Bài tập Tính đạo hàm bằng định nghĩa (tại một điểm và trên một khoảng) lớp 11 (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x$_{0}$= 3.

Ta có ∆y = f(3 + ∆x) – f(3)

= 3(3 + ∆x)$^{2}$ + 2(3 + ∆x) – 1 – (3 ∙ 3$^{2}$ + 2 ∙ 3 – 1)

= 27 + 18∆x + 3(∆x)$^{2}$ + 6 + 2∆x – 33

= 3(∆x)$^{2}$ + 20∆x.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x$_{0}$= 1.

Ta có ∆y = f(1 + ∆x) – f(1) = $\frac{{(1+Δ\text{x})}^{3}-1}{(\text{1 +}Δ\text{x})+2}-0=\frac{{(Δx)}^{3}+3Δx+3{(Δx)}^{2}}{3+Δ\text{x}}$.

Suy ra $\frac{\text{Δy}}{\text{Δx}}=\frac{{(Δ\text{x})}^{2}+3+3Δ\text{x}}{Δ\text{x}+3}$.

Ta thấy $\underset{\text{Δx}\rightarrow 0}{\lim }\frac{\text{Δy}}{\text{Δx}}=\underset{Δ\text{x}\rightarrow 0}{\lim }\frac{{(Δ\text{x})}^{2}+3+3Δ\text{x}}{Δ\text{x}+3}=1$.

Vậy f*'*(1) = 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x$_{0}$= 3.

Ta có ∆y = f(3 + ∆x) – f(3) = $\sqrt{3+Δ\text{x}-2}-1=\sqrt{1+Δ\text{x}}-1$.

Suy ra $\frac{\text{Δy}}{\text{Δx}}=\frac{\sqrt{1+Δ\text{x}}-1}{Δ\text{x}}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x$_{0}$= $\frac{\text{π}}{\text{2}}$.

Ta có ∆y = f($\frac{\text{π}}{\text{2}}$+ ∆x) – f($\frac{\text{π}}{\text{2}}$) = sin ($\frac{\text{π}}{\text{2}}$+ ∆x) – 1 = cos (∆x) – 1.

Suy ra $\frac{\text{Δy}}{\text{Δx}}=\frac{\cos (Δ\text{x})-1}{\text{Δx}}$.

Ta thấy $\underset{\text{Δx}\rightarrow 0}{\lim }\frac{\text{Δy}}{\text{Δx}}=\underset{Δ\text{x}\rightarrow 0}{\lim }\frac{\cos (Δ\text{x})-1}{\text{Δx}}=0$.

Vậy f*'*($\frac{\text{π}}{\text{2}}$) = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x$_{0}$= 3.

Ta có ∆y = f(3 + ∆x) – f(3) = $\sqrt{3+\text{Δx}}-\sqrt{3}$.

Suy ra $\frac{\text{Δy}}{\text{Δx}}=\frac{\sqrt{3+Δ\text{x}}-\sqrt{3}}{\text{Δx}}=\frac{Δ\text{x}}{\text{Δx}(\sqrt{3+Δ\text{x}}+\sqrt{3})}=\frac{1}{\sqrt{3+Δ\text{x}}+\sqrt{3}}$.

Ta thấy $\underset{\text{Δx}\rightarrow 0}{\lim }\frac{\text{Δy}}{\text{Δx}}=\underset{Δ\text{x}\rightarrow 0}{\lim }\frac{1}{\sqrt{3+Δ\text{x}}+\sqrt{3}}=\frac{1}{2\sqrt{3}}$.

Vậy f*'*(3) = $\frac{1}{2\sqrt{3}}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x$_{0}$= 2.

Ta có ∆y = f(2 + ∆x) – f(2) = (2 + ∆x)$^{4}$ – 5 – 11 = (∆x)$^{4}$ + 8(∆x)$^{3}$ + 24(∆x)$^{2}$ + 32∆x.

