Bài tập Tìm các ước và số ước nguyên dương của một số tự nhiên lớp 6 (có lời giải)

Đáp án đúng là: D

Ta phân tích 30 thành tích các thừa số nguyên tố:

30 = 2.3.5

Ta có: 2.3 = 6; 2.5 = 10; 3.5 = 15

Do đó 30 có các ước là: 1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30

Vậy 30 có 8 ước

Đáp án đúng là: C

Ta phân tích 120 thành tích các thừa số nguyên tố:

120 = 2$^{3}$.3.5

Ta có: 2.2 = 4; 2.3 = 6; 2$^{3}$ = 8; 2.5 = 10; 2$^{2}$.3 = 12; 3.5 = 15; 2$^{2}$.5 = 20; 2$^{3}$.3 = 24; 2.3.5 = 30; 2$^{3}$.5 = 40; 2$^{2}$.3.5 = 60

Do đó 120 có các ước là: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 10; 12; 15; 20; 24; 30; 40; 60; 120.

Vậy 120 có 16 ước.

Đáp án đúng là: B

Ta phân tích 16 thành tích các thừa số nguyên tố:

16 = 2$^{4}$

Ta có: 2$^{2}$ = 4; 2$^{3}$ = 8

Do đó 16 có các ước là: 1; 2; 4; 8; 16

Tổng các ước của 16 là: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31

Đáp án đúng là: C

Ta phân tích 420 thành tích các thừa số nguyên tố:

420 = 2$^{2}$.3.5.7

Do đó số các ước nguyên tố của 420 là: 2; 3; 5; 7

Do đó, 420 có 4 ước nguyên tố.

Đáp án đúng là: B

Ta phân tích 1000 thành tích các thừa số nguyên tố:

1000 = 2$^{3}$.5$^{3}$

Ta có: 2$^{2}$ = 4; 2$^{3}$ = 8; 2.5 = 10; 2$^{2}$.5 = 20; 5$^{2}$ = 25; 2$^{3}$.5 = 40

Các ước nhỏ hơn 50 của 1000 là: 1; 2; 4; 5; 8; 10; 20; 25; 40

Vậy có 9 ước nhỏ hơn 50 của 1000 .

Đáp án đúng là: B

Ta phân tích 210 thành tích các thừa số nguyên tố:

210 = 2.3.5.7

Ta có: 2.3 = 6; 2.5 = 10; 2.7 = 14; 3.5 = 15; 3.7 = 21; 2.3.5 = 30; 5.7 = 35; 2.3.7 = 42; 2.5.7 = 70; 3.5.7 = 105

Các ước của 210 là: 1; 2; 3; 5; 6; 7; 10; 14; 15; 21; 30; 35; 42; 70; 105; 210

Tổng các ước lớn hơn 50 của 210 là: 70 + 105 + 210 = 385.

Đáp án đúng là: C

Ta có: 2.3 = 6; 2.5 = 10; 3.5 = 15

Vậy ước của a là 1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30.

Đáp án đúng là: A

Ta có: 2$^{2}$ = 4; 2.5 = 10; 2.7 = 14; 2$^{2}$.5 = 20; 2$^{2}$.7 = 28; 5.7 = 35; 2.5.7 = 70

Vậy ước của a là: 1; 2; 4; 5; 7; 10; 14; 20; 28; 35; 70; 140

Đáp án đúng là: A

Ta phân tích 24 thành tích các thừa số nguyên tố:

24 = 2$^{3}$.3

Ta có: 2$^{2}$ = 4; 2.3 = 6; 2$^{3}$ = 8; 2$^{2}$.3 = 12.

Các ước của 24 là: 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24

Tích các ước nhỏ hơn 10 của 24 là: 1.2.3.4.6.8 = 1152

Đáp án đúng là: B

Ta phân tích 500 thành tích các thừa số nguyên tố:

500 = 2$^{2}$.5$^{3}$

Ta có: 2$^{2}$ = 4; 2.5 = 10; 2$^{2}$.5 = 20; 5$^{2}$ = 25; 2.5$^{2}$ = 50; 2$^{2}$.5$^{2}$ = 100; 5$^{3}$ = 125;

2.5$^{3}$ = 250

Số các ước của 500 là: 1; 2; 4; 5; 10; 20; 25; 50; 100; 125; 250; 500

Số chia hết cho 5 có tận cùng là 0 hoặc 5

Do đó 500 có 9 ước chia hết cho 5 là: 5; 10; 20; 25; 50; 100; 125; 250; 500

Đáp án đúng là: D.

