Bài tập Toán 10 Bài 2. Giải bất phương trình bậc hai một ẩn có đáp án

Xét tam thức f(x) = 2x$^{2}$ – 5x + 3 có ∆ = (-5)$^{2}$ – 4.2.3 = 25 – 24 = 1 > 0. Do đó f(x) có hai nghiệm phân biệt x$_{1}$ = 1 và x$_{2}$ = $\frac{3}{2}$ và a = 2 > 0.

Ta có bảng xét dấu sau:

Dựa vào bảng xét dấu ta thấy f(x) âm khi x thuộc khoảng $(1;\ \frac{3}{2})$ và f(x) dương khi x thuộc khoảng (-∞; 1) và $(\frac{3}{2};+\infty )$.

Vì x là giá bán của một kilôgam gạo nên x ≥ 0

Đặt f(x) = - 3x$^{2}$ + 200x – 2 325 là tam thức bậc hai với a = -3, b = 200, c = -2 325.

Ta có ∆ = 200$^{2}$ – 4.(-3).(-2 325) = 12 100 > 0. Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là x$_{1}$ = 15 và x$_{2}$ = $\frac{155}{3}$ và a = -3 < 0.

Khi đó ta có bảng xét dấu:

Suy ra f(x) dương khi x thuộc khoảng $(15;\frac{155}{3})$ và f(x) âm khi x thuộc hai khoảng (0; 15) và $(\frac{155}{3};+\infty )$.

Cửa hàng có lãi từ loại gạo đó khi I > 0 hay f(x) > 0.

Vậy với x thuộc khoảng $(15;\frac{155}{3})$ thì cửa hàng có lãi từ loại gạo đó.

a) x$^{2}$ + x – 6 ≤ 0 có dạng ax$^{2}$ + bx + c ≤ 0 với a = 1, b = 1, c = -6 là một bất phương trình bậc hai một ẩn.

Vì 2$^{2}$ + 2 – 6 = 0 nên x = 2 là một nghiệm của bất phương trình bậc hai một ẩn đã cho.

b) x + 2 > 0 không là bất phương trình bậc hai một ẩn.

c) – 6x$^{2}$ – 7x + 5 > 0 có dạng ax$^{2}$ + bx + c > 0 với a = -6, b = -7 và c = 5 là một bất phương trình bậc hai một ẩn.

Vì -6.2$^{2}$ – 7.2 + 5 = -33 < 0 nên x = 2 không là một nghiệm của bất phương trình bậc hai một ẩn đã cho.

a) Xét tam thức bậc hai f(x) = 15x$^{2}$ + 7x – 2 có ∆ = 7$^{2}$ – 4.(-2).15 = 169 > 0. Do đó f(x) có hai nghiệm phân biệt x$_{1}$ = $\frac{1}{5}$, x$_{2}$ = $-\frac{2}{3}$ và a = 15 > 0.

Suy ra f(x) nhỏ hơn hoặc bằng 0 khi x thuộc khoảng $[-\frac{2}{3};\frac{1}{5}]$.

Vậy bất phương trình 15x$^{2}$ + 7x – 2 ≤ 0 có tập nghiệm là S = $[-\frac{2}{3};\frac{1}{5}]$.

b) Xét tam thức bậc hai g(x) = – 2x$^{2}$ + x – 3 có ∆ = 1$^{2}$ – 4.(-2).(-3) = -23 < 0 và a = -2. Do đó g(x) vô nghiệm.

Suy ra g(x) luôn âm với mọi x ∈ ℝ.

Vậy bất phương trình – 2x$^{2}$ + x – 3 < 0 có tập nghiệm S = ℝ.

Ta có x là giá bán của một kilôgam gạo

Xét tam thức bậc hai f(x) = - 3x$^{2}$ + 200x – 2 325 có ∆ = 200$^{2}$ – 4.(-3).(-2 325) = 12 100 > 0. Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là x$_{1}$ = 15 và x$_{2}$ = $\frac{155}{3}$ và a = -3 < 0.

Suy ra f(x) dương khi x thuộc khoảng $(15;\frac{155}{3})$.

Cửa hàng có lãi từ loại gạo đó khi I > 0 hay f(x) > 0.

Suy ra với x thuộc khoảng $(15;\frac{155}{3})$ thì cửa hàng có lãi từ loại gạo đó.

