Bài tập Tìm giá trị x để biểu thức đạt giá trị là số nguyên lớp 9 (có lời giải)

Hướng dẫn giải

Với x > 0, x ≠ 4, x ≠ $\frac{9}{4}$, ta có:

$A = \frac{{\sqrt x }}{{x - 2\sqrt x }} + \frac{3}{{\sqrt x }} = \frac{{\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\sqrt x }} + \frac{{3\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{4\sqrt x - 6}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}$.

Có P = $\frac{B}{A}$ = $\frac{2}{{\sqrt x - 2}}:\frac{{4\sqrt x - 6}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{2}{{\sqrt x - 2}}.\frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{4\sqrt x - 6}} = \frac{{\sqrt x }}{{2\sqrt x - 3}}$.

Ta có: $P = \frac{{\sqrt x }}{{2\sqrt x - 3}} = \frac{1}{{2 - \frac{3}{{\sqrt x }}}}$ (vì x > 0 nên $\sqrt x > 0$).

P nhận giá trị nguyên khi và chỉ khi $\frac{1}{{2 - \frac{3}{{\sqrt x }}}}$ nguyên

hay $2 - \frac{3}{{\sqrt x }}$ ∈ Ư(1) = {1; −1}.

Khi đó P = 1 hoặc P = −1.

Với P = 1 hay $2 - \frac{3}{{\sqrt x }}$ = 1 khi $\sqrt x$ = 3 suy ra x = 9 (thỏa mãn).

Với P = −1 hay $2 - \frac{3}{{\sqrt x }} = - 1$ khi $\sqrt x = 1$ suy ra x = 1 (thỏa mãn).

Vậy x ∈ {1; 9} thì P nhận giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

Với x > 0, x ≠ 4, ta có:

$B = \frac{1}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{\sqrt x }}{{2 - \sqrt x }} + \frac{{2x - \sqrt x + 2}}{{x - 4}}$

$B = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} - \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} + \frac{{2x - \sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}$

$B = \frac{{\sqrt x - 2 - x - 2\sqrt x + 2x - \sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}$

$B = \frac{{x - 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}$.

Vậy B = $\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}}$ với x > 0, x ≠ 4.

Ta có: P = A.B = $\frac{{x - 7}}{{\sqrt x }}.\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{x - 7}}{{\sqrt x + 2}}$.

Xét P = 0 khi $\frac{{x - 7}}{{\sqrt x + 2}} = 0$ suy ra x – 7 = 0 (thỏa mãn điều kiện).

Xét P ≠ 0.

TH1: x ∈ ℤ; x ≠ 7; $\sqrt x$ là số vô tỉ thì P ∉ ℤ (loại).

TH2: x ∈ ℤ; $\sqrt x$∈ ℤ.

Ta có: $P = \frac{{x - 4 - 3}}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{x - 4}}{{\sqrt x + 2}} - \frac{3}{{\sqrt x + 2}} = \sqrt x - 2 - \frac{3}{{\sqrt x + 2}}$.

Để P ∈ ℤ thì $\sqrt x - 2 - \frac{3}{{\sqrt x + 2}}$ ∈ ℤ suy ra $\frac{3}{{\sqrt x + 2}}$ ∈ ℤ.

Do đó, $\left( {\sqrt x + 2} \right) \in$Ư(3).

Mà Ư(3) = {1; 3; −1; −3}.

Do $\sqrt x + 2$ ≥ 2 nên $\sqrt x + 2$ = 3 suy ra $\sqrt x = 1$ suy ra x = 1 (thỏa mãn).

Vậy x ∈ {1; 7} thì P có giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

Với x ≥ 0; x ≠ 9, ta có:

$A = \frac{{3\sqrt x - 21}}{{x - 9}} + \frac{2}{{\sqrt x - 3}}$

$A = \frac{{3\sqrt x - 21}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} + \frac{{2\left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}$

$A = \frac{{3\sqrt x - 21 + 2\sqrt x + 6}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}$

$A = \frac{{5\sqrt x - 15}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{{5\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{5}{{\sqrt x + 3}}$.

Để A nhận giá trị nguyên thì $\frac{5}{{\sqrt x + 3}}$ nguyên.

