Bài tập Tính giá trị của biểu thức liên quan đến các giá trị lượng giác lớp 11 (có lời giải)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Thay x = 30° vào biểu thức A ta có:

A = sin (2.30°) – 3cos 30° = sin 60° – 3cos 30° = $\frac{\sqrt{3}}{2}$ – 3.$\frac{\sqrt{3}}{2}$ = – $\sqrt{3}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: α + β = π ⇒ α = π – β.

Do đó A = sin$^{2}$ (π – β) + cos$^{2}$ (π – α) = (sin α)$^{2}$ + (– cos α)$^{2}$ = sin$^{2}$ α + cos$^{2}$ α = 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: sin$^{2}$ x + cos$^{2}$ x = 1 ⇒ cos$^{2}$x = 1 – sin$^{2}$x = $1-\frac{1}{16}=\frac{15}{16}$.

Do đó A = $\frac{4}{3}$.$\frac{1}{16}$ + $\frac{15}{16}$ = $\frac{49}{48}$.

Như vậy a = 49, b = 48 ⇒ a – b = 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: 1 + tan$^{2}$ α = $\frac{1}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha }}$ ⇒ cos$^{2}$ α = $\frac{1}{{1 + {{\tan }^2}\alpha }}$ = $\frac{1}{{1 + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}}} = \frac{1}{4}$.

Mà sin$^{2}$ α + cos$^{2}$ α = 1 ⇒ ${\sin ^2}\alpha = 1 - c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

Do đó P = 2.$\frac{3}{4}$ + $\frac{1}{4}$ = $\frac{7}{4}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: sin$^{2}$ x + cos$^{2}$ x = 1 ⇒ cos$^{2}$x = 1 – sin$^{2}$x.

⇒ cos x = $\pm \sqrt {1 - {{\sin }^2}x} = \pm \sqrt {1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2}} = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}.$

Vì cos x nhận giá trị âm nên cos x = $- \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Do đó A = $\frac{{\frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}}}{{\frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{{1 + \sqrt 3 }}{{1 - \sqrt 3 }} = - 2 - \sqrt 3$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: sin$^{2}$ α + cos$^{2}$ α = 1 ⇒ cos$^{2}$ α = 1 – sin$^{2}$ α.

⇒ cos α = $\pm \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = \pm \sqrt {1 - {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2}} = \pm \frac{{\sqrt 5 }}{3}.$

Mà 90° < α < 180° nên cos α < 0 ⇒ cos α = $- \frac{{\sqrt 5 }}{3}$.

Do đó 4sin$^{2}$ α + 2cos$^{2}$ α = $4.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} + 2.{\left( { - \frac{{\sqrt 5 }}{3}} \right)^2} = \frac{{26}}{9};$

4sin α + 2cos α = $4.\frac{2}{3} + 2.\left( { - \frac{{\sqrt 5 }}{3}} \right) = \frac{{8 - 2\sqrt 5 }}{3}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì tan x = 3 nên cos x ≠ 0. Chia cả tử và mẫu biểu thức A cho cos x ta có:

A = $\frac{4.\frac{\sin x}{\text{cos x}}+1}{\frac{\sin x}{\text{cos x}}+2}$ = $\frac{4\tan x+1}{\tan x+2}$ = $\frac{4.3+1}{3+2}$ = $\frac{13}{5}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì cot x = 2 ⇒ sin x ≠ 0. Chia cả tử và mẫu biểu thức P cho sin x ta có:

$P=\frac{3.\frac{\text{cos x}}{\sin x}-1}{\frac{\text{cos x}}{\sin x}+1}$ = $\frac{3\cot x-1}{\cot x+1}=\frac{3.2-1}{2+1}=\frac{5}{3}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có sin$^{2}$ α + cos$^{2}$ α = 1 ⇒ sin$^{2}$α = 1 – cos$^{2}$α.

