Bài tập Tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số cộng lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Cấp số cộng có công thức tổng quát cho số hạng thứ n là: u$_{n}$ = – 4 + (– 4).(n – 1) .

Áp dụng công thức ${S}_{n}=\frac{n[2{u}_{1}+(n-1)d]}{2}$ nên

Tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số cộng:

${S}_{10}=\frac{10\cdot [2\cdot (-\ 4)+(10-1)\cdot (-\ 4)]}{2}=-220$.

Đáp án đúng là: B

Từ giả thiết bài toán, ta có:

$\{\begin{matrix}{u}_{1}+4d+3({u}_{1}+2d)-({u}_{1}+d)=-21 \\ 3({u}_{1}+6d)-2({u}_{1}+3d)=-34\end{matrix}$

$\Leftrightarrow \{\begin{matrix}3{u}_{1}+9d=-21 \\ {u}_{1}+12d=-34\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}{u}_{1}=2 \\ d=-3\end{matrix}.$

Tổng của 20 số hạng đầu: ${S}_{20}=\frac{20(2{u}_{1}+19d)}{2}=-530.$

Đáp án đúng là: B

Theo giả thiết thì u$_{2}$ + u$_{22}$ = 20

$\Leftrightarrow$ u$_{1}$ + d + u$_{1}$ + 21d = 20

$\Leftrightarrow$ 2u$_{1}$ + 22d = 20.

Vậy ${S_{23}} = \frac{{23\left( {2{u_1} + 22d} \right)}}{2} = \frac{{23.20}}{2} = 230.$

Đáp án đúng là: A

Ta có: ${S_8} = 72 = \frac{{8\left( {{u_1} + {u_8}} \right)}}{2} \Rightarrow {{\rm{u}}_1} + {{\rm{u}}_8} = 18$ (1)

Lại có: u$_{8}$ = u$_{1}$ + 7d $\Leftrightarrow$ u$_{8}$ – u$_{1}$ = 7d = –14 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

$\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{u_1} + {u_8} = 18}\\{{u_8} - {u_1} = - 14}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 16\\{u_8} = 2\end{array} \right.$.

Ta có dãy số 2; 4; 6;… ; 2n − 2; 2n là cấp số cộng với công sai d = 2 và u$_{1}$ = 2.

Số hạng tổng quát: u$_{n}$= 2 + 2(n – 1) = 2n. Dãy số này có n số hạng.

$\Rightarrow {S_n} = \frac{{n \cdot \left[ {2 \cdot 2 + \left( {n - 1} \right) \cdot 2} \right]}}{2} = \frac{{n\left( {2n + 2} \right)}}{2} = n\left( {n + 1} \right)$.

Đáp án đúng là: D

Gọi d là công sai của cấp số đã cho.

Ta có: ${S_{100}} = 50\left( {2{u_1} + 99d} \right) = 24\,\,850$

$$\Rightarrow d = \frac{{497 - 2{u_1}}}{{99}} = 5$$

$$\Rightarrow 5S = \frac{5}{{{u_1}{u_2}}} + \frac{5}{{{u_2}{u_3}}} + \ldots + \frac{5}{{{u_{49}}{u_{50}}}}$$

$$= \frac{{{u_2} - {u_1}}}{{{u_1}{u_2}}} + \frac{{{u_3} - {u_2}}}{{{u_2}{u_3}}} + \ldots + \frac{{{u_{50}} - {u_{49}}}}{{{u_{49}}{u_{50}}}}$$

$$= \frac{1}{{{u_1}}} - \frac{1}{{{u_2}}} + \frac{1}{{{u_2}}} - \frac{1}{{{u_3}}} + \ldots + \frac{1}{{{u_{48}}}} - \frac{1}{{{u_{49}}}} + \frac{1}{{{u_{49}}}} - \frac{1}{{{u_{50}}}}$$

$$= \frac{1}{{{u_1}}} - \frac{1}{{{u_{50}}}} = \frac{1}{{{u_1}}} - \frac{1}{{{u_1} + 49d}} = \frac{{245}}{{246}}$$

$$\Rightarrow S = \frac{{49}}{{246}}.$$

Đáp án đúng là: D

Theo giả thiết ta có : $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{{S_4} = 20}\\{\frac{1}{{{u_1}}} + \frac{1}{{{u_2}}} + \frac{1}{{{u_3}}} + \frac{1}{{{u_4}}} = \frac{{25}}{{24}}}\end{array}} \right.$

$$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{2\left( {2{u_1} + 3d} \right) = 20 \,\, \left( 1 \right)}\\{\frac{1}{{{u_1}}} + \frac{1}{{{u_2}}} + \frac{1}{{{u_3}}} + \frac{1}{{{u_4}}} = \frac{{25}}{{24}} \,\, \left( 2 \right)}\end{array}} \right.$$

