Bài tập Toán 10 Bài 3. Phương trình quy về phương trình bậc hai có đáp án

Vì x là độ dài cạnh tam giác vuông nên x > 0.

Ta có OA = $\frac{1}{2}$OC

$\Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 1} = \frac{1}{2}\sqrt {{x^2} + 1}$ (điều kiện x$^{2}$ – 1 ≥ 0 ⇔ x$^{2}$ ≥ 1 $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \le - 1\\x \ge 1\end{array} \right.$).

$\Leftrightarrow {x^2} - 1 = \frac{1}{4}\left( {{x^2} + 1} \right)$

⇔ 4x$^{2}$ – 4 = x$^{2}$ + 1

⇔ 3x$^{2}$ = 5

⇔ x$^{2}$ = $\frac{5}{3}$

⇔ $\left[ \begin{array}{l}{x_1} = - \sqrt {\frac{5}{3}} \\{x_2} = \sqrt {\frac{5}{3}} \end{array} \right.$

Do đó x = $- \sqrt {\frac{5}{3}}$(không thỏa mãn) hoặc x = $\sqrt {\frac{5}{3}}$(thỏa mãn)

Vậy với x = $\sqrt {\frac{5}{3}}$ thì OA = $\frac{1}{2}$OC.

Lời giải trên sai, vì thiếu bước thử lại nghiệm dẫn đến kết luận nghiệm sai.

Để có lời giải đúng ta làm như sau:

$\sqrt { - 2{x^2} - 2x + 11} = \sqrt { - {x^2} + 3}$

⇒ - 2x$^{2}$ – 2x + 11 = -x$^{2}$ + 3 (bình phương cả hai vế làm mất dấu căn)

⇒ x$^{2}$ +2x - 8 = 0 (chuyển vế, rút gọn)

⇒ x = 2 hoặc x = - 4 (giải phương trình bậc hai)

Thay x = 2 vào phương trình đã cho ta được:

Do đó x = 2 không thỏa mãn.

Thay x = -4 vào phương trình đã cho ta được:

$\sqrt { - 2.{{\left( { - 4} \right)}^2} - 2.\left( { - 4} \right) + 11} = \sqrt { - {{\left( { - 4} \right)}^2} + 3} \Leftrightarrow \sqrt { - 13} = \sqrt { - 13}$ là mệnh đề sai.

Do đó x = -4 không thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

$\sqrt {31{x^2} - 58x + 1} = \sqrt {10{x^2} - 11x - 19} .$

⇒ 31x$^{2}$ – 58x + 1 = 10x$^{2}$ – 11x – 19 (bình phương phương trình)

⇒ 21x$^{2}$ – 47x + 20 = 0

⇒ $\left[ \begin{array}{l}x = \frac{5}{3}\\x = \frac{4}{7}\end{array} \right.$

Thay lần lượt x = $\frac{5}{3}$ và x = $\frac{4}{7}$vào phương trình đã cho ta thấy không có giá trị nào thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Lời giải trên sai vì thiếu bước thử lại nghiệm dẫn đến kết luận nghiệm sai.

Lời giải đúng là:

$\sqrt { - {x^2} + x + 1} = x$

⇒ - x$^{2}$ + x + 1 = x$^{2}$ (bình phương cả hai vế để làm mất dấu căn)

⇒ - 2x$^{2}$ + x + 1 = 0 (chuyển vế, rút gọn)

⇒ x = 1 hoặc x = $- \frac{1}{2}$ (giải phương trình bậc hai)

Thay x = 1 và x = $- \frac{1}{2}$ vào phương trình đã cho ta thấy chỉ có x = 1 là thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 1.

$\sqrt {3{x^2} + 27x - 41} = 2x + 3$

⇒ 3x$^{2}$ + 27x – 41 = 4x$^{2}$ + 12x + 9.

⇒ -x$^{2}$ + 15x – 50 = 0.

⇒ x = 5 hoặc x = 10.