Suy ra $\frac{\text{Δy}}{\text{Δx}}=\frac{{(\text{Δx})}^{4}+8{(\text{Δx})}^{3}+24{(\text{Δx})}^{2}+32\text{Δx}}{\text{Δx}}={(\text{Δx})}^{3}+8{(\text{Δx})}^{2}+24\text{Δx}+32$.

Ta thấy $\underset{\text{Δx}\rightarrow 0}{\lim }\frac{\text{Δy}}{\text{Δx}}=\underset{Δ\text{x}\rightarrow 0}{\lim }{(\text{Δx})}^{3}+8{(\text{Δx})}^{2}+24\text{Δx}+32=32$.

Vậy f*'*(2) = 32.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x$_{0}$= 10.

Ta có ∆y = f(10 + ∆x) – f(10) = $\sqrt{\text{Δx + 9}}-3$.

Suy ra $\frac{\text{Δy}}{\text{Δx}}=\frac{\sqrt{Δ\text{x + 9}}-3}{\text{Δx}}=\frac{Δ\text{x}}{\text{Δx}(\sqrt{Δ\text{x + 9}}+3)}=\frac{1}{\sqrt{Δ\text{x + 9}}+3}$.

Ta thấy $\underset{\text{Δx}\rightarrow 0}{\lim }\frac{\text{Δy}}{\text{Δx}}=\underset{Δ\text{x}\rightarrow 0}{\lim }=\frac{1}{\sqrt{Δ\text{x + 9}}+3}=\frac{1}{6}$.

Vậy f*'*(10) = .

Đáp án đúng là: A

Ta có f(3) = 3 ⋅ 3$^{2}$ + 2 ⋅ 3 – 1 = 32

Lại có: f(x) – f(3) = (3x$^{2}$ + 2x – 1) – 32 = 3x$^{2}$ + 2x – 33 = (x – 3)(3x + 11)

Với x ≠ 3 ⇒ f'(3) = $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 3 \right)}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {3x + 11} \right)}}{{x - 3}}$

= $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {3x + 11} \right)$ = 3 ⋅ 3 + 11 = 20.

Đáp án đúng là: B

Tập xác định của hàm số là D = ℝ \ $\left\{ {\frac{4}{3}} \right\}$.

Do x$_{0}$ = 2 ∈ D, hàm số xác định tại x$_{0}$ = 2

Ta có: f(2) = $\frac{1}{{3 \cdot 2 - 4}} = \frac{1}{2}$

Theo định nghĩa đạo hàm, ta có: f′(2) = $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 2 \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\frac{1}{{3x - 4}} - \frac{1}{2}}}{{x - 2}}$

Mà: $\frac{1}{{3x - 2}} - \frac{1}{2} = \frac{{2 - \left( {3x - 4} \right)}}{{2\left( {3x - 4} \right)}} = \frac{{6 - 3x}}{{2\left( {3x - 4} \right)}}$ = $\frac{{ - 3\left( {x - 2} \right)}}{{2\left( {3x - 4} \right)}}$

⇒ f′(2) = $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{ - 3\left( {x - 2} \right)}}{{2\left( {3x - 4} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{ - 3}}{{2\left( {3x - 4} \right)}}$

Thay x = 2, ta có: f′(2) = $\frac{{ - 3}}{{2\left( {3 \cdot 2 - 4} \right)}} = \frac{{ - 3}}{{2 \cdot 2}} = - \frac{3}{4}$.

Đáp án đúng là: C

Lấy điểm x$_{0}$ ∈ ℝ bất kỳ

Ta có: f(x) – f(x$_{0}$) = cx$^{2}$ – cx$_{0}$$^{2}$ = c(x$^{2}$ – x$_{0}$$^{2}$) = c(x – x$_{0}$)(x + x$_{0}$)

Với x ≠ x$_{0}$, ta có tỉ số: $\frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \frac{{c\left( {x - {x_0}} \right)\left( {x + {x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}$ = c(x + x$_{0}$)

⇒ f'(x$_{0}$) = $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {c\left( {x + {x_0}} \right)} \right]$ = c(x$_{0}$ + x$_{0}$) = 2cx$_{0}$

Vì x$_{0}$ là điểm bất kỳ thuộc ℝ, nên đạo hàm của hàm số trên ℝ là: y′ = f′(x) = 2cx.

