Bài tập Tọa độ của vectơ có đáp án

Hướng dẫn giải

Sau bài học này ta sẽ biết tọa độ của vectơ $\overrightarrow {OM}$ chính là tọa độ của điểm M.

Hướng dẫn giải

Từ điểm A, kẻ đường thẳng vuông góc với trục hoành và ta thấy đường thẳng này cắt trục hoành tại điểm ứng với số 2. Tương tự, từ A kẻ đường thẳng vuông góc với trục tung và ta thấy đường thẳng này cắt trục tung tại điểm ứng với số 2.

Vậy hoành độ của điểm A là 2 và tung độ của điểm A là 2.

Hướng dẫn giải:

Để xác định tọa độ của một điểm M tùy ý trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta làm như sau:

- Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với trục hoành và cắt trục hoành tại điểm H ứng với số a. Số a là hoành độ của điểm M.

- Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với trục tung và cắt trục tung tại điểm K ứng với số b. Số b là tung độ của điểm M.

Cặp số (a; b) là tọa độ của điểm M trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Ta kí hiệu là M(a; b).

Hướng dẫn giải

Ta vẽ vectơ $\overrightarrow {OM}$ như sau:

Hướng dẫn giải:

Để xác định tọa độ của một điểm M trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ta làm như sau:

- Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với trục hoành và cắt trục hoành tại điểm H ứng với số a. Số a là hoành độ của điểm M.

- Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với trục tung và cắt trục tung tại điểm K ứng với số b. Số b là tung độ của điểm M.

Cặp số (a; b) là tọa độ của điểm M trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Ta kí hiệu là M(a; b).

Hướng dẫn giải

Để xác định điểm A, ta làm như sau:

- Qua O kẻ đường thẳng d song song với giá của vectơ $\overrightarrow u$.

- Lấy điểm A trên đường thẳng d sao cho hai vectơ $\overrightarrow {OA} ,\,\,\overrightarrow u$ cùng hướng và độ dài đoạn thẳng OA bằng độ dài vectơ $\overrightarrow u$.

Vậy ta xác định được điểm A thỏa mãn yêu cầu.

Hướng dẫn giải

- Giá của vectơ $\overrightarrow c$ song song với trục Ox, trên trục Ox, lấy điểm A sao cho hai vectơ $\overrightarrow {OA} ,\,\,\overrightarrow c$ cùng hướng và độ dài đoạn thẳng OA bằng độ dài vectơ $\overrightarrow c$ và bằng 3 (đơn vị ô vuông).

Ta có: $\overrightarrow c = \overrightarrow {OA}$ và A(– 3; 0); tọa độ vectơ $\overrightarrow {OA}$chính là tọa độ điểm A nên $\overrightarrow c = \left( { - 3;\,0} \right)$.

- Giá của vectơ $\overrightarrow d$ song song với trục Oy, trên trục Oy, lấy điểm B sao cho hai vectơ $\overrightarrow {OB} ,\,\,\overrightarrow d$ cùng hướng và độ dài đoạn thẳng OB bằng độ dài vectơ $\overrightarrow d$ và bằng 2 (đơn vị ô vuông).

Ta có: $\overrightarrow d = \overrightarrow {OB}$ và B(0; 2); tọa độ vectơ $\overrightarrow {OB}$chính là tọa độ điểm B nên $\overrightarrow d = \left( {0;\,\,2} \right)$.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\overrightarrow {OA} = \overrightarrow u$, mà (a; b) là tọa độ của vectơ $\overrightarrow u$ nên điểm A có hoành độ là a và tung độ là b.

Hướng dẫn giải:

Điểm H biểu diễn số a trên trục Ox nên $\overrightarrow {OH} = a\overrightarrow i$.

Hướng dẫn giải:

Điểm K biểu diễn số b trên trục Oy nên $\overrightarrow {OK} = b\overrightarrow j$.

Hướng dẫn giải:

Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có: $\overrightarrow {OA} = \overrightarrow {OK} + \overrightarrow {OH}$.