⇒ sin α = $\pm \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha } = \pm \sqrt {1 - {{\left( { - \frac{1}{2}} \right)}^2}} = \pm \frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Mà 90° < α < 180° nên sin α > 0 ⇒ sin α = $\frac{{\sqrt 3 }}{2}$.

Ta có tan α = $\frac{{\sin \alpha }}{{{\rm{cos }}\alpha }} = - \sqrt 3$ ⇒ cot α = $\frac{1}{{\tan \alpha }} = - \frac{1}{{\sqrt 3 }}$.

Suy ra C = $\frac{{2{{\tan }^2}\alpha + {{\cot }^2}\alpha }}{{4{{\tan }^2}\alpha - 3{{\cot }^2}\alpha }}$ = $\frac{{2.{{\left( { - \sqrt 3 } \right)}^2} + {{\left( { - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}}{{4.{{\left( { - \sqrt 3 } \right)}^2} - 3{{\left( { - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}} = \frac{{19}}{{33}}$.

Như vậy a = 19; b = 33 ⇒ a + b = 52.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Do tan x = 2 nên cos x ≠ 0 nên cos$^{3}$ x ≠ 0.

Chia cả tử và mẫu biểu thức M cho cos$^{3}$ x ta có:

M = $\frac{\frac{\sin x}{{\text{cos}}^{3}x}-3}{5.\frac{{\sin }^{3}x}{{\text{cos}}^{3}x}-\frac{2}{{\text{cos}}^{2}x}}=\frac{\frac{\sin x}{\text{cos x}}.\frac{1}{{\text{cos}}^{2}x}-3}{5.{\tan }^{3}x-2.\frac{1}{{\text{cos}}^{2}x}}$ $=\frac{\tan x(1+{\tan }^{2}x)-3}{5{\tan }^{3}x-2(1+{\tan }^{2}x)}$

$=\frac{2(1+{2}^{2})-3}{{5.2}^{3}-2(1+{2}^{2})}=\frac{7}{30}.$

Như vậy, a = 7; b = 30 ⇒ b – a = 23.

Đáp án đúng là: B

P = tanαcotα = 1.

Đáp án đúng là: C

Có sin55° = cos35°.

Do đó A = sin$^{2}$35° + sin$^{2}$55° = sin$^{2}$35° + cos$^{2}$35° = 1.

Đáp án đúng là: A

Vì $\cos \alpha \ne 0$, chia cả tử và mẫu của biểu thức $M$ cho $\cos \alpha$:

$M = \frac{{2\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} - 3}}{{4\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} + 1}} = \frac{{2\tan \alpha - 3}}{{4\tan \alpha + 1}}$

Thay $\tan \alpha = 3 \Rightarrow M = \frac{{2 \cdot 3 - 3}}{{4 \cdot 3 + 1}} = \frac{3}{{13}}$.

Đáp án đúng là: B

Bình phương hai vế của đẳng thức $\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{1}{3}$:

${\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)^2} = {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{9}$

$\Leftrightarrow 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{9} \Leftrightarrow 2\sin \alpha \cos \alpha = - \frac{8}{9} \Leftrightarrow \sin \alpha \cos \alpha = - \frac{4}{9}$.

Đáp án đúng là: A

Bình phương hai vế của $\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{1}{2} \Rightarrow 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{4} \Rightarrow \sin \alpha \cos \alpha = - \frac{3}{8}$.

Áp dụng hằng đẳng thức tổng hai lập phương:

$$Q = \left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)\left( {{{\sin }^2}\alpha - \sin \alpha \cos \alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right) = \left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)\left( {1 - \sin \alpha \cos \alpha } \right)$$

Thay số vào: $Q = \frac{1}{2} \cdot \left( {1 - \left( { - \frac{3}{8}} \right)} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{11}}{8} = \frac{{11}}{{16}}$.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. tan$^{2}$αcos$^{2}$α $= \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} \cdot {\cos ^2}\alpha = {\sin ^2}\alpha$.

b) Sai. E = cos$^{2}$α + tan$^{2}$αcos$^{2}$α = cos$^{2}$α + sin$^{2}$α = 1.

c) Đúng. E = cos$^{2}$α + sin$^{2}$α = 1.

d) Sai. Với $\alpha = \frac{\pi }{4}$ thì E = 1.

