u_6}}}{{1 - q}} = \frac{{181}}{{16}}$.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Gọi q là công bội của cấp số nhân đã cho.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_5} = 51\\{u_2} + {u_6} = 102\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_1}{q^4} = 51\\{u_1}q + {u_1}{q^5} = 102\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}\left( {1 + {q^4}} \right) = 51\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\{u_1}q\left( {1 + {q^4}} \right) = 102\,\,(2)\end{array} \right.$.

Nếu u$_{1}$ = 0 hay q = 0 thì (1) và (2) đều không thỏa mãn. Do đó, ta có: u$_{1}$q 0.

Chia (2) cho (1) ta được q = 2.

Thay q = 2 vào (1) suy ra ${u_1} = \frac{{51}}{{1 + {2^4}}} = 3$.

b) Sai. Công thức tổng quát của cấp số nhân là: u$_{n}$ = 3.2$^{n}$$^{-}$$^{1}$=> u$_{4}$ = 3.2$^{3}$ = 24

c) Sai. Xét u$_{n}$ = 12288 ⇔ 3.2$^{n}$$^{-}$$^{1}$ = 12288 ⇔ 2$^{n}$$^{-}$$^{1}$= 2$^{12}$ ⇔ n = 13.

Vậy 12288 là số hạng thứ 13 của cấp số nhân.

d) Đúng. Ta có: ${S_8} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^8}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{3 \cdot \left( {1 - {2^8}} \right)}}{{1 - 2}} = 765$.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Gọi q là công bội của cấp số nhân (u$_{n}$).

Theo giả thiết, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{u_1}{q^3} = \frac{2}{{27}}\\{u_1}{q^2} = 243 \cdot {u_1}{q^7}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}{q^3} = \frac{2}{{27}}\\{q^5} = \frac{1}{{243}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}q = \frac{1}{3}\\{u_1} = 2\end{array} \right.$.

Năm số hạng đầu của (u$_{n}$) là: ${u_1} = 2;\,\,{u_2} = \frac{2}{3};\,\,{u_3} = \frac{2}{9};\,\,{u_4} = \frac{2}{{27}};\,\,{u_5} = \frac{2}{{81}}$.

b) Đúng. Ta có: u$_{5}$ - u$_{3}$ = $\frac{2}{{81}} - \frac{2}{9} = - \frac{{16}}{{81}}$.

c) Sai. Số hạng tổng quát của cấp số nhân là u$_{n}$ = u$_{1}$q$^{n}$$^{-}$$^{1}$ = $\frac{2}{{{3^{n - 1}}}}$.

Xét u$_{n}$ = $\frac{2}{{6561}} \Rightarrow \frac{2}{{{3^{n - 1}}}} = \frac{2}{{6561}} \Rightarrow {3^{n - 1}} = 6561 = {3^8} \Rightarrow n = 9$.

Vậy số $\frac{2}{{6561}}$ là số hạng thứ 9 của cấp số nhân (u$_{n}$).

d) Sai. Ta có: ${S_9} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^9}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{2 \cdot \left( {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^9}} \right)}}{{1 - \frac{1}{3}}} \approx 2{,}9985 < 3$.

Tổng 9 số hạng đầu của cấp số nhân là số nhỏ hơn 3.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Gọi q là công bội và S$_{21}$ là tổng của 21 số hạng đầu của cấp số nhân (u$_{n}$).

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{u_4} + {u_6} = - 540\\{u_3} + {u_5} = 180\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {{u_3} + {u_5}} \right)q = - 540\\{u_3} + {u_5} = 180\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}180q = - 540\\{u_3} + {u_5} = 180\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}q = - 3\\{u_1}{\left( { - 3} \right)^2} + {u_1}{\left( { - 3} \right)^4} = 180\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}q = - 3\\{u_1}\left( {9 + 81} \right) = 180\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}q = - 3\\{u_1} = 2\end{array} \right.$.

b) Sai. -3; 1; 3 không thể tạo thành một cấp số cộng.

c) Sai. Ta có -486 = 2.(-3)$^{5}$ nên số -486 là số hạng thứ 6.

d) Đúng. Ta có: ${S_{21}} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^{21}}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{2\left[ {1 - {{\left( { - 3} \right)}^{21}}} \right]}}{{1 - \left( { - 3} \right)}} = \frac{{1 + {3^{21}}}}{2}$

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Vì dãy số (u$_{n}$) là một cấp số nhân nên u$_{3}$ = u$_{1}$q$^{2}$ => 3.q$^{2}$ = 12 => q = -2 (vì q < 0).

b) Sai. Ta có: u$_{25}$ = u$_{1}$q$^{24}$ = 3.(-2)$^{24}$ = 3.2$^{24}$.

c) Sai. ${S_{101}} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^{101}}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{3 \cdot \left[ {1 - {{\left( { - 2} \right)}^{101}}} \right]}}{{1 - \left( { - 2} \right)}} = 1 + {2^{101}}$

d) Đúng. Ta có: $\sqrt {{u_{54}} \cdot {u_{56}}} = \sqrt {\frac{{{u_{55}}}}{q} \cdot {u^{55}} \cdot q} = \sqrt {{{\left( {{u_{55}}} \right)}^2}} = \left| {{u_{55}}} \right| = {u_{55}}$ $\left( {{u_{55}} = {u_1} \cdot {q^{54}} > 0} \right)$

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai. Cho dãy số (u$_{n}$), biết $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\{u_{n + 1}} = 4{u_n} - 1\end{array} \right.$ (với $n \in {\mathbb{N}^*}$). Số hạng thứ năm của dãy số là 683.

