Bài tập Tính diện tích hình tròn, hình quạt tròn và hình vành khuyên lớp 9 (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Diện tích S = πR$^{2}$ = 225π suy ra R$^{2}$ = 225, do đó R = 15 (cm).

Đáp án đúng là: A

Diện tích S = πR$^{2}$ = 10$^{2}$π = 100π (cm$^{2}$).

Đáp án đúng là: B

Xét đường tròn (O) có: OM = OA và $\widehat {BAM} = 45^\circ$ suy ra ∆AOM là tam giác vuông cân.

Suy ra $\widehat {AOM} = 90^\circ$.

Vậy diện tích hình quạt AOM là S $= \frac{{\pi {R^2}n}}{{360}} = \frac{{\pi {{.10}^2}.90}}{{360}} = 25\pi$ (cm$^{2}$).

Đáp án đúng là: C

Xét (O) có $\widehat {BAM} = 60^\circ$ và OA = OM = R nên tam giác AOM đều,

Suy ra $\widehat {BAM} = \widehat {AMO} = \widehat {AOM} = 60^\circ$.

Mà nên sđ = 60°.

Vậy diện tích hình quạt AOM là: $S = \frac{{\pi {R^2}n}}{{360}} = \frac{{\pi {{.8}^2}.60}}{{360}} = \frac{{32}}{3}\pi$ (cm$^{2}$).

Đáp án đúng là: A

Gọi hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O) khi đó OA = OB = OC = OD = R.

Do đó, O là giao điểm của AC và BD nên R = $\frac{{AC}}{2}$.

Xét tam giác vuông ABC ta có:

AB$^{2}$ + BC$^{2}$ = AC$^{2}$

6$^{2}$ + 6$^{2}$ = AC$^{2}$

Suy ra AC = $6\sqrt 2$ suy ra R = $\frac{{6\sqrt 2 }}{2} = 3\sqrt 2$.

Diện tích hình tròn (O) là S = πR$^{2}$ = 18π (cm$^{2}$).

Đáp án đúng là: D

Gọi hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O) khi đó OA = OB = OC = OD = R là giao điểm của AC và BD.

Suy ra R = $\frac{{AC}}{2}$.

Xét tam giác vuông ABC ta có:

AB$^{2}$ + BC$^{2}$ = AC$^{2}$

5$^{2}$ + 5$^{2}$ = AC$^{2}$

Suy ra AC = $5\sqrt 2$ suy ra R = $\frac{{5\sqrt 2 }}{2}$.

Diện tích hình tròn (O) là S = πR$^{2}$ = $\frac{{25\pi }}{2}$ (cm$^{2}$).

Đáp án đúng là: A

Diện tích hình tròn (O) là S = πR$^{2}$.

Ta có góc $\widehat {ACB}$ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên $\widehat {ACB} = 90^\circ$.

Do đó, $\widehat {BAC} = 90^\circ - \widehat {CBA} = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Tam giác AOC có $\widehat {OAC} = 60^\circ$ và OA = OC = R nên tam giác AOC đều có cạnh bằng R.

Giả sử CH là đường cao của tam giác ABC, ta có:

CH = CO.sin 60° = $\frac{{\sqrt 3 }}{2}R$, suy ra S$_{ABC}$ = $\frac{1}{2}CH.AB = \frac{1}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2}R.2R = \frac{{\sqrt 3 }}{2}R$.

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường tròn (O) và AC, BC là:

$\frac{1}{2}\pi {R^2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}{R^2} = \left( {\frac{1}{2}\pi - \sqrt 3 } \right){R^2} = \left( {\frac{1}{2}\pi - \sqrt 3 } \right).{\left( {\sqrt 2 } \right)^2} = \pi - \sqrt 3$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{lR}}{2} = 66\\l + 2R = 34\end{array} \right.$ khi đó $\left\{ \begin{array}{l}lR = 132\\l + 2R = 34\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}2Rl = 264\\l + 2R = 34\end{array} \right.$.

Khi đó l và 2R là nghiệm của phương trình X$^{2}$ – 34X + 264 = 0 ta được nghiệm kép hay $\left\{ \begin{array}{l}2R = 22\\l = 12\end{array} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{array}{l}2R = 12\\l = 22\end{array} \right.$ .

