Bài tập Tính bán kính đường tròn lớp 9 (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Gọi O là giao hai đường chéo của hình vuông ABCD. Khi đó theo tính chất của hình vuông, ta có: OA = OB = OC = OD nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD, bán kính R = OA = $\frac{{AC}}{2}$.

Xét tam giác ABC vuông cân tại B, ta có:

AC = $\sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = 3\sqrt 2$

Suy ra OA = $\frac{{AC}}{2} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}$.

Vậy bán kính của đường tròn là R = OA = $\frac{{3\sqrt 2 }}{2}$ cm.

Đáp án đúng là: B

Vì tam giác ABC vuông tại A nên tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của cạnh huyền BC, ban kính R = $\frac{{BC}}{2}$.

Theo định lí Pythagore ta có: BC = $\sqrt {A{C^2} + A{B^2}} = 25$ nên bán kính R = $\frac{{25}}{2}$.

Đáp án đúng là: C

Vì tam giác ABC vuông tại A nên tâm đường tròn ngoại tiếp là trung điểm của cạnh huyền BC, ban kính R = $\frac{{BC}}{2}$.

Theo định lí Pythagore ta có: BC = $\sqrt {A{C^2} + A{B^2}} = 13$ nên bán kính R = $\frac{{13}}{2}$.

Đáp án đúng là: D

Gọi I là giao điểm của hai đường chéo, ta có: IA = IB = IC = ID (vì BD = AC và I là trung điểm của mỗi đường).

Nên bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc đường tròn tâm I bán kính R = $\frac{{AC}}{2}$.

Theo định lí Pythagore trong tam giác ABC ta có:

AC = $\sqrt {B{C^2} + A{B^2}} = 13$ cm.

Do đó, R = $\frac{{AC}}{2}$ = 6,5 cm.

Vậy bán kính cần tìm là R = 6,5 cm.

Đáp án đúng là: A

Gọi I là giao điểm của hai đường chéo, ta có: IA = IB = IC = ID (vì DB = AC và I là trung điểm mỗi đường)

Nên bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc đường tròn tâm I bán kính R = $\frac{{AC}}{2}$.

Theo định lí Pythagore trong tam giác vuông ABC, ta có:

AC = $\sqrt {B{C^2} + A{B^2}} = \sqrt {{6^2} + {8^2}} = 10$ nên R = $\frac{{AC}}{2}$ = 5 cm.

Vậy bán kính cần tìm là R = 5 cm.

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác OAB có OA = OB = R nên tam giác OAB cân tại O.

Có OH vuông góc với AB tại H nên H là trung điểm của AB.

Xét tam giác HAO vuông tại H có OH = 1 cm và AH = $\frac{{AB}}{2} = 2$ cm.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác HOA, ta có:

OA$^{2}$ = OH$^{2}$ + HA$^{2}$ = 1$^{2}$ + 2$^{2}$ = 5

Suy ra OA = $\sqrt 5$ cm.

Vậy bán kính đường tròn là $\sqrt 5$ cm.

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác vuông BNC, có: ND = BD = DC = $\frac{1}{2}BC$ (1).

Xét tam giác vuông BMC, có: MD = BD = DC = $\frac{1}{2}BC$ (2).

Từ (1), (2) suy ra MD = ND = BD = DC = $\frac{1}{2}BC$.

Nên bốn điểm M, N, B, C cùng thuộc một đường tròn tâm D bán kính

$\frac{1}{2}BC$ = 2 cm.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\widehat {CDN} = \widehat {ECN}$ (cùng phụ với $\widehat {CNE}$) nên $\widehat {CNE} + \widehat {ECN} = \widehat {CNE} + \widehat {CDN} = 90^\circ$

Suy ra $\widehat {CEN} = 90^\circ$ do đó, CM ⊥ DN.

Gọi I là trung điểm của DM.

Xét tam giác vuông ADM có AI = ID = IM = $\frac{{DM}}{2}$. Xét tam giá vuông DEM có EI = ID = IM = $\frac{{DM}}{2}$ nên EI = ID = IM = IA = $\frac{{DM}}{2}$.

