Bài tập Tính độ dài đường tròn, cung tròn lớp 9 (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\frac{{\pi Rn}}{{180}} = \frac{{\pi .16n}}{{180}} = 40{,}2$ suy ra n ≈ 144°.

Đáp án đúng là: C

Chu vi C = 2πR = 2π.6 = 12π

Đáp án đúng là: C

Chu vi C = πd = 36π suy ra d = 36.

Vậy đường kính cần tìm là 36 cm.

Đáp án đúng là: A

Xét đường tròn (I) đường kính AB có $\widehat {ADB} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Nên AD ⊥ BC. Do đó đáp án B đúng.

Gọi K là trung điểm của AC, suy ra KA = KC = KD. Do đó K thuộc đường tròn đường kính AC. Do đó đáp án C đúng.

Ta có ∆IBD cân tại I có $\widehat B = 60^\circ$, suy ra ∆IBD đều nên $\widehat {DIB} = 60^\circ$.

Độ dài cung nhỏ BD của (I) là:

l = $\frac{{\pi .\frac{5}{2}.60}}{{180^\circ }} = \frac{{5\pi }}{6}$ (cm).

Do đó đáp án D đúng.

Đáp án đúng là: D

Xét tam giác ABC vuông tại A có $\widehat B$ = 50° nên $\widehat C$ = 90° − 50° = 40°. Do đó A đúng.

Xét đường tròn (I) đường kính AB có $\widehat {BDA} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn), suy ra $\widehat {DAC} = \widehat B = 50^\circ$ (cùng phụ với góc $\widehat {DAB}$) nên C đúng.

Vì $\widehat {DAC} = \widehat B = 50^\circ$ nên $\widehat {DAB} = 90^\circ - 50^\circ - 40^\circ$ suy ra số đo cung BD nhỏ là:

n° = 2.40° = 80°.

Độ dài cung nhỏ BD của (I) là l = $\frac{{\pi .\frac{4}{2}.80}}{{180}} = \frac{{8\pi }}{9}{\rm{ }}(cm)$ nên B đúng.

Số đo cung lớn BD là 360° − 80° = 280°.

Độ dài cung lớn BD là: l$_{1}$ = $\frac{{\pi .\frac{4}{2}.280}}{{180}} = 3\pi {\rm{ }}(cm)$ nên D sai.

Đáp án đúng là: C

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Vì tam giác ABC cân tại A nên AO vừa là đường cao vừa là phân giác của $\widehat {BAC}$.

Suy ra $\widehat {OAC} = 60^\circ$.

Xét tam giác CAO có OA = OC; $\widehat {OAC} = 60^\circ$ nên ∆CAO đều và

AO = OC = AC = 3 cm.

Nên bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC là R = 3 cm.

Chu vi đường tròn (O) là C = 2πR = 6π (cm).

Đáp án đúng là: D

Vì độ dài đường tròn là 4π nên 4π = 2πR suy ra R = 2 cm (R là bán kính đường tròn)

Xét tứ giác ABOC có hai đường chéo AO ⊥ BC tại M là tủng điểm mỗi đường nên tứ giác ABOC là hình thoi.

Suy ra OB = OC = AB, do đó ∆ABO đều đều suy ra $\widehat {AOB} = 60^\circ$, do đó $\widehat {COB} = 120^\circ$.

Suy ra độ dài cung lớn BC là l = $\frac{{\pi .2.240}}{{180}} = \frac{{8\pi }}{3}{\rm{ }}(cm)$.

Đáp án đúng là: C

Độ dài đường tròn là 6π nên 6π = 2πR suy ra R = 3 cm (R là bán kính đường tròn)

Xét tứ giác ABOC hai đường chéo AO ⊥ BC tại M là tủng điểm mỗi đường nên tứ giác ABOC là hình thoi.

Suy ra OB = OC = AB, do đó ∆ABO đều đều suy ra $\widehat {AOB} = 60^\circ$, do đó $\widehat {COB} = 120^\circ$.

Suy ra số đo cung lớn BC là: 360° − 120° = 240°.

Suy ra số đo cung lớn BC là l = $\frac{{\pi .3.240}}{{180}} = 4\pi {\rm{ }}(cm)$.

Đáp án đúng là: A

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (đường tròn đi qua ba đỉnh A, B, C của tam giác).