Đáp án đúng là: B

Tập xác định của hàm số là D = ℝ \{–2}

Do x$_{0}$ = 1 ∈ D, hàm số xác định tại x$_{0}$ = 1

Ta có: f(1) = $\frac{{{1^3} - 1}}{{1 + 2}}$ = 0

Theo định nghĩa đạo hàm, ta có:

f′(1) = $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\frac{{{x^3} - 1}}{{x + 2}} - 0}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^3} - 1}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}$

Áp dụng hằng đẳng thức x$^{3}$ – 1 = (x – 1)(x$^{2}$ + x + 1):

f′(1) = $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 2}}$

Thay x = 1 vào giới hạn: f′(1) = $\frac{{{1^2} + 1 + 1}}{{1 + 2}} = \frac{3}{3}$ = 1.

Đáp án đúng là: A

Ta có: f(3) = $\sqrt {3 - 2}$ = 1

Do đó: f(x) – f(3) = $\sqrt {x - 2}$ – 1

Với x ≠ 3

⇒ f'(3) = $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 3 \right)}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\sqrt {x - 2} - 1}}{{x - 3}}$

Nhân liên hợp cả tử và mẫu với $\sqrt {x - 2} + 1$:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\left( {\sqrt {x - 2} - 1} \right)\left( {\sqrt {x - 2} + 1} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {\sqrt {x - 2} + 1} \right)}}$ = $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\left( {x - 2} \right) - 1}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {\sqrt {x - 2} + 1} \right)}}$

= $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{x - 3}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {\sqrt {x - 2} + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{1}{{\sqrt {x - 2} + 1}}$ = $\frac{1}{{\sqrt {3 - 2} + 1}} = \frac{1}{2}$.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Ta có: f(1) = 1$^{2}$ + 2 ⋅ 1 = 3

Theo định nghĩa đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x$_{0}$ = 1, ta có:

f′(1) = $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}}$.

b) Đúng. Thay f(x) = x$^{2}$ + 2x và f(1) = 3 vào công thức định nghĩa, ta được:

f′(1) = $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{x - 1}}$.

c) Sai. Phân tích tử thức thành nhân tử ta có: x$^{2}$ + 2x – 3 = (x – 1)(x + 3)

Do đó: f′(1) = $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x + 3} \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x + 4} \right)$.

d) Sai. Giá trị đạo hàm tại x$_{0}$ = 1 là:

f′(1) = $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {x + 3} \right)$ = 1 + 3 = 4

Do đó a = 4. Vì 4 < 5 nên khẳng định a > 5 là Sai.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Theo định nghĩa đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x$_{0}$, ta có:

f′(x$_{0}$) = $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}$.

b) Sai. Ta có: f′(1) = $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2{x^3} - 2 \cdot {1^3}}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2\left( {{x^3} - 1} \right)}}{{x - 1}}$

= $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} 2\left( {{x^2} + x + 1} \right)$= 2(1$^{2}$ + 1 + 1) = 6 ≠ –6.

c) Đúng. Ta có: f′(0) = $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2{x^3} - 0}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} 2{x^2}$ = 2 ⋅ 0$^{2}$ = 0

Do đó f′(0) = 0.

d) Đúng. Ta có: f′(2) = $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 2 \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2{x^3} - 2 \cdot {2^3}}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2\left( {{x^3} - 8} \right)}}{{x - 2}}$

= $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} 2\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)$

= 2(2$^{2}$ + 2 ⋅ 2 + 4) = 2 ⋅ 12 = 24

Do đó f′(2) = 24.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Với bất kì x$_{0}$ ≠ 1, ta có:

f′(x$_{0}$) = $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{\frac{2}{{1 - x}} - \frac{2}{{1 - {x_0}}}}}{{x - {x_0}}}$