Khi đó $\left\{ \begin{array}{l}R = 11\\l = 12\end{array} \right.$ hoặc $\left\{ \begin{array}{l}R = 6\\l = 22\end{array} \right.$.

Vậy R = 11 cm hoặc R = 6 cm.

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{lR}}{2} = 49\\l + 2R = 28\end{array} \right.$ khi đó $\left\{ \begin{array}{l}lR = 98\\l + 2R = 28\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}l.2R = 196\\l + 2R = 28\end{array} \right.$.

Khi đó l và 2R là nghiệm của phương trình X$^{2}$ – 28X + 196 = 0 ta được nghiệm kép hay $\left\{ \begin{array}{l}2R = 14\\l = 14\end{array} \right.$ khi đó $\left\{ \begin{array}{l}R = 7\\l = 14\end{array} \right.$.

Vậy R = 7 cm.

Đáp án đúng là: D

Diện tích hình vành khuyên đó là: S = (3$^{2}$ – 2$^{2}$)π = 5π (cm$^{2}$)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Diện tích hình tròn (O; R) bằng pR$^{2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Diện tích S$_{q}$ của hình quạt tròn bán kính R ứng với cung n$^{o}$ là ${{\rm{S}}_{\rm{q}}} = \frac{{\rm{n}}}{{360}}{\rm{\pi }}{{\rm{R}}^2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Diện tích S$_{v}$ của hình vành khuyên tạo bởi hai đường tròn đồng tâm có bán kính R và r là: S$_{v}$ = p(R$^{2}$ – r$^{2}$).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Diện tích của hình quạt đó là: ${{\rm{S}}_{\rm{q}}} = \frac{{{\rm{30}}}}{{360}}{\rm{\pi }} \cdot {{\rm{5}}^2} = \frac{{25{\rm{\pi }}}}{{12}}\;\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Phần tô màu là hình vành khuyên được tạo bởi 2 đường tròn đồng tâm A có bán kính AC = 2 cm và AB = 3 cm.

Diện tích phần tô màu là: S$_{v}$ = p(AB$^{2}$ – AC$^{2}$) = p(3$^{2}$ – 2$^{2}$) = 5p (cm$^{2}$).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng.

Vì tứ giác ABCD là hình vuông nên BC = AB = $12\sqrt 2 \;\,{\rm{cm}}$ và $\widehat {{\rm{ABC}}} = 90^\circ$.

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác ABC vuông tại B ta có:

AC$^{2}$ = AB$^{2}$ + BC$^{2}$ = ${\left( {12\sqrt 2 } \right)^2} + {\left( {12\sqrt 2 } \right)^2} = 576$ nên AC = 24 cm.

Vậy AC = 24 cm.

b) Sai.

Vì O là giao điểm của hai đường chéo trong hình vuông ABCD

nên OA = OB = OC = OD = $\frac{{{\rm{AC}}}}{2}$= 12 cm.

Vậy 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc đường tròn (O; 12 cm).

c) Đúng.

Vì tứ giác ABCD là hình vuông nên AC ^ BD tại O nên $\widehat {{\rm{AOB}}} = 90^\circ$.

Vì $\widehat {{\rm{AOB}}}$ là góc ở tâm chắn cung AB nhỏ của đường tròn (O; 12 cm) nên ta có:

sđ$\overset{\frown}{\text{AB}}$$_{nhỏ}$= $\widehat {{\rm{AOB}}} = 90^\circ$.

Diện tích hình quạt tròn AOB (cung AB nhỏ) là: ${{\rm{S}}_1} = \frac{{90}}{{360}} \cdot {12^2} \cdot {\rm{\pi }} = 36{\rm{\pi }}\;\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)$.

Vậy diện tích hình quạt tròn AOB bằng 36p (cm$^{2}$).

d) Sai.

Diện tích tam giác AOB vuông tại O là: ${{\rm{S}}_2} = \frac{1}{2} \cdot {\rm{OA}} \cdot {\rm{OB}} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 12 = 72\;\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)$.