Thay lần lượt x = 5 hoặc x = 10 vào phương trình đã cho ta thấy x = 5 và x = 10 thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 5 và x = 10.

Ta có OB = x (cm)

Khi đó AB = BC = x – 1 (cm). Do đó x > 1

Xét tam giác OBC vuông tại B, có:

OC$^{2}$ = OB$^{2}$ + BC$^{2}$ (định lí Py – ta – go)

⇔ OC$^{2}$ = x$^{2}$ + (x – 1)$^{2}$ = 2x$^{2}$ – 2x + 1

⇔ OC = $\sqrt {2{x^2} - 2x + 1}$

Xét tam giác OAB vuông tại A, có:

OB$^{2}$ = AB$^{2}$ + OA$^{2}$ (định lí Py – ta – go)

⇔ OA$^{2}$ = OB$^{2}$ – AB$^{2}$

⇔ OA$^{2}$ = x$^{2}$ – (x – 1)$^{2}$ = x$^{2}$ – (x$^{2}$ – 2x + 1) = 2x – 1

⇔ OA = $\sqrt {2x - 1}$

a) Vì OC = 3OA nên $\sqrt {2{x^2} - 2x + 1}$ = 3$\sqrt {2x - 1}$

⇒ 2x$^{2}$ – 2x + 1 = 9(2x – 1)

⇒ 2x$^{2}$ – 2x + 1 = 18x – 9

⇒ 2x$^{2}$ – 20x + 10 = 0

⇒ x$^{2}$ – 10x + 5 = 0

⇒ x = 5 + 2$\sqrt 5$ hoặc x = 5 – 2$\sqrt 5$.

Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình đã cho, ta thấy cả hai giá trị của x đều là nghiệm của phương trình đã cho. Tuy nhiên x = 5 – 2$\sqrt 5$(không thỏa mãn x > 1)

Vậy với x = 5 + 2$\sqrt 5$(cm) thì OC = 3OA.

b) Vì OC = $\frac{5}{4}$OB nên $\sqrt {2{x^2} - 2x + 1}$ = $\frac{5}{4}$x

⇒ 2x$^{2}$ – 2x + 1 = $\frac{{25}}{{16}}$x$^{2}$

⇒ 16(2x$^{2}$ – 2x + 1) = 25x$^{2}$

⇒ 7x$^{2}$ – 32x + 16 = 0

⇒ x = 4 hoặc x = $\frac{4}{7}$.

Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình đã cho, ta thấy cả hai giá trị của x đều là nghiệm của phương trình đã cho. Tuy nhiên x = $\frac{4}{7}$ (không thỏa mãn x > 1)

Vậy với x = 4 (cm) thì OC = $\frac{5}{4}$OB.

a) $\sqrt {11{x^2} - 14x - 12} = \sqrt {3{x^2} + 4x - 7}$

⇒ 11x$^{2}$ – 14x – 12 = 3x$^{2}$ + 4x – 7

⇒ 8x$^{2}$ – 18x – 5 = 0

⇒ x = $\frac{5}{2}$ hoặc x = $- \frac{1}{4}$

Thay lần lượt các giá trị của x vào phương trình đã cho ta thấy chỉ có x = $\frac{5}{2}$ là thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình S = $\left\{ {\frac{5}{2}} \right\}$.

b) $\sqrt {{x^2} + x - 42} = \sqrt {2x - 30}$

⇒ x$^{2}$ + x – 42 = 2x – 30

⇒ x$^{2}$ – x – 12 = 0

⇒ x = - 3 hoặc x = 4

Thay lần lượt x = -3 và x = 4 vào phương trình đã cho ta thấy không có giá trị nào thỏa mãn.

