Bài tập Toán 10 Bài 1. Dấu của tam thức bậc hai có đáp án

Sau bài học này chúng ta sẽ giải bài toán trên như sau:

Quan sát hình vẽ ta thấy mặt cầu là trục Ox, phần h(x) nằm phía trên mặt cầu nghĩa là h(x) nằm phía trên trục hoành hay là h(x) > 0.

Phần h(x) nằm phía dưới mặt cầu nghĩa là h(x) nằm phía dưới trục hoành hay là h(x) < 0.

Vậy với giá trị của h(x) > 0 thì vòm cầu cao hơn mặt cầu, với giá trị của h(x) < 0 thì vòm cầu thấp hơn mặt cầu.

a) Biểu thức f(x) là đa thức bậc 2.

b) Dựa vào đồ thị ta thấy với x = 2 thì f(2) = 1 > 0.

Vậy f(2) mang dấu dương.

a) Biểu thức f(x) = 2x$^{2}$ + x – 1 có dạng tam thức bậc hai với a = 2, b = 1 và c = -1 .

Với x = 1 thì f(1) = 2.1$^{2}$ + 1 – 1 = 2 > 0.

b) Biểu thức g(x) = – x$^{4}$ + 2x$^{2}$ + 1 không có dạng tam thức bậc hai vì bậc của đa thức là bậc 4.

c) Biểu thức h(x) = – x$^{2}$ +$\sqrt{2}$x – 3 có dạng tam thức bậc hai với a = -1, b = $\sqrt{2}$ , c = -3.

Với x = 1 thì h(1) = – 1$^{2}$ +. $\sqrt{2}$ 1 – 3 = $\sqrt{2}$ – 4 < 0.

a) Tam thức bậc hai f(x) = 2x$^{2}$ – 5x + 2 có ∆ = (-5)$^{2}$ – 4.2.2 = 25 – 16 = 9 > 0. Do đó f(x) có hai nghiệm phân biệt là:

x$_{1}$ = $\frac{-(-5)+\sqrt{9}}{2.2}$ = 2 và x$_{2}$ = $\frac{-(-5)-\sqrt{9}}{2.2}=\frac{1}{2}$.

Vậy biệt thức ∆ = 9 và tam thức có hai nghiệm phân biệt x$_{1}$ = 2 và x$_{2}$ = .

b) Tam thức bậc hai g(x) = – x$^{2}$ + 6x – 9 có ∆ = 6$^{2}$ – 4.(-1).(-9) = 36 – 36 = 0. Do đó g(x) có nghiệm kép là:

x$_{1}$ = x$_{2}$ = $\frac{-6+\sqrt{0}}{2.(-1)}=3$.

Vậy biệt thức ∆ = 0 và tam thức có hai nghiệm kép x = 3.

c) Tam thức bậc hai h(x) = 4x$^{2}$ – 4x + 9 có ∆ = 4$^{2}$ – 4.4.9 = 16 – 144 = - 128 < 0. Do đó f(x) vô nghiệm.

a) Dựa vào hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số không cắt trục hoành nên tam thức f(x) = - x$^{2}$ + 2x – 2 vô nghiệm.

Ta có ∆ = 2$^{2}$ – 4(-1).(-2) = 4 – 8 = - 4 < 0.

Tam thức f(x) có hệ số a = -1 < 0.

Ta thấy toàn bộ đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành nên f(x) < 0 với mọi x.

Suy ra f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x.

b) Dựa vào hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại một điểm duy nhất có hoành độ x = 1 nên tam thức f(x) = - x$^{2}$ + 2x – 1 có một nghiệm duy nhất x = 1.

Ta có ∆ = 2$^{2}$ – 4(-1).(-1) = 4 – 4 = 0.

Tam thức f(x) có hệ số a = -1 < 0.

Ta thấy với x ≠ 1 toàn bộ đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành nên f(x) < 0 với x ≠ 1 và f(x) = 0 với x = 1.

Suy ra f(x) cùng dấu với hệ số a với x ≠ 1.

c) Dựa vào hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x$_{1}$ = - 1 và x$_{2}$ = 3 nên tam thức f(x) = - x$^{2}$ + 2x + 3 có hai nghiệm phân biệt x$_{1}$ = - 1 và x$_{2}$ = 3.

Ta có ∆ = 2$^{2}$ – 4.3.(-1) = 4 + 12 = 16 > 0.

