Bài tập Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai dựa vào định lí Viète lớp 9 (có lời giải)

Đáp án đúng là: D

Nếu phương trình ax$^{2}$ + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a – b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm x$_{1}$ = –1, nghiệm kia là ${x_2} = - \frac{c}{a}.$

Đáp án đúng là: A

Nếu phương trình ax$^{2}$ + bx + c = 0 (a ≠ 0) có a + b + c = 0 thì phương trình có một nghiệm x$_{1}$ = 1, nghiệm kia là ${x_2} = \frac{c}{a}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Phương trình $\left( {\sqrt 3 - 2} \right){x^2} + 2x - \sqrt 3 = 0$ có $a = \sqrt 3 - 2,\,\,b = 2,\,\,c = - \sqrt 3 .$

Ta có $a + b + c = \sqrt 3 - 2 + 2 + \left( { - \sqrt 3 } \right) = 0.$

Do đó phương trình đã cho có một nghiệm là x$_{1}$ = 1, nghiệm kia là

$${x_2} = - \frac{{\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 - 2}} = - \frac{{\sqrt 3 \left( {\sqrt 3 + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt 3 - 2} \right)\left( {\sqrt 3 + 2} \right)}} = - \frac{{\sqrt 3 \left( {\sqrt 3 + 2} \right)}}{{3 - 4}} = \sqrt 3 \left( {\sqrt 3 + 2} \right).$$

Đáp án đúng là: C

Phương trình x$^{2}$ – 5x + 6 = 0 có a = 1, b = –5, c = 6.

Ta có: $- \frac{b}{a} = 5 = 2 + 3$ và $\frac{c}{a} = 6 = 2 \cdot 3$ nên phương trình có hai nghiệm là x$_{1}$ = 2; x$_{2}$ = 3.

Đáp án đúng là: D

Phương trình 2x$^{2}$ – (m – 1)x + m – 3 = 0 có a = 2, b = – (m – 1), c = m – 3.

Ta có a + b + c = 2 – (m – 1) + m – 3 = 0.

Do đó phương trình đã cho có một nghiệm là x$_{1}$ = 1 và nghiệm kia là ${x_2} = \frac{{m - 3}}{2}.$

Đáp án đúng là: D

Phương trình mx$^{2}$ + (2m + 1)x + m + 1 = 0 (m ≠ 0) có a = m, b = 2m + 1, c = m + 1.

Ta có: a – b + c = m – (2m + 1) + m + 1 = 0.

Do đó phương trình đã cho có một nghiệm là x$_{1}$ = –1 và nghiệm kia là ${x_2} = - \frac{{m + 1}}{m}.$

Đáp án đúng là: C

Do phương trình x$^{2}$ – (m + 4)x + 3m + 3 = 0 có hai nghiệm với mọi m nên theo hệ thức Viète, ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m + 4\\{x_1}{x_2} = 3m + 3\end{array} \right.$

Ta thấy rằng có hai số m + 1 và 3 thỏa mãn m + 1 + 3 = m + 4 và (m + 1).3 = 3m + 3.

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm là x$_{1}$ = 3, x$_{2}$ = m + 1.

Đáp án đúng là: A

Phương trình x$^{2}$ – 6x + m$^{2}$ – 4m = 0 có hai nghiệm x$_{1}$, x$_{2}$ nên theo định lí Viète, ta có:

x$_{1}$ + x$_{2}$ = 6.

Mà x$_{1}$ = 1 nên x$_{2}$ = 6 – 1 = 5.

Đáp án đúng là: D

Phương trình (m – 2)x$^{2}$ – (2m + 5)x + m + 7 = 0 có a = m – 2, b = –(2m + 5), c = m + 7.

Ta có: a + b + c = m – 2 + [–(2m + 5)] + m + 7 = 0.

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm là x$_{1}$ = 1; x$_{2}$ = $\frac{{m + 7}}{{m - 2}}$ (với m ≠ 2).

Để phương trình đã cho có các nghiệm đều là số nguyên thì $\frac{{m + 7}}{{m - 2}}$ phải là số nguyên.

Ta có: $\frac{{m + 7}}{{m - 2}} = 1 + \frac{9}{{m - 2}}.$

Với m là số nguyên khác 2, để $\frac{{m + 7}}{{m - 2}}$ là số nguyên thì $\frac{9}{{m - 2}},$ tức là 9 ⋮ (m – 2), hay m – 2 ∈ Ư(9) = {1; –1; 3; –3; 9; –9}.

Suy ra m ∈ {3; 1; 5; –1; 11; –7} (thỏa mãn).

Vậy có 6 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án đúng là: C

Do phương trình x$^{2}$ – (2m + 1)x + m$^{2}$ + m = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt x$_{1}$, x$_{2}$ với mọi m, nên theo định lí Viète, ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m + 1\\{x_1}{x_2} = {m^2} + m\end{array} \right..$

Cách 1. Ta thấy rằng có hai số m và m + 1 thỏa mãn m + m + 1 = 2m + 1 và m.(m + 1) = m$^{2}$ + m.

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm là x$_{1}$ = m, x$_{2}$ = m + 1.

