Bài tập Tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số lớp 11 (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Trong các đáp án chỉ có hàm số y = tan2x có tập giá trị là ℝ, các hàm số còn lại đều có tập giá trị là [– 1; 1].

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

∀x ∈ ℝ ta có: –1 ≤ cosx ≤ 1 $\Leftrightarrow$ –2 ≤ 2cosx ≤ 2.

Vậy $\underset{ℝ}{\max }y=2$đạt được khi cosx = 1 ⇔ x = k2π, k ∈ ℤ.

$\underset{ℝ}{\min }y=-2$ đạt được khi cosx = –1 ⇔ x = π + k2π, k ∈ ℤ.

Do đó, tập giá trị của hàm số y = 2cosx là T = [–2; 2].

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Quan sát đồ thị hàm số y = cos x, ta thấy các mệnh đề i), ii) và iv) đúng.

Trên $[0;\frac{3π}{4}]$, hàm số y = cosx có tập giá trị là $[-\frac{\sqrt{2}}{2};1]$. Vậy iii) sai.

Do đó, có 3 phát biểu đúng.

Đáp án đúng là: D

∀x ∈ ℝ ta có: –1 ≤ sinx ≤ 1 ⇔ 0 ≤ sinx + 1 ≤ 2 $\Leftrightarrow 0 \le \sqrt {{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + 1} \le \sqrt 2$

$\Leftrightarrow - 3 \le \sqrt {\sin x + 1} - 3 \le \sqrt 2 - 3$.

Suy ra: $\mathop {\max }\limits_\mathbb{R} y = \sqrt 2 - 3$ đạt được khi sinx = 1 $\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

$\mathop {\min }\limits_\mathbb{R} y = - 3$ đạt được khi sinx = –1 $\Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

Vậy $M = \sqrt 2 - 3,m = - 3$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

∀x ∈ ℝ ta có: 0 ≤ cos$^{2}$2x ≤ 1 ⇔ 0 ≤ 4cos$^{2}$2x ≤ 4 ⇔ 3 ≤ 4cos$^{2}$2x + 3 ≤ 7 ⇔ 3 ≤ y ≤ 7.

Suy ra: $\underset{ℝ}{\max }y=7$ đạt được khi cos$^{2}$2x = 1 $\Leftrightarrow \sin 2x=0\Leftrightarrow x=\frac{kπ}{2},k\in ℤ$.

$\underset{ℝ}{\min }y=3$ đạt được khi cos2x = 0 $\Leftrightarrow x=\frac{π}{4}+\frac{kπ}{2},k\in ℤ$.

Vậy tập giá trị của hàm số đã cho là T = [3; 7].

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

$\forall x\in [0;\frac{π}{3}]$ ta có: $\frac{1}{2}\le \cos x\le 1\Leftrightarrow$ 1 ≤ 2cosx ≤ 2 ⇔ 4 ≤ 2cosx + 3 ≤ 5.

Suy ra: $\underset{[0;\frac{π}{3}]}{\max }y=5$ đạt được khi cosx = 1 ⇔ x = 0.

$\underset{[0;\frac{π}{3}]}{\min }y=4$ đạt được khi $\cos x=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=\frac{π}{3}$.

Vậy M = 5, m = 4, do đó, M ∙ m = 20.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Quan sát đồ thị hàm số y = sinx, ta thấy các mệnh đề i), iii) đúng.

Trên $(0;\frac{π}{2}]$, hàm số y = sinx có tập giá trị là (0; 1]. Vậy ii) Sai.

Trên $[0;\frac{π}{2})$, hàm số y = sinx có tập giá trị là [0; 1). Vậy iv) sai.

Do đó, có 2 phát biểu đúng.

Đáp án đúng là: D

Bài giải sai từ bước 3 vì không tồn tại x ∈ ℝ thỏa mãn sinx + cosx = 2, sinx + cosx = –2 do các hệ $\left\{ \begin{array}{l}\sin x = 1\\\cos x = 1\end{array} \right.$ và $\left\{ \begin{array}{l}\sin x = - 1\\\cos x = - 1\end{array} \right.$ vô nghiệm.

Lời giải đúng:

Ta có: $y = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)$.

∀x ∈ ℝ: $- 1 \le \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \le 1 \Leftrightarrow - \sqrt 2 \le \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \le \sqrt 2$.

Vậy $\mathop {\max }\limits_\mathbb{R} y = \sqrt 2$ đạt được khi $\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1 \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$.