Tam thức f(x) có hệ số a = -1 < 0.

Ta thấy với x < - 1 hoặc x > 3 thì đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành, với -1 < x < 3 thì đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành hay f(x) < 0 với x < -1 hoặc x > 3; f(x) > 0 với -1 < x < 3 và f(x) = 0 tại x = -1 hoặc x = 3.

Suy ra f(x) cùng dấu với hệ số a với x < -1 hoặc x > 3.

d) Dựa vào hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số không cắt trục hoành nên tam thức f(x) = x$^{2}$ + 6x + 10 vô nghiệm.

Ta có ∆ = 6$^{2}$ – 4.1.10 = 36 – 40 = - 4 < 0.

Tam thức f(x) có hệ số a = 1 > 0.

Ta thấy toàn bộ đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành nên f(x) > 0 với mọi x.

Suy ra f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x.

e) Dựa vào hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại một điểm duy nhất có hoành độ x = -3 nên tam thức f(x) = x$^{2}$ + 6x + 9 có một nghiệm duy nhất x = -3.

Ta có ∆ = 6$^{2}$ – 4.1.9 = 36 – 36 = 0.

Tam thức f(x) có hệ số a = 1 > 0.

Ta thấy với x ≠ -3 toàn bộ đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành nên f(x) > 0 với x ≠ - 3 và f(x) = 0 với x = -3.

Suy ra f(x) cùng dấu với hệ số a với x ≠ -3.

g) Dựa vào hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x$_{1}$ = -4 và x$_{2}$ = -2 nên tam thức f(x) = x$^{2}$ + 6x + 8 có hai nghiệm phân biệt x$_{1}$ = -4 và x$_{2}$ = -2.

Ta có ∆ = 6$^{2}$ – 4.1.8 = 36 – 32 = 4 > 0.

Tam thức f(x) có hệ số a = 1 > 0.

Ta thấy với x < - 4 hoặc x > -2 thì đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành, với -4 < x < -2 thì đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành hay f(x) > 0 với x < -4 hoặc x > 2; f(x) < 0 với -4 < x < -2 và f(x) = 0 tại x = -4 hoặc x = -2.

Suy ra f(x) cùng dấu với hệ số a với x < -4 hoặc x > -2.

a) Tam thức f(x) = 2x$^{2}$ – 3x – 2 có ∆ = (-3)$^{2}$ – 4.2.(-2) = 9 + 16 = 25 > 0. Do đó f(x) có hai nghiệm phân biệt x$_{1}$ = $-\frac{1}{2}$ và x$_{2}$= 2 và a = 2 > 0.

Ta có bảng xét dấu sau:

Dựa vào bảng xét dấu ta thấy f(x) âm trong khoảng $(-\frac{1}{2};2)$ và dương trong hai khoảng $(-\infty ;-\frac{1}{2})$ và (2; +∞).

Vậy với x ∈ $(-\frac{1}{2};2)$ thì f(x) < 0 và x ∈ $(-\infty ;-\frac{1}{2})$ hoặc x ∈ (2; +∞) thì f(x) > 0.

b) Tam thức g(x) = - x$^{2}$ + 2x – 3 có ∆ = 2$^{2}$ – 4.(-1).(-3) = 4 – 12 = - 8 < 0. Do đó g(x) vô nghiệm và a = -1 < 0.

Ta có bảng xét dấu sau:

Dựa vào bảng xét dấu ta thấy g(x) âm với mọi giá trị thực của x.

Vậy g(x) < 0 với mọi x ∈ ℝ.

Ta có h(x) = -0,006x$^{2}$ + 1,2x – 30 là tam thức bậc hai. h(x) có ∆ = 1,2$^{2}$ – 4.(-0,006).(-30) = 0,72 > 0. Do đó tam thức có hai nghiệm phân biệt là x$_{1}$ ≈ 170,7 và x$_{2}$ ≈ 29,3 và a = - 0,006 < 0.

Ta có bảng xét dấu f(x) như sau:

Từ bảng xét dấu ta thấy f(x) dương trong khoảng (29,3; 170,7) và âm trong hai khoảng (-∞; 29,3) và (170,7; +∞).

Kết hợp với điều kiện 0 ≤ x ≤ 200 thì f(x) dương khi x ∈ (29,3; 170,7) và f(x) âm khi x ∈ [0; 29,3) và (170,7; 200].