Do đó bốn điểm A, D, E, M cùng thuộc đường tròn tâm I bán kính R = $\frac{{DM}}{2}$.

Xét tam giác ADM vuông tại A có AD = 4 cm, AM = $\frac{{AB}}{2}$ = 2 cm nên theo định lý Pythagore ta có:

DM = $\sqrt {A{D^2} + A{M^2}} = \sqrt {{4^2} + {2^2}} = 2\sqrt 5$.

Suy ra bán kính đường tròn đi qua 4 điểm A, D, E, M là

R = $\frac{{DM}}{2} = \frac{{2\sqrt 5 }}{2} = \sqrt 5$ cm.

Đáp án đúng là: C

Ta có tam giác ABC cân tại A có đường cao AH nên AH cũng là đường phân giác $\widehat {CAD} = \widehat {DAB}$.

Suy ra ∆ACD = ∆ABD (c.g.c) nên $\widehat {ABD} = \widehat {ACD} = 90^\circ$.

Lấy I là trung điểm AD, Xét hai tam giác vuông ABD và ACD có:

IA = ID = IB = IC = $\frac{{DA}}{2}$.

Nên I là điểm cách đều A, B, D, C hay A, B, D, C cùng nằm trên đường tròn tâm I đường kính AD.

Vì BC = 8 cm suy ra BH = 4 cm.

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác AHB, ta có:

AB = $\sqrt {A{H^2} + B{H^2}} = \sqrt {{4^2} + {2^2}} = 2\sqrt 5$.

Ta có ∆ABD đồng dạng với ∆HAB suy ra AB$^{2}$ = AH.AD

hay AD = $\frac{{A{B^2}}}{{AH}} = \frac{{20}}{2}$ = 10 cm.

Vậy đường kính cần tìm là 10 cm.

Đáp án đúng là: D

Tam giác ABC đều cạnh a có bán kính đường tròn ngoại tiếp (đường tròn đi qua ba đỉnh A, B, C là $R = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$.

Suy ra 3R = $a\sqrt 3$ hay a = $R\sqrt 3$ = $4\sqrt 3$ cm.

Mặt khác O là trọng tâm tam giác ABC và AH vừa là đường cao và đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A.

Suy ra R = OA = $\frac{2}{3}$AH. Hay AH = $\frac{3}{2}R = \frac{{3.4}}{2} = 6$ (cm).

Diện tích tam giác ABC là S = $\frac{1}{2}.6.4\sqrt 3 = 12\sqrt 3$ cm$^{2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Vì IA = IB = IC = 6 cm 3 điểm A, B, C thuộc đường tròn (I; 6 cm).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Vì M là trung điểm của đoạn thẳng AB nên MA = MB = 5 cm.

Do đó, bán kính của đường tròn (M; MA) bằng 5 cm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Vì C, D thuộc đường tròn (A; AC) nên AC = AD. Do đó, ΔACD cân tại A. Suy ra, AE là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác đó. Suy ra, AE ⊥ CD nên ΔDAE vuông tại E.

Áp dụng định lý Pythagore vào ΔDAE vuông tại E ta có:

AD$^{2}$ = AE$^{2}$ + ED$^{2}$ = 3$^{2}$ + 4$^{2}$ = 25 nên AD = 5 cm.

Vậy bán kính của đường tròn (A; AC) bằng 5 cm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Vì G là trọng tâm của ΔABC nên G là giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác đó. Suy ra: GA = GB = GC. Do đó, ba điểm A, B, C thuộc đường tròn (G; GA).

Vì G là trọng tâm và AM là đường trung tuyến của ΔABC nên AG = $\frac{2}{3}$AM = 6 (cm).

Vậy bán kính của đường tròn đi qua ba điểm A, B, C bằng 6 cm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Gọi E là giao điểm của AC và BD.

Mà tứ giác ABCD là hình chữ nhật nên EA = EB = EC = ED = $\frac{1}{2}$AC = 2 cm.

