Bài tập Tính đạo hàm cấp hai của một số hàm đơn giản lớp 11 (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: y*'(x) = [(3x – 5)$^{4}$]'* = 4. (3x – 5)' . (3x – 5)$^{3}$ = 12(3x – 5)$^{3}$.

Khi đó, y*''(x) = [12(3x – 5)$^{3}$]'* = 12 . 3 . (3x – 5)' . (3x – 5)$^{2}$ = 108(3x – 5)$^{2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Với mọi x > – 1, ta có y*'*(x) = ${(\sqrt{\text{x}+1})}^{'}$ = $\frac{{(\text{x}+1)}^{'}}{2\sqrt{\text{x}+1}}=\frac{1}{2\sqrt{\text{x}+1}}$.

Khi đó, y*''*(x) = ${(\frac{1}{2\sqrt{\text{x}+1}})}^{'}=-\frac{(2\sqrt{x+1}{)}^{'}}{{(2\sqrt{\text{x}+1})}^{2}}=-\frac{\frac{1}{\sqrt{x+1}}}{4{(\sqrt{\text{x}+1})}^{2}}=-\frac{1}{4{(\sqrt{\text{x}+1})}^{3}}$.

Vậy y*''*(0) =$-\frac{1}{4{(\sqrt{0+1})}^{3}}=\frac{-1}{4}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Với mọi $x\ne \frac{π}{2}+kπ\ (k\in ℤ)$, ta có y*'(x) = (tanx)'* = $\frac{1}{{\cos }^{2}\text{x}}$.

Khi đó, y*''*(x) = ${(\frac{1}{{\cos }^{2}\text{x}})}^{'}=-\frac{{({\cos }^{2}\text{x})}^{'}}{{\cos }^{4}\text{x}}=-\frac{2.\cos \text{x}.(\cos \text{x}{)}^{'}}{{\cos }^{4}\text{x}}=\frac{2\cos \text{x.}\sin \text{x}}{{\cos }^{4}\text{x}}=\frac{2\sin \text{x}}{{\cos }^{3}\text{x}}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có y*'(x) = (sin3x)'* = 3cos3x.

y*''(x) = (3cos3x)'* = – 9sin3x.

Đáp án A: 2y + y*''* = 2sin3x – 9sin3x = – 7sin3x nên A đúng.

Đáp án B: $(\frac{\text{π}}{\text{3}})=-9\sin (3\cdot \frac{\text{π}}{3})=-9\sin \text{π = 0}$ nên B sai.

Đáp án C: y*''* – y = – 9sin3x – sin3x = – 10sin3x nên C sai.

Đáp án D: $\frac{1}{3}=\frac{1}{3}(-9\sin 3\text{x})=-3\sin 3\text{x}$ nên D sai.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có y*'*(x) = 5(x – 2)$^{4}$.

y*''*(x) = 20(x – 2)$^{3}$.

Vậy y*''*(0) = 20(0 – 2)$^{3}$ = –160.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có y*'(x) = (sin$^{2}$x)'* + (x$^{2}$)' = 2sinxcosx + 2x.

y*''(x) = (2sinxcosx)'* + (2x)' = 2(cos$^{2}$x – sin$^{2}$x) + 2.

Vậy $(\frac{\text{π}}{\text{2}})=2({\cos }^{2}\frac{\text{π}}{2}-{\sin }^{2}\frac{\text{π}}{2})+2=-2+2=0$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có y*'(x) = [(3x – 2)$^{3}$]'* + (7x)' + (8)' = 3 . 3 . (3x – 2)$^{2}$ + 7 = 9(3x – 2)$^{2}$ + 7.

y*''(x) = [9(3x – 2)$^{2}$]'* + (7)' = 9 . 2 . 3 . (3x – 2) = 54(3x – 2).

Có y*''*(x) = 0, tức là 54(3x – 2) = 0.

Suy ra 3x – 2 = 0.

Suy ra $\text{x}=\frac{2}{3}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có $\text{y}=\frac{1}{-\text{x}}=-\frac{\text{1}}{\text{x}}$.

Với mọi x ≠ 0, ta có $={(-\frac{1}{\text{x}})}^{'}=\frac{1}{{\text{x}}^{\text{2}}}$.

Khi đó, $={(\frac{1}{{\text{x}}^{\text{2}}})}^{'}=-\frac{({\text{x}}^{\text{2}}{)}^{'}}{{\text{x}}^{4}}=-\frac{2\text{x}}{{\text{x}}^{4}}=-\frac{2}{{\text{x}}^{3}}$.

Vậy (I) sai và (II) đúng.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có y*'*(x) = 32x$^{3}$ – 26x + 24.