Vậy với giá trị của x ∈ (29,3; 170,7) thì vòm cầu cao hơn mặt cầu, với giá trị của x nằm trong hai khoảng (-∞; 29,3) và (170,7; +∞) thì vòm cầu thấp hơn mặt cầu.

a) 4x$^{2}$ + 3x + 1 là tam thức bậc hai với a = 4, b = 3 và c = 1.

b) x$^{3}$ + 3x$^{2}$ – 1 không là tam thức bậc hai vì bậc của đa thức là 3.

c) 2x$^{2}$ + 4x – 1 là tam thức bậc hai với a = 2, b = 4 và c = -1.

a) Để đa thức (m + 1)x$^{2}$ + 2x + m là tam thức bậc hai thì hệ số của x$^{2}$ phải khác 0.

Suy ra m + 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ - 1.

Vậy với m ≠ - 1 thì đa thức (m + 1)x$^{2}$ + 2x + m là tam thức bậc hai.

b) Để đa thức mx$^{3}$ + 2x$^{2}$ – x + m là tam thức bậc hai thì bậc cao nhất của đa thức là 2 do đó hệ số của x$^{3}$ phải bằng 0 hay m = 0.

Vậy với m = 0 thì đa thức mx$^{3}$ + 2x$^{2}$ – x + m là tam thức bậc hai.

c) Để đa thức – 5x$^{2}$ + 2x – m + 1 thỏa mãn là tam thức bậc hai với mọi m.

a) Dựa vào hình vẽ ta thấy:

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x$_{1}$ = - 2 và x$_{2}$ = $\frac{1}{2}$. Do đó f(x) có hai nghiệm phân biệt x$_{1}$ = - 2, x$_{2}$ = và a = 1 > 0.

Với x thuộc khoảng (-∞; -2) và $(\frac{1}{2};+\infty )$ thì đồ thị hàm số nằm phía trên trục hoành hay f(x) > 0 khi x thuộc khoảng (-∞; -2) và $(\frac{1}{2};+\infty )$.

Với x thuộc khoảng $(-2;\frac{1}{2})$ thì đồ thị hàm số nằm dưới trục hoành hay f(x) < 0 khi x ∈ $(-2;\frac{1}{2})$.

Ta có bảng xét dấu f(x) như sau:

b) Dựa vào hình vẽ ta thấy:

Đồ thị hàm số không cắt trục hoành. Do đó g(x) vô nghiệm và a = 1 > 0.

Hơn nữa toàn bộ đồ thị hàm số g(x) nằm phía trên trục hoành với mọi giá trị của x nên g(x) > 0 với mọi x.

Ta có bảng xét dấu f(x) như sau:

c) Dựa vào hình vẽ ta thấy:

Đồ thị hàm số h(x) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất có hoành độ x = $-\frac{2}{3}$. Do đó h(x) có nghiệm duy nhất x = $-\frac{2}{3}$ và a = - 9 < 0.

Với x = $-\frac{2}{3}$ thì h(x) = 0;

Với x ≠ $-\frac{2}{3}$ thì đồ thị hàm số h(x) nằm hoàn toàn dưới trục hoành nên h(x) < 0 với x ≠ $-\frac{2}{3}$.

Khi đó ta có bảng xét dấu:

d) Dựa vào hình vẽ ta thấy:

Đồ thị hàm số không cắt trục hoành. Do đó f(x) vô nghiệm và a = -0,5 < 0.

Hơn nữa toàn bộ đồ thị hàm số f(x) nằm phía dưới trục hoành với mọi giá trị của x nên f(x) < 0 với mọi x.

Ta có bảng xét dấu f(x) như sau:

e) Dựa vào hình vẽ ta thấy:

Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là x$_{1}$ = - 2 và x$_{2}$ = $\frac{3}{2}$. Do đó g(x) có hai nghiệm phân biệt x$_{1}$ = - 2, x$_{2}$ = $\frac{3}{2}$ và a = -1 < 0.

Với x thuộc khoảng (-∞; -2) và $(\frac{3}{2};+\infty )$ thì đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành hay g(x) < 0 khi x thuộc khoảng (-∞; -2) và $(\frac{3}{2};+\infty )$.

Với x thuộc khoảng $(-2;\frac{3}{2})$ thì đồ thị hàm số nằm trên trục hoành hay g(x) > 0 khi x ∈ $(-2;\frac{3}{2})$.