Từ (1) suy ra : $2{{\rm{u}}_1} + 3\;{\rm{d}} = 10 \Leftrightarrow {{\rm{u}}_1} = 5 - \frac{3}{2}d$ thế vào (2) ta được

$\frac{1}{{5 - \frac{3}{2}d}} + \frac{1}{{5 - \frac{3}{2}d + d}} + \frac{1}{{5 - \frac{3}{2}d + 2d}} + \frac{1}{{5 - \frac{3}{2}d + 3d}} = \frac{{25}}{{24}}$$\Leftrightarrow \left( {\frac{1}{{5 - \frac{3}{2}d}} + \frac{1}{{5 + \frac{3}{2}d}}} \right) + \left( {\frac{1}{{5 - \frac{d}{2}}} + \frac{1}{{5 + \frac{d}{2}}}} \right) = \frac{{25}}{{24}}$

$\Leftrightarrow \frac{{10}}{{25 - \frac{{9{d^2}}}{4}}} + \frac{{10}}{{25 - \frac{{{d^2}}}{4}}} = \frac{{25}}{{24}}$ (*)

Đặt $t = \frac{{{d^2}}}{4}\,\,\left( {t \ge 0} \right)$ khi đó phương trình (*) trở thành:

$$\frac{{10}}{{25 - 9t}} + \frac{{10}}{{25 - t}} = \frac{{25}}{{24}}$$

$$\Leftrightarrow \frac{{2\left( {25 - t} \right) + 2\left( {25 - 9t} \right)}}{{\left( {25 - 9t} \right)\left( {25 - t} \right)}} = \frac{5}{{24}} \Leftrightarrow \frac{{100 - 20t}}{{\left( {25 - 9t} \right)\left( {25 - t} \right)}} = \frac{5}{{24}}$$

$$\Leftrightarrow 24\left( {20 - 4{\rm{t}}} \right) = \left( {25 - 9{\rm{t}}} \right)\left( {25 - t} \right)$$

$$\Leftrightarrow 9{{\rm{t}}^2} - 154{\rm{t}} + 145 = 0$$

$$\Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{t = \frac{{145}}{9}}\\{t = 1}\end{array}} \right.$$

Với $t = \frac{{145}}{9}$ thì ${d^2} = \frac{{145}}{9} \Rightarrow d = \pm \frac{{\sqrt {145} }}{3}$.

+ Khi ${\rm{d}} = \frac{{\sqrt {145} }}{3} \Rightarrow {u_1} = 5 - \frac{{\sqrt {145} }}{2}$

+ Khi ${\rm{d}} = - \frac{{\sqrt {145} }}{3} \Rightarrow {u_1} = 5 + \frac{{\sqrt {145} }}{2}$

Với t = 1 ⇒ d$^{2}$ = 1 ⇔ d = ± 1.

+ Khi ${\rm{d}} = 1 \Rightarrow {u_1} = 5 - \frac{3}{2} = \frac{7}{2}$

+ Khi ${\rm{d}} = - 1 \Rightarrow {{\rm{u}}_1} = 5 + \frac{3}{2} = \frac{{13}}{2}$

Vậy ứng với 4 trường hơp sẽ có 4 giá trị của u$_{1}$ thỏa mãn.

Đáp án đúng là: A

Theo giả thiết ta có:

$${{\rm{u}}_4} + {{\rm{u}}_8} + {{\rm{u}}_{11}} + {{\rm{u}}_{17}} = 100$$

$$\Leftrightarrow {{\rm{u}}_1} + 3\;{\rm{d}} + {{\rm{u}}_1} + 7\;{\rm{d}} + {{\rm{u}}_1} + 10\;{\rm{d}} + {{\rm{u}}_1} + 16\;{\rm{d}} = 100$$

$$\Leftrightarrow 4{{\rm{u}}_1} + 36\;{\rm{d}} = 100 \Leftrightarrow 2{{\rm{u}}_1} + 18\;{\rm{d}} = 50$$

Do đó: ${S_{19}} = \frac{{19\left( {2{u_1} + 18d} \right)}}{2} = \frac{{19.50}}{2} = 475$.