Do đó, 4 điểm A, B, C, D thuộc đường tròn (E; 2 cm).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Sai.

Vì AB : AC : BC = 5 : 4 : 3 nên $\frac{{{\rm{AB}}}}{5} = \frac{{{\rm{AC}}}}{4} = \frac{{{\rm{BC}}}}{3}$.

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\frac{{{\rm{AB}}}}{5} = \frac{{{\rm{AC}}}}{4} = \frac{{{\rm{BC}}}}{3} = \frac{{{\rm{AB}} + {\rm{AC}} + {\rm{BC}}}}{{3 + 4 + 5}} = \frac{{36}}{{12}} = 3$.

Do đó, AB = 15 cm, AC = 12 cm, BC = 9 cm.

b) Sai.

Vì AB$^{2}$ = AC$^{2}$ + BC$^{2}$ (5$^{2}$= 4$^{2}$ + 3$^{2}$) nên DABC vuông tại C (định lý Pythagore đảo).

c) Sai.

Vì DABC vuông tại C có CO là đường trung tuyến nên OA = OB = OC.

d) Đúng.

Vì OA = OB = OC nên A, B, C cùng thuộc đường tròn (O; OC).

Bán kính của đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C là: $\frac{{{\rm{AB}}}}{2} = \frac{{15}}{2} = 7{,}5$ cm.

Vậy bán kính của đường tròn đi qua 3 điểm A, B, C lớn hơn 6 cm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng.

Vì AC ^ EC nên $\widehat {{\rm{ACE}}} = 90^\circ$. Vì AB ^ EB nên $\widehat {{\rm{ABE}}} = 90^\circ$.

Tứ giác ABEC có: $\widehat {{\rm{ACE}}} = \widehat {{\rm{ABE}}} = \widehat {{\rm{BAC}}} = 90^\circ$ nên tứ giác ABEC là hình chữ nhật.

b) Đúng.

Gọi D là giao điểm của BC và AE.

Mà tứ giác ABEC là hình chữ nhật nên DA = DB = DC = DE.

Do đó, 4 điểm A, B, E, C cùng thuộc (D; BD).

c) Đúng.

DABC vuông tại A có: AC = BC. sin$\widehat {{\rm{ABC}}}$ nên BC = $\frac{{{\rm{AC}}}}{{\sin 30^\circ }}$= 8 (cm).

d) Sai.

Ta có: BD = BC : 2 = 4 (cm).

Vậy đường tròn đi qua 4 điểm A, B, E, C có bán kính bằng 4 cm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng.

Vì tứ giác ABCD là hình vuông nên AB = BC và $\widehat {{\rm{ABC}}} = 90^\circ$.

Vì E, F lần lượt là trung điểm của AB, BC nên EB = $\frac{1}{2}$AB = $\frac{1}{2}$BC = FB.

Do đó, DEBF cân tại B. Mà $\widehat {{\rm{ABC}}} = 90^\circ$ nên DEBF vuông cân tại B.

Suy ra $\widehat {{\rm{BEF}}} = 45^\circ .$

Chứng minh tương tự ta có: $\widehat {{\rm{AEH}}} = 45^\circ .$

Ta có: $\widehat {{\rm{HEF}}} = 180^\circ - \widehat {{\rm{BEF}}} - \widehat {{\rm{AEH}}} = 90^\circ$.

b) Sai.

Vì $\widehat {{\rm{HEF}}} = 90^\circ$ nên DHEF vuông tại E.

Gọi O là trung điểm của HF.

Suy ra, EO là đường trung tuyến của DHEF vuông tại E.

Suy ra OE = OH = OF.

Do đó, điểm E thuộc đường tròn (O; OF).

c) Đúng.

Chứng minh tương tự phần a, ta có: $\widehat {{\rm{HGF}}} = 90^\circ$ nên DHGF vuông tại G.

Mà GO là đường trung tuyến của DHGF vuông tại G.

Suy ra OG = OH = OF.

Do đó, điểm G thuộc đường tròn (O; OF).