Suy ra $\sqrt x + 3$ là Ư(5).

Mà Ư(5) = {1; 5; −1; −5}.

Nhận thấy $\sqrt x + 3$ ≥ 3 với vọi x ≥ 0; x ≠ 9.

Do đó, $\sqrt x + 3$ = 5, suy ra $\sqrt x$ = 2 do đó, x = 4 (thỏa mãn).

Vậy x = 4 thì A nhận giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

a) Với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 9, ta có:

$M = \frac{{2\sqrt x - 9}}{{x - 5\sqrt x + 6}} - \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{2\sqrt x + 1}}{{3 - \sqrt x }}$

$M = \frac{{2\sqrt x - 9}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} - \frac{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} + \frac{{\left( {2\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$

$M = \frac{{2\sqrt x - 9}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} - \frac{{x - 9}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} + \frac{{2x - 3\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$

$M = \frac{{2\sqrt x - 9 - x + 9 + 2x - 3\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$

$M = \frac{{x - \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$

$M = \frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}$.

Với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 9, M = $\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}} = 1 + \frac{4}{{\sqrt x - 3}}$.

Để M nguyên thì $\frac{4}{{\sqrt x - 3}}$ nguyên hay $\sqrt x - 3$ là Ư(4).

Mà Ư(4) = {1; 4; −1; −4; 2; −2}.

• Với $\sqrt x - 3$ = 1 suy ra x = 16 (thỏa mãn).

• Với $\sqrt x - 3$ = −1 suy ra x = 4 (loại).

• Với $\sqrt x - 3$ = 2 suy ra x = 25 (thỏa mãn).

• Với $\sqrt x - 3$ = −2 suy ra x = 1 (thỏa mãn).

• Với $\sqrt x - 3$ = 4 suy ra x = 49 (thỏa mãn).

• Với $\sqrt x - 3$ = −4 suy ra $\sqrt x$ = −1 (loại).

Vậy để A nhận giá trị nguyên thì x ∈ {1; 25; 16; 49}.

Hướng dẫn giải

Với x > 0, x ≠ 9, ta có:

$A = \frac{{\sqrt x + 15}}{{x - 9}} - \frac{x}{{x - 3\sqrt x }} + \frac{{2\sqrt x + 5}}{{\sqrt x + 3}}$

$A = \frac{{\left( {\sqrt x + 15} \right)\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} - \frac{{x\left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} + \frac{{\left( {2\sqrt x + 5} \right)\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}$

$A = \frac{{x + 15\sqrt x - x\sqrt x - 3x + 2x\sqrt x + 5x - 6x - 15\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$

$A = \frac{{x\sqrt x - 3x}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{{x\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}}$.

Với x > 0, x ≠ 9 có $A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}}$ > 0.

Lại có: A = $1 - \frac{3}{{\sqrt {x + 3} }} < 1$.

Do đó 0 < A < 1.

Vậy không tồn tại giá trị của x để A nhận giá trị là số nguyên.

>>

Hướng dẫn giải

a) Với x ≥ 0 và x ≠ 4, ta có:

$B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} + \frac{{1 - \sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{\sqrt x + 4}}{{x - \sqrt x - 2}}$

$B = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} + \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {1 - \sqrt x } \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} - \frac{{\sqrt x + 4}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}$

$B = \frac{{x - 2\sqrt x + 1 - x - \sqrt x - 4}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}$

$B = \frac{{ - 3\sqrt x - 3}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{ - 3\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{ - 3}}{{\sqrt x - 2}}$.

Ta có: P = A : B = $\frac{{9 - 3\sqrt x }}{{x - 4}}:\frac{{\left( { - 3} \right)}}{{\sqrt x - 2}} = \frac{{3\left( {3 - \sqrt x } \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}.\frac{{\sqrt x - 2}}{{\left( { - 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 2}}$.

Có $P = \frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 2}} = 1 - \frac{5}{{\sqrt x + 2}}$.

Do x ≥ 0 suy ra 0 < $\frac{5}{{\sqrt x + 2}}$ ≤ $\frac{5}{2}$.

Đêt P nguyên thì $\frac{5}{{\sqrt x + 2}}$ nhận giá trị nguyên.