Đáp án đúng là: D

Theo giả thiết ta có:

u$_{2}$ + u$_{3}$ + u$_{7}$ + u$_{10}$ + u$_{12}$ + u$_{17}$ = 300

$\Leftrightarrow$ u$_{1}$ + d + u$_{1}$ + 2d + u$_{1}$ + 6d + u$_{1}$ + 9d + u$_{1}$ +11d+ u$_{1}$ + 16d = 300

$\Leftrightarrow$ 6u$_{1}$ + 45d = 300 ⇔ 2u$_{1}$ + 15d = 100

Do đó: ${{\rm{u}}_9} + {{\rm{u}}_8} = {{\rm{u}}_1} + 8\;{\rm{d}} + {{\rm{u}}_1} + 7\;{\rm{d}} = 2{{\rm{u}}_1} + 15\;{\rm{d}} = 100.$

Đáp án đúng là: B

Theo giả thiết ta có:

$$\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{u_5} = 10}\\{{S_{10}} = 5}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{u_1} + 4d = 10}\\{\frac{{10.\left( {2{u_1} + 9d} \right)}}{2} = 5}\end{array}} \right.} \right.$$

$$\Leftrightarrow \begin{cases} u_1+4d=10\\ 2u_1+9d=1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u_1=86\\ d=-19 \end{cases}$$

Do đó, tổng của số hạng đầu và công sai của cấp số cộng là: 86 + (−19) = 67.

Đáp án đúng là: A

${S_n} = \frac{{n({u_1} + {u_n})}}{2}$.

Đáp án đúng là: B

$${S_{10}} = \frac{{10 \cdot \left( {{u_1} + {u_{10}}} \right)}}{2} = 5 \cdot \left( {3 + 39} \right) = 5 \cdot 42 = 210.$$

Đáp án đúng là: A

${S_{20}} = \frac{{20 \cdot \left[ {2{u_1} + \left( {20 - 1} \right)d} \right]}}{2} = 10 \cdot [2 \cdot \left( { - 5} \right) + 19 \cdot 4] = 660$.

Đáp án đúng là: B

Ta có ${S_n} = \frac{{n \cdot \left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2} \Leftrightarrow 392 = \frac{{n \cdot \left[ {2 \cdot 2 + \left( {n - 1} \right) \cdot 3} \right]}}{2}$

$\Leftrightarrow 784 = n \cdot \left[ {4 + 3n - 3} \right] \Leftrightarrow 784 = 3{n^2} + n \Leftrightarrow 3{n^2} + n - 784 = 0$ ⇔ n = 16 (vì n ∈ ℕ*)

Vậy số lượng số hạng cần tìm là 16.

Đáp án đúng là: A

Lời giải chi tiết:

Ta có ${S_5} = \frac{{5 \cdot \left( {2{u_1} + 4d} \right)}}{2} = 5{u_1} + 10d = 25 \Leftrightarrow {u_1} + 2d = 5$;

${S_{10}} = \frac{{10 \cdot \left( {2{u_1} + 9d} \right)}}{2} = 10{u_1} + 45d = 100 \Leftrightarrow 2{u_1} + 9d = 20$.

Ta có hệ $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{u_1} + 2d = 5}\\{2{u_1} + 9d = 20}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{2{u_1} + 4d = 10}\\{2{u_1} + 9d = 20}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\d = 2\end{array} \right.$.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Ta có: ${S_n} = \frac{{n \cdot \left[ {2 \cdot 10 + \left( {n - 1} \right) \cdot \left( { - 3} \right)} \right]}}{2} = \frac{{n \cdot \left[ {20 - 3n + 3} \right]}}{2} = \frac{{23n - 3{n^2}}}{2}$.

b) Đúng. ${S_3} = \frac{{23 \cdot 3 - 3 \cdot {3^2}}}{2} = \frac{{69 - 27}}{2} = 21$.

c) Sai. ${S_8} = \frac{{23 \cdot 8 - 3 \cdot {8^2}}}{2} = \frac{{184 - 192}}{2} = - 4$.

d) Đúng. u$_{5}$ = S$_{5}$ - S$_{4}$.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Ta luôn có u$_{1}$ = S$_{1}$ => u$_{1}$ = 21$^{2}$ + 1 = 3.

b) Đúng. S$_{2}$ = 22$^{2}$ + 2 = 10.

c) Đúng. u$_{2}$ = S$_{2}$ - S$_{1}$ = 10 - 3 = 7.

d) Sai. d = u$_{2}$ - u$_{1}$ = 7 - 3 = 4.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Ta có u$_{4}$ = u$_{1}$ + 3d = 15.

b) Đúng. ${S_7} = \frac{{7 \cdot \left( {2{u_1} + 6d} \right)}}{2} = 7\left( {{u_1} + 3d} \right) = 105 \Leftrightarrow {u_1} + 3d = 15$.