Ta có: u$_{2}$ = 4u$_{1}$ - 1 = 4.3 - 1 = 12 - 1 = 11

u$_{3}$ = 4u$_{2}$ - 1 = 4.11 - 1 = 43.

u$_{4}$ = 4u$_{3}$ - 1 = 4.43 - 1 = 171.

u$_{5}$= 4u$_{4}$ - 1 = 4.171 - 1 = 683.

Vậy số hạng thứ năm của dãy là 683.

b) Đúng. Ta có: u$_{n+1}$ = 4u$_{n}$ - 1 ⇔ ${u_{n + 1}} - \frac{1}{3} = 4\left( {{u_n} - \frac{1}{3}} \right)$.

Đặt ${v_n} = {u_n} - \frac{1}{3}$. Ta có: v$_{n + 1}$ = 4v$_{n}$. Suy ra (v$_{n}$) là cấp số nhân

c) Đúng. Ta có: v$_{n + 1}$ = 4v$_{n}$. Suy ra (v$_{n}$) là cấp số nhân với $\left\{ \begin{array}{l}q = 4\\{v_1} = {u_1} - \frac{1}{3} = \frac{8}{3}\end{array} \right.$

Suy ra ${v_n} = {v_1}{q^{n - 1}} = \frac{8}{3} \cdot {4^{n - 1}} \Rightarrow {u_n} = \frac{8}{3} \cdot {4^{n - 1}} + \frac{1}{3}$

d) Đúng. ${S_8} = {v_1} \cdot \frac{{1 - {q^8}}}{{1 - q}} = \frac{8}{3} \cdot \frac{{1 - {4^8}}}{{1 - 4}} \approx 58253$.

Đáp án: 4094.

Tỉ số $\frac{{{u_4}}}{{{u_1}}} = \frac{{{u_1} \cdot {q^3}}}{{{u_1}}} = \frac{{16}}{2} \Rightarrow {q^3} = 8 \Rightarrow q = 2$.

Ta có: 2048 = 2.2$^{n}$$^{-}$$^{1}$ => 2$^{n}$ = 2048 = 2$^{11}$ => n = 11.

Áp dụng công thức tính tổng n số hạng:

${S_n} = {u_1} \cdot \frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}} \Rightarrow {S_{11}} = 2 \cdot \frac{{1 - {2^{11}}}}{{1 - 2}} = 2 \cdot 2047 = 4094$.

Đáp án: 21.

Theo bài ra ta có: ${u_1} = \frac{1}{2},\,\,{u_4} = 32$ và ${u_n} = 131072$

${u_4} = {u_1}{q^3} \Rightarrow 32 = \frac{1}{2} \cdot {q^3} \Rightarrow q = 4$

${u_n} = 131072 \Rightarrow {u_1}{q^{n - 1}} = 131072 \Rightarrow {4^{n - 1}} = {4^9} \Rightarrow n = 10$

Khi đó tổng của cấp số nhân có 10 số hạng là:

${S_{10}} = \frac{{{u_1}\left( {1 - {q^{10}}} \right)}}{{1 - q}} = \frac{{\frac{1}{2}\left( {1 - {4^{10}}} \right)}}{{1 - 4}} = \frac{{\frac{1}{2}\left( {{2^{20}} - 1} \right)}}{3} = \frac{{{2^{20}} - 1}}{6}$.

Suy ra b = 20; c = 1. Do đó b + c = 21.

Đáp án: 1023.

Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}{u_5} - {u_4} = 576\\{u_2} - {u_1} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{q^4}{u_1} - {q^3}{u_1} = 576\\q{u_1} - {u_1} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{q^3}{u_1}\left( {q - 1} \right) = 576\\{u_1}\left( {q - 1} \right) = 9\end{array} \right. \Rightarrow {q^3} = \frac{{576}}{9} \Leftrightarrow q = 4$

Cấp số nhân với các số hạng dương => q > 0. Do đó q = 4 thỏa mãn.

Khi đó u$_{1}$ = 3.

Ta có: ${S_5} = \frac{{{u_1}\left( {{q^5} - 1} \right)}}{{q - 1}} = 1023$.

Đáp án: 2.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}q = 3\\{S_n} = 728\\{u_n} = 486\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}q = 3\\{u_1} \cdot \frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}} = 728\\{u_1} \cdot {q^{n - 1}} = 486\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}q = 3\\{u_1}\left( {1 - {q^n}} \right) = 728\left( {1 - q} \right)\\{u_1} \cdot {q^n} = 486q\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}q = 3\\{u_1} - {u_1}{q^n} = 728\left( {1 - q} \right)\\{u_1} \cdot {q^n} = 486q\end{array} \right. \Rightarrow {u_1} - 486q = 728\left( {1 - q} \right)$

Do đó u$_{1}$ - 486.3 = 728(1 - 3) => u$_{1}$ = 2.

Đáp án: 6.

Áp dụng công thức cấp số nhân, ta có:

${S_n} = {u_1} \cdot \frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}} = 3 \cdot \frac{{1 - {4^n}}}{{1 - 4}} = 4095 \Leftrightarrow 1 - {4^n} = - 4095$ $\Leftrightarrow {4^n} = 4096 = {4^6} \Leftrightarrow n = 6$