Ta có bảng xét dấu g(x) như sau:

g) Dựa vào hình vẽ ta thấy:

Đồ thị hàm số h(x) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất có hoành độ x = $-\sqrt{2}$. Do đó h(x) có nghiệm duy nhất x = $-\sqrt{2}$ và a = 1 > 0.

Với x = $-\sqrt{2}$ thì h(x) = 0;

Với x ≠ $-\sqrt{2}$ thì đồ thị hàm số h(x) nằm hoàn toàn phía trên trục hoành nên h(x) > 0 với x ≠ $-\frac{2}{3}$.

Khi đó ta có bảng xét dấu:

a) Tam thức bậc hai f(x) = 2x$^{2}$ + 4x + 2 có ∆ = 4$^{2}$ – 4.2.2 = 16 – 16 = 0. Do đó f(x) có một nghiệm kép x$_{1}$ = x$_{2}$ = - 1 và a = 2 > 0.

Ta có bảng xét dấu sau:

Vậy f(x) = 2x$^{2}$ + 4x + 2 mang dấu dương khi x ≠ - 1.

b) Tam thức bậc hai f(x) = - 3x$^{2}$ + 2x + 21 có ∆ = 2$^{2}$ – 4.(-3).21 = 256 > 0. Do đó f(x) có hai nghiệm phân biệt x$_{1}$ = 3 và x$_{2}$ = $-\frac{7}{3}$ và a = -3 < 0.

Ta có bảng xét dấu:

Vậy f(x) = - 3x$^{2}$ + 2x + 21 dương khi x thuộc khoảng $(-\frac{7}{3};3)$ và f(x) = - 3x$^{2}$ + 2x + 21 âm khi x thuộc hai khoảng $(-\infty ;-\frac{7}{3})$ và $(3;+\infty )$.

c) Tam thức bậc hai f(x) = - 2x$^{2}$ + x – 2 có ∆ = 1$^{2}$ – 4.(-2).(-2) = 1 – 16 = -15 < 0. Do đó hàm số vô nghiệm và a = -2 < 0.

Ta có bảng xét dấu:

Vậy f(x) = - 2x$^{2}$ + x – 2 âm với mọi giá trị thực của x.

d) Ta có f(x) = -4x(x + 3) – 9 = - 4x$^{2}$ – 12x – 9.

Xét tam thức f(x) = - 4x$^{2}$ – 12x – 9 có ∆ = (-12)$^{2}$ – 4.(-4)(-9) = 144 – 144 = 0. Do đó f(x) có nghiệm kép x$_{1}$ = x$_{2}$ = $-\frac{3}{2}$ và a = - 4 < 0.

Ta có bảng xét dấu:

Vậy f(x) mang dấu âm khi x ≠ $-\frac{3}{2}$.

e) Ta có f(x) = (2x + 5)(x – 3) = 2x$^{2}$ – 6x + 5x – 15 = 2x$^{2}$ – x – 15.

Tam thức f(x) = 2x$^{2}$ – x – 15 có ∆ = (-1)$^{2}$ – 4.2.(-15) = 1 + 120 = 121 > 0. Do đó f(x) có hai nghiệm phân biệt x$_{1}$ = 3 và x$_{2}$ = $-\frac{5}{2}$ và a = 2 > 0.

Ta có bảng xét dấu:

Vậy f(x) = (2x + 5)(x – 3) âm khi x thuộc khoảng $(-\frac{5}{2};3)$ và f(x) = (2x + 5)(x – 3) dương khi x thuộc hai khoảng $(-\infty ;-\frac{5}{2})$ và (3; +∞).

Ta có h(x) = -0,1x$^{2}$ + x – 1 là tam thức bậc hai với a = -0,1, b = 1 và c = -1.

Tam thức bậc hai h(x) = -0,1x$^{2}$ + x – 1 có ∆ = 1$^{2}$ – 4.(-0,1).(-1) = 0,6 > 0. Do đó h(x) có hai nghiệm phân biệt x$_{1}$ = 5 + $\sqrt{15}$, x$_{2}$ = 5 – $\sqrt{15}$ và a = -0,1 < 0.

Ta có bảng xét dấu sau:

Suy ra h(x) dương khi x thuộc khoảng $(5-\sqrt{5};5+\sqrt{5})$ và h(x) âm khi x thuộc hai khoảng $(-\infty ;5-\sqrt{5})$ và $(5+\sqrt{5};+\infty )$.

