Bài tập Tính tỉ số lượng giác trong tam giác vuông lớp 9 (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Ta có: tan C = $\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{2}{3}$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: cos B = $\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{5}{{5\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$.

Nhận thấy cos B = cos45°.

Suy ra $\widehat B = 45^\circ$.

Đáp án đúng là: D

Áp dụng định lí pythagore đảo, ta có:

MN$^{2}$ + MP$^{2}$ = 5$^{2}$ + 12$^{2}$ = 169 = 13$^{2}$ = NP$^{2}$.

Suy ra tam giác MNP vuông tại M.

Ta có: sin N = $\frac{{12}}{{13}}$; cos N = $\frac{5}{{13}}$, tan N = $\frac{{12}}{5}$.

Đáp án đúng là: C

Xét tam giác ABC vuông tại A, áp dụng định lí Pythagore, ta có:

AB$^{2}$ + AC$^{2}$ = BC$^{2}$

AC$^{2}$ = BC$^{2}$ – AB$^{2}$ = 17$^{2}$ – 8$^{2}$ = 225.

AC = 15 (cm).

Ta có: sin B = $\frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{15}}{{17}}$; cos B = $\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{15}}{{17}}$; tan B = $\frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{15}}{8}$; cot B = $\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{8}{{15}}$.

Đáp án đúng là: C

Xét

tam giác ABC vuông tại A, áp dụng định lí Pythagore, ta có:

AB$^{2}$ + AC$^{2}$ = BC$^{2}$

BC$^{2}$ = 1,2$^{2}$ + 0,9$^{2}$ = 2,25.

BC = 1,5 (cm).

Ta có: sin C = $\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{1{,}2}}{{1{,}5}} = \frac{4}{5}$;

cos C = $\frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{0{,}9}}{{1{,}5}} = \frac{3}{5}$;

tan C = $\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{1{,}2}}{{0{,}9}} = \frac{4}{3}$;

cot C = $\frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{0{,}9}}{{1{,}2}} = \frac{3}{4}$.

Đáp án đúng là: D

Áp

dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC, ta có:

AB$^{2}$ + AC$^{2}$ = BC$^{2}$, suy ra BC$^{2}$ = 6$^{2}$ + 8$^{2}$ = 100, do đó BC = 10 cm.

Ta có: sin B = cos C = $\frac{{AC}}{{BC}} = \frac{8}{{10}} = 0{,}8$;

cos B = sin C = $\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{6}{{10}} = 0{,}6$;

tan B = cot C = $\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$;

cot B = tan C = $\frac{{AC}}{{AB}} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$.

Đáp án đúng là: A

Áp dụng định lí Pythagore đảo, ta có:

AC$^{2}$ + BC$^{2}$ = 3a$^{2}$ + 2a$^{2}$ = 5a$^{2}$ = AB$^{2}$.

Do đó, tam giác ABC vuông tại C.

Ta có: sin A = $\frac{{BC}}{{AB}} = \frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt {15} }}{5}$;

cos A = $\frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 5 }} = \frac{{\sqrt {10} }}{5}$;

tan A = $\frac{{BC}}{{AC}} = \frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 6 }}{2}$.

Đáp án đúng là: D

Áp

dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:

AB$^{2}$ + AC$^{2}$ = BC$^{2}$

1,6$^{2}$ + 1,2$^{2}$ = BC$^{2}$

Suy ra BC = 2 cm.

Ta có: sin B = cos C = $\frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{1{,}2}}{2} = \frac{3}{5}$;

tan B = cot C = $\frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{1{,}2}}{{1{,}6}} = \frac{3}{4}$;

sin C = cos B = $\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{1{,}6}}{2} = \frac{4}{5}$;

tan C = cot B = $\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{1{,}6}}{{1{,}2}} = \frac{4}{3}$.

Đáp án đúng là: C

Ta

có: cos B = sin C = 0,6.

Vậy chọn C.

Đáp án đúng là: A

Ta

có đường cao AH nên tam giác ABH vuông tại H.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABH, ta có:

AH$^{2}$ + BH$^{2}$ = AB$^{2}$

5$^{2}$ + BH$^{2}$ = 13$^{2}$

Suy ra BH = 12 cm.

Ta có sin B = $\frac{{AH}}{{AB}} = \frac{5}{{13}}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng.

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:

AB$^{2}$ + AC$^{2}$ = BC$^{2}$

AB$^{2}$ = BC$^{2}$ – AC$^{2}$

$AB = \sqrt {B{C^2} - A{C^2}}$

$AB = \sqrt {{{13}^2} - {{12}^2}}$

AB = 5 (cm).