Do đó P = 1 hoặc P = 2.

Với P = 1 thì $\frac{5}{{\sqrt x + 2}} = 1$ hay $\sqrt x + 2$ = 5 suy ra x = 9 .

Với P = 2 thì $\frac{5}{{\sqrt x + 2}} = 2$ hay $\sqrt x + 2 = \frac{5}{2}$ suy ra x = $\frac{1}{4}$.

Thử lại:

Khi x = 9 thì P = 0 (loại).

Khi x = $\frac{1}{4}$ thì P = −1 (thỏa mãn).

Vậy x = $\frac{1}{4}$.

>

Hướng dẫn giải

a) Với x ≥ 0; x ≠ 4, ta có:

$B = \frac{{x - \sqrt x - 7}}{{x + \sqrt x - 6}} + \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{\sqrt x - 3}}{{2 - \sqrt x }}$

$B = \frac{{x - \sqrt x - 7}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} + \frac{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} - \frac{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}$

$B = \frac{{x - \sqrt x - 7 + x - 4 - x + 9}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}$

$B = \frac{{x - \sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 3}}$.

b) Với x ≥ 0; x ≠ 4, ta có:

M = A.B = $\frac{{x - 3}}{{\sqrt x + 1}}$. $\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 3}} = \frac{{x - 3}}{{\sqrt x + 3}}$.

Hay $M = \frac{{x - 3}}{{\sqrt x + 3}} = \frac{{x - 9 + 6}}{{\sqrt x + 3}} = \frac{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right) + 6}}{{\sqrt x + 3}} = \sqrt x - 3 + \frac{6}{{\sqrt x + 3}}$.

Xét x = 3 thì M = 0 (thỏa mãn). Vậy x = 3 thỏa mãn.

Xét x ≠ 3, x ∈ ℤ nhưng $\sqrt x \notin \mathbb{Z}$. Do đó M $\notin \mathbb{Z}$.

Xét x ∈ ℤ, $\sqrt x \in \mathbb{Z}$ suy ra M ∈ ℤ:

Suy ra $\frac{6}{{\sqrt x + 3}}$ là số nguyên hay $\sqrt x + 3$ là Ư(6).

Mà Ư(6) = {1; 2; 3; 6; −1; −2; −3; −6}.

Nhận thấy $\sqrt x + 3 \ge 3$ với mọi x ≥ 0; x ≠ 4.

Suy ra $\sqrt x + 3 = 3$ hoặc $\sqrt x + 3 = 6$.

Do đó, x = 0 (thỏa mãn) hoặc x = 9 (thỏa mãn).

Vậy x ∈ {0; 3; 9} thì M nhận giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

a) Với x ≥ 0; x ≠ 1, ta có:

$A = \frac{{15\sqrt x - 19}}{{x + 2\sqrt x - 3}} - \frac{{3\sqrt x - 2}}{{1 - \sqrt x }} - \frac{{2\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 3}}$

$A = \frac{{15\sqrt x - 19}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} + \frac{{\left( {3\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} - \frac{{\left( {2\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}$

$A = \frac{{15\sqrt x - 19 + 3x + 7\sqrt x - 6 - 2x - \sqrt x + 3}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}$

$A = \frac{{x + 21\sqrt x - 22}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} = \frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 22} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x + 22}}{{\sqrt x + 3}}$.

b) Ta có: $A = \frac{{\sqrt x + 22}}{{\sqrt x + 3}} = 1 + \frac{{19}}{{\sqrt x + 3}}$ với x ≥ 0; x ≠ 1.

Để A nhận giá trị nguyên thì $\frac{{19}}{{\sqrt x + 3}}$ nguyên.

Suy ra $\sqrt x + 3$ là Ư(19).

Mà Ư(19) = {1; 19; −1; −19}.

Nhận thấy $\sqrt x + 3 \ge 3$ với x ≥ 0; x ≠ 1.

Suy ra $\sqrt x + 3$ = 19 hay x = 256 (thỏa mãn).