Vì tam giác ABC cân tại A nên AO vừa là đường cao vừa là đường phân giác của $\widehat {BAC}$.

Suy ra $\widehat {CAO} = \frac{{100^\circ }}{2} = 50^\circ$.

Gọi I là giao điểm của AO và BC. Xét tam giác $CAI$ có AC = 4, $\widehat {CAI} = 50^\circ$ nên

$\sin \widehat {CAI} = \frac{{CI}}{{AC}}$ suy ra CI = AC.sin CAI = 4.sin50° (cm)

Xét tam giác OAC cân tại O (vì OA = OC) có $\widehat {OCA} = \widehat {OAC} = 50^\circ$ suy ra

$\widehat {COA} = 180^\circ - 50^\circ - 50^\circ = 80^\circ$.

Xét tam giác CIO vuông tại I có sinCOI = $\frac{{IC}}{{OC}}$

suy ra OC = $\frac{{IC}}{{\sin COI}} = \frac{{4\sin 50^\circ }}{{\sin 80^\circ }} \approx 3{,}11$.

Nên bán kính đường tròn đi qua ba đỉnh A, B, C (đường tròn ngoại tiếp ∆ABC) là R ≈ 3,11 cm.

Chu vi đường tròn (O) là C = 2πR ≈ 6,22π (cm).

Đáp án đúng là: A

Gọi H là giao điểm của OD và BC thì H là trung điểm của BC (do OD ⊥ BC tại H).

Suy ra HC = $\frac{{BC}}{2} = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}$.

Xét tam giác vuông HOC có sinHOC = $\frac{{HC}}{{OC}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$ suy ra $\widehat {HOC} = 60^\circ$, suy ra

$\widehat {BOC} = 120^\circ$.

Độ dài cung nhỏ BC là l = $= \frac{{\pi R.120}}{{180}} = \frac{{2\pi R}}{3}$ (cm)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Độ dài đường tròn (O; R) bằng 2pR.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Độ dài l của cung n$^{o}$ trên đường tròn (O; R) là ${\rm{l}} = \frac{{\rm{n}}}{{180}}{\rm{\pi R}}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Vì $\widehat {{\rm{AOB}}}$ là góc ở tâm chắn cung AB nhỏ của (O; 9 cm) nên sđ$_{nhỏ}$ =$\widehat {{\rm{AOB}}} = 100^\circ .$

Do đó, độ dài cung AB nhỏ của đường tròn (O; 9cm) là: ${\rm{l}} = \frac{{{\rm{100}}}}{{180}}{\rm{\pi }} \cdot 9 = 5{\rm{\pi }}\;\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Vì độ dài đường tròn bằng 28p (m) nên 2pR = 28p nên R = 14 (m).

Vậy bán kính của đường tròn đó bằng 14 m.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Vì độ dài cung AB của đường tròn (O; 20 cm) bằng 40p (cm) nên nên sđ = 90$^{o}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng.

Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên AC = AB = $2\sqrt 2 \;\,{\rm{cm}}$.

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A ta có:

BC$^{2}$ = AB$^{2}$ + AC$^{2}$ = ${\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} + {\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} = 16$ nên BC = 4 cm.

b) Đúng.

Vì tam giác ABC vuông tại A có AO là đường trung tuyến nên OA = OB = OC = 2 cm. Vậy ba điểm A, B, C cùng thuộc đường tròn (O; 2 cm).

c) Sai.

Độ dài đường tròn đi qua ba điểm A, B, C là: 2p.2 = 4p (cm).

Vậy độ dài đường tròn đi qua ba điểm A, B, C bằng 4p cm.

d) Sai.

Vì tam giác ABC cân tại A nên AO là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác đó. Suy ra AO ^ BC nên $\widehat {{\rm{AOB}}} = 90^\circ$.

Vì $\widehat {{\rm{AOB}}}$ là góc ở tâm chắn cung AB nhỏ của đường tròn (O; 2 cm) nên ta có:

sđ$_{nhỏ}$=$\widehat {{\rm{AOB}}} = 90^\circ$.

