Bài tập Tìm điều kiện của tham số m để hàm số liên tục lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Ta có f(5) = 3

Để hàm số liên tục tại x = 5 thì

$\underset{x\rightarrow 5}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow 5}{\lim }(x-m)=5-m=f(5)=3$ hay m = 2.

Vậy hàm số liên tục tại x = 5 tại m = 2.

Đáp án đúng là: C

Ta có f(4) = 4 – m.

Để hàm số liên tục tại x = 4 thì

$\underset{x\rightarrow 4}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow 4}{\lim }(2x-7)=1=f(4)=4-m$ hay m = 3.

Vậy hàm số liên tục tại x = 4 tại m = 3.

Đáp án đúng là: A

• $\underset{x\rightarrow {1}^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow {1}^{+}}{\lim }\frac{{x}^{2}-1}{x-1}=\underset{x\rightarrow {1}^{+}}{\lim }\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=\underset{x\rightarrow {1}^{+}}{\lim }(x+1)=2$.

• $\underset{x\rightarrow {1}^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow {1}^{-}}{\lim }(mx-4)=m-4$.

Để hàm số liên tục tại x = 1 thì $\underset{x\rightarrow {1}^{+}}{\lim }f(x)\underset{x\rightarrow {1}^{-}}{=\lim }f(x)\Leftrightarrow$m – 4 = 2 hay m = 6.

Vậy hàm số liên tục tại x = 1 khi m = 6.

Đáp án đúng là: B

Ta có $f(1)=\frac{1}{3}$.

Để hàm số liên tục tại x = 1 thì

$\underset{x\rightarrow 1}{\lim }f(x)={x}^{2}-m=1-m=f(1)=\frac{1}{3}$ hay $m=\frac{2}{3}$.

Vậy hàm số liên tục tại x = 1 khi $m=\frac{2}{3}$.

Đáp án đúng là: D

Ta có f(0) = m + 5;

$\underset{x\rightarrow 0}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\frac{\sqrt{2x+1}-\sqrt{1-2x}}{x}=\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\frac{2x+1-1+2x}{x(\sqrt{2x+1}+\sqrt{1-2x})}$

$=\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\frac{4}{\sqrt{2x+1}+\sqrt{1-2x}}=2$.

Hàm số liên tục tại x = 0 khi và chỉ khi $f(0)=\underset{x\rightarrow 0}{\lim }f(x)$ hay m + 5 = 2 hay m = –3.

Đáp án đúng là: C

• $\underset{x\rightarrow {2}^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow {2}^{-}}{\lim }({x}^{3}-mx+7)=15-2m$.

• $\underset{x\rightarrow {2}^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow {2}^{+}}{\lim }({x}^{2}-2x)=0$.

Do đó, hàm số liên tục tại x = 2 khi 15 – 2m = 0 hay m = 7,5.

Đáp án đúng là: D

$\underset{x\rightarrow 0}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\frac{{x}^{2}+6x}{5x}=\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\frac{x(x+6)}{5x}$

$=\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\frac{x+6}{5}=\frac{6}{5}=f(0)=m+5$ hay m = $\frac{-19}{5}$.

Vậy hàm số liên tục tại x = 2 khi m = $\frac{-19}{5}$.

Đáp án đúng là: A

f(0) = 3 – 3m

Để hàm số liên tục tại x = 0 thì

$\underset{x\rightarrow 0}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\frac{2x}{\sqrt{x+1}-1}=\underset{x\rightarrow 0}{\lim }\frac{2x(\sqrt{x+1}+1)}{x+1-1}$

$=\underset{x\rightarrow 0}{\lim }2(\sqrt{x+1}+1)=4=f(0)=3-3m$ hay m = $\frac{-1}{3}$.

Đáp án đúng là: B

• $\underset{x\rightarrow {1}^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow {1}^{-}}{\lim }(\sqrt{3-x}+1)=3$;

• $\underset{x\rightarrow {1}^{+}}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow {1}^{+}}{\lim }(mx+1)=m+1$.