Diện tích hình giới hạn bởi cung AB nhỏ và dây AB là:

${\rm{S}} = {{\rm{S}}_1} - {{\rm{S}}_2} = 36{\rm{\pi }} - 72\;\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right) < 40\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}$.

Vậy diện tích hình giới hạn bởi cung AB nhỏ và dây AB nhỏ hơn 40 cm$^{2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng.

Vì $\widehat {{\rm{DOB}}} + \widehat {{\rm{DOA}}} = 180^\circ$ suy ra $\widehat {{\rm{DOA}}} = 180^\circ - \widehat {{\rm{DOB}}} = 60^\circ$.

Vì $\widehat {{\rm{DOA}}}$ là góc ở tâm chắn cung AD của nửa đường tròn (O; 2 cm) nên sđ$\overset{\frown}{\text{AD}}$ = 60$^{o}$.

Vì $\widehat {{\rm{DOB}}}$ là góc ở tâm chắn cung DB của nửa đường tròn (O; 2 cm) nên sđ $\overset{\frown}{\text{DB}}$= 120$^{o}$.

b) Sai.

Diện tích nửa hình tròn (O; OA) là: $\frac{1}{2} \cdot {2^2} \cdot {\rm{\pi }} = 2{\rm{\pi }}\;\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$.

Vậy diện tích nửa hình tròn (O; OA) bằng 2p (cm$^{2}$).

c) Sai.

Diện tích hình quạt tròn AOD là: $\frac{\text{sđ}\overset{\frown}{\text{AD}}}{360}\cdot {\text{OA}}^{2}\cdot \text{π}=\frac{60}{360}\cdot {2}^{2}\cdot \text{π}=\frac{2\text{π}}{3}\ ({\text{cm}}^{2})$.

Vậy diện tích hình quạt tròn AOD bằng $\frac{{2{\rm{\pi }}}}{3}\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}.$

d) Đúng.

Diện tích hình quạt tròn DOB là: $\frac{\text{sđ}\overset{\frown}{\text{DB}}}{360}\cdot {\text{OA}}^{2}\cdot \text{π}=\frac{120}{360}\cdot {2}^{2}\cdot \text{π}=\frac{4\text{π}}{3}\ ({\text{cm}}^{2})$.

Vì $\frac{{4{\rm{\pi }}}}{3}:\frac{{2{\rm{\pi }}}}{3} = 2$ nên diện tích hình quạt tròn BOD gấp 2 lần diện tích hình quạt tròn AOD.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng.

Vì hình tròn (O; OA) có diện tích bằng 16p cm$^{2}$ nên bán kính của đường tròn (O; OA) là: $\sqrt {\frac{{16{\rm{\pi }}}}{{\rm{\pi }}}} = 4\;\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Vậy bán kính của đường tròn (O; OA) bằng 4 cm.

b) Đúng.

Xét DAOC và DDOC có: $\widehat {{\rm{CAO}}} = \widehat {{\rm{CDO}}} = 90^\circ$,

OA = OD (= R),

OC chung.

Do đó, DAOC = DDOC (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra $\widehat {{\rm{AOC}}} = \widehat {{\rm{DOC}}}$.

Vậy OC là tia phân giác của góc AOD.

c) Đúng.

Xét DAOC vuông tại A có: $\widehat {{\rm{AOC}}} = 90^\circ - \widehat {{\rm{ACO}}} = 60^\circ .$

Suy ra, $\widehat {{\rm{AOD}}} = 2\widehat {{\rm{AOC}}} = 120^\circ .$

Xét (O; OA) có: $\widehat {{\rm{AOD}}}$ = sđ$\overset{\frown}{\text{AD}}$$_{nhỏ}$ = 120$^{o}$ (góc ở tâm chắn cung AD nhỏ).

Vậy sđ$_{nhỏ}$ = 120$^{o}$.

d) Sai.

Diện tích hình quạt tròn AOD (cung AD nhỏ) là: $\frac{{120}}{{360}} \cdot {4^2} \cdot {\rm{\pi }} = \frac{{16{\rm{\pi }}}}{3}\;\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)$.