Độ dài cung AB nhỏ của đường tròn đi qua ba điểm A, B, C là: $\frac{{90}}{{180}} \cdot 2{\rm{\pi }} = {\rm{\pi }}\;\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Vậy độ dài cung AB nhỏ của đường tròn đi qua ba điểm A, B, C bằng p cm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng.

Ta có: $\widehat {{\rm{DOB}}} + \widehat {{\rm{DOA}}} = 180^\circ$ nên $\widehat {{\rm{DOA}}} + 2\widehat {{\rm{DOA}}} = 180^\circ$.

Vậy $\widehat {{\rm{DOA}}} = 60^\circ$.

b) Đúng.

Vì A, D thuộc (O; OA) nên OD = OA.

Suy ra, tam giác AOD cân tại O.

Mà $\widehat {{\rm{DOA}}} = 60^\circ$ nên tam giác AOD đều.

Vậy OA = OD = AD = 4 cm.

c) Sai.

Độ dài nửa đường tròn (O; OD) là: $\frac{1}{2} \cdot$2p. OD = 4p (cm).

Vậy độ dài nửa đường tròn (O; OD) bằng 4p cm.

d) Đúng.

Vì $\widehat {{\rm{DOA}}}$ là góc ở tâm chắn cung AD của nửa đường tròn (O; 4 cm) nên

sđ $\widehat {{\rm{DOA}}}$ = 60$^{o}$.

Độ dài cung AD của nửa đường tròn (O; OA) là: $\frac{{60}}{{180}} \cdot 4{\rm{\pi }} = \frac{{{\rm{4\pi }}}}{3}\;\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Vậy độ dài cung AD của nửa đường tròn (O; OA) bằng $\frac{{4{\rm{\pi }}}}{3}\;\,{\rm{cm}}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng.

Vì C, D thuộc (O; OC) nên OC = OD. Do đó, tam giác COD cân tại O.

Suy ra, OE là đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác, đường cao của tam giác COD.

Suy ra, OE là tia phân giác của góc COD. Do đó, $\widehat {{\rm{COD}}} = 2\widehat {{\rm{COE}}} = 2 \cdot 40^\circ = 80^\circ$.

Vậy $\widehat {{\rm{COD}}} = 80^\circ$.

b) Đúng.

Xét (O; OC) có: sđ$\overset{\frown}{\text{CD}}$$_{nhỏ}$ = $\widehat {{\rm{COD}}}$= 80$^{o}$ (góc ở tâm chắn cung CD nhỏ).

Vậy sđ$\overset{\frown}{\text{CD}}$$_{nhỏ}$ = 80$^{o}$.

c) Sai.

Độ dài đường tròn (O; OC) là: 2p.6 = 12p (m).

Vậy độ dài đường tròn (O; OC) bằng 12p (m).

d) Sai.

Độ dài cung CD nhỏ của đường tròn (O; OC) là: $\frac{{80}}{{180}} \cdot 6{\rm{\pi }} = \frac{{{\rm{8\pi }}}}{3}\;\,\left( {\rm{m}} \right).$

Vậy độ dài cung CD nhỏ của đường tròn (O; OC) bằng $\frac{{{\rm{8\pi }}}}{3}\;\,\left( {\rm{m}} \right)$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng.

Vì tam giác ABC đều nên O là trọng tâm đồng thời là giao điểm của ba đường phân giác trong tam giác đó.

Suy ra, BO, CO lần lượt là tia phân giác của các góc ABC và ACB.

Do đó, $\widehat {{\rm{OBC}}} = \frac{1}{2}\widehat {{\rm{ABC}}} = 30^\circ ;\;\,\widehat {{\rm{OCB}}} = \frac{1}{2}\widehat {{\rm{ACB}}} = 30^\circ$.

Xét tam giác BOC có: $\widehat {{\rm{BOC}}} = 180^\circ - \widehat {{\rm{OBC}}} - \widehat {{\rm{OCB}}} = 120^\circ .$

Vậy $\widehat {{\rm{BOC}}} = 120^\circ .$

b) Đúng.

Vì DABC đều nên O là trọng tâm đồng thời là giao điểm của 3 đường trung trực trong tam giác đó.

Suy ra OA = OB = OC = 6 cm.

Vậy 3 điểm A, B, C thuộc (O; 6 cm).

c) Đúng.

