Bài tập Tìm điều kiện xác định của phương trình chứa ẩn ở mẫu lớp 9 (có lời giải)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng.

Điều kiện xác định của phương trình (1) là x$^{2}$ – 3x + 2 ≠ 0 và 2x$^{2}$ −6x + 1 ≠ 0.

Với x$^{2}$ – 3x + 2 ≠ 0 hay (x – 1)(x – 2) ≠ 0 , do đó x ≠ 1 và x ≠ 2.

Với 2x$^{2}$ −6x + 1 ≠ 0 tính được $x \ne \frac{{3 + \sqrt 7 }}{2}$ và $x \ne \frac{{3 - \sqrt 7 }}{2}$.

Vậy điều kiện xác định của (1) là x ≠ 1; x ≠ 2; $x \ne \frac{{3 + \sqrt 7 }}{2}$ và $x \ne \frac{{3 - \sqrt 7 }}{2}$.

b) Đúng.

Điều kiện xác định của phương trình (2) là x$^{2}$ – 2x + 2 ≠ 0, x$^{2}$ – 2x + 3 ≠ 0 và x$^{2}$ – 2x + 4 ≠ 0.

Với x$^{2}$ – 2x + 2 ≠ 0 nhận thấy (x – 1)$^{2}$ + 1 ≠ 0 (luôn đúng).

Với x$^{2}$ – 2x + 3 ≠ 0 nhận thấy (x – 1)$^{2}$ + 2 ≠ 0 (luôn đúng).

Với x$^{2}$ – 2x + 4 ≠ 0 nhận thấy (x – 1)$^{2}$ + 3 ≠ 0 (luôn đúng).

Do đó, phương trình (2) xác định với mọi x ∈ ℝ.

Từ ý a) ta nhận thấy tại x = 1 thì phương trình (2) xác định nhưng phương trình (1) không xác định.

c) Sai.

Điều kiện xác định của phương trình (1) là x ≠ 1; x ≠ 2; $x \ne \frac{{3 + \sqrt 7 }}{2}$ và $x \ne \frac{{3 - \sqrt 7 }}{2}$.

d) Đúng.

Từ phần b) ta chứng mình được phương trình (2) có điều kiện xác định là x ∈ ℝ.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng.

Điều kiện xác định của vế trái là x$^{2}$ + 5x + 6 ≠ 0 và x$^{2}$ + 7x + 12 ≠ 0.

Với x$^{2}$ + 5x + 6 ≠ 0 được (x + 2)(x + 3) ≠ 0, do đó x ≠ −2 và x ≠ −3.

Với x$^{2}$ + 7x + 12 ≠ 0 được (x + 3)(x + 4) ≠ 0, do đó x ≠ −3, x ≠ −4.

Vậy tập xác định của vế trái là x ≠ −2, x ≠ −3, x ≠ −4.

b) Đúng.

Điều kiện xác định của vế phải là x$^{2}$ + 9x + 20 ≠ 0 và x$^{2}$ + 11x + 30 ≠ 0.

Với x$^{2}$ + 9x + 20 ≠ 0 được (x + 4)(x + 5) ≠ 0, do đó x ≠ −4, x ≠ −5.

Với x$^{2}$ + 11x + 30 ≠ 0 được (x + 5)(x + 6) ≠ 0, do đó x ≠ −5, x ≠ −6.

Vậy tập xác định của vế phải là x ≠ −4, x ≠ −5, x ≠ −6.

Do đó, với x = −3 thì vế phải phương trình xác định.

c) Đúng.

Nhận thấy điều kiện xác định của vế phải là x ≠ −4, x ≠ −5, x ≠ −6, điều kiện xác định của vế trái là x ≠ −2, x ≠ −3, x ≠ −4.

Do đó, tại x ≠ −4 thì cả vế trái và vế phải đều không xác định.

d) Sai.

Điều kiện xác định của phương trình là x ≠ −2, x ≠ −3, x ≠ −4, x ≠ −5, x ≠ −6.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng.

Thay x = 2 vào các mẫu thức của phương trình, nhận thấy:

2 + 2 = 4 ≠ 0.