Vậy diện tích hình quạt tròn AOD (cung AD nhỏ) bằng $\frac{{16{\rm{\pi }}}}{3}\;\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}.$

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng.

Vì độ dài đường tròn đường kính AC bằng 8p (cm) nên AC = $\frac{{8{\rm{\pi }}}}{{\rm{\pi }}} = 8\;\,\left( {{\rm{cm}}} \right).$

Vậy AC = 8 cm.

b) Sai.

Vì hình tròn đường kính BC có diện tích bằng 4p (cm$^{2}$) nên BC = $2\sqrt {\frac{{4{\rm{\pi }}}}{{\rm{\pi }}}} = 4\;\,\left( {{\rm{cm}}} \right).$

Vậy BC = 4 cm.

c) Sai.

Diện tích hình tròn đường kính AC là: 4$^{2}$.p = 16p (cm$^{2}$).

Vậy diện tích hình tròn đường kính AC bằng 16p (cm$^{2}$).

d) Sai.

Ta có: AB = AC + BC = 8 + 4 = 12 (cm).

Bán kính đường tròn đường kính AB là: 12 : 2 = 6 (cm).

Diện tích hình tròn đường kính AB là: 6$^{2}$.p = 36p (cm$^{2}$).

Diện tích phần hình nằm ngoài hai hình tròn đường kính AC và đường kính BC; nằm trong hình tròn đường kính AB là: 36p – 16p – 4p = 16p (cm$^{2}$).

Vậy diện tích phần hình nằm ngoài hai hình tròn đường kính AC và đường kính BC; nằm trong hình tròn đường kính AB bằng 16p (cm$^{2}$).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng.

DAOC có: OA = OC (= R) nên DAOC cân tại O.

Mà $\widehat {{\rm{BAC}}} = 60^\circ$ nên DAOC đều.

Suy ra $\widehat {{\rm{AOC}}} = 60^\circ .$

Xét (O; OA) có: sđ$\overset{\frown}{\text{AC}}$$_{nhỏ}$ = $\widehat {{\rm{AOC}}}$ = 60$^{o}$ (góc ở tâm chắn cung AC nhỏ).

b) Đúng.

Diện tích hình quạt tròn AOC (cung AC nhỏ) là:

${{\rm{S}}_1} = \frac{{60}}{{360}} \cdot {\left( {60\sqrt 3 } \right)^2} \cdot {\rm{\pi }} = 1\;800{\rm{\pi }}\;\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)$.

Vậy diện tích hình quạt tròn AOC (cung AC nhỏ) bằng 1 800p cm$^{2}$.

c) Sai.

Gọi E là trung điểm của AO.

Vì DAOC đều nên CE là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác đó. Suy ra CE ^ AO tại E nên DACE vuông tại E.

Suy ra CE$^{2}$ + AE$^{2}$ = AC$^{2}$ (định lý Pythragore đảo).

Suy ra CE $= \sqrt {{\rm{A}}{{\rm{C}}^2} - {\rm{A}}{{\rm{E}}^2}} = \sqrt {{{\left( {60\sqrt 3 } \right)}^2} - {{\left( {30\sqrt 3 } \right)}^2}} = 8\;100$ nên CE = 90 cm.

Diện tích tam giác ACO là: ${{\rm{S}}_2} = \frac{1}{2}{\rm{CE}} \cdot {\rm{AO}} = \frac{1}{2} \cdot 90 \cdot 60\sqrt 3 = 2\;700\sqrt 3 \;\,{\left( {{\rm{cm}}} \right)^2}$.

Vậy diện tích tam giác ACO bằng $2\;700\sqrt 3$ cm$^{2}$.

d) Đúng.

Diện tích hình giới hạn bởi dây AC và cung AC nhỏ là:

S = S$_{1}$ – S$_{2}$ = 1 800p – $2\;700\sqrt 3$ cm$^{2}$ < 1 000 cm$^{2}$.

Vậy diện tích hình giới hạn bởi dây AC và cung AC nhỏ nhỏ hơn 1 000 cm$^{2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 8

Diện tích hình tròn (G; GI) là: S$_{1}$ = GI$^{2}$.p.