Mà $\overrightarrow {OH} = a\overrightarrow i$, $\overrightarrow {OK} = b\overrightarrow j$ nên $\overrightarrow {OA} = a\overrightarrow i + b\overrightarrow j$.

Theo bài ra ta có: $\overrightarrow {OA} = \overrightarrow u$.

Vậy $\overrightarrow u = a\overrightarrow i + b\overrightarrow j$.

Hướng dẫn giải

Vì $\overrightarrow v$ = (0; – 7) nên $\overrightarrow v = 0.\overrightarrow i + \left( { - 7} \right).\overrightarrow j = - 7\overrightarrow j$.

Hướng dẫn giải:

Vì điểm B có tọa độ là (– 1; 0) nên $\overrightarrow {OB} = \left( { - 1;\,0} \right)$. Do đó:

$\overrightarrow {OB} = \left( { - 1} \right).\overrightarrow i + 0.\overrightarrow j = - \overrightarrow i$.

Hướng dẫn giải

Từ A và B ta kẻ các đường thẳng vuông góc với trục tung và trục hoành.

Ta xác định được tọa độ của các điểm A và B.

Hoành độ của điểm A là x$_{A}$ = 2, tung độ của điểm A là y$_{A}$ = 2.

Hoành độ của điểm B là x$_{B}$ = 4, tung độ của điểm B là y$_{B}$ = 3.

Hướng dẫn giải:

Để xác định điểm M, ta làm như sau:

- Từ đểm O, kẻ đường thẳng d song song với giá của vectơ $\overrightarrow {AB}$ (chính là đường thẳng AB).

- Lấy điểm M trên đường thẳng d sao cho hai vectơ $\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {OM}$ cùng hướng và độ dài đoạn thẳng OM bằng độ dài vectơ $\overrightarrow {AB}$ (chính là độ dài đoạn thẳng AB).

Ta xác định được điểm M thỏa mãn $\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {AB}$ như hình vẽ:

Từ điểm M, kẻ đường thẳng vuông góc với trục hoành, đường thẳng này cắt trục hoành tại điểm ứng với số 2, nên hoành độ của điểm M là x$_{M}$ = 2.

Từ điểm M, kẻ đường thẳng vuông góc với trục tung, đường thẳng này cắt trục tung tại điểm ứng với số 1, nên tung độ của điểm M là y$_{M}$ = 1.

Tọa độ của điểm M chính là tọa độ của vectơ $\overrightarrow {OM}$ nên $\overrightarrow {OM} = \left( {2;\,\,1} \right)$.

Lại có $\overrightarrow {OM} = \overrightarrow {AB}$, do đó tọa độ của vectơ $\overrightarrow {AB}$ là (2; 1).

Vậy hoành độ của vectơ $\overrightarrow {AB}$ là a = 2 và tung độ của vectơ $\overrightarrow {AB}$ là b = 1.

Hướng dẫn giải:

Ta có: x$_{B}$– x$_{A}$ = 4 – 2 = 2 và a = 2 nên x$_{B}$ – x$_{A}$ = a.

Và y$_{B}$ – y$_{A}$ = 3 – 2 = 1 và b = 1 nên y$_{B}$ – y$_{A}$ = b.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {5 - 1;\,\left( { - 1} \right) - 3} \right)$. Do đó $\overrightarrow {AB} = \left( {4;\, - 4} \right)$.

Lại có: $\overrightarrow {DC} = \left( {2 - \left( { - 2} \right);\,\,\left( { - 2} \right) - 2\,} \right)$. Do đó $\overrightarrow {DC} = \left( {4;\, - \,4} \right)$

Vậy $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC}$.

Hướng dẫn giải

Từ O, vẽ các đường thẳng song song với giá của các vectơ $\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b ,\,\,\overrightarrow c ,\,\,\overrightarrow d$.

Trên các đường thẳng đó, lần lượt lấy các điểm A, B, C, D sao cho $\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a$, $\overrightarrow {OB} = \overrightarrow b$, $\overrightarrow {OC} = \overrightarrow c$, $\overrightarrow {OD} = \overrightarrow d$ (như hình vẽ trên).