2$^{3}$ + 8 = 16 ≠ 0.

2$^{2}$ – 2.2 + 4 = 4 ≠ 0

Do đó, tại x = 2, phương trình (1) xác định.

b) Đúng.

Điều kiện xác định của phương trình là:

x + 2 ≠ 0 nên x ≠ −2.

x$^{3}$ + 8 ≠ 0 nên x ≠ −2.

x$^{2}$ – 2x + 4 ≠ 0 hay (x – 1)$^{2}$ + 3 ≠ 0 (luôn đúng)

Do đó, điều kiện xác định của phương trình là x ≠ −2 hay tại x = −2 thì phương trình (1) không xác định.

c) Sai.

Từ b) nhận thấy chỉ có một giá trị của x để phương trình không xác định.

d) Sai.

Điều kiện xác định của phương trình $\frac{2}{{x + 2}} + \frac{5}{{{x^2} + 4x + 4}} = \frac{{ - 2}}{{{x^2} + 5x + 6}}$ là:

x + 2 ≠ 0 hay x ≠ −2.

x$^{2}$ + 4x + 4 ≠ 0 hay (x + 2)$^{2}$ ≠ 0 nên x ≠ −2.

x$^{2}$ + 5x + 6 ≠ 0 hay (x + 2)(x + 3) ≠ 0 suy ra x ≠ −2 và x ≠ −3.

Vậy điều kiện xác định của phương trình $\frac{2}{{x + 2}} + \frac{5}{{{x^2} + 4x + 4}} = \frac{{ - 2}}{{{x^2} + 5x + 6}}$ là x ≠ −2 và x ≠ −3.

Do đó, hai phương trình không có cùng điều kiện xác định.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng.

Điều kiện xác định của phương trình (1) là:

x + 2a ≠ 0 nên x ≠ −2a.

x – 2a ≠ 0 nên x ≠ 2a.

(x + 2a)(x – 2a) ≠ 0 nên x ≠ −2a và x ≠ 2a.

Do đó, điều kiện xác định của phương trình (1) là x ≠ 2a và x ≠ −2a.

b) Sai.

Với a = 2 thì x ≠ 4 và x ≠ −4.

Do đó, với a = 2 thì phương trình không xác định tại x = 4 và x = −4.

c) Sai.

Phương trình (1) xác định tại x = −4 khi 2a ≠ −4 và 2a ≠ 4.

Suy ra a ≠ 2 và a ≠ −2.

d) Sai.

Với a = 1, ta có: $\frac{x}{{x + 2}} - \frac{{2 + x}}{{x - 2}} = \frac{8}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}$.

Khi đó, điều kiện xác định của phương trình là x ≠ 2 và x ≠ −2.

Điều kiện xác định của phương trình $\frac{2}{{{x^2} - 4}} - \frac{{x - 1}}{{x\left( {x - 2} \right)}} + \frac{{x - 4}}{{x\left( {x + 2} \right)}} = 0$ là x ≠ 2; x ≠ −2 và x ≠ 0.

Do đó, hai phương trình không có cùng điều kiện xác định.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng.

Tại x = 1 thì các mẫu thức của phương trình:

1$^{2}$ + 4.1 + 3 = 8 ≠ 0

1 + 3 = 4 ≠ 0

2.1 + 2 = 4 ≠ 0

Do đó, tạo x = 1 thì phương trình xác định.

b) Đúng.

Điều kiện xác định của phương trình là:

x$^{2}$ + 4x + 3 ≠ 0 hay (x + 1)(x + 3) ≠ 0 nên x ≠ −1 và x ≠ −3.

x + 3 ≠ 0 hay x ≠ −3.

2x + 2 ≠ 0 hay x ≠ −1.

Do đó, tại x = −1 phương trình (1) không xác định.

c) Đúng.

Từ b) nhận thấy có hai giá trị để phương trình (1) không xác định là x ≠ −1 và x ≠ −3.

d) Sai.