Vì hai dữ kiện đưa về cùng một phương trình một hệ nên hệ phương trình có vô số nghiệm.

c) Sai. Do hệ phương trình phụ thuộc vô số nghiệm nên số hạng đầu u$_{1}$ có thể nhận giá trị thực bất kỳ, không bắt buộc phải bằng số 0.

d) Sai. Ta xét biểu thức tổng ${S_{10}} = \frac{{10 \cdot \left[ {2{u_1} + 9d} \right]}}{2} = 5\left( {2{u_1} + 9d} \right)$.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. ${S_3} = \frac{{3\left( {2{u_1} + 2d} \right)}}{2} = 3{u_1} + 3d = 9 \Leftrightarrow {u_1} + d = 3$.

b) Đúng. ${S_5} = \frac{{5\left( {2{u_1} + 4d} \right)}}{2} = 5{u_1} + 10d = 25 \Leftrightarrow {u_1} + 2d = 5$.

Ta có hệ $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{u_1} + d = 3}\\{{u_1} + 2d = 5}\end{array}} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{{u_1} = 1}\\{d = 2}\end{array}} \right.$.

c) Đúng. Theo câu b, u$_{1}$ = 1.

d) Đúng. ${S_{10}} = \frac{{10 \cdot \left[ {2 \cdot 1 + \left( {10 - 1} \right) \cdot 2} \right]}}{2} = 5 \cdot \left( {2 + 18} \right) = 5 \cdot 20 = 100.$

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. $\frac{{{S_1}}}{{{A_1}}} = \frac{{{u_1}}}{{{v_1}}} = \frac{{7 \cdot 1 + 1}}{{4 \cdot 1 + 27}} = \frac{8}{{31}}$.

b) Đúng. $\frac{{{S_{21}}}}{{{A_{21}}}} = \frac{{21 \cdot \left( {{u_1} + 10{d_1}} \right)}}{{21 \cdot \left( {{v_1} + 10{d_2}} \right)}} = \frac{{{u_{11}}}}{{{v_{11}}}}$.

c) Đúng. $\frac{{{S_{21}}}}{{{A_{21}}}} = \frac{{{u_{11}}}}{{{v_{11}}}} = \frac{{7 \cdot 21 + 1}}{{4 \cdot 21 + 27}} = \frac{{148}}{{111}} = \frac{4}{3}.$

d) Sai. $\frac{{{S_n}}}{{{A_n}}} = \frac{{7n + 1}}{{4n + 27}}$ tỉ số này thay đổi liên tục, phụ thuộc vào n.

Đáp án: 510

${S_{15}} = \frac{{15 \cdot \left[ {2{u_1} + 14d} \right]}}{2} = 15 \cdot \left( {{u_1} + 7d} \right)$ = 15(−8 + 76) = 510.

Đáp án: 2500

Đây là tổng của 50 số nguyên dương lẻ tiếp tiếp trong tập số thực với u$_{1}$ = 1 và d = 2.

Khi đó ${S_{50}} = \frac{{50 \cdot \left( {{u_1} + {u_{50}}} \right)}}{2} = 25 \cdot \left( {1 + 99} \right) = 25 \cdot 100 = 2500.$

Đáp án: 459

Có $\left\{ \begin{array}{l}{u_6} = 18\\{u_{12}} = 36\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 5d = 18\\{u_1} + 11d = 36\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 3\\d = 3\end{array} \right.$.

Suy ra ${S_{17}} = \frac{{17\left( {2 \cdot 3 + 16 \cdot 3} \right)}}{2} = 459$.

Đáp án: 14

Ta có $245 = \frac{{n \cdot \left[ {2 \cdot \left( { - 2} \right) + \left( {n - 1} \right)3} \right]}}{2} \Leftrightarrow 490 = n \cdot \left( { - 4 + 3n - 3} \right)$

$\Leftrightarrow 490 = n \cdot (3n - 7) \Leftrightarrow 3{n^2} - 7n - 490 = 0$ ⇔ n = 14 (vì n ∈ ℕ*)

Đáp án: 55

Ta có u$_{10}$ = S$_{10}$ - S$_{9}$.

Có S$_{10}$ = 310$^{2}$ - 210 = 280; S$_{9}$ = 39$^{2}$ - 29 = 225.

Khi đó u$_{10}$ = 280 - 225 = 55.