Do đó, hàm số liên tục tại x = 0 khi $\underset{x\rightarrow {1}^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\rightarrow {1}^{+}}{\lim }f(x)=f(0)$ hay m + 1 = 3 hay m = 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Tập xác định: D = ℝ

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \left( {3x + m} \right) = 12 + m = f\left( 4 \right)$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{{{x^2} - 16}}{{\sqrt x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{{\left( {x + 4} \right)\left( {x - 4} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{x - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \left[ {\left( {x + 4} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)} \right] = 32$

Hàm số f(x) liên tục tại x = 4 khi và chỉ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f\left( x \right) = f\left( 4 \right) \Leftrightarrow 12 + m = 32 \Leftrightarrow m = 20$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Tập xác định: D = ℝ

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \left( {3x + m} \right) = 12 + m = f\left( 4 \right)$.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{{{x^2} - 16}}{{\sqrt x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{{\left( {x + 4} \right)\left( {x - 4} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{x - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \left[ {\left( {x + 4} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)} \right] = 32$

Hàm số f(x) liên tục tại x = 4 khi và chỉ khi $\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f\left( x \right) = f\left( 4 \right) \Leftrightarrow 12 + m = 32 \Leftrightarrow m = 20$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt {4 - x} - x - 2\sqrt {1 + x} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {\frac{{\sqrt {4 - x} - 2\sqrt {1 + x} }}{x} - 1} \right)$

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {\frac{{4 - x - 4 - 4x}}{{x\left( {\sqrt {4 - x} + 2\sqrt {1 + x} } \right)}} - 1} \right) = - \frac{9}{4}$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {m + \frac{{4 - x}}{{x - 2}}} \right) = m - 2$ và f(0) = m – 2.

Để hàm số liên tục tại x = 0 khi và chỉ khi

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow m - 2 = - \frac{9}{4} \Leftrightarrow m = - \frac{1}{4}$.

Vậy $m \in \left( { - \frac{2}{5};0} \right)$

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Tập xác định: D = ℝ

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}f\left( 1 \right) = n\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^3} - {x^2}}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2}\left( {x - 1} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {x^2} = 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {mx + 1} \right) = m + 1\end{array} \right.$

Hàm số f(x) liên tục tại x = 1 khi và chỉ khi

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) \Leftrightarrow 1 = m + 1 = n \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 0\\n = 1\end{array} \right.$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có: f(1) = m$^{2}$ + m – 8 và $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{x^2} - 3x} \right) = - 2$.

Hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 1

Û $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) \Leftrightarrow {m^2} + m - 8 = - 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\m = - 3\end{array} \right.$.

Vậy S = {2; -3}. Tích các phần tử S là -6.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Sai. Hàm số xác định trên ℝ

b) Đúng. Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 45} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 45} \frac{{{x^2} - 2025}}{{x - 45}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 45} \left( {x + 45} \right) = 90$.

c) Đúng. Ta có: f(20) = 65.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 20} \frac{{{x^2} - 2025}}{{x - 45}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 20} \left( {x + 45} \right) = 65 = f\left( {20} \right)$ nên f(x) liên tục tại x = 20.

d) Sai. Với x $\ne$ 45 thì $f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 2025}}{{x - 45}}$ hàm số xác định trên khoảng (-$\infty$; 45) $\cup$ (45; +$\infty$).

Suy ra hàm số liên tục trên từng khoảng (-$\infty$; 45) và (45; +$\infty$).

Hàm số liên tục trên ℝ $\Leftrightarrow$ hàm số liên tục tại x = 45 $\Leftrightarrow$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to 45} f\left( x \right) = f\left( {45} \right)$

$\Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 45} \frac{{{x^2} - 2025}}{{x - 45}} = 2m + 4 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 45} \frac{{\left( {x - 45} \right)\left( {x + 45} \right)}}{{x - 45}} = 2m + 4$

$\Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 45} \left( {x + 45} \right) = 2m + 4 \Leftrightarrow 90 = 2m + 4 \Leftrightarrow m = 43$.