Tổng bình phương các nghiệm của phương trình theo m là:

$x_1^2 + x_2^2 = {m^2} + {\left( {m + 1} \right)^2} = 2{m^2} + 2m + 1.$

***Cách 2. Ta có:* **

$x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2}$

$= {\left( {2m + 1} \right)^2} - 2 \cdot \left( {{m^2} + m} \right)$

$= 4{m^2} + 4m + 1 - 2{m^2} - 2m = 2{m^2} + 2m + 1.$

Đáp án đúng là: A

Phương trình ax$^{2}$ + bx + c = 0 (a ≠ 0) có một nghiệm x = 1 khi a + b + c = 0.

Đáp án đúng là: D

Phương trình ax$^{2}$ + bx + c = 0 (a ≠ 0) có một nghiệm x = –1 khi a – b + c = 0.

Đáp án đúng là: B

Vì phương trình ax$^{2}$ + bx + c = 0 (a ≠ 0) có một nghiệm x = 1 nên nghiệm còn lại của phương trình đó là ${\rm{x}} = \frac{{\rm{c}}}{{\rm{a}}}.$

Đáp án đúng là: D

Phương trình (1) có các hệ số a = 1; b = –3; c = 2 nên A sai.

Vì a + b + c = 1 – 3 + 2 = 0 nên phương trình (1) có một nghiệm là x = 1.

Suy ra B sai, D đúng.

Nghiệm còn lại của phương trình là: ${\rm{x}} = \frac{2}{1} = 2$ nên C sai.

Đáp án đúng là: D

Vì 4 – (–7) – 11 = 0 nên phương trình đã cho có 2 nghiệm là ${{\rm{x}}_1} = - 1;\;\,{{\rm{x}}_2} = \frac{{ - \left( { - 11} \right)}}{4} = \frac{{11}}{4}$.

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm là số nguyên âm.

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai.

Phương trình (1) có các hệ số a = 1; b = –9; c = –10.

b) Đúng.

Ta có: a – b + c = 1 – (–9) – 10 = 0. Vậy phương trình (1) có một nghiệm bằng –1.

c) Đúng.

Nghiệm còn lại của phương trình (1) là: ${\rm{x}} = \frac{{ - \left( { - 10} \right)}}{1} = 10$.

Vậy nghiệm còn lại của phương trình (1) bằng 10.

d) Đúng.

Vì phương trình (1) có x$_{1}$> x$_{2}$nên x$_{1}$= 10; x$_{2}$= –1.

Do đó, 2x$_{1}$ + x$_{2}$ = 2.10 – 1 = 19 > 0.

Vậy 2x$_{1}$ + x$_{2}$ > 0.

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Sai.

Ta có: a – b + c = 1 – 15 + 14 = 0. Vậy a – b + c = 0.

b) Đúng.

Vì a – b + c = 0 nên phương trình (1) có 1 nghiệm là x = –1.

c) Đúng.

Nghiệm còn lại của phương trình (1) là ${\rm{x}} = \frac{{ - 14}}{1} = - 14.$

Vậy nghiệm còn lại của phương trình (1) là –14.

d) Sai.

Ta có: (–1) – (–14) = 13.

Vậy nghiệm lớn lớn hơn nghiệm nhỏ là 13 đơn vị.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng.

Ta có: ${\rm{a}} = \sqrt 2 ;\;\,{\rm{b}} = - \left( {\sqrt 2 + 3} \right) = - \sqrt 2 - 3;\;\,{\rm{c}} = 3.$ Vậy ${\rm{a}} = \sqrt 2 ;\;\,{\rm{b}} = - \sqrt 2 - 3;\;\,{\rm{c}} = 3.$

b) Đúng.

Vì ${\rm{a}} + {\rm{b}} + {\rm{c}} = \sqrt 2 + \left( { - \sqrt 2 - 3} \right) + 3 = 0$ nên phương trình (1) có một nghiệm là x= 1.

Vậy phương trình (1) có 1 nghiệm là 1.

c) Sai.

Nghiệm còn lại của phương trình (1) là ${\rm{x}} = \frac{3}{{\sqrt 2 }} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}.$

Vậy nghiệm còn lại của phương trình (1) là ${\rm{x}} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}.$

d) Sai.

Theo b) và c) và kết hợp với x$_{1}$ > x$_{2}$ta có: ${{\rm{x}}_1} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2};\;\,{{\rm{x}}_2} = 1.$

Do đó, ${\rm{B}} = \sqrt 2 {{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2} = \frac{{\sqrt 2 \cdot 3\sqrt 2 }}{2} + 1 = 3 + 1 = 4.$ Vậy B > 4.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng.

Phương trình (1) có: a + b + c = 199 + 21 – 220 = 0.

Vậy phương trình (1) có tổng các hệ số bằng 0.

b) Đúng.

Vì a + b + c = 0 nên phương trình (1) có một nghiệm bằng 1.

c) Đúng.

Nghiệm còn lại của phương trình là: $\frac{{\rm{c}}}{{\rm{a}}} = \frac{{ - 220}}{{199}}$.