Khi đó, y*''*(x) = 96x$^{2}$ – 26.

y*''*(x) = 0, tức là 96x$^{2}$ – 26 = 0.

Suy ra ${\text{x}}^{2}=\frac{26}{96}$.

Suy ra $\text{x}=\pm \frac{\sqrt{39}}{12}$.

Vậy phương trình y*''*(x) = 0 có hai nghiệm.

Đáp án đúng là: A

Tập xác định: D = ℝ

Áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm số đa thức:

y′ = (x$^{4}$ – 3x$^{2}$ + 2x – 1)′ = 4x$^{3}$ – 6x + 2

⇒ y′′ = (4x$^{3}$ – 6x + 2)′ = 12x$^{2}$ – 6.

Đáp án đúng là: B

Ta có:

y′ = [sin(3x – 1)]′ = (3x – 1)′ ⋅ cos(3x – 1) = 3cos(3x – 1)

⇒ y′′ = [3cos(3x – 1)]′ = 3[–(3x – 1)′ ⋅ sin(3x – 1)] = 3[–3sin(3x – 1)] = –9sin(3x – 1).

Đáp án đúng là: A

Ta có: f′(x) = [ln(3x + 1)]′ = $\frac{{{{\left( {3x + 1} \right)}^\prime }}}{{3x + 1}} = \frac{3}{{3x + 1}}$

⇒ f′′(x) = ${\left[ {\frac{3}{{3x + 1}}} \right]^\prime }$ = 3 ⋅ $\left[ { - \frac{{{{\left( {3x + 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {3x + 1} \right)}^2}}}} \right]$ = 3 ⋅ $\left[ { - \frac{3}{{{{\left( {3x + 1} \right)}^2}}}} \right]$ = $- \frac{9}{{{{\left( {3x + 1} \right)}^2}}}$

Thay x = 1 vào f′′(x), ta được:

f′′(1) = $- \frac{9}{{{{\left( {3 \cdot 1 + 1} \right)}^2}}} = - \frac{9}{{{4^2}}} = - \frac{9}{{16}}$.

Đáp án đúng là: A

Tập xác định: D = ℝ

Ta có: f′(x) = (x ⋅ e$^{3x}$)′ = x′ ⋅ e$^{3x}$ + x ⋅ (e$^{3x}$)′ = e$^{3x}$ + x ⋅ 3e$^{3x}$ = e$^{3x}$(3x + 1)

⇒ f′′(x) = ${\left[ {{e^{3x}}\left( {3x + 1} \right)} \right]^\prime }$= (e$^{3x}$)′ ⋅ (3x + 1) + e$^{3x}$(3x + 1)′

⇒ f′′(x) = 3e$^{3x}$(3x + 1) + 3e$^{3x}$ = 3e$^{3x}$(3x + 1 + 1) = 3e$^{3x}$(3x + 2).

Đáp án đúng là: A

Tập xác định: D = ℝ \{–1}

Ta có: y′ = ${\left( {\frac{{2x - 1}}{{x + 1}}} \right)^\prime } = \frac{{2\left( {x + 1} \right) - \left( {2x - 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}$ = 3(x + 1)$^{–2}$

⇒ y′′ = [3(x + 1)$^{-2}$]′ = 3 ⋅ (–2) ⋅ (x + 1)$^{–3}$ = $- \frac{6}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}$

Thay x = –2 vào đạo hàm cấp hai, ta được:

y′′(–2) = $- \frac{6}{{{{\left( { - 2 + 1} \right)}^3}}} = - \frac{6}{{{{\left( { - 1} \right)}^3}}}$ = 6.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Ta có: f′(x) = (x$^{3}$ – 3x$^{2}$ + 5x – 2)′ = 3x$^{2}$ – 6x + 5.

b) Đúng. Theo câu a), f′(x) = 3x$^{2}$ – 6x + 5

⇒ f′′(x) = (3x$^{2}$ – 6x + 5)′ = 6x – 6.

c) Sai. Cho f′′(x) = 0 ⇔ 6x – 6 = 0 ⇔ 6x = 6 ⇔ x = 1

Do đó, nghiệm của phương trình f′′(x) = 0 là x = 1 ≠ 2.

d) Đúng. Thay x = 2 vào biểu thức f′′(x), ta được:

f′′(2) = 6 ⋅ 2 – 6 = 12 – 6 = 6.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Ta có: y′ = (cos2x)′ = –(2x)′ ⋅ sin2x = –2sin2x.

b) Đúng. Theo câu a), y′ = –2sin2x

⇒ y′′ = (–2sin2x)′ = –2 ⋅ (2x)′ ⋅ cos2x = –4cos2x.