Vậy tập nghiệm của phương trình S = $\emptyset$.

c) $2\sqrt {{x^2} - x - 1} = \sqrt {{x^2} + 2x + 5}$

⇒ 4x$^{2}$ – 4x – 4 = x$^{2}$ + 2x + 5

⇒ 3x$^{2}$ – 6x – 9 = 0

⇒ x = -1 hoặc x = 3

Thay lần lượt các giá trị này vào phương trình đã cho ta thấy x = -1 hoặc x = 3 đều thỏa mãn.

Vậy nghiệm của phương trình là x = -1 và x = 3.

d) $3\sqrt {{x^2} + x - 1} - \sqrt {7{x^2} + 2x - 5} = 0$

⇔ $3\sqrt {{x^2} + x - 1} = \sqrt {7{x^2} + 2x - 5}$

⇒ 9(x$^{2}$ + x – 1) = 7x$^{2}$ + 2x – 5

⇒ 9x$^{2}$ + 9x – 9 = 7x$^{2}$ + 2x – 5

⇒ 2x$^{2}$ + 7x – 4 = 0.

⇒ x = -4 và x = $\frac{1}{2}$.

Thay lần lượt hai giá trị này vào phương trình đã cho ta thấy chỉ có x = -4 thỏa mãn.

Vậy nghiệm của phương trình là x = -4.

a) $\sqrt {{x^2} + 3x + 1} = 3$

⇒ x$^{2}$ + 3x + 1 = 9

⇒ x$^{2}$ + 3x – 8 = 0

⇒ x = $\frac{{ - 3 - \sqrt {41} }}{2}$ hoặc x = $\frac{{ - 3 + \sqrt {41} }}{2}$.

Thay lần lượt hai giá trị này vào phương trình đã cho ta thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm $S = \left\{ {\frac{{ - 3 - \sqrt {41} }}{2};\frac{{ - 3 + \sqrt {41} }}{2}} \right\}$.

b) $\sqrt {{x^2} - x - 4} = x + 2$

⇒ x$^{2}$ – x – 4 = x$^{2}$ + 4x + 4

⇒ – 5x = 8

⇒ x = $- \frac{8}{5}$

Thay x = $- \frac{8}{5}$ vào phương trình đã cho ta thấy thỏa mãn.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = $- \frac{8}{5}$.

c) 2 + $\sqrt {12 - 2x}$ = x

⇔ $\sqrt {12 - 2x}$= x – 2

⇒ 12 – 2x = x$^{2}$ – 4x + 4

⇒ x$^{2}$ – 2x – 8 = 0

⇒ x = 4 hoặc x = - 2

Thay lần lượt từng giá trị của x vào phương trình đã cho ta thấy chỉ có x = 4 thỏa mãn.

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 4.

d) $\sqrt {2{x^2} - 3x - 10} = - 5.$

⇒ 2x$^{2}$ – 3x – 10 = 25

⇒ 2x$^{2}$ – 3x – 35 = 0

⇒ x = 5 và x = $- \frac{7}{2}$

Thay lần lượt từng giá trị của x vào phương trình đã cho ta thấy không có giá trị nào thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Gọi AB = x (cm) (x > 0)

Vì AB ngắn hơn AC là 2cm nên AC = x + 2 (cm).

a) Xét tam giác ABC vuông tại A, có:

BC$^{2}$ = AB$^{2}$ + AC$^{2}$ (định lí Py – ta – go)

⇔ BC$^{2}$ = x$^{2}$ + (x + 2)$^{2}$

⇔ BC$^{2}$ = x$^{2}$ + x$^{2}$ + 4x + 4

⇔ BC$^{2}$ = 2x$^{2}$ + 4x + 4

⇔ BC = $\sqrt {2{x^2} + 4x + 4}$ (cm)

Vậy BC = $\sqrt {2{x^2} + 4x + 4}$ (cm).

b) Chu vi của tam giác ABC là:

AB + AC + BC = x + x + 2 + $\sqrt {2{x^2} + 4x + 4}$ = 2x + 2 + $\sqrt {2{x^2} + 4x + 4}$ (cm).