Suy ra m = 43 thì hàm số liên tục trên ℝ.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Hàm số xác định trên ℝ.

b) Sai. Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} - 1}}{{\sqrt x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\sqrt x - 1}}$

$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\sqrt x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left[ {\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {x + 1} \right)} \right] = 4$$

c) Đúng. Với x > 1 thì $f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 1}}{{\sqrt x - 1}}$, hàm số xác định trên (1; +$\infty$). Do đó hàm số liên tục trên khoảng (1; +$\infty$).

d) Sai. Với x > 1 thì $f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 1}}{{\sqrt x - 1}}$, hàm số xác định trên (1; +$\infty$). Do đó hàm số liên tục trên khoảng (1; +$\infty$).

Với x < 1 thì f(x) = mx + 3, hàm số xác định trên khoảng (-$\infty$; 1). Do đó hàm số liên tục trên khoảng (-$\infty$; 1).

Hàm số liên tục trên ℝ $\Leftrightarrow$ hàm số liên tục tại x = 1 Û $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)$

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = 4,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {mx + 3} \right) = m + 3;\,\,f\left( 1 \right) = m + 3$

Suy ra m + 3 = 4 $\Leftrightarrow$ m = 1 nên hàm số liên tục trên ℝ khi m = 1.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Ta có: f(1) = 8 + m$^{2}$.

b) Sai. Tập xác định: D = [-3; +$\infty$)

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^{}}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^{}}} \frac{{m{x^2} - \left( {m - 2} \right)x - 2}}{{\sqrt {x + 3} - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^{}}} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {mx + 2} \right)\left( {\sqrt {x + 3} + 2} \right)}}{{x - 1}}$

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^{}}} \left[ {\left( {mx + 2} \right)\left( {\sqrt {x + 3} + 2} \right)} \right] = 4\left( {m + 2} \right) = 4m + 8$.

c) Đúng. Hàm số đã cho liên tục tại x = 1 khi

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^{}}} f\left( x \right) = f\left( 1 \right) \Leftrightarrow 4\left( {m + 2} \right) = 8 + {m^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 4\end{array} \right.$

Vậy hàm số đã cho liên tục tại x = 1 khi m = 0.

d) Đúng. Từ ý c, ta có 2 giá trị của m để hàm số liên tục trên x = 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai. Tập xác định: D = ℝ\{2}. Do đó x$_{0}$ = 2 $\notin$ D nên hàm số gián đoạn tại x$_{0}$ = 2.

b) Sai. Tập xác định: D = ℝ. Do đó, x$_{0}$ = -2 $\in$ D.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \left( {x - 2} \right) = - 4$, f(-2) = -3.

Do đó, $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f\left( x \right) \ne f\left( { - 2} \right)$ nên hàm số gián đoạn tại x$_{0}$ = -2.

c) Đúng. Tập xác định: D = ℝ. Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \left( {2x - m} \right) = 8 - m = f\left( 4 \right)$

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{{{x^2} - 16}}{{\sqrt x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{{\left( {x + 4} \right)\left( {x - 4} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{x - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \left[ {\left( {x + 4} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)} \right] = 32$$

Hàm số f(x) liên tục tại x = 4 khi và chỉ khi

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} f\left( x \right) = f\left( 4 \right) \Leftrightarrow 8 - m = 32 \Leftrightarrow m = - 24.$$

d) Đúng. Tập xác định: D = ℝ. Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}f\left( 1 \right) = {k^2}\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {\left( {x - 2} \right)^2} = 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {2 - {x^2}} \right) = 1\end{array} \right.$.

Hàm số f(x) gián đoạn tại x = 1 khi và chỉ khi

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) \ne f\left( 1 \right) \Leftrightarrow {k^2} \ne 1 \Leftrightarrow k \ne \pm 1$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Ta có: $g\left( 2 \right) = \sin \frac{{2\pi }}{4} = 1$.

b) Đúng. $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt {x - 1} - 1}}{{{x^2} - 3x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{1}{{\left( {x - 1} \right)\left( {\sqrt {x - 1} + 1} \right)}} = \frac{1}{2}$.

c) Đúng. $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {\sin \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$ và $g\left( 1 \right) = \sin \left( {\frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$

Vì $g\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} g\left( x \right)$nên hàm số g(x) liên tục tại điểm x$_{0}$ = 1.

d) Sai. $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g\left( x \right) = \sin \frac{{2\pi }}{4} = 1$ nên $g\left( 2 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} g\left( x \right)$.