Xét (O; OC) có: sđ$\overset{\frown}{\text{BC}}$$_{nhỏ}$ = $\widehat {{\rm{COB}}}$= 120$^{o}$ (góc ở tâm chắn cung BC nhỏ).

Vậy số đo cung BC nhỏ của đường tròn đi qua ba điểm A, B, C bằng 120$^{o}$.

d) Sai.

Độ dài cung BC nhỏ của đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C là: $\frac{{120}}{{180}}{\rm{\pi }} \cdot 6 = 4{\rm{\pi }}\,\;\left( {{\rm{cm}}} \right).$

Vậy độ dài cung BC nhỏ của đường tròn đi qua ba điểm A, B, C bằng 4p cm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng.

Vì độ dài đường tròn (O; OA) bằng 18p (cm) nên 18p = 2p.OA.

Suy ra OA = 9 cm.

Vậy bán kính đường tròn (O; OA) bằng 9 cm.

b) Đúng.

Tam giác OAC có CM là đường cao đồng thời là đường trung tuyến nên tam giác OAC cân tại C.

Suy ra OC = CA.

Lại có: OA = OC = R nên OA = OC = AC.

Vậy tam giác OAC đều.

c) Sai.

Chứng minh tương tự phần b) ta có: Tam giác OAB đều, suy ra $\widehat {{\rm{AOB}}} = 60^\circ$.

Vì tam giác OAC đều nên $\widehat {{\rm{AOC}}} = 60^\circ$.

Ta có: $\widehat {{\rm{BOC}}} = \widehat {{\rm{AOB}}} + \widehat {{\rm{AOC}}} = 120^\circ$ nên sđ$\overset{\frown}{\text{BC}}$$_{nhỏ}$ = $\widehat {{\rm{BOC}}}$= 120$^{o}$ (góc ở tâm của đường tròn ((O; OA) chắn cung BC nhỏ).

Vậy sđ$\overset{\frown}{\text{BC}}$$_{nhỏ}$ = 120$^{o}$.

d) Sai.

Độ dài cung BC nhỏ của (O; OA) là: $\frac{{120}}{{180}}{\rm{\pi }} \cdot 9 = 6{\rm{\pi }}\,\;\left( {{\rm{cm}}} \right).$

Vậy độ dài cung BC nhỏ của (O; OA) bằng 6p cm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 62,8

Vì hai góc AOC và AOB lần lượt là các góc ở tâm chắn $\overset{\frown}{\text{AC}}$$_{nhỏ}$, $\overset{\frown}{\text{AB}}$$_{nhỏ}$ của đường tròn (O; OA) nên $\widehat {{\rm{AOC}}}$= sđ$\overset{\frown}{\text{AC}}$$_{nhỏ}$; $\widehat {{\rm{AOB}}}$= sđ$\overset{\frown}{\text{AB}}$$_{nhỏ}$.

Mà sđ$\overset{\frown}{\text{AC}}$$_{nhỏ}$ = sđ $\overset{\frown}{\text{AB}}$$_{nhỏ}$nên $\widehat {{\rm{AOC}}} = \widehat {{\rm{AOB}}}$.

Mà $\widehat {{\rm{BOC}}} = 120^\circ$ nên $\widehat {{\rm{AOC}}} = \widehat {{\rm{AOB}}} = 60^\circ .$

Xét tam giác AOB có: OA = OB (= bán kính đường tròn (O; OA)) nên tam giác OAB cân tại O.

Mà $\widehat {{\rm{AOB}}} = 60^\circ$ nên tam giác AOB đều.

Suy ra OC = OA = AB = 10 cm.

Độ dài đường tròn đã cho là: 2p. OA = 2. 3,14. 10 = 62,8 (cm).

Vậy độ dài đường tròn đã cho bằng 62,8 cm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 6,98

Ta có: sđ$\overset{\frown}{\text{AB}}$$_{nhỏ}$ = $\widehat {{\rm{AOB}}} = 80^\circ$ (góc ở tâm của đường tròn (O) chắn cung AB nhỏ).

Bán kính của đường tròn (O) là: 10p : (2p) = 5 (cm).