Vậy AB = 5 cm.

b) Sai.

Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có: $\sin B = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{12}}{{13}}$.

c) Đúng.

Ta có tam giác ABC vuông tại A nên ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AC.AB$.

Lại có AH là đường cao trong tam giác ABC nên ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AH.BC$.

Từ đây, suy ra ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AC.AB = \frac{1}{2}.AH.BC$.

Suy ra AC.AB = AH.BC.

d) Đúng.

Có AC.AB = AH.BC nên $AH = \frac{{AC.AB}}{{BC}} = \frac{{12.5}}{{13}} = \frac{{60}}{{13}}$.

Xét tam giác ABH vuông tại H, ta có:

$\cos \widehat {BAH} = \frac{{AH}}{{AB}} = \frac{{60}}{{13}}:5 = \frac{{12}}{{13}}$.

Lại có $\sin \widehat {BAH} = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\widehat {BAH}} = \frac{5}{{13}}$.

Do đó, $\tan \widehat {BAH} = \frac{{\sin \widehat {BAH}}}{{\cos \widehat {BAH}}} = \frac{5}{{13}}:\frac{{12}}{{13}} = \frac{5}{{12}}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng.

Xét tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH có $\tan \widehat {BAH} = \cot \widehat {HAC}$ (hai góc phụ nhau).

Mà $\tan \widehat {BAH} = \frac{{BH}}{{AH}}$; $\tan \widehat {ACH} = \frac{{AH}}{{HC}}$.

Suy ra $\frac{{BH}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{HC}}$, do đó AH$^{2}$ = BH.HC.

b) Sai.

Vì AH$^{2}$ = BH.HC = 6.8 = 48 nên $AH = \sqrt {48} = 4\sqrt 3$ (cm).

c) Đúng.

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác ABH, ta có:

AH$^{2}$ + BH$^{2}$ = AB$^{2}$

48 + 36 = AB$^{2}$

Suy ra AB = 84 nên $AB = \sqrt {84} = 2\sqrt {21}$ (cm)

Do đó, $\sin \widehat {BAH} = \frac{{BH}}{{AB}} = \frac{6}{{2\sqrt {21} }} = \frac{{6\sqrt {21} }}{{42}} = \frac{{\sqrt {21} }}{7}$.

d) Sai.

Có $\cos \widehat {BAH} = \frac{{AH}}{{AB}} = \frac{{4\sqrt 3 }}{{2\sqrt {21} }} = \frac{{2\sqrt {63} }}{{21}}$.

Vì $\widehat {BAH}$ và $\widehat {CAH}$ là hai góc phụ nhau nên $\sin \widehat {CAH} = \cos \widehat {BAH}$.

Do đó, $\sin \widehat {BAH} = \frac{{2\sqrt {63} }}{{21}}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng.

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác ABC, có:

AB$^{2}$ + AC$^{2}$ = BC$^{2}$

Do đó, $AC = \sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = \sqrt {{{26}^2} - {{10}^2}} = 24\,\,\left( {cm} \right)$

b) Đúng.

Ta có: $\sin B = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{24}}{{26}} = \frac{{12}}{{13}}$.

c) Sai.

Ta có: $\tan C = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{10}}{{24}} = \frac{5}{{12}}$.

d) Sai.

Vì $\sin B = \frac{{12}}{{13}}$ nên $\widehat B \approx 67^\circ$.

Do đó, $\widehat C = 90^\circ - \widehat B = 90^\circ - 67^\circ = 23^\circ$.

Do đó, $\widehat B - \widehat C = 67^\circ - 23^\circ = 44^\circ$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC có:

AB$^{2}$ + AC$^{2}$ = BC$^{2}$, do đó $AC = \,\sqrt {B{C^2} - A{B^2}} = \sqrt {{{15}^2} - {{12}^2}} = 9\,\,\left( {cm} \right)$.

b) Sai.

Ta có: $\cos B = \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{12}}{{15}} = \frac{4}{5}$.

c) Sai.

Ta có: $\tan C = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{12}}{9} = \frac{4}{3}.$

d) Đúng.

Vì hai góc B và C là hai góc phụ nhau nên ta có: cos B = sin C; tan C = cot B.

Do đó, ta có: A = cos B.tan C + sin C.cot B

$= \cos B.\tan C + \cos B.\tan C = 2\cos B.\tan C = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{4}{3} = \frac{{32}}{{15}}$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:

AB$^{2}$ + AC$^{2}$ = BC$^{2}$ hay $BC = \sqrt {A{C^2} + A{B^2}} = \sqrt {{{20}^2} + {{\left( {20\sqrt 3 } \right)}^2}} = 40\,\,\left( {cm} \right)$.

b) Đúng.