$\mathop {\min }\limits_\mathbb{R} y = - \sqrt 2$đạt được khi $\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = - 1 \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = - \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}$

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

∀x ∈ ℝ ta có: –1 ≤ sinx ≤ 1 ⇔ –5 ≤ –5sinx ≤ 5 ⇔ –2 ≤ 3 – 5sinx ≤ 8.

Suy ra: 0 ≤ (3 – 5sinx)$^{2022}$ ≤ 8$^{2022}$.

Do đó: M = 8$^{2022}$, m = 0.

Vậy M + m = 8$^{2022}$ = (2$^{3}$)$^{2022}$ = 2$^{6066}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có: y = 5 + 4sin2xcos2x = 5 + 2sin4x.

Mà ∀x ∈ ℝ: –1 ≤ sin4x ≤ 1 ⇔ –2 ≤ 2sin4x ≤ 2 ⇔ 3 ≤ 5 + 2sin4x ≤ 7.

Vậy 3 ≤ y ≤ 7, mà y ∈ ℤ, do đó y ∈ {3; 4; 5; 6; 7}.

Vậy y có 5 giá trị nguyên.

Đáp án đúng là: D

Ta có -1 ≤ sin3x ≤ 1 ⇔ -3 ≤ 3sin3x ≤ 3 ⇔ -7 ≤ 3sin3x – 4 ≤ -1.

Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số là -1 và giá tị nhỏ nhất là -7.

Đáp án đúng là: D

Ta có: -1 ≤ $\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)$ ≤ 1 ⇔ -3 ≤ 3$\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)$ ≤ 3

⇔ -1 ≤ 3$\sin \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)$ + 2 ≤ 5.

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số là -1.

Đáp án đúng là: B

Vì -1 ≤ cos$\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)$ ≤ 1 ⇔ -2 ≤ 2cos$\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)$≤ 2.

Vậy P = M – m = 2 - (-2) = 4.

Đáp án đúng là: A

Với x ∈ $\left[ {\frac{{ - 2\pi }}{3};\frac{\pi }{3}} \right]$ => 2x + $\frac{\pi }{3}$ ∈ [-π; π] => -1 ≤ $\cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)$ ≤ 1 => - 1 ≤ y ≤ 1.

Với x = $\frac{{ - 2\pi }}{3} \Rightarrow \cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = - 1 \Rightarrow y = 1$. Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số là 1.

Với x = $\frac{\pi }{3} \Rightarrow \cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = 1 \Rightarrow y = - 1$. Do đó, giá trị nhỏ nhất của hàm số là -1.

Đáp án đúng là: D

Ta có: y = $\frac{{2\cos x}}{{\cos x + 3}}$ ⇔ y(cosx + 3) = 2cosx ⇔ ycosx – 2cosx = -3y

⇔ (y – 2)cosx = -3y ⇔ (2 – y)cox = 3y (*)

Trường hợp 1: y = 2. Khi đó (*) trở thành: 0 = 6 (vô lý).

Trường hợp 2: y 2. Khi đó (*) trở thành: $\cos x = \frac{{3y}}{{2 - y}}$

Để hàm số có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất thì: -1 ≤ cosx ≤ 1 ⇔ $- 1 \le \frac{{3y}}{{2 - y}} \le 1$

⇔$\left\{ \begin{array}{l}\frac{{3y}}{{2 - y}} \ge - 1\\\frac{{3y}}{{2 - y}} \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{3y}}{{2 - y}} + 1 \ge 0\\\frac{{3y}}{{2 - y}} - 1 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{2 + 2y}}{{2 - y}} \ge 0\\\frac{{4y - 2}}{{2 - y}} \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{y + 1}}{{2 - y}} \ge 0\\\frac{{2y - 1}}{{2 - y}} \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 \le y < 2\\y \le \frac{1}{2};y > 2\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow - 1 \le y \le \frac{1}{2}$.

Do đó giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số lần lượt là: -1 và $\frac{1}{2}$

=> Tổng: - 1 + $\frac{1}{2}$ = $- \frac{1}{2}$.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng c) Sai. d) Đúng.

+) Xét hàm số f(x) = $\sqrt {2 - \sin x}$

Ta có: - 1 ≤ sinx ≤ 1 => 1 ≥ -sinx ≥ -1 => 3 ≥ 2 – sinx ≥ 1 => $\sqrt 3 \ge \sqrt {2 - \sin x} \ge 1$

+) Xét hàm số g(x) = $\sqrt 3 \sin x - \cos x + 2$

Ta có: $\sqrt 3 \sin x - \cos x + 2 = 2\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin x - \frac{1}{2}\cos x} \right) + 2 = 2\sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) + 2$.