Từ các điểm A, B, C, D, kẻ các đường thẳng vuông góc với các trục tọa độ Ox, Oy để xác định tọa độ các điểm này. Ta xác định được tọa độ của các điểm là: A(– 5; – 3), B(3; – 4), C(– 1; 3) và D(2; 5).

+) Ta có $\overrightarrow {OA} = \overrightarrow a$ và tọa độ A là A(– 5; – 3), tọa độ của vectơ $\overrightarrow {OA}$ chính là tọa độ của điểm A, do đó tọa độ của vectơ $\overrightarrow a$ là (– 5; – 3) và $\overrightarrow a = \left( { - 5} \right).\overrightarrow i + \left( { - 3} \right).\overrightarrow j = - 5\overrightarrow i - 3\overrightarrow j$.

+) Ta có $\overrightarrow {OB} = \overrightarrow b$ và tọa độ của B(3; – 4), tọa độ của vectơ $\overrightarrow {OB}$ chính là tọa độ của điểm B, do đó tọa độ của vectơ $\overrightarrow b$là (3; – 4) và $\overrightarrow b = 3.\overrightarrow i + \left( { - 4} \right).\overrightarrow j = 3\overrightarrow i - 4\overrightarrow j$.

+) Ta có $\overrightarrow {OC} = \overrightarrow c$ và tọa độ của C(– 1; 3), tọa độ của vectơ $\overrightarrow {OC}$ chính là tọa độ của điểm C, do đó tọa độ của vectơ $\overrightarrow c$là (– 1; 3) và $\overrightarrow c = \left( { - 1} \right).\overrightarrow i + 3.\overrightarrow j = - \overrightarrow i + 3\overrightarrow j$.

+) Ta có $\overrightarrow {OD} = \overrightarrow d$ và tọa độ của D(2; 5), tọa độ của vectơ $\overrightarrow {OD}$ chính là tọa độ của điểm D, do đó tọa độ của vectơ $\overrightarrow d$là (2; 5) và $\overrightarrow d = 2.\overrightarrow i + 5.\overrightarrow j = 2\overrightarrow i + 5\overrightarrow j$.

Hướng dẫn giải

$\overrightarrow a = 3\overrightarrow i = 3.\overrightarrow i + 0.\overrightarrow j$. Do đó tọa độ của vectơ $\overrightarrow a$ là $\overrightarrow a = \left( {3;\,\,0} \right)$.

Hướng dẫn giải:

$\overrightarrow b = - \overrightarrow j = 0.\overrightarrow i + \left( { - 1} \right).\overrightarrow j$. Do đó tọa độ của vectơ $\overrightarrow b$ là $\overrightarrow b = \left( {0;\,\, - 1} \right)$.

Hướng dẫn giải:

$\overrightarrow c = \overrightarrow i - 4\overrightarrow j = 1.\overrightarrow i + \left( { - 4} \right).\overrightarrow j$. Do đó tọa độ của vectơ $\overrightarrow c$ là $\overrightarrow c = \left( {1;\,\, - 4} \right)$.

Hướng dẫn giải:

$\overrightarrow d = 0{,}5\overrightarrow i + \sqrt 6 \overrightarrow j = 0{,}5.\overrightarrow i + \sqrt 6 .\overrightarrow j$. Do đó tọa độ của vectơ $\overrightarrow d$ là $\overrightarrow d = \left( {0{,}5;\,\,\sqrt 6 } \right)$.

Hướng dẫn giải

Hai vectơ bằng nhau khi hoành độ của vectơ này bằng hoành độ của vectơ kia và tung độ của vectơ này bằng tung độ của vectơ kia.

Ta có: $\overrightarrow u = \overrightarrow v \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a - 1 = 3\\ - 3 = 4b + 1\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - 1\end{array} \right.$.

Vậy a = 2 và b = – 1.