Dựa vào hình vẽ ta thấy trục Ox chính là vành rổ.

Ta có $5-\sqrt{5}\approx 1{,}1$ và $5+\sqrt{5}\approx 8{,}9$

Vậy với x thuộc khoảng (1,1; 8,9) thì bóng nằm cao hơn vành rổ và với x thuộc khoảng (– ∞;1,1) và (8,9 ; + ∞) thì bóng nằm thấp hơn vành rổ và với x ≈ 1,1 hoặc x ≈ 8,9 thì bóng nằm ngang vành rổ.

Diện tích khung dây thép hình chữ nhật ban đầu là: 20.15 = 300 (cm$^{2}$).

Diện tích khung hình chữ nhật mới là: (20 + x)(15 – x) = 300–5x – x$^{2}$ (cm$^{2}$).

Xét hiệu f(x) = 300 – 300 + 5x + x$^{2}$ = x$^{2}$ + 5x.

Ta có f(x) = x$^{2}$ – 5x là tam thức bậc hai có ∆ = 5$^{2}$ – 4.1.0 = 25 > 0. Do đó h(x) có hai nghiệm phân biệt x$_{1}$ = 0, x$_{2}$ = -5 và a = 1 > 0.

Khi đó ta có bảng xét dấu:

Suy ra f(x) âm khi x thuộc khoảng (-5; 0), f(x) dương khi x thuộc hai khoảng (-∞; -5) và (0; +∞).

Vậy với x thuộc khoảng (-5; 0) thì diện tích của khung dây thép tăng lên, x thuộc hai khoảng (-∞; -5) và (0; +∞) thì diện tích của khung dây thép giảm đi, và x = - 5 hoặc x = 0 thì diện tích khung dây thép không đổi.

Ta có: 9m$^{2}$ + 2m > - 3.

⇔ 9m$^{2}$ + 2m + 3 > 0.

Đặt f(m) = 9m$^{2}$ + 2m + 3.

Ta thấy f(m) là tam thức bậc hai với a = 9, b = 2 và c = 3.

Ta có: ∆ = 2$^{2}$ – 4.9.3 = 4 – 108 = -104 < 0. Do đó f(m) vô nghiệm và a = 9 > 0.

Khi đó ta có bảng xét dấu:

Từ bảng xét dấu ta thấy f(m) > 0 với mọi m

⇒ 9m$^{2}$ + 2m + 3 > 0 với mọi m hay 9m$^{2}$ + 2m > - 3 với mọi m.

Vậy 9m$^{2}$ + 2m > - 3 với mọi m.

a) Xét f(x) = 2x$^{2}$ + 3x + m + 1 là tam thức bậc hai với a = 2, b = 3, c = m + 1.

Ta có: ∆ = 3$^{2}$ – 4.2.(m + 1) = 9 – 8m – 8 = 1 – 8m.

Vì a = 2 > 0 nên để 2x$^{2}$ + 3x + m + 1 > 0 với mọi x ∈ ℝ thì ∆ < 0

⇔ 1 – 8m < 0

⇔ m > $\frac{1}{8}$.

Vậy với m > $\frac{1}{8}$ thì 2x$^{2}$ + 3x + m + 1 > 0 với mọi x ∈ ℝ.

b) Xét g(x) = mx$^{2}$ + 5x – 3.

+) Với m = 0 thì g(x) = 5x – 3.

Ta có: 5x – 3 ≤ 0 ⇔ x ≤ $\frac{3}{5}$.

Do đó với m = 0 không thỏa mãn.

+) Với m ≠ 0 thì g(x) = mx$^{2}$ + 5x – 3 là tam thức bậc hai với a = m, b = 5, c = - 3.

Ta có ∆ = 5$^{2}$ – 4.m.(-3) = 25 + 12m.

Để mx$^{2}$ + 5x – 3 ≤ 0 với mọi x ∈ ℝ thì

$\{\begin{matrix}a<0 \\ Δ\le 0\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}m<0 \\ 25+12m\le 0\end{matrix}\Leftrightarrow \{\begin{matrix}m<0 \\ m\le -\frac{25}{12}\end{matrix}\Leftrightarrow m\le -\frac{25}{12}$.

Vậy với $m\le -\frac{25}{12}$ thì mx$^{2}$ + 5x – 3 ≤ 0 với mọi x ∈ ℝ .