= $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{2\left( {x - {x_0}} \right)}}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 - {x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{2}{{\left( {1 - x} \right)\left( {1 - {x_0}} \right)}} = \frac{2}{{{{\left( {1 - {x_0}} \right)}^2}}}$

⇒ f′(x$_{0}$) = $\frac{2}{{{{\left( {1 - {x_0}} \right)}^2}}}$

Vậy f′(x$_{0}$) = $\frac{2}{{{{\left( {1 - {x_0}} \right)}^2}}}$ trên các khoảng ($- \infty$; 1) và (1; $+ \infty$).

b) Đúng. Với x = 2 ⇒ f′(2) = $\frac{2}{{{{\left( {1 - 2} \right)}^2}}}$ = 2.

c) Sai. Với x = 3 ⇒ f′(3) = $\frac{2}{{{{\left( {1 - 3} \right)}^2}}} = \frac{1}{2}$ ≠ $\frac{1}{3}$.

d) Sai. Theo câu b) và câu c), f′(2) = 2 và f′(3) = $\frac{1}{2}$

⇒ f′(2) + f′(3) = 2 + $\frac{1}{2}$ = $\frac{5}{2}$ ≠ $\frac{3}{2}$.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Thay x = 2 vào hàm số f(x): f(2) = 2$^{2}$ – 4 ⋅ 2 + 3 = 4 – 8 + 3 = –1.

b) Đúng. Với x ≠ 2, ta có:

$\frac{{f\left( x \right) - f\left( 2 \right)}}{{x - 2}} = \frac{{\left( {{x^2} - 4x + 3} \right) - \left( { - 1} \right)}}{{x - 2}}$ = $\frac{{{x^2} - 4x + 4}}{{x - 2}} = \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{x - 2}}$ = x – 2.

c) Đúng. Theo định nghĩa đạo hàm tại x$_{0}$ = 2:

f′(2) = $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 2 \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {x - 2} \right)$ = 2 – 2 = 0.

d) Sai. Ta có: f(3) = 3$^{2}$ – 4 ⋅ 3 + 3 = 0

Theo định nghĩa đạo hàm tại x$_{0}$ = 3:

f′(3) = $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 3 \right)}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^2} - 4x + 3}}{{x - 3}}$ = $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {x - 1} \right)$ = 3 – 1 = 2 ≠ 3

Vậy f′(3) = 2.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Với x ≠ x$_{0}$, ta có: $\frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \frac{{\left( { - {x^2} + 3x - 2} \right) - \left( { - {x^2}_0 + 3{x_0} - 2} \right)}}{{x - {x_0}}}$

= $\frac{{ - \left( {{x^2} - {x^2}_0} \right) + 3\left( {x - {x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}$ = $\frac{{ - \left( {x - {x_0}} \right)\left( {x + {x_0}} \right) + 3\left( {x - {x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}$ = –(x + x$_{0}$) + 3

b) Đúng. Theo định nghĩa đạo hàm tại điểm x$_{0}$ ∈ ℝ bất kỳ:

f′(x$_{0}$) = $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ { - \left( {x + {x_0}} \right) + 3} \right]$ = –(x$_{0}$ + x$_{0}$) + 3 = –2x$_{0}$ + 3

Do đó, hàm số có đạo hàm trên ℝ là f′(x) = –2x + 3.

c) Đúng. Thay x$_{0}$ = 0 vào công thức đạo hàm f′(x) = –2x + 3: f′(0) = –2 ⋅ 0 + 3 = 3.

d) Sai. Thay x$_{0}$ = 1 vào công thức đạo hàm f′(x) = –2x + 3: f′(1) = –2 ⋅ 1 + 3 = 1 ≠ 2.