c) Đúng. Với mọi x ∈ ℝ, ta có: y′′ + 4y = –4cos2x + 4cos2x = 0.

d) Sai. Thay x = $\frac{\pi }{4}$ vào biểu thức y′′, ta được:

y′′$\left( {\frac{\pi }{4}} \right)$ = –4cos$\left( {2 \cdot \frac{\pi }{4}} \right)$ = –4cos$\left( {\frac{\pi }{2}} \right)$ = –4 ⋅ 0 = 0

Do đó, y′′$\left( {\frac{\pi }{4}} \right)$ = 0 ≠ 4.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Ta có: y′ = (${e^{ - {x^2}}}$)′ = (–x$^{2}$)′ ⋅ ${e^{ - {x^2}}}$ = –2x${e^{ - {x^2}}}$.

b) Đúng. Theo câu a), ta có: y′ = –2x${e^{ - {x^2}}}$

⇒ y′′ = (–2x${e^{ - {x^2}}}$)′ = (–2x)′ ⋅ ${e^{ - {x^2}}}$ + (–2x) ⋅ (${e^{ - {x^2}}}$)′

⇒ y′′ = –2${e^{ - {x^2}}}$ + (–2x)(–2x${e^{ - {x^2}}}$) = –2${e^{ - {x^2}}}$ + 4x$^{2}$${e^{ - {x^2}}}$ = (4x$^{2}$ – 2)${e^{ - {x^2}}}$.

c) Sai. Thay x = 0 vào biểu thức y′′, ta được: y′′(0) = (4 ⋅ 0$^{2}$ – 2)${e^{ - {0^2}}}$ = –2 ⋅ 1 = –2.

Do đó, y′′(0) = –2 ≠ 2.

d) Sai. Ta có: ${e^{ - {x^2}}}$ > 0 với mọi x ∈ ℝ

Do đó, y′′ > 0 ⇔ (4x$^{2}$ – 2)${e^{ - {x^2}}}$ > 0 ⇔ 4x$^{2}$ – 2 > 0

⇔ x$^{2}$ > $\frac{1}{2}$ ⇔ $\left[ \begin{array}{l}x > \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\x < - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array} \right.$

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = $\left( { - \infty ; - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}; + \infty } \right)$.

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai. Ta có: f′(x) = [ln(2x – 1)]′ = $\frac{{{{\left( {2x - 1} \right)}^\prime }}}{{2x - 1}} = \frac{2}{{2x - 1}}$.

Do đó, f′(x) = $\frac{2}{{2x - 1}}$.

b) Đúng. Đạo hàm cấp hai của hàm số là: f′′(x) = ${\left( {\frac{2}{{2x - 1}}} \right)^\prime } = \frac{{ - 2 \cdot {{\left( {2x - 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}} = - \frac{4}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}$.

c) Đúng. Thay x = 1 vào biểu thức f′′(x), ta được:

f′′(1) = $- \frac{4}{{{{\left( {2 \cdot 1 - 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - 4}}{{{1^2}}}$ = –4.

d) Đúng. Với mọi x ∈ $\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)$, ta có 2x – 1 > 0 ⇒ (2x – 1)$^{2}$ > 0

⇒ f′′(x) = $\frac{{ - 4}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}$ < 0 với mọi x ∈ $\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)$.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Ta có: y′ = ${\left( {\sqrt {2x + 3} } \right)^\prime } = \frac{{{{\left( {2x + 3} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {2x + 3} }} = \frac{2}{{2\sqrt {2x + 3} }} = \frac{1}{{\sqrt {2x + 3} }}$.

b) Đúng. Đạo hàm cấp hai của hàm số là:

y′′ = ${\left( {\frac{1}{{\sqrt {2x + 3} }}} \right)^\prime } = \left( {{{\left( {2x + 3} \right)}^{ - \frac{1}{2}}}} \right)$ = $- \frac{1}{2}$ ⋅ (2x + 3)′ ⋅ ${\left( {2x + 3} \right)^{ - \frac{3}{2}}}$

= $- \frac{1}{2}$ ⋅ 2 ⋅ $\frac{1}{{\sqrt {{{\left( {2x + 3} \right)}^3}} }}$ = $- \frac{1}{{\sqrt {{{\left( {2x + 3} \right)}^3}} }}$.

c) Đúng. Thay x = 3 vào biểu thức y′′, ta được:

y′′(3) = $- \frac{1}{{\sqrt {{{\left( {2 \cdot 3 + 3} \right)}^3}} }} = - \frac{1}{{\sqrt {{9^3}} }} = - \frac{1}{{{3^3}}} = - \frac{1}{{27}}$.