Vậy x = 256 thì A nhận giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

Với x ≥ 0; x ≠ 4, ta có:

$B = \frac{{\sqrt x - 11}}{{x - \sqrt x - 2}} - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} + \frac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 2}}$

$B = \frac{{\sqrt x - 11}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} - \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{\left( {2\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$

$B = \frac{{\sqrt x - 11 - x + 2\sqrt x + 2x + \sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$

$B = \frac{{x + 4\sqrt x - 12}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 6} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x + 6}}{{\sqrt x + 1}}$.

Ta có: P = A.B = $\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 2}}.\frac{{\sqrt x + 6}}{{\sqrt x + 1}} = \frac{{\sqrt x + 6}}{{\sqrt x + 2}} = 1 + \frac{4}{{\sqrt x + 2}}$.

Để P nhận giá trị nguyên thì $\frac{4}{{\sqrt x + 2}}$ nguyên.

Suy ra $\sqrt x + 2$ là ước của 4.

Nhận thấy $\sqrt x + 2 \ge 2$ với x ≥ 0; x ≠ 4 nên $\sqrt x + 2$ = 2 hoặc $\sqrt x + 2$ = 4.

Suy ra x = 0 (thỏa mãn) hoặc x = 4 (loại).

Vậy x = 0 thì P = A.B nhận giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

Với x ≥ 0; x ≠ 9, ta có:

$B = \frac{4}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{2x - \sqrt x - 13}}{{x - 9}} - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}$

$B = \frac{{4\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} + \frac{{2x - \sqrt x - 13}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} - \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$

$B = \frac{{4\sqrt x - 12 + 2x - \sqrt x - 13 - x - 3\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$

$B = \frac{{x - 25}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \frac{{\left( {\sqrt x + 5} \right)\left( {\sqrt x - 5} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$.

Ta có: P = $\frac{B}{A}$ = $\frac{{\left( {\sqrt x + 5} \right)\left( {\sqrt x - 5} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$: $\frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x - 3}}$

= $\frac{{\left( {\sqrt x + 5} \right)\left( {\sqrt x - 5} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$. $\frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 5}} = \frac{{\sqrt x - 5}}{{\sqrt x + 3}}$.

Ta có: P = $\frac{{\sqrt x - 5}}{{\sqrt x + 3}} = 1 - \frac{8}{{\sqrt x + 3}}$.

Để P đạt giá trị nguyên thì $\frac{8}{{\sqrt x + 3}}$ nhận giá trị nguyên.

Suy ra $\sqrt x + 3$ là Ư(8).

Nhận thấy $\sqrt x + 3 \ge 3$với x ≥ 0; x ≠ 9.

Do đó, $\sqrt x + 3 \in {\rm{\{ }}4;8\}$

Với $\sqrt x + 3$ = 4 thì x = 1 (thỏa mãn).

Với $\sqrt x + 3$ = 8 thì x = 25 (thỏa mãn).

Vậy giá trị x nguyên nhỏ nhất để P nhận giá trị nguyên là x = 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Sai.

Với mọi x ≥ 0, ta có điều kiện xác định của biểu thức A là:

• $x + 2\sqrt x - 3 \ne 0$ hay $\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right) \ne 0$ suy ra $\sqrt x + 3 \ne 0$ (luôn đúng) và $\sqrt x - 1 \ne 0$.

Do đó x ≠ 1.

• $\sqrt x - 1 \ne 0$ suy ra x ≠ 1.

• $\sqrt x + 3 \ne 0$ (luôn đúng với x ≥ 0).

Vậy điều kiện xác định của A là x ≥ 0, x ≠ 1.

b) Đúng.

Với x ≥ 0, x ≠ 1, ta có:

$A = \frac{{15\sqrt x - 19}}{{x + 2\sqrt x - 3}} - \frac{{3\sqrt x - 2}}{{1 - \sqrt x }} - \frac{{2\sqrt x + 3}}{{\sqrt x + 3}}$

$= \frac{{15\sqrt x - 19}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} + \frac{{\left( {3\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}} - \frac{{\left( {2\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}$

$= \frac{{15\sqrt x - 19 + 3x + 7\sqrt x - 6 - 2x - \sqrt x + 3}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}$

$= \frac{{x + 21\sqrt x - 22}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}$

$= \frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 22} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}$

$= \frac{{\sqrt x + 22}}{{\sqrt x + 3}}$

Vậy $A = \frac{{\sqrt x + 22}}{{\sqrt x + 3}}$ với x ≥ 0, x ≠ 1

c) Đúng.