Vậy với giá bán gạo trong khoảng 15 nghìn đồng đến $\frac{155}{3}$ nghìn đồng thì cửa hàng có lãi từ loại gạo đó.

a)

b)

Dựa vào hình vẽ ta thấy:

Đồ thị hàm số f(x) cắt trục hoành tại một điểm có hoành độ x = -4 hay f(x) = 0 khi x = -4.

Với x ≠ -4 thì đồ thị hàm số f(x) nằm phía dưới trục hoành nên f(x) < 0 với x ≠ -4.

Vậy bất phương trình – x$^{2}$ – 8x – 16 < 0 có tập nghiệm là S = ℝ\{-4}.

c)

Dựa vào hình vẽ ta thấy:

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt x$_{1}$ = $\frac{3}{2}$ và x$_{2}$ = 4 hay f(x) = 0 khi x$_{1}$ = $\frac{3}{2}$ và x$_{2}$ = 4.

Đồ thi hàm số f(x) nằm phía dưới trục hoành với x thuộc hai khoảng $\left( { - \infty ;\frac{3}{2}} \right)$ và (4; +∞) hay f(x) < 0 với x thuộc $\left( { - \infty ;\frac{3}{2}} \right)$ ∪ (4; +∞).

Đồ thị hàm số f(x) nằm phía trên trục hoành với x thuộc khoảng $\left( {\frac{3}{2};4} \right)$ hay f(x) > 0 với x thuộc khoảng $\left( {\frac{3}{2};4} \right)$.

Vậy bất phương trình – 2x$^{2}$ + 11x – 12 > 0 có tập nghiệm S = $\left( {\frac{3}{2};4} \right)$.

d)

Dựa vào hình vẽ ta thấy:

Đồ thi hàm số f(x) nằm phía trên trục hoành với mọi x hay f(x) > 0 với x ∈ ℝ.

Vậy bất phương trình $\frac{1}{2}$x$^{2}$ + $\frac{1}{2}$x + 1 ≤ 0 có tập nghiệm S = $\emptyset$.

a) Tam thức bậc hai f(x) = 2x$^{2}$ – 15x + 28 có ∆ = (-15)$^{2}$ – 4.2.28 = 1 > 0. Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt x$_{1}$ = 4, x$_{2}$ = $\frac{7}{2}$ và a = 2 > 0.

Do đó f(x) dương với mọi x thuộc hai khoảng (-∞; 4) và $(\frac{7}{2};+\infty )$ và f(x) = 0 với x = 4, x = $\frac{7}{2}$.

Vậy bất phương trình 2x$^{2}$ – 15x + 28 ≥ 0 có tập nghiệm là S = (-∞; 4] ∪ $[\frac{7}{2};+\infty )$.

b) Tam thức bậc hai g(x) = – 2x$^{2}$ + 19x + 255 có ∆ = 19$^{2}$ – 4.(-2).255 = 2 401 > 0. Do đó g(x) có hai nghiệm phân biệt x$_{1}$ = 17, x$_{2}$ = $-\frac{15}{2}$ và a = - 2 < 0.

Suy ra g(x) dương khi x thuộc khoảng $(-\frac{15}{2};17)$.

Vậy bất phương trình – 2x$^{2}$ + 19x + 255 > 0 có tập nghiệm S = $(-\frac{15}{2};17)$ .

c) Ta có: 12x$^{2}$ < 12x – 8 ⇔ 12x$^{2}$ – 12x + 8 < 0

Tam thức bậc hai h(x) = 12x$^{2}$ – 12x + 8 có ∆ = (-12)$^{2}$ – 4.12.8 = -240 < 0. Do đó h(x) vô nghiệm và a = 12 > 0.

Suy ra h(x) dương với mọi giá trị của x.

Vậy bất phương trình 12x$^{2}$ < 12x – 8 có tập nghiệm là S = ∅.

d) Ta có: x$^{2}$ + x – 1 ≥ 5x$^{2}$ – 3x ⇔ - 4x$^{2}$ + 4x – 1 ≥ 0

Tam thức bậc hai k(x) = – 4x$^{2}$ + 4x – 1 có ∆ = 4$^{2}$ – 4.(-4).(-1) = 0. Do đó k(x) có nghiệm kép x$_{1}$ = x$_{2}$ = và a = - 4 < 0.