Theo b) ta có điểm E thuộc đường tròn (O; OF).

Vậy 4 điểm E, F, G, H cùng thuộc đường tròn (O; OF).

d) Đúng.

Tứ giác ABFH có: HA // BF, HA = BF nên tứ giác ABFH là hình bình hành.

Suy ra HF = AB = 6 cm.

Suy ra OF = $\frac{1}{2}$AB = 3 cm.

Vậy bán kính đường tròn đi qua 4 điểm E, F, G, H bằng 3 cm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng.

Vì tứ giác ABCD là hình chữ nhật nên $\widehat {{\rm{ABC}}} = 90^\circ$.

Suy ra, DABC vuông tại B.

Do đó, AC$^{2}$ = AB$^{2}$ + BC$^{2}$ = 32$^{2}$ + 24$^{2}$ = 1 600 (định lý Pythagore) nên AC = 40 cm.

b) Đúng.

Vì O là tâm hình chữ nhật ABCD nên OA = OB = OC = OD = $\frac{1}{2}$AC = 20 cm.

Vậy bốn điểm A, B, C, D thuộc đường tròn (O; 20 cm).

c) Sai.

Vì M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của OA, OB, OC, OD nên OM = $\frac{1}{2}$OA, ON = $\frac{1}{2}$OB, OP = $\frac{1}{2}$OC, OQ = $\frac{1}{2}$OD.

Mà OA = OB = OC = OD nên OM = ON = OP = OQ.

Suy ra, 4 điểm M, N, P, Q cùng nằm trên đường tròn (O; MO).

d) Đúng.

Ta có: OM = $\frac{1}{2}$OA = 10 (cm).

Vậy bán kính của đường tròn đi qua 4 điểm M, N, P, Q bằng 10 cm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng.

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Mà tứ giác ABCD là hình thoi nên AC ^ BD tại O và OB = $\frac{1}{2}$BD, OC = $\frac{1}{2}$AC.

Lại có AC : BD = 5 : 12 nên OB : OC = 5 : 12, suy ra OB $= \frac{5}{{12}}$OC.

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác BOC vuông tại O có:

OB$^{2}$ + OC$^{2}$ = BC$^{2}$, suy ra $\frac{{25}}{{144}}$OC$^{2}$ + OC$^{2}$ = 26$^{2}$ nên OC = 24 cm, do đó, OB = 10 cm.

Suy ra: BD = 20 cm, AC = 48 cm.

b) Đúng.

Vì M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC nên MN là đường trung bình của DABC. Do đó, MN = $\frac{1}{2}$AC = 24 cm, MN // AC.

Vì P, Q lần lượt là trung điểm của DC, AD nên PQ là đường trung bình của DADC.

Do đó, PQ = $\frac{1}{2}$AC, PQ // AC.

Do đó, MN = PQ, MN // PQ.

Vì P, N lần lượt là trung điểm của DC, BC nên PN là đường trung bình của DDBC.

Do đó, NP // BD, NP = $\frac{1}{2}$BD = 10 cm.

Vì MN // AC, AC ^ BD nên MN ^ BD.

Mà NP // BD nên MN ^ NP, suy ra $\widehat {{\rm{MNP}}} = 90^\circ$

Tứ giác MNPQ có: MN = PQ, MN // PQ nên tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Lại có: $\widehat {{\rm{MNP}}} = 90^\circ$ nên tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

c) Sai.

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác MNP vuông tại N ta có:

MP$^{2}$ = MN$^{2}$ + NP$^{2}$ = 676 nên MP = 26 (cm).

d) Sai.

Tứ giác BMDP có: MB // DP, MB = DP ($= \frac{1}{2}{\rm{AB}}$) nên tứ giác BMDP là hình bình hành. Do đó, hai đường chéo MP và BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Mà O là trung điểm của BD nên O là trung điểm của MP.

Mà tứ giác MNPQ là hình chữ nhật nên O là trung điểm của QN.