Độ dài cung AB nhỏ của (O) là: $\frac{{80}}{{180}} \cdot {\rm{\pi }} \cdot 5 \approx 6{,}98\;\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Vậy độ dài cung AB nhỏ của (O) bằng khoảng 6,98 cm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 3

Vì hai góc AOB và BOC lần lượt là các góc ở tâm chắn $\overset{\frown}{\text{AB}}$$_{nhỏ}$,$\overset{\frown}{\text{BC}}$ $_{nhỏ}$ của đường tròn (O; R) nên $\widehat {{\rm{AOB}}}$= sđ$\overset{\frown}{\text{AB}}$$_{nhỏ}$; $\widehat {{\rm{BOC}}}$= sđ$\overset{\frown}{\text{BC}}$$_{nhỏ}$.

Mà $\widehat {{\rm{AOB}}} = 3\widehat {{\rm{BOC}}}$ nên sđ AB$_{nhỏ}$ = 3sđ$\overset{\frown}{\text{BC}}$.

Độ dài cung AB nhỏ là:$\frac{\text{sđ}\overset{\frown}{\text{AB}}}{180}\cdot \text{πR}$ .

Độ dài cung BC nhỏ là: $\frac{\text{sđ}\overset{\frown}{\text{BC}}}{180}\cdot \text{πR}$.

Ta có: $\frac{\frac{\text{sđ}\overset{\frown}{\text{AB}}}{180}\cdot \text{πR}}{\frac{\text{sđ}\overset{\frown}{\text{BC}}}{180}\cdot \text{πR}}=\frac{\text{sđ}\overset{\frown}{\text{AB}}}{\text{sđ}\overset{\frown}{\text{BC}}}=3$ .

Vậy độ dài cung AB nhỏ gấp 3 lần độ dài cung BC nhỏ.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 1,57

Vì OA ^ AC nên tam giác OAC vuông tại A. Mà OA = AC nên tam giác OAC vuông cân tại A. Suy ra $\widehat {{\rm{AOC}}} = 45^\circ .$

Xét tam giác AOC vuông tại A có: OA = OC.sin O = $2\sqrt 2 \cdot \sin 45^\circ = 2\;\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Vì $\widehat {{\rm{AOB}}}$ là góc ở tâm chắn cung AB nhỏ của (O; OA) nên sđ$\overset{\frown}{\text{AB}}$$_{nhỏ}$ = $\widehat {{\rm{AOB}}} = 45^\circ .$

Độ dài cung AB nhỏ của đường tròn (O; OA) là: $\frac{{45}}{{180}} \cdot {\rm{\pi }} \cdot 2 = 1{,}57\;\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Vậy độ dài cung AB nhỏ của đường tròn (O; OA) bằng 1,57 cm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2,79

Vì DABC cân tại A nên $\widehat {\rm{C}} = \widehat {\rm{B}}$.

Lại có: $\widehat {\rm{A}} + \widehat {\rm{C}} + \widehat {\rm{B}} = 180^\circ$ nên $\frac{{14}}{{11}}\widehat {\rm{B}} + \widehat {\rm{B}} + \widehat {\rm{B}} = 180^\circ$ suy ra $\widehat {\rm{B}} = 55^\circ$.

Do đó $\widehat {\rm{C}} = 55^\circ$

Vì B, D thuộc nửa đường tròn (O; OD) nên OB = OD.

Suy ra, DBOD cân tại O.

Suy ra: $\widehat {\rm{B}} = \widehat {{\rm{ODB}}}$ = 55$^{o}$.

Do đó, $\widehat {{\rm{DOB}}} = 180^\circ - \widehat {\rm{B}} - \widehat {{\rm{ODB}}} = 70^\circ$.

Chứng minh tương tự ta có: $\widehat {{\rm{EOC}}} = 70^\circ .$

Ta có: $\widehat {{\rm{DOE}}} = 180^\circ - \widehat {{\rm{DOB}}} - \widehat {{\rm{EOC}}} = 40^\circ$.

Vì $\widehat {{\rm{DOE}}}$là góc ở tâm chắn của nửa đường tròn (O; OD) nên sđ$\overset{\frown}{\text{DE}}=\widehat{\text{DOE}}=40^{\circ}$.

Độ dài cung DE là: $\frac{{40}}{{180}} \cdot {\rm{\pi }} \cdot 4 \approx 2{,}79\;\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Vậy độ dài cung dài cung DE bằng khoảng 2,79 cm.