Với mọi x ∈ ℝ, ta có:

$- 1 \le \sin \left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) \le 1 \Leftrightarrow - 2 \le 2sin\left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) \le 2 \Leftrightarrow 0 \le 2sin\left( {x - \frac{\pi }{6}} \right) + 2 \le 4$

a) Đúng. Giá trị lớn nhất của hàm số f(x) bằng $\sqrt 3$.

b) Đúng. Giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) bằng 1.

c) Sai. Giá trị lớn nhất của hàm số g(x) bằng 4.

d) Đúng. Giá trị nhỏ nhất của hàm số g(x) bằng 0.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Hàm số có tập xác định D = ℝ.

b) Đúng. Ta có: -1 ≤ $\sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)$ ≤ 1 ⇔ 1 ≥ -$\sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)$≥ -1

⇔ 4 ≥ 3 - $\sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right)$ ≥ 2 ⇔ 4 ≥ y ≥ 2.

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 2.

c) Đúng. Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 4.

d) Sai. Tập giá trị của hàm số là T = [2; 4].

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Hàm số có tập xác định là D = ℝ.

b) Sai. Hàm số tuần hoàn với chu kì T = $\frac{{2\pi }}{{\frac{\pi }{6}}} = 12$.

Vậy hàm số tuần hoàn với chu kì T = 12.

c) Sai. Ta có: $y = 2\sin \left( {\frac{{5\pi }}{6} - \frac{{\pi x}}{6}} \right) + 11$

$$= 2\sin \left( {\frac{\pi }{2} + \frac{\pi }{3} - \frac{{\pi x}}{6}} \right) + 11 = 2\sin \left( {\frac{\pi }{2} - \left( {\frac{{\pi x}}{6} - \frac{\pi }{3}} \right)} \right) + 11 = 2\cos \left( {\frac{{\pi x}}{6} - \frac{\pi }{3}} \right) + 11$$

Với mọi x ∈ D thì -x ∈ D.

Ta có: y(x) = $2\cos \left( {\frac{{\pi x}}{6} - \frac{\pi }{3}} \right) + 11$ và

y(-x) = $2\cos \left( { - \frac{{\pi x}}{6} - \frac{\pi }{3}} \right) + 11 = 2\cos \left( {\frac{{\pi x}}{6} + \frac{\pi }{3}} \right) + 11$

Vậy y(x) y(-x) nên hàm số không là hàm chẵn, không là hàm lẻ.

d) Đúng. Ta có: -2 ≤ $2\cos \left( {\frac{{\pi x}}{6}} \right)$ ≤ 2 ⇔ 9 ≤ $2\cos \left( {\frac{{\pi x}}{6}} \right) + 11$ ≤ 13 ⇔ 9 ≤ y ≤ 13.

Vậy hàm số có giá trị lớn nhất bằng 13.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Tập xác định của hàm số là: D = ℝ.

b) Sai. Ta có: y = 2cos$^{2}$x - $2\sqrt 3$sinxcosx + 1 = 2cos$^{2}$x – 1 - $\sqrt 3$sin2x + 2

= cos2x - $\sqrt 3$sin2x + 2 = $2\left( {\frac{1}{2}\cos 2x - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 2x} \right) + 2 = 2\cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) + 2$.

Vì -1 ≤ $\cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)$ ≤ 1 => -2 ≤ 2$\cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)$ ≤ 2 => 0 ≤ 2$\cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)$+ 2 ≤ 4

⇔ 0 ≤ y ≤ 4.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 4.

c) Sai. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 0.

d) Đúng. Ta có: M + m = 0 + 4 = 4.

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Sai. Ta có: y = sin$^{4}$x + cos$^{4}$x – sin$^{2}$xcos$^{2}$x = (sin$^{2}$x + cos$^{2}$x)$^{2}$ - 3 sin$^{2}$xcos$^{2}$x

= 1 – 3(sinxcosx)$^{2}$ = 1 - $\frac{3}{4}$sin$^{2}$2x.

b) Đúng. Tập xác định của hàm số là D = ℝ.

c) Sai. Ta có: 0 ≤ sin$^{2}$2x ≤ 1 ⇔ $- \frac{3}{4} \le - \frac{3}{4}{\sin ^2}2x \le 0 \Leftrightarrow \frac{1}{4} \le 1 - \frac{3}{4}{\sin ^2}2x \le 1$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng $\frac{1}{4} = 0{,}25$.

d) Sai. Ta có: y = 1 - $\frac{3}{4}$sin$^{2}$2x = 1 - $\frac{3}{4} \cdot \frac{{1 - \cos 4x}}{2} = \frac{5}{8} + \frac{3}{8}\cos 4x$.