Đáp án: 0

Xét hàm số y = f(x) = 1. Lấy x$_{0}$ bất kì thuộc ℝ

Vì f(x) = 1 với mọi x nên f(x$_{0}$) = 1

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{1 - 1}}{{x - {x_0}}}$ = 0 ⇒ f′(x$_{0}$) = 0.

Vậy y′ = 0.

Đáp án: 9

Ta có f(2) = 2 ⋅ 2$^{2}$ + 2 + 1 = 11.

Theo định nghĩa đạo hàm của hàm số tại x$_{0}$ = 2:

f′(2) = $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 2 \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {2{x^2} + x + 1} \right) - 11}}{{x - 2}}$

= $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{2{x^2} + x - 10}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {2x + 5} \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {2x + 5} \right)$

= 2 ⋅ 2 + 5 = 9

Vậy f′(2) = 9.

Đáp án: 0,06

Ta có f(0) = $\frac{1}{4}$

Theo định nghĩa đạo hàm của hàm số tại x$_{0}$ = 0:

f′(0) = $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{3 - \sqrt {4 - x} }}{4} - \frac{1}{4}}}{x}$ = $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{3 - \sqrt {4 - x} - 1}}{{4x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2 - \sqrt {4 - x} }}{{4x}}$

Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp $\left( {2 + \sqrt {4 - x} } \right)$:

⇒ f′(0) = $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{4 - \left( {4 - x} \right)}}{{4x\left( {2 + \sqrt {4 - x} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{x}{{4x\left( {2 + \sqrt {4 - x} } \right)}}$

= $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{4\left( {2 + \sqrt {4 - x} } \right)}} = \frac{1}{{4\left( {2 + \sqrt {4 - 0} } \right)}} = \frac{1}{{4\left( {2 + 2} \right)}} = \frac{1}{{16}}$ ≈ 0,06.

Vậy f′(0) ≈ 0,06.

Đáp án: 2

Ta có f(0) = 0

Theo định nghĩa đạo hàm của hàm số tại x$_{0}$ = 0:

f′(0) = $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{\sqrt {4{x^2} + 1} - 1}}{x} - 0}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {4{x^2} + 1} - 1}}{{{x^2}}}$

Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp $\left( {\sqrt {4{x^2} + 1} + 1} \right)$:

⇒ f′(0) = $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} = \frac{{\left( {4{x^2} + 1} \right) - 1}}{{{x^2}\left( {\sqrt {4{x^2} + 1} + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{4{x^2}}}{{{x^2}\left( {\sqrt {4{x^2} + 1} + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{4}{{\sqrt {4{x^2} + 1} + 1}}$

= $\frac{4}{{\sqrt {4 \cdot {0^2} + 1} + 1}} = \frac{4}{{1 + 1}}$ = 2.

Vậy f′(0) = 2.

Đáp án: 0,5

Ta có f(0) = 0

Theo định nghĩa đạo hàm của hàm số tại x$_{0}$ = 0:

f′(0) = $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{\sqrt {{x^3} + {x^2} + 1} - 1}}{x} - 0}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {{x^3} + {x^2} + 1} - 1}}{{{x^2}}}$

Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp $\sqrt {{x^3} + {x^2} + 1} + 1$:

⇒ f′(0) = $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {{x^3} + {x^2} + 1} \right) - 1}}{{{x^2}\left( {\sqrt {{x^3} + {x^2} + 1} + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^3} + {x^2}}}{{{x^2}\left( {\sqrt {{x^3} + {x^2} + 1} + 1} \right)}}$

= $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2}\left( {x + 1} \right)}}{{{x^2}\left( {\sqrt {{x^3} + {x^2} + 1} + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x + 1}}{{\left( {\sqrt {{x^3} + {x^2} + 1} + 1} \right)}}$

= $\frac{{0 + 1}}{{\sqrt {{0^3} + {0^2} + 1} + 1}} = \frac{1}{{1 + 1}} = \frac{1}{2}$ = 0,5.

Vậy f′(0) = 0,5.