Điều kiện xác định của phương trình $\frac{1}{{x + 1}} - \frac{6}{{x - 3}} = \frac{5}{{ - 3 + 4x - {x^2}}}$ là

x + 1 ≠ 0 nên x ≠ −1.

x – 3 ≠ 0 nên x ≠ 3.

−3 + 4x – x$^{2}$ ≠ 0 hay (x – 1)(3 – x) ≠ 0 nên x ≠ 1 và x ≠ 3.

Do đó, điều kiện xác định của phương trình $\frac{1}{{x + 1}} - \frac{6}{{x - 3}} = \frac{5}{{ - 3 + 4x - {x^2}}}$ là x ≠ −1; x ≠ 1 và x ≠ 3.

Vậy hai phương trình không có cùng điều kiện xác định.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 0

Để phương trình đề cho không xác định thì các mẫu số trong phương trình bằng 0, tức là:

x – 1 = 0 hay x = 1;

x + 1 = 0 hay x = −1;

x – 2 = 0 hay x = 2;

x + 2 = 0 hay x = −2.

Do đó, các phần tử tập S = {1; 2; −1; −2}.

Vậy tổng các giá trị của tập S là 1 + 2 + (−1) + (−2) = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 0

Để phương trình không xác định thì các mẫu số bằng 0, do đó:

x$^{2}$ + 2x + 2 = 0 hay (x + 1)$^{2}$ + 1 = 0 (vô lí do (x + 1)$^{2}$ + 1 > 0 với mọi x).

x$^{2}$ – 2x + 2 = 0 hay (x – 1)$^{2}$ + 1 = 0 (vô lí do (x – 1)$^{2}$ + 1 > 0 với mọi x).

x$^{4}$ + 4 = 0 (vô lí do x$^{4}$ + 4 > 0 với mọi x).

Phương trình trên xác định với mọi x.

Do đó, tập xác định của phương trình là x ∈ ℝ.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 7

Điều kiện xác định của phương trình là:

Điều kiện xác định của vế phải là x$^{2}$ + 9x + 20 ≠ 0 và x$^{2}$ + 11x + 30 ≠ 0 và x$^{2}$ + 13x + 42 ≠ 0.

Với x$^{2}$ + 9x + 20 ≠ 0 được (x + 4)(x + 5) ≠ 0, do đó x ≠ −4, x ≠ −5.

Với x$^{2}$ + 11x + 30 ≠ 0 được (x + 5)(x + 6) ≠ 0, do đó x ≠ −5, x ≠ −6.

Với x$^{2}$ + 13x + 42 ≠ 0 được (x + 6)(x + 7) ≠ 0, do đó x ≠ −6, x ≠ −7.

Vậy tập xác định của phương trình là x ≠ −4, x ≠ −5, x ≠ −6, x ≠ −7.

Do đó, các phần tử trong S thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình là {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}.

Vậy có 7 phần tử thỏa mãn điều kiện xác định của S.

Hướng dẫm giải

Đáp án: 2

Nhận thấy, điều kiện xác định của phương trình là x ≠ a và x ≠ −a.

Do đó, để phương trình không xác định tại x = −4 thì a = −4 hoặc −a = −4 hay a = 4.

Vậy có hai giá trị của a thỏa mãn.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 3

Điều kiện xác định của phương trình $\frac{{x - 5}}{{2{x^2} - 5x + 3}} - \frac{{x - 5}}{{2{x^2} - 9x + 7}} = 0$ là

2x$^{2}$ – 5x + 3 ≠ 0 hay (x – 1)(2x – 3) ≠ 0, suy ra x ≠ 1 và x ≠ $\frac{3}{2}$.

2x$^{2}$ – 9x + 7 ≠ 0 hay (x – 1)(2x – 7) ≠ 0, suy ra x ≠ 1 và x ≠ $\frac{7}{2}$.

Vậy điều kiện xác định của phương trình là x ≠ 1; x ≠ $\frac{3}{2}$ và x ≠ $\frac{7}{2}$.

Vậy tập $S = \left\{ {1;\,\,\frac{3}{2};\,\,\frac{7}{2}} \right\}$ có 3 phần tử.