Vậy hàm số trên tuần hoàn với chu kì T = $\frac{{2\pi }}{4} = \frac{\pi }{2}$.

Đáp án: 0.

Ta có: y = sin3x – cos3x + m

= $\sqrt 2 \left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}\sin 3x - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\cos 3x} \right) + m = \sqrt 2 \sin \left( {3x - \frac{\pi }{4}} \right) + m \le \sqrt 2 + m$

Do đó giá trị lớn nhất của hàm số bằng $\sqrt 2$ khi $\sqrt 2 + m = \sqrt 2 \Leftrightarrow m = 0$.

Đáp án: 17.

Ta có: y = sin$^{4}$x + cos$^{4}$x + sinxcosx = (sin$^{2}$x + cos$^{2}$x)$^{2}$ – 2(sinxcosx)$^{2}$ + sinxcosx

= $1 - 2 \cdot \frac{1}{4}{\sin ^2}2x + \frac{1}{2}\sin 2x = - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x + \frac{1}{2}\sin 2x + 1$.

Đặt sin2x = t, hàm số trở thành $- \frac{1}{2}{t^2} + \frac{1}{2}t + 1,t \in \left[ { - 1;1} \right]$.

Đồ thị hàm số $- \frac{1}{2}{t^2} + \frac{1}{2}t + 1$ có dạng parabol bề lõm quay xuống nên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại t = $\frac{1}{2}$. Ta có: y$\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{9}{8}$.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số bằng $\frac{9}{8}$. Do đó, a = 9, b = 8 => a + b = 9 + 8 = 17.

Đáp án: 3.

Ta có: $y = \frac{{2\sin x + 3\cos x + 1}}{{\sin x - \cos x + 2}}$ ⇔ (y – 2)sinx – (y + 3)cosx = 1 – 2y.

Điều kiện để tồn tại cặp số (x; y) là (y – 2)$^{2}$ + (y + 3)$^{2}$ ≥ (1 – 2y)$^{2}$.

⇔ -2y$^{2}$ + 6y + 12 ≥ 0 ⇔ $\frac{{3 - \sqrt {33} }}{2} \le y \le \frac{{3 + \sqrt {33} }}{2}$.

Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số là $\frac{{3 - \sqrt {33} }}{2} + \frac{{3 + \sqrt {33} }}{2} = 3$.

Đáp án: 9.

Ta có: $\frac{{\sqrt 3 }}{2} \le \cos x \le 1 \Leftrightarrow \sqrt 3 \le 2\cos x \le 2 \Leftrightarrow \sqrt 3 + 3 \le 2\cos x + 3 \le 5$

Suy ra $\mathop {\max y}\limits_{\left[ {0;\frac{\pi }{6}} \right]} = 5$ đạt được khi cosx = 1 ⇔ x = 0 ∈ $\left[ {0;\frac{\pi }{6}} \right]$.

$\mathop {\min y}\limits_{\left[ {0;\frac{\pi }{6}} \right]} = \sqrt 3 + 3$ đạt được khi cosx = $\frac{{\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} \in \left[ {0;\frac{\pi }{6}} \right]$.

Vậy m = $\sqrt 3 + 3$; M = 5 => M + m = 5 + $\sqrt 3 + 3$= 8 + $\sqrt 3$.

Do đó, a = 8, b = 1 => a + b = 8 + 1 = 9.

Đáp án: 5.

Gọi y$_{0}$ thuộc tập giá trị Y của hàm số.

Khi đó phương trình 3sinx + 4cosx + m = y$_{0}$ có nghiệm

⇔ phương trình 3sinx + 4cosx = y$_{0}$ – m có nghiệm ⇔ 3$^{2}$ + 4$^{2}$ ≥ (y$_{0}$ – m)$^{2}$

⇔ -5 ≤ y$_{0}$ – m ≤ 5 ⇔ -5 + m ≤ y$_{0}$ ≤ 5 + m.

Ta có, tập giá trị của hàm số: Y = [-5 + m; 5 + m] nên max y = 5 + m ⇔ 10 = 5 + m ⇔ m = 5.