Mà chu vi của tam giác ABC là 24cm nên ta có phương trình:

2x + 2 + $\sqrt {2{x^2} + 4x + 4}$ = 24

⇔ $\sqrt {2{x^2} + 4x + 4}$ = 22 – 2x

⇒ 2x$^{2}$ + 4x + 4 = 484 – 88x + 4x$^{2}$

⇒ 2x$^{2}$ – 92x + 480 = 0

⇒ x$^{2}$ – 46x + 240 = 0

⇒ x = 40 và x = 6.

Thay lần lượt hai nghiệm vào phương trình đã cho ta thấy x = 6 thỏa mãn.

Với x = 6 thì AB = 6 cm, AC = 6 + 2 = 8 cm, BC = $\sqrt {{{2.6}^2} + 4.6 + 4} = 10$ cm.

Vậy độ dài các cạnh của tam giác ABC lần lượt là AB = 6cm, AC = 8cm, BC = 10 cm.

a) Xét tam giác MOB có:

Áp dụng định lí côsin, ta có:

MB$^{2}$ = OM$^{2}$ + OB$^{2}$ – 2.OM.OB.cos$\widehat {BOM}$

⇔ MB$^{2}$ = x$^{2}$ + 2$^{2}$ – 2.x.2.cos60°

⇔ MB$^{2}$ = x$^{2}$ + 4 – 2x

⇔ MB = $\sqrt {{x^2} - 2x + 4}$ (km).

Ta lại có $\widehat {AOM} + \widehat {BOM} = 180^\circ$ ⇒ $\widehat {AOM} = 180^\circ - \widehat {BOM} = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Xét tam giác MOA có:

Áp dụng định lí côsin, ta có:

MA$^{2}$ = OM$^{2}$ + OA$^{2}$ – 2.OM.OA.cos$\widehat {AOM}$

⇔ MA$^{2}$ = x$^{2}$ + 1$^{2}$ – 2.x.1.cos120°

⇔ MA$^{2}$ = x$^{2}$ + 1 + x

⇔ MA = $\sqrt {{x^2} + x + 1}$ (km).

Vậy MA = $\sqrt {{x^2} + x + 1}$ km và MB = $\sqrt {{x^2} - 2x + 4}$ km.

b) Để khoảng cách từ tàu đến B bằng $\frac{4}{5}$ khoảng cách từ tàu đến A thì $\sqrt {{x^2} - 2x + 4} = \frac{4}{5}\sqrt {{x^2} + x + 1}$

⇒ x$^{2}$ – 2x + 4 = $\frac{{16}}{{25}}$(x$^{2}$ + x + 1)

⇒ 25x$^{2}$ – 50x + 100 = 16x$^{2}$ + 16x + 16

⇒ 9x$^{2}$ – 66x + 84 = 0

⇒ x = $\frac{{11 - \sqrt {37} }}{3}$ hoặc x = $\frac{{11 + \sqrt {37} }}{3}$.

Thay lần lượt các giá trị trên vào phương trình đã cho ta thấy cả hai giá trị đều thỏa mãn.

Vậy với x = $\frac{{11 - \sqrt {37} }}{3}$ hoặc x = $\frac{{11 + \sqrt {37} }}{3}$ thì khoảng cách từ tàu đến B bằng $\frac{4}{5}$ khoảng cách từ tàu đến A.

c) Đổi 500 m = 0,5 km = $\frac{1}{2}$ km

Để khoảng cách từ tàu đến B nhỏ hơn khoảng cách từ tàu đến O 500 m thì

$\sqrt {{x^2} - 2x + 4} = x - \frac{1}{2}$

⇔ x$^{2}$ – 2x + 4 = x$^{2}$ – x + $\frac{1}{4}$

⇔ – x = $- \frac{{15}}{4}$.

⇔ x = $\frac{{15}}{4}$.

Vậy x = $\frac{{15}}{4}$ thì khoảng cách từ tàu đến B nhỏ hơn khoảng cách từ tàu đến O 500 m.