Ta có: $A = \frac{{\sqrt x + 22}}{{\sqrt x + 3}} = 1 + \frac{{19}}{{\sqrt x + 3}}$ với x ≥ 0, x ≠ 1.

Để A nhận giá trị nguyên thì $\frac{{19}}{{\sqrt x + 3}}$ nguyên.

Suy ra $\sqrt x + 3$ là Ư(19).

d) Sai.

Mà Ư(19) = {1; 19; −1; −19}.

Nhận thấy $\sqrt x + 3 \ge 3$ với x ≥ 0, x ≠ 1.

Suy ra $\sqrt x + 3$ = 19 hay x = 256 (thỏa mãn).

Vậy x = 256 thì A nhận giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng.

Với x ≥ 0; x ≠ 9, ta có:

$B = \frac{4}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{2x - \sqrt x - 13}}{{x - 9}} - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}}$

$= \frac{{4\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} + \frac{{2x - \sqrt x - 13}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} - \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$

$= \frac{{4\sqrt x - 12 + 2x - \sqrt x - 13 - x - 3\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$

$= \frac{{x - 25}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \frac{{x - 25}}{{x - 9}} = \frac{{\left( {\sqrt x + 5} \right)\left( {\sqrt x - 5} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$.

b) Đúng.

Ta có: P = $\frac{B}{A}$ = $\frac{{\left( {\sqrt x + 5} \right)\left( {\sqrt x - 5} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$: $\frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x - 3}}$

= $\frac{{\left( {\sqrt x + 5} \right)\left( {\sqrt x - 5} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$. $\frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 5}} = \frac{{\sqrt x - 5}}{{\sqrt x + 3}}$.

c) Sai.

Ta có: P = $\frac{{\sqrt x - 5}}{{\sqrt x + 3}} = 1 - \frac{8}{{\sqrt x + 3}}$.

Để P đạt giá trị nguyên thì $\frac{8}{{\sqrt x + 3}}$ nhận giá trị nguyên.

Suy ra $\sqrt x + 3$ là Ư(8).

Nhận thấy $\sqrt x + 3 \ge 3$ với x ≥ 0, x ≠ 9.

Do đó, $\sqrt x + 3 \in {\rm{\{ }}4;\,\,8\}$

Với $\sqrt x + 3$ = 4 thì x = 1 (thỏa mãn).

Với $\sqrt x + 3$ = 8 thì x = 25 (thỏa mãn).

Do đó, có hai giá trị nguyên của x để P nguyên.

d) Đúng.

Thay x = 25 (thỏa mãn) vào P được P = $\frac{{\sqrt {25} - 5}}{{\sqrt {25} + 3}} = \frac{{5 - 5}}{{5 + 3}} = \frac{0}{8} = 0$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng.

– Xét biểu thức $A = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 4}}$.

Điều kiện xác định của biểu thức $A$ và $x \ge 0$ và $\sqrt x - 4 \ne 0$ hay $x \ge 0,\,\,x \ne 16.$

– Xét biểu thức $B = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 4}} - \frac{{10\sqrt x - 8}}{{16 - x}}$.

Với $x \ge 0$, ta có:

⦁ $16 - x = \left( {4 + \sqrt x } \right)\left( {4 - \sqrt x } \right) = - \left( {\sqrt x + 4} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)$.

⦁ $x \ge 0$ nên $\sqrt x \ge 0,$ suy ra $\sqrt x + 4 > 0.$

Điều kiện xác định của biểu thức $B$ là $x \ge 0$ và $\sqrt x - 4 \ne 0$ hay $x \ge 0,\,\,x \ne 16.$

Vậy điều kiện xác định của biểu thức $A$ và biểu thức $B$ đều là $x \ge 0,\,\,x \ne 16.$

b) Đúng.