d) Sai. Với mọi x > $- \frac{3}{2}$, ta có:

y′′ ⋅ (2x + 3) + (y′)$^{2}$ = $\left[ { - \frac{1}{{\sqrt {{{\left( {2x + 3} \right)}^3}} }}} \right]$ ⋅ (2x + 3) + ${\left( {\frac{1}{{\sqrt {2x + 3} }}} \right)^2}$

= $- \frac{1}{{\sqrt {2x + 3} }}$ + $\frac{1}{{2x + 3}}$ ≠ 0

Do đó, biểu thức y′′ ⋅ (2x + 3) + (y′)$^{2}$ = $- \frac{1}{{\sqrt {2x + 3} }}$ + $\frac{1}{{2x + 3}}$ ≠ 0.

Đáp án: -8

Tập xác định: D = ℝ

Ta có: y′ = (x$^{5}$ – 2x$^{3}$ + x)′ = 5x$^{4}$ – 6x$^{2}$ + 1

⇒ y′′ = (5x$^{4}$ – 6x$^{2}$ + 1)′ = 20x$^{3}$ – 12x

Thay x = –1 vào biểu thức y′′, ta được:

y′′(–1) = 20 ⋅ (–1)$^{3}$ – 12 ⋅ (–1) = –20 + 12 = –8.

Đáp án: -6

Tập xác định: D = ℝ

Ta có: f′(x) = (sin2x + cos2x)′ = 2cos2x – 2sin2x

⇒ f′′(x) = (2cos2x – 2sin2x)′ = –4sin2x – 4cos2x

Tính giá trị các đạo hàm tại các điểm yêu cầu:

f′′(0) = –4sin(0) – 4cos(0) = –4 ⋅ 0 – 4 ⋅ 1 = –4

f′$\left( {\frac{\pi }{4}} \right)$ = 2cos$\left( {2 \cdot \frac{\pi }{4}} \right)$ – 2sin$\left( {2 \cdot \frac{\pi }{4}} \right)$ = 2cos$\left( {\frac{\pi }{2}} \right)$ – 2sin$\left( {\frac{\pi }{2}} \right)$ = 2 ⋅ 0 – 2 ⋅ 1 = –2

Do đó, giá trị của biểu thức P là: P = f′′(0) + f′$\left( {\frac{\pi }{4}} \right)$ = –4 + (–2) = –6.

Đáp án: 4

Tập xác định: D = ℝ

Ta có: y′ = (e$^{2x – 1}$)′ = (2x – 1)′ ⋅ e$^{2x – 1}$ = 2e$^{2x – 1}$

⇒ y′′ = (2e$^{2x – 1}$)′ = 2 ⋅ (2x – 1)′ ⋅ e$^{2x – 1}$ = 2 ⋅ 2 ⋅ e$^{2x – 1}$ = 4e$^{2x – 1}$

Theo đề bài, y′′ = a ⋅ e$^{2x – 1}$

Đồng nhất hệ số ⇒ a = 4

Vậy a = 4.

Đáp án: 0

Tập xác định: D = ℝ (vì x$^{2}$ + 1 > 0 với mọi x ∈ ℝ)

Ta có: y′ = [ln(x$^{2}$ + 1)]′ = $\frac{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^\prime }}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{2x}}{{{x^2} + 1}}$

⇒ y′′ = ${\left( {\frac{{2x}}{{{x^2} + 1}}} \right)^\prime } = \frac{{{{\left( {2x} \right)}^\prime }\left( {{x^2} + 1} \right) - 2x{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}$

⇒ y′′ = $\frac{{2\left( {{x^2} + 1} \right) - 2x \cdot 2x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{2{x^2} + 2 - 4{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{2 - 2{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}$

Thay x = 1 vào biểu thức y′′, ta được: y′′(1) = $\frac{{2 - 2 \cdot {1^2}}}{{{{\left( {{1^2} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{2 - 2}}{{{2^2}}} = \frac{0}{4}$ = 0.

Đáp án: 2

Tập xác định: D = ℝ

Ta có: y′ = ${\left( {\frac{1}{3}{x^3} - m{x^2} + \left( {m + 2} \right)x - 5} \right)^\prime }$ = x$^{2}$ – 2mx + m + 2

⇒ y′′ = (x$^{2}$ – 2mx + m + 2)′ = 2x – 2m

Theo bài ra, ta có y′′(2) = 0

⇒ 2 ⋅ 2 – 2m = 0 ⇔ 4 – 2m = 0 ⇔ 2m = 4 ⇔ m = 2

Vậy giá trị m cần tìm là m = 2.