Do đó, OM = ON = OP = OQ. Vậy bán kính của đường tròn đi qua 4 điểm M, N, P, Q là OM = $\frac{1}{2}$PM = 13 cm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2

Gọi T là trung điểm của AB.

Vì DADB vuông tại D có DT là đường trung tuyến nên DT = TA = TB $= \frac{{{\rm{AB}}}}{2}$= 2 m.

Vì DAEB vuông tại E có ET là đường trung tuyến nên ET = TA = TB.

Vì DAFB vuông tại F có FT là đường trung tuyến nên FT = TA = TB.

Do đó, DT = TA = TB = ET = FT.

Suy ra, 5 điểm A, B, D, E, F có bán kính bằng 2 m.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2

Vì tứ giác ABCD là hình vuông nên $\widehat {{\rm{ABC}}} = 90^\circ$.

Do đó, tam giác ABC vuông tại B.

Suy ra: AC$^{2}$ = AB$^{2}$ + BC$^{2}$ = ${\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} + {\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} = 16$ (định lý Pythagore) nên AC = 4 m.

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Mà tứ giác ABCD là hình vuông nên OA = OB = OC = OD = $\frac{1}{2}$AC = 2 m.

Vậy bốn điểm A, B, C, D thuộc đường tròn (O; 2 m).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2,5

Vì AM là đường trung tuyến trong tam giác ABC vuông tại A nên AM = $\frac{1}{2}$BC = 5 cm.

Vì D, E lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên AB và AC nên MD ^ AB tại D, ME ^ AC tại E. Suy ra $\widehat {{\rm{MEA}}} = \widehat {{\rm{MDA}}} = 90^\circ$.

Tứ giác AEMD có $\widehat {{\rm{EAD}}} = \widehat {{\rm{MEA}}} = \widehat {{\rm{MDA}}} = 90^\circ$ nên tứ giác AEMD là hình chữ nhật.

Gọi N là giao điểm của AM và ED.

Vì tứ giác AEMD là hình chữ nhật nên NE = NA = NM = ND = $\frac{1}{2}$AM = 2,5 cm.

Vậy 4 điểm E, M, A, D thuộc đường tròn (N; 2,5 cm).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 3

Vì DABC đều nên AM là đường trung tuyến đồng thời là đường cao trong tam giác đó.

Suy ra, AM ^ BC tại M nên DABM vuông tại M.

Suy ra AM$^{2}$ + MB$^{2}$ = AB$^{2}$ (định lý Pythagore)

Do đó, AM$^{2}$ = ${\left( {6\sqrt 3 } \right)^2} - {\left( {3\sqrt 3 } \right)^2} = 81$ nên AM = 9 cm.

Chứng minh tương tự ta có: BE = 9 cm, CD = 9 cm.

Gọi G là giao điểm của hai đường trung tuyến CD và BE trong DABC.

Suy ra G là trọng tâm của DABC.

Do đó, GE = $\frac{1}{3}$BE = 3 cm, GD = $\frac{1}{3}$DC = 3 cm, GM = $\frac{1}{3}$AM = 3 cm.

Suy ra: GE = GM = GD.

Vậy bán kính đường tròn đi qua ba điểm D, E, M bằng 3 cm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 15

Vì tứ giác ABCD là hình thang cân (AD // BC) nên ta có:

AB = CD = 18 m, AC = BD = 24 m.

Gọi O là trung điểm của BC, suy ra OB = OC = 15 cm.

Vì AB$^{2}$ + AC$^{2}$ = BC$^{2}$ nên tam giác ABC vuông tại A (định lý Pythagore đảo).

Mà AO là đường trung tuyến của tam giác ABC nên OA = OB = OC = 15 m (1).

Vì DB$^{2}$ + DC$^{2}$ = BC$^{2}$ nên tam giác DBC vuông tại D (định lý Pythagore đảo).

Mà DO là đường trung tuyến của tam giác DBC nên OD = OB = OC = 15 m (2).

Từ (1) và (2) ta có: OA = OB = OC = OD = 15 m.

Vậy 4 điểm A, B, C, D thuộc đường tròn (O; 15 m).