Tính giá trị của biểu thức $A$ khi $x = 4 - 2\sqrt 3 .$

Vì $x = 4 - 2\sqrt 3 = 3 - 2\sqrt 3 + 1$ nên $x = {\left( {\sqrt 3 - 1} \right)^2}$ và $\sqrt x = \sqrt 3 - 1$.

Thay vào $A$ ta được

$A = \frac{{\sqrt 3 - 1 + 2}}{{\sqrt 3 - 1 - 4}} = \frac{{\sqrt 3 + 1}}{{\sqrt 3 - 5}}$$= \frac{{\left( {\sqrt 3 + 1} \right)\left( {\sqrt 3 + 5} \right)}}{{\left( {\sqrt 3 - 5} \right)\left( {\sqrt 3 + 5} \right)}} = \frac{{8 + 6\sqrt 3 }}{{ - 22}} = \frac{{ - 4 - 3\sqrt 3 }}{{11}}$.

Vậy khi $x = 4 - 2\sqrt 3$ thì $A = \frac{{ - 4 - 3\sqrt 3 }}{{11}}$.

c) Đúng.

Với $x \ge 0\,,\,\,x \ne 16\,,$ ta có:

$$B = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 4}} - \frac{{10\sqrt x - 8}}{{16 - x}}$$

$$= \frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 4} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)}} + \frac{{10\sqrt x - 8}}{{\left( {\sqrt x + 4} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)}}$$

$$= \frac{{x - 6\sqrt x + 8 + 10\sqrt x - 8}}{{\left( {\sqrt x + 4} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)}}$$

$= \frac{{x + 4\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 4} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)}}$$= \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 4}}$.

d) Sai.

Ta có $\frac{A}{B} = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 4}}:\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 4}}$ $= \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 4}}.\frac{{\sqrt x - 4}}{{\sqrt x }}$$= \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x }} = 1 + \frac{2}{{\sqrt x }}$.

Để $\frac{A}{B}$ nhận giá trị nguyên thì $\frac{2}{{\sqrt x }}$ nhận giá trị nguyên hay $\sqrt x$ là ước của 2.

Do đó, $\sqrt x = 2$ suy ra x = 4 (thỏa mãn) hoặc $\sqrt x = 1$, suy ra x = 1 (thỏa mãn).

Vậy có 2 giá trị nguyên của của x để $\frac{A}{B}$ nhận giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng.

Với $x = 16$ (thỏa mãn điều kiện), ta có

$A = \frac{{16 + 3}}{{\sqrt {16} - 2}} = \frac{{19}}{{4 - 2}} = \frac{{19}}{2}$.

Vậy khi $x = 16$ thì giá trị của biểu thức $A$ bằng $\frac{{19}}{2}$.

b) Sai.

Thay x = 16 (thỏa mãn ĐKXĐ) vào $B = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{5\sqrt x - 2}}{{x - 4}}$ được:

$B = \frac{{\sqrt {16} - 1}}{{\sqrt {16} + 2}} + \frac{{5\sqrt {16} - 2}}{{16 - 4}} = \frac{{4 - 1}}{{4 + 2}} + \frac{{5.4 - 2}}{{12}} = \frac{3}{6} + \frac{{18}}{{12}} = 2 < \frac{{19}}{2}$.

Do đó, tại x = 16 thì giá trị của biểu thức A lớn hơn giá trị của biểu thức B.

c) Sai.

Với $x > 0,\,\,x \ne 4$, ta có

$B = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{5\sqrt x - 2}}{{x - 4}} = \frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} + \frac{{5\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}$

$= \frac{{x - 3\sqrt x + 2 + 5\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{x + 2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}$

$= \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}$.

d) Sai.

Ta có $P = \frac{A}{B} = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x - 2}}:\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}} = \frac{{x + 3}}{{\sqrt x }} = \sqrt x + \frac{3}{{\sqrt x }}$.

Để P nguyên với x ∈ ℤ thì $\sqrt x + \frac{3}{{\sqrt x }}$ nguyên.

Do đó $\sqrt x$ là ước của 3 nên $\sqrt x \in \left\{ {1;\,\,3} \right\}$.

Với $\sqrt x = 1$ thì x = 1 (thỏa mãn).

Với $\sqrt x = 3$ thì x = 9 (thỏa mãn).