Vì phương trình (1) có hai nghiệm x$_{1}$, x$_{2}$ thỏa mãn x$_{1}$< x$_{2}$ nên ${{\rm{x}}_1} = \frac{{ - 220}}{{199}};\;\,{{\rm{x}}_2} = 1.$

Vậy 199x$_{1}$ = –220.

d) Sai.

Theo c) ta có: ${{\rm{x}}_1} = \frac{{ - 220}}{{199}};\;\,{{\rm{x}}_2} = 1$ nên ${\rm{x}}_2^2 - 199{{\rm{x}}_1} = {1^2} - \left( { - 220} \right) = 221 > 220.$

Vậy ${\rm{x}}_2^2 - 199{{\rm{x}}_1} > 220.$

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng.

Phương trình (1) có 2 – (–3) – 5 = 0 nên phương trình (1) có một nghiệm là x = –1.

Vậy phương trình (1) có một nghiệm là x = –1.

b) Sai.

Phương trình (2) có (–1) – 4 + 5 = 0 nên phương trình (2) có một nghiệm là x = –1.

Nghiệm còn lại của phương trình (2) là: $\frac{{ - {\rm{c}}}}{{\rm{a}}} = \frac{{ - 5}}{{ - 1}} = 5.$

Vậy phương trình (2) không có nghiệm x = 1.

c) Đúng.

Nghiệm còn lại của phương trình (1) là: $\frac{{ - {\rm{c}}}}{{\rm{a}}} = \frac{{ - \left( { - 5} \right)}}{2} = \frac{5}{2}.$

Theo a), phương trình (1) có nghiệm là x = –1.

Vậy nghiệm lớn nhất của phương trình (1) là $\frac{5}{2}.$

d) Đúng.

Theo b) và c) ta có nghiệm bé nhất của phương trình (2) là –1 và nghiệm lớn nhất của phương trình (1) là $\frac{5}{2}.$

Ta có: $\frac{5}{2} + \left( { - 1} \right) = \frac{3}{2} > 0$.

Vậy tổng nghiệm lớn nhất của phương trình (1) và nghiệm bé nhất của phương trình (2) lớn hơn 0.

Đáp án: –6

Phương trình (1) có $\frac{1}{2} + \left( {\frac{{ - 3}}{4}} \right) + \frac{1}{4} = 0$ nên phương trình đã cho có hai nghiệm là

${{\rm{x}}_1} = 1;\;\,{{\rm{x}}_2} = \frac{{\frac{1}{4}}}{{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2}$.

Do đó, a = 1.

Thay a = 1 vào M ta có: M = 1$^{2}$ – 7.1 = –6.

Vậy giá trị biểu thức M bằng –6.

Đáp án: 14

Ta có: $\sqrt 5 - \sqrt 5 - 4 + 4 = 0$ nên nên phương trình đã cho có hai nghiệm là

${{\rm{x}}_1} = 1;\;\,{{\rm{x}}_2} = \frac{4}{{\sqrt 5 }}$ (do x$_{1}$ < x$_{2}$).

Do đó, $5{\rm{x}}_2^2 - 2{\rm{x}}_1^2 = 5 \cdot {\left( {\frac{4}{{\sqrt 5 }}} \right)^2} - 2 \cdot {1^2} = 16 - 2 = 14$. Vậy $5{\rm{x}}_2^2 - 2{\rm{x}}_1^2 = 14.$

Đáp án: 1

Phương trình 0,25x$^{2}$ – x – 1,25 = 0 có 0,25 – (–1) – 1,25 = 0 nên phương trình đó có hai nghiệm là x$_{1}$ = –1 và ${{\rm{x}}_2} = \frac{{ - \left( { - 1{,}25} \right)}}{{0{,}25}} = 5$.

Phương trình x$^{2}$ – 20x – 21 = 0 có 1 – (–20) – 21 = 0 nên phương trình đó có hai nghiệm là x$_{1}$ = –1 và ${{\rm{x}}_2} = \frac{{ - \left( { - 21} \right)}}{1} = 21$.

Vậy hai phương trình đã cho có 1 nghiệm chung.

Đáp án: 4

2x$^{3}$ – 3x$^{2}$ + x= 0

x(2x$^{2}$ – 3x + 1)= 0

x = 0 hoặc 2x$^{2}$ – 3x + 1 = 0.

Phương trình 2x$^{2}$ – 3x + 1 = 0 có 2 + (–3) + 1 = 0 nên phương trình đó có 2 nghiệm x$_{1}$ = 1 và ${{\rm{x}}_2} = \frac{1}{2}$.

Do đó, a = 1; b = 0.

Ta có: 4a – b = 4.1 – 0 = 4. Vậy 4a – b = 4.

Đáp án: 5

Điều kiện: x$_{1}$ ≥ 0.

Vì 1 – (–15) – 16 = 0 nên phương trình đã cho có 2 nghiệm x$_{1}$ = 16 và x$_{2}$ = –1 (do x$_{1}$ ≥ 0).

Do đó, ${\rm{E}} = \sqrt {16} - \left( { - 1} \right) = 5.$

Vậy giá trị biểu thức E bằng 5.