Diện tích hình vành khuyên khuyên tạo bởi hai đường tròn đồng tâm G có bán kính GI và GH là: S$_{2}$ = (GH$^{2}$ – GI$^{2}$).p = (9GI$^{2}$ – GI$^{2}$).p = 8GI$^{2}$.p.

Ta có: $\frac{{{{\rm{S}}_{\rm{2}}}}}{{{{\rm{S}}_{\rm{1}}}}} = \frac{{{\rm{8G}}{{\rm{I}}^2} \cdot {\rm{\pi }}}}{{{\rm{G}}{{\rm{I}}^2} \cdot {\rm{\pi }}}} = 8$.

Vậy $\frac{{{{\rm{S}}_{\rm{2}}}}}{{{{\rm{S}}_{\rm{1}}}}} = 8$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 531

Bán kính của đường tròn là: 26p : 2p = 13 (m).

Diện tích của hình tròn là: 13$^{2}$.p ≈ 531 (m$^{2}$).

Vậy diện tích hình tròn đã cho bằng khoảng 531 m$^{2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 64

Diện tích hình tròn bán kính r$_{1}$ là: ${{\rm{S}}_1} = {\rm{r}}_1^2 \cdot {\rm{\pi }} = {\left( {8{{\rm{r}}_2}} \right)^2} \cdot {\rm{\pi }} = 64{\rm{r}}_2^2 \cdot {\rm{\pi }}$.

Diện tích hình tròn bán kính r$_{2}$ là: ${{\rm{S}}_2} = {\rm{r}}_2^2 \cdot {\rm{\pi }}$.

Do đó, S$_{1}$ = 64S$_{2}$.

Vậy diện tích hình tròn bán kính r$_{1}$ gấp 64 lần hình tròn bán kính r$_{2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 4

Vì OA ^ AC nên tam giác OAC vuông tại A.

Mà OA = AC nên tam giác OAC vuông cân tại A.

Suy ra $\widehat {{\rm{AOC}}} = 45^\circ .$

Xét tam giác AOC vuông tại A có: OA = OC.sinO = $6\sqrt 2 \sin 45^\circ = 6\;\,\left( {{\rm{cm}}} \right)$.

Vì $\widehat {{\rm{AOB}}}$ là góc ở tâm chắn cung AB nhỏ của (O; OA) nên sđ$_{nhỏ}$ = $\widehat {{\rm{AOB}}} = 45^\circ .$

Diện tích hình quạt tròn AOB (cung AB nhỏ) là: ${{\rm{S}}_1} = \frac{{45}}{{360}} \cdot {\rm{\pi }} \cdot {6^2} = 4{,}5{\rm{\pi }}\;\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)$.

Diện tích tam giác OAC vuông tại A là: ${{\rm{S}}_2} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = 18\;\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)$.

Diện tích phần nằm trong tam giác AOC và nằm ngoài hình quạt tròn AOB là:

S$_{2}$ – S$_{1}$ = 18 – 4,5p ≈ 4 (cm$^{2}$).

Vậy diện tích phần nằm trong tam giác AOC và nằm ngoài hình quạt tròn AOB bằng khoảng 4 cm$^{2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 56,5

Vì $\widehat {{\rm{DOE}}}$ là góc ở tâm chắn cung DE nhỏ của (O; OD) nên sđ$_{nhỏ}$ = 135$^{o}$.

Vì $\widehat {{\rm{AOF}}}$ là góc ở tâm chắn cung AF nhỏ của (O; OA) nên sđ$_{nhỏ}$ = 135$^{o}$.

Diện tích hình quạt tròn DOE là: ${{\rm{S}}_1} = \frac{{135}}{{360}} \cdot {4^2} \cdot {\rm{\pi }} = 6{\rm{\pi }}\;\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)$.

Diện tích hình quạt tròn AOF là: ${{\rm{S}}_2} = \frac{{135}}{{360}} \cdot {8^2} \cdot {\rm{\pi }} = 24{\rm{\pi }}\;\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)$.

Diện tích phần tô màu là: S$_{2}$ – S$_{1}$ = 24p – 6p ≈ 56,5 (cm$^{2}$).

Vậy diện tích phần tô màu bằng khoảng 56,5 cm$^{2}$.