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai. Vì $\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi$ (góc phần tư thứ II) nên cosα < 0.

Do đó $\sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = \sqrt {{{\cos }^2}\alpha } = \left| {\cos \alpha } \right| = - \cos \alpha$.

Mà ${\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} = \frac{{16}}{{25}}$$\Rightarrow \cos \alpha = - \frac{4}{5}$ do cosα < 0.

Khi đó $\sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = \sqrt {{{\cos }^2}\alpha } = \left| {\cos \alpha } \right| = - \cos \alpha = \frac{4}{5}$.

b) Đúng. $A = \cos \alpha - \sin \alpha = - \frac{4}{5} - \frac{3}{5} = - \frac{7}{5}$.

c) Đúng. $\tan \alpha = \frac{{\frac{3}{5}}}{{ - \frac{4}{5}}} = - \frac{3}{4}$ và $\cot \alpha = - \frac{4}{3} \Rightarrow B = - \frac{3}{4} + \left( { - \frac{4}{3}} \right) = - \frac{{25}}{{12}}$.

d) Đúng. $C = \cos \alpha \cdot \cot \alpha = \left( { - \frac{4}{5}} \right) \cdot \left( { - \frac{4}{3}} \right) = \frac{{16}}{{15}}$.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Chia cả tử và mẫu của P cho cos$^{2}$α: P = tan$^{2}$α + 2tanα.

Thay tanα = −2 vào P ta được P = (−2)$^{2}$ + 2(−2) = 0.

b) Đúng. Chia cả tử và mẫu cho cos$^{2}$α ≠ 0 ta được:

$Q = \frac{{{{\sin }^2}\alpha - 3{{\cos }^2}\alpha }}{{2{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha }}$$= \frac{{\frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} - 3}}{{2\frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} + 1}}$$= \frac{{{{\tan }^2}\alpha - 3}}{{2{{\tan }^2}\alpha + 1}}$.

c) Đúng. Thay $\tan \alpha = - 2 \Rightarrow Q = \frac{{{{\left( { - 2} \right)}^2} - 3}}{{2 \cdot {{\left( { - 2} \right)}^2} + 1}} = \frac{{4 - 3}}{{8 + 1}} = \frac{1}{9}$.

d) Đúng. Áp dụng công thức: $R = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = 1 + {\tan ^2}\alpha = 1 + {\left( { - 2} \right)^2} = 5$.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. ${\left( {\cos \alpha - \sin \alpha } \right)^2} = {\cos ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha = 1 - 2 \cdot \frac{2}{5} = \frac{1}{5}$.

b) Sai. Trong khoảng $\left( {0;\frac{\pi }{4}} \right)$, ta luôn có cosα > sinα > 0.

Do đó hiệu M = cosα – sinα > 0.

c) Đúng. Xét ${\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)^2} = 1 + 2\sin \alpha \cos \alpha = 1 + \frac{4}{5} = \frac{9}{5} \Rightarrow \sin \alpha + \cos \alpha = \frac{3}{{\sqrt 5 }} = \frac{{3\sqrt 5 }}{5}$ (do góc nhọn nên tổng dương).

d) Đúng. D = cos$^{4}$α – sin$^{4}$α = (cos$^{2}$α – sin$^{2}$α)( cos$^{2}$α + sin$^{2}$α)

= (cosα – sinα) (cosα + sinα).