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\overrightarrow x = \overrightarrow y \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b = 2a - 3\\ - 2a + 3b = 4b\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = a - 3\,\,\,\left( 1 \right)\\ - 2a = b\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Từ (1) và (2) ta được: a – 3 = – 2a ⇔ a + 2a = 3 ⇔ 3a = 3 ⇔ a = 1.

Thay vào (1) ta được: b = 1 – 3 = – 2.

Vậy a = 1 và b = – 2.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\overrightarrow {BC} = \left( {3 - \left( { - 1} \right);\,\left( { - 1} \right) - 1} \right)$. Do đó $\overrightarrow {BC} = \left( {4;\,\, - 2} \right)$.

Gọi tọa độ điểm M(x; y), khi đó $\overrightarrow {AM} = \left( {x - 2;y - 3} \right)$.

$\overrightarrow {AM} = \overrightarrow {BC}$$\Leftrightarrow \overrightarrow {AM} = \left( {4; - 2} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 2 = 4\\y - 3 = - 2\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 6\\y = 1\end{array} \right.$.

Vậy tọa độ điểm M cần tìm là M(6; 1).

Hướng dẫn giải:

Gọi tọa độ điểm N(a; b).

Ta có: $\overrightarrow {AN} = \left( {a - 2;b - 3} \right)$, $\overrightarrow {NC} = \left( {3 - a;\left( { - 1} \right) - b} \right)$.

Vì N là trung điểm của đoạn thẳng AC nên $\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {NC}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 2 = 3 - a\\b - 3 = \left( { - 1} \right) - b\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a = 5\\2b = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{5}{2}\\b = 1\end{array} \right.$.

Vậy tọa độ của điểm N là $N\left( {\frac{5}{2};\,\,1} \right)$.

Ta có: $\overrightarrow {BN} = \left( {\frac{5}{2} - \left( { - 1} \right);1 - 1} \right) = \left( {\frac{7}{2};\,\,0} \right)$; $\overrightarrow {NM} = \left( {6 - \frac{5}{2};\,\,1 - 1} \right) = \left( {\frac{7}{2};\,0} \right)$

Vậy $\overrightarrow {BN} = \overrightarrow {NM}$.

Hướng dẫn giải

Điểm A đối xứng với điểm M qua gốc O nên O là trung điểm của AM.

Do đó $\overrightarrow {AO} = \overrightarrow {OM}$.

Gọi tọa độ điểm A(a; b).

Ta có: $\overrightarrow {AO} = \left( {0 - a;0 - b} \right) = \left( { - a; - b} \right)$; $\overrightarrow {OM} = \left( { - 1;\,3} \right)$ (tọa độ vectơ $\overrightarrow {OM}$ chính là tọa độ điểm M).

$\overrightarrow {AO} = \overrightarrow {OM}$ $\Leftrightarrow \overrightarrow {AO} = \left( { - 1;\,3} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - a = - 1\\ - b = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 3\end{array} \right.$.

Vậy tọa độ điểm A là A(1; – 3).

Hướng dẫn giải:

Vì điểm B đối xứng với điểm M qua trục Ox nên hoành độ của điểm B giữ nguyên và tung độ của điểm B đối nhau với trung độ của điểm M.

Vậy ta có tọa độ của B là B(– 1; – 3).

Hướng dẫn giải:

Điểm C đối xứng với điểm M qua trục Oy nên tung độ của điểm C giữ nguyên và hoành độ của điểm C đối nhau với hoành độ của điểm M.

Vậy tọa độ của điểm C là C(1; 3).

Hướng dẫn giải

Gọi tọa độ điểm C(x$_{C}$; y$_{C}$), tọa độ điểm D(x$_{D}$; y$_{D}$).

Khi đó ta có: $\overrightarrow {AI} = \left( {4 - \left( { - 3} \right);\,2 - 1} \right) = \left( {7;\,\,1} \right)$, $\overrightarrow {IC} = \left( {{x_C} - 4;\,{y_C} - 2} \right)$.