Do đó, có hai giá trị nguyên của x để P nguyên.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Sai.

⦁ Xét biểu thức $A = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 3}}$.

Ta có $\sqrt x + 3 > 0$ với mọi $x \ge 0$ nên điều kiện xác định của biểu thức $A$ là $x \ge 0.$

⦁ Xét biểu thức $B = \frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x + 1}} + \frac{{7 - \sqrt x }}{{x - 1}}$.

Ta có $\sqrt x + 1 > 0$ với mọi $x \ge 0$ nên điều kiện xác định của biểu thức $B$ là $x \ge 0,\,\,x \ne 1.$

b) Đúng.

Thay $x = 16$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức $A$, ta được:

$A = \frac{{\sqrt {16} + 2}}{{\sqrt {16} + 3}} = \frac{{4 + 2}}{{4 + 3}} = \frac{6}{7}$.

Vậy $A = \frac{6}{7}$ khi $x = 16$.

c) Đúng.

Với $x \ge 0;\,\,x \ne 1$, ta có:

$B = \frac{{\sqrt x + 5}}{{\sqrt x + 1}} + \frac{{7 - \sqrt x }}{{x - 1}} = \frac{{\left( {\sqrt x + 5} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{7 - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$

$= \frac{{x + 4\sqrt x - 5 + 7 - \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{x + 3\sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$

$= \frac{{x + \sqrt x + 2\sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 1}}.$

Vậy với $x \ge 0;x \ne 1$ thì $B = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 1}}$.

d) Sai.

Với $x \ge 0;\,\,x \ne 1$, ta có:

$P = \frac{A}{B} = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 3}}:\frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 1}} = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 3}}.\frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 3}} = \frac{{\sqrt x + 3 - 4}}{{\sqrt x + 3}} = 1 - \frac{4}{{\sqrt x + 3}}$.

Ta lại có: $\sqrt x \ge 0$ nên $\sqrt x + 3 \ge 3,$ suy ra $\frac{4}{{\sqrt x + 3}} \le \frac{4}{3}$, do đó $1 - \frac{4}{{\sqrt x + 3}} \ge - \frac{1}{3}$.

$\sqrt x \ge 0$ nên $\sqrt x + 3 \ge 3 > 0,$ suy ra $\frac{4}{{\sqrt x + 3}} > 0$, do đó $1 - \frac{4}{{\sqrt x + 3}} < 1$.

Như vậy, $- \frac{1}{3} \le P < 1$.

Mà $P$ nhận giá trị nguyên nên $P = 0.$

Với $P = 0,$ ta có: $1 - \frac{4}{{\sqrt x + 3}} = 0,$ suy ra $\frac{4}{{\sqrt x + 3}} = 1,$ do đó $\sqrt x + 3 = 4$ nên $\sqrt x = 1,$ hay $x = 1$ (không thỏa mãn điều kiện).

Vậy không có giá trị $x$ để biểu thức $P = \frac{A}{B}$ nhận giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 0

Với x > 0, x ≠ 9, ta có:

$A = \frac{{\sqrt x + 15}}{{x - 9}} - \frac{x}{{x - 3\sqrt x }} + \frac{{2\sqrt x + 5}}{{\sqrt x + 3}}$

$A = \frac{{\left( {\sqrt x + 15} \right)\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} - \frac{{x\left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} + \frac{{\left( {2\sqrt x + 5} \right)\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}$

$A = \frac{{x + 15\sqrt x - x\sqrt x - 3x + 2x\sqrt x + 5x - 6x - 15\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$

$A = \frac{{x\sqrt x - 3x}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{{x\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}}$.

Với $A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}}$ > 0.

Lại có: A = $1 - \frac{3}{{\sqrt {x + 3} }} < 1$.

Do đó 0 < A < 1.

Vậy x > 0, x ≠ 9 không tồn tại giá trị của x để A nhận giá trị là số nguyên.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 1

Với x ≥ 0; x ≠ 4, ta có:

$B = \frac{{\sqrt x - 11}}{{x - \sqrt x - 2}} - \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 1}} + \frac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x - 2}}$

$B = \frac{{\sqrt x - 11}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} - \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{\left( {2\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$