Từ ý a và c: $\cos \alpha - \sin \alpha = \frac{1}{{\sqrt 5 }}$ (do hiệu dương). Vậy $D = \frac{1}{{\sqrt 5 }} \cdot \frac{3}{{\sqrt 5 }} = \frac{3}{5}$.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Chia cả tử và mẫu vế trái cho cosα ≠ 0 ta được:

$\frac{{3\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} - 1}}{{\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} + 2}} = 2$$\Leftrightarrow \frac{{3\tan \alpha - 1}}{{\tan \alpha + 2}} = 2$.

b) Đúng. $\frac{{3\tan \alpha - 1}}{{\tan \alpha + 2}} = 2 \Leftrightarrow 3\tan \alpha - 1 = 2\left( {\tan \alpha + 2} \right) \Leftrightarrow \tan \alpha = 5$.

c) Sai. Chia biểu thức $F$ cho sin$^{2}$α + cos$^{2}$α = 1 ta được

$F = \frac{{{{\sin }^2}\alpha + 3\sin \alpha \cos \alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha }} = \frac{{\frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} + 3\frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}}}{{\frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }} + 1}} = \frac{{{{\tan }^2}\alpha + 3\tan \alpha }}{{{{\tan }^2}\alpha + 1}}$.

Thay $\tan \alpha = 5 \Rightarrow F = \frac{{{5^2} + 3 \cdot 5}}{{{5^2} + 1}} = \frac{{40}}{{26}} = \frac{{20}}{{13}}$.

d) Đúng. Ta có $G = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} = 1 + {\cot ^2}\alpha$.

Vì $\tan \alpha = 5 \Rightarrow \cot \alpha = \frac{1}{5} \Rightarrow G = 1 + {\left( {\frac{1}{5}} \right)^2} = 1 + \frac{1}{{25}} = \frac{{26}}{{25}}$.

Đáp án: 4

Chia cả tử và mẫu của biểu thức A cho cos$^{2}$α:

$A = \frac{{{{\tan }^2}\alpha - 2\tan \alpha + 3}}{{2{{\tan }^2}\alpha + 1}}$

Thay tanα = 4 vào biểu thức: $A = \frac{{{4^2} - 2 \cdot 4 + 3}}{{2 \cdot {4^2} + 1}} = \frac{{16 - 8 + 3}}{{32 + 1}} = \frac{{11}}{{33}} = \frac{1}{3}$.

Suy ra a = 1; b = 3. Vậy a + b = 4.

Đáp án: 4

Nhóm các số hạng phụ nhau: ${\cos ^2}80^\circ = {\sin ^2}10^\circ \Rightarrow {\cos ^2}10^\circ + {\cos ^2}80^\circ = 1$.

Tương tự ta có 4 cặp có tổng bằng 1:

$\left( {{{\cos }^2}10^\circ + {{\cos }^2}80^\circ } \right) + \left( {{{\cos }^2}20^\circ + {{\cos }^2}70^\circ } \right) + \left( {{{\cos }^2}30^\circ + {{\cos }^2}60^\circ } \right) + \left( {{{\cos }^2}40^\circ + {{\cos }^2}50^\circ } \right) = 4$

Số hạng cuối cùng còn lại là ${\cos ^2}90^\circ = {0^2} = 0$.

Vậy B = 4 + 0 = 4.

Đáp án: 0,38

Ta có ${\left( {\sin \alpha - \cos \alpha } \right)^2} = \frac{1}{4}$$\Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{4}$$\Leftrightarrow 1 - 2P = \frac{1}{4}$

$\Leftrightarrow P = \frac{3}{4} \Leftrightarrow P = \frac{3}{8} \approx 0{,}38$.

Đáp án: 47

Có (tanα + cotα)$^{2}$ = 9 tan$^{2}$α + cot$^{2}$α + 2tanαcotα = 9 tan$^{2}$α + cot$^{2}$α = 7.

Lại có (tan$^{2}$α + cot$^{2}$α)$^{2}$ = 49 tan$^{4}$α + cot$^{4}$α + 2tan$^{2}$αcot$^{2}$α = 49

tan$^{4}$α + cot$^{4}$α = 49 – 2 = 47.

Đáp án: 4

Ta có cotα + tanα = 4 $\Rightarrow \sin \alpha \cdot \cos \alpha = \frac{1}{4}$.

Có ${T^2} = {\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha = 1 - 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow T = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$.

Suy ra a = b = 2. Do đó a + b = 4.