Vì I là tâm đối xứng của hình bình hành ABCD nên I là trung điểm của AC, do đó $\overrightarrow {AI} = \overrightarrow {IC}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow {IC} = \left( {7;\,\,1} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} - 4 = 7\\{y_C} - 2 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = 11\\{y_C} = 3\end{array} \right.$.

Vậy tọa độ điểm C là C(11; 3).

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {\left( { - 1} \right) - \left( { - 3} \right);3 - 1} \right) = \left( {2;\,2} \right)$, $\overrightarrow {DC} = \left( {11 - {x_D};\,\,3 - {y_D}} \right)$.

Vì ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC}$$\Leftrightarrow \overrightarrow {DC} = \left( {2;\,\,2} \right)$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}11 - {x_D} = 2\\3 - {y_D} = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 9\\{y_D} = 1\end{array} \right.$.

Vậy tọa độ điểm D là D(9; 1).

Hướng dẫn giải

Gọi tọa độ điểm A(x$_{A}$; y$_{A}$), B(x$_{B}$; y$_{B}$), C(x$_{C}$; y$_{C}$).

Ta có: $\overrightarrow {AP} = \left( {6 - {x_A};\,2 - {y_A}} \right)$, $\overrightarrow {PB} = \left( {{x_B} - 6;\,{y_B} - 2} \right)$, $\overrightarrow {BM} = \left( {1 - {x_B};\,\left( { - 2} \right) - {y_B}} \right)$, $\overrightarrow {MC} = \left( {{x_C} - 1;{y_C} - \left( { - 2} \right)} \right)$, $\overrightarrow {AN} = \left( {4 - {x_A};\,\left( { - 1} \right) - {y_A}} \right)$, $\overrightarrow {NC} = \left( {{x_C} - 4;\,{y_c} - \left( { - 1} \right)} \right)$.

Vì P là trung điểm của AB nên $\overrightarrow {AP} = \overrightarrow {PB} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}6 - {x_A} = {x_B} - 6\\2 - {y_A} = {y_B} - 2\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 12 - {x_B}\\{y_A} = 4 - {y_B}\end{array} \right.$ (1)

Vì M là trung điểm của BC nên $\overrightarrow {BM} = \overrightarrow {MC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - {x_B} = {x_C} - 1\\\left( { - 2} \right) - {y_B} = {y_C} - \left( { - 2} \right)\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 2 - {x_C}\\{y_B} = - 4 - {y_C}\end{array} \right.$(2)

Vì N là trung điểm của AC nên $\overrightarrow {AN} = \overrightarrow {NC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 - {x_A} = {x_C} - 4\\\left( { - 1} \right) - {y_A} = {y_C} - \left( { - 1} \right)\end{array} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 8 - {x_C}\\{y_A} = - 2 - {y_C}\end{array} \right.$(3)

Từ (1) và (3) suy ra: $\left\{ \begin{array}{l}12 - {x_B} = 8 - {x_C}\\4 - {y_B} = - 2 - {y_C}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 4 + {x_C}\\{y_B} = 6 + {y_C}\end{array} \right.$ (4)

Từ (2) và (4) suy ra: $\left\{ \begin{array}{l}2 - {x_C} = 4 + {x_C}\\ - 4 - {y_C} = 6 + {y_C}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{x_C} = - 2\\2{y_C} = - 10\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_C} = - 1\\{y_C} = - 5\end{array} \right.$.

Vậy tọa độ điểm C là C(– 1; – 5).

Thay tọa độ điểm C vào (3) ta được: $\left\{ \begin{array}{l}{x_A} = 8 - \left( { - 1} \right) = 9\\{y_A} = - 2 - \left( { - 5} \right) = 3\end{array} \right.$.

Thay tọa độ điểm C vào (4) ta được: $\left\{ \begin{array}{l}{x_B} = 4 + \left( { - 1} \right) = 3\\{y_B} = 6 + \left( { - 5} \right) = 1\end{array} \right.$.

Vậy tọa độ các điểm A, B, C là A(9; 3), B(3; 1) và C(– 1; – 5).