Suy ra k(x) = 0 khi x = $\frac{1}{2}$ và k(x) < 0 với mọi x ≠ $\frac{1}{2}$.

Vậy bất phương trình x$^{2}$ + x – 1 ≥ 5x$^{2}$ – 3x có tập nghiệm S = $\{\frac{1}{2}\}$.

Mảnh đất hình chữ nhật có 30m hàng rào nghĩa là chu vi mảnh đấy hình chữ nhật là 30m. Khi đó nửa chu vi của hình chữ nhật là 30 : 2 = 15 (m).

Gọi chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật là x (m) (0 < x < 15).

Chiều dài hình chữ nhật là: 15 – x (m).

Diện tích mảnh đất hình chữ nhật là x(15 – x) = - x$^{2}$ + 15x (m).

Vì diện tích mảnh vườn hoa ít nhất là 50 m$^{2}$ nên – x$^{2}$ + 15x ≥ 50 ⇔ - x$^{2}$ + 15x – 50 ≥ 0.

Tam thức bậc hai – x$^{2}$ + 15x – 50 có ∆ = 15$^{2}$ – 4.(-1).(-50) = 25 > 0. Do đó f(x) có hai nghiệm phân biệt x$_{1}$ = 5, x$_{2}$ = 10 và a = -1 < 0.

Suy ra f(x) dương khi x nằm trong khoảng (5; 10) và f(x) = 0 khi x = 5 hoặc x = 10.

Do đó đó - x$^{2}$ + 15x – 50 ≥ 0 khi x ∈ [5; 10].

Vậy chiều rộng của mảnh vườn nằm trong đoạn [5; 10] thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

a) Xét hiệu h(t) – 7 = - 4,9t$^{2}$ + 10t + 1,6 – 7 = - 4,9t$^{2}$ + 10t – 5,4 là hàm số bậc hai với a = -4,9, b = 10, c = - 5,4 và ∆ = 10$^{2}$ – 4.(-4,9).(-5,4) = -5,84 < 0. Do đó tam thức -4,9t$^{2}$ + 10t – 5,4 vô nghiệm và a = - 4,9 > 0 nên - 4,9t$^{2}$ + 10t – 5,4 < 0 với mọi t hay h(t) – 7 < 0 với mọi t.

⇔ h(t) < 7 với mọi t.

Vì vậy bóng không thể đạt độ cao trên 7m.

b) Bóng ở độ cao trên 5m nghĩa là h(t) ≥ 5 ⇔ -4,9t$^{2}$ + 10t + 1,6 ≥ 5

⇔ -4,9t$^{2}$ + 10t + 1,6 – 5 ≥ 0.

⇔ -4,9t$^{2}$ + 10t – 3,4 ≥ 0.

Tam thức k(t) = -4,9t$^{2}$ + 10t – 3,4 có ∆ = 10$^{2}$ – 4.(-4,9).(-3,4) = 33,36 > 0. Do đó k(t) có hai nghiệm phân biệt t$_{1}$ ≈ 1,61 và t$_{2}$ ≈ 0,43.

Suy ra k(t) > 0 khi t ∈ (0,43; 1,61).

Khi đó bóng ở độ cao trên 5m nằm trong khoảng thời gian từ 1,61 – 0,43 = 1,18s.

Vậy trong khoảng thời gian 1,18s thì bóng ở độ cao trên 5m.

Gọi A, H, B lần lượt là các điểm trên hình vẽ:

Đổi 15cm = 0,15 m.

Để tim đường cao hơn lề đường không quá 15cm thì OH ≤ 0,15 hay – (– 0,006x$^{2}$) ≤ 0,15.

⇔ x$^{2}$ – 25 ≥ 0.

Xét tam thức bậc hai f(x) = x$^{2}$ – 25 có ∆ = 0$^{2}$ – 4.(-25) = 100 > 0, a = 1 > 0. Do đó f(x) có hai nghiệm phân biệt x$_{1}$ = - 5 và x$_{2}$ = 5.

Ta có bảng xét dấu:

Suy ra f(x) không âm khi x thuộc đoạn [-5; 5].

Tương ứng x$_{1}$, x$_{2}$ lần lượt là hoành độ của các điểm A và B. Khi đó AB = |x$_{2}$ – x$_{1}$| = |5 – (-5)| = 10.

Vậy độ rộng của đường là 10 m thì tim đường cao hơn lề đường không quá 15cm.