Ta có: $\cos C = \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{20}}{{40}} = \frac{1}{2}$.

c) Sai.

Ta có: $\cot B = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{20\sqrt 3 }}{{20}} = \sqrt 3$.

d) Đúng.

Vì hai góc B và C là hai góc phụ nhau nên ta có cos C = sin B và tan C = cot B.

Suy ra B = cos C.sin B + tan C.cot B

$= \frac{1}{2}.\frac{1}{2} + \sqrt 3 .\sqrt 3 = \frac{1}{4} + 3 = \frac{{13}}{4}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 60

Có AB + BC = 15 nên AB = 15 – BC

Áp dụng định lý Pythagore, ta có:

AB$^{2}$ + AC$^{2}$ = BC$^{2}$

(15 – BC)$^{2}$ + ${\left( {5\sqrt 3 } \right)^2}$ = BC$^{2}$

225 – 30BC + BC$^{2}$ + 75 – BC$^{2}$ = 0

300 – 30BC = 0

30BC = 300

BC = 10 (cm)

Do đó, AB = 15 – 10 = 5 (cm)

Xét tam giác vuông ABC, có: tanB = $\frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{5\sqrt 3 }}{5} = \sqrt 3$.

Suy ra số đo góc B bằng 60°.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 42

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:

AB$^{2}$ + AC$^{2}$ = BC$^{2}$

$\frac{4}{9}B{C^2} + A{C^2} = B{C^2}$

$A{C^2} = \frac{5}{9}B{C^2}$.

Do đó, $AC = \frac{{\sqrt 5 }}{3}BC$.

Xét tam giác ABC, có: $\cot C = \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{\sqrt 5 }}{3}BC:\frac{2}{3}BC = \frac{{\sqrt 5 }}{2}$

Suy ra $\widehat C \approx 42^\circ$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 0,75

Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông ABC, ta có: AB$^{2}$ + AC$^{2}$ = BC$^{2}$

Hay 9a$^{2}$ + 16a$^{2}$ = BC$^{2}$ suy ra BC = 5a.

Vì $\widehat {BAH};\,\,\widehat {ABH}$ là hai góc phụ nhau nên $\tan \widehat {BAH} = \cot \widehat {ABH}$.

Mà $\cot \widehat {ABH} = \cot \widehat {ABC} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{3a}}{{4a}} = \frac{3}{4}$.

Suy ra $\tan \widehat {BAH} = \frac{3}{4} = 0{,}75$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 0,75

Nhận thấy AB$^{2}$ + AC$^{2}$ = 21$^{2}$ + 28$^{2}$ = 1 225 = 35$^{2}$ hay AB$^{2}$ + AC$^{2}$ = BC$^{2}$.

Do đó, tam giác ABC vuông tại A.

Ta có: ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AB.AC = \frac{1}{2}.AH.BC$, do đó AB.AC = AH.BC

Suy ra $AH = \frac{{AB.AC}}{{BC}} = \frac{{21.28}}{{35}} = 16{,}8\,\,(cm)$.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác AHC, có:

$HC = \sqrt {A{C^2} - A{H^2}} = \sqrt {{{21}^2} - {{16{,}8}^2}} = 12{,}6\,\,\left( {cm} \right)$

Xét tam giác AHC vuông tại H, ta có: $\tan \widehat {HAC} = \frac{{HC}}{{HA}} = \frac{{12{,}6}}{{16{,}8}} = \frac{3}{4} = 0{,}75$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 0,8

Nhận thấy MN$^{2}$ + MP$^{2}$ = 28$^{2}$ + 21$^{2}$ = 1 225 = 35$^{2}$ hay MN$^{2}$ + MP$^{2}$ = NP$^{2}$.

Do đó, tam giác MNP vuông tại M.

Ta có: ${S_{MPN}} = \frac{1}{2}.MP.MN = \frac{1}{2}.MI.PN$ hay MP.MN = MI.PN

Do đó, $MI = \frac{{MP.MN}}{{PN}} = \frac{{21.28}}{{35}} = 16{,}8\,\,(cm)$.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác NIM, có:

$NI = \sqrt {M{N^2} - M{I^2}} = \sqrt {{{28}^2} - {{16{,}8}^2}} = 22{,}4\,\,\left( {cm} \right)$

Do đó, $\sin \widehat {NMI} = \frac{{NI}}{{MN}} = \frac{{22{,}4}}{{28}} = \frac{4}{5} = 0{,}8$.