Vậy hàm số g(x) liên tục tại điểm x$_{0}$ = 2 và ta có $f\left( 2 \right) = \frac{{2m + 1}}{6}$.

Để hàm số f(x) liên tục tại x$_{0}$ = 2 $\Leftrightarrow$ $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) \Leftrightarrow \frac{{2m + 1}}{6} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow m = 1$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 1.

Ta có: $f\left( 1 \right) = m - \frac{1}{2}$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {mx - \frac{1}{2}} \right) = m - \frac{1}{2}$

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\sqrt x - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\sqrt x - 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{1}{{\sqrt x + 1}} = \frac{1}{2}$$

Hàm số f(x) liên tục tại x$_{0}$ = 1 khi và chỉ khi: $f\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) \Leftrightarrow m - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow m = 1$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: -1.

Để hàm số f(x) liên tục tại x = 3 thì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right) = f\left( 3 \right)$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}f\left( 3 \right) = 1 - 3{m^2}\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{{x^2} - 5x + 6}}{{\sqrt {4x - 3} - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {\sqrt {4x - 3} + x} \right)}}{{1 - x}} = - 3\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left( {1 - {m^2}x} \right) = 1 - 3{m^2}\end{array} \right.$.

Suy ra, 1 – 3m$^{2}$ = -3 $\Leftrightarrow$ $m = \pm \frac{2}{{\sqrt 3 }}$.

Do m < 0 $\Rightarrow$ $m = - \frac{2}{{\sqrt 3 }}$.

$\Rightarrow$a = 2, b = 3 a – b = 2 – 3 = -1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: -0,2.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {4x + 1} - 1}}{{m{x^2} + \left( {2m + 1} \right)x}}$

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{4}{{\left( {mx + 2m + 1} \right)\left( {\sqrt {4x + 1} + 1} \right)}} = \frac{2}{{2m + 1}}$

f(0) = 3.

Để hàm số liên tục tại x = 0 $\Leftrightarrow$ $\frac{2}{{2m + 1}} = 3 \Leftrightarrow m = - \frac{1}{6} \approx - 0{,}2$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 13.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {9^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {9^ - }} \frac{{3 - \sqrt {9 - x} }}{x} = \frac{1}{3};\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {9^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {9^ + }} \left( {\frac{3}{x}} \right) = \frac{1}{3}$ và $f\left( 9 \right) = \frac{1}{3}$ nên hàm số liên tục tại x = 9.

Lại có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{3 - \sqrt {9 - x} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\left( {3 - \sqrt {9 - x} } \right)\left( {3 + \sqrt {9 - x} } \right)}}{{x\left( {3 + \sqrt {9 - x} } \right)}}$

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{1}{{3 + \sqrt {9 - x} }} = \frac{1}{6}$ và f(0) = m.

Vậy để hàm số liên tục trên [0; +$\infty$) thì $m = \frac{1}{6}$

$\Rightarrow$ a = 1, b = 6 $\Rightarrow$ T = a + 2b = 1 + 2.6 = 13.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2020.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^{2017}} + x - 2}}{{\sqrt {2019x - 1} - \sqrt {x + 2019} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left[ {\left( {{x^{2017}} - 1} \right) + \left( {x - 1} \right)} \right] \cdot \left( {\sqrt {2019x + 1} + \sqrt {x + 2019} } \right)}}{{\left( {2019x + 1} \right) - \left( {x + 2019} \right)}}$

$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left[ {\frac{{{x^{2017}} - 1}}{{x - 1}} + 1} \right] \cdot \left( {\sqrt {2019x + 1} + \sqrt {x + 2019} } \right)}}{{2018\left( {x - 1} \right)}}$$

$$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {{x^{2016}} + {x^{2015}} + ... + x + 1} \right)\left( {\sqrt {2019x + 1} + \sqrt {x + 2019} } \right)}}{{2018}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {2019x + 1} + \sqrt {x + 2019} }}{{2018}}$$

$= \frac{{2017\sqrt {2020} }}{{1009}} + \frac{{\sqrt {2020} }}{{1009}} = 2\sqrt {2020}$.

Để hàm số liên tục tại x = 1 thì m = $2\sqrt {2020}$ $\Rightarrow$ n = 2020.

Do đó, giá trị của n = 2020.