Theo bài, a = 2$^{2}$ ⋅ 3 ⋅ 7.

Ta có: 2$^{2}$ = 4; 2 ⋅ 3 = 6; 2 ⋅ 7 = 14; 3 ⋅ 7 = 21;

2$^{2}$ ⋅ 3 = 12; 2$^{2}$ ⋅ 7 = 28; 2 ⋅ 3 ⋅ 7 = 42;

2$^{2}$ ⋅ 3 ⋅ 7 = 84.

Khi đó, các ước của a là: 1; 2; 3; 4; 6; 7; 12; 14; 21; 28; 42; 84.

Trong các đáp án trên, số 18 không phải là một ước của số 84.

Do đó 18 không phải là ước của a.

Đáp án đúng là: A.

Ta có: b = 3$^{2}$ ⋅ 5.

Các ước tự nhiên của b là:

1; 3; 5; 3$^{2}$ = 9; 3 ⋅ 5 = 15; 3$^{2}$ ⋅ 5 = 45.

Vậy tập hợp các ước tự nhiên của b là: {1; 3; 5; 9; 15; 45}.

Đáp án đúng là: C.

Phân tích số 72 ra thừa số nguyên tố ta được: 72 = 2$^{3}$ ⋅ 3$^{2}$.

Các ước tự nhiên của 72 là:

1; 2; 3; 2$^{2}$ = 4; 2 ⋅ 3 = 6; 3$^{2}$ = 9;

2$^{3}$ = 8; 2$^{2}$ ⋅ 3 = 12; 2 ⋅ 3$^{2}$ = 18;

2$^{3}$ ⋅ 3 = 24; 2$^{2}$ ⋅ 3$^{2}$ = 36; 2$^{3}$ ⋅ 3$^{2}$ = 72.

Vậy số 72 có tất cả 12 ước là: 1; 2; 3; 4; 6; 9; 8; 12; 18; 24; 36; 72.

🟋 ***Chú ý:* **Trong trường hợp số tự nhiên lớn, không thể liệt kê được hết các ước, ta có thể sử dụng công thức tính số ước tự nhiên của một số tự nhiên.

Cho một số tự nhiên N > 1 bất kì, khi phân tích N ra thừa số nguyên tố ta được:

$N = p_1^{{a_1}} \cdot p_2^{{a_2}} \cdot ... \cdot p_k^{{a_k}}.$

Trong đó, p$_{1}$, p$_{2}$, ..., p$_{k}$ là các số nguyên tố phân biệt;

a$_{1}$, a$_{2}$, ..., a$_{k}$ là các số mũ tương ứng (a$_{1}$, a$_{2}$, ..., a$_{k}$ ∈ ℕ*).

Mỗi ước số d của N cũng là một số tự nhiên và khi phân tích ra thừa số nguyên tố, nó chỉ có thể chứa các cơ số nguyên tố p$_{1}$, p$_{2}$, ..., p$_{k}$ đã có trong N. Hơn nữa số mũ của mỗi thừa số nguyên tố trong ước d không được vượt quá số mũ tương ứng của thừa số đó trong N.

Do đó, mọi ước số d của N đều có dạng tổng quát là:

$d = p_1^{{b_1}} \cdot p_2^{{b_2}} \cdot ... \cdot p_k^{{b_k}}.$

Với các số mũ b$_{1}$, b$_{2}$, ..., b$_{k}$ thỏa mãn các điều kiện:

0 ≤ b$_{1}$ ≤ a$_{1}$; 0 ≤ b$_{2}$ ≤ a$_{2}$; ...; 0 ≤ b$_{k}$ ≤ a$_{k}$.

Khi đó,

b$_{1}$ có a$_{1}$ + 1 (từ 0, 1, ..., a$_{1}$) cách để chọn;

b$_{2}$ có a$_{2}$ + 1 (từ 0, 1, ..., a$_{2}$) cách để chọn;

...

b$_{k}$ có a$_{k}$ + 1 (từ 0, 1, ..., a$_{k}$) cách để chọn.

Như vậy, tổng số cách chọn bộ số mũ (cũng chính là số ước của N) là tích của số cách chọn:

Số ước của N = (a$_{1}$ + 1)(a$_{2}$ + 1)...(a$_{k}$ + 1).

🟋 Áp dụng: Ta có 72 = 2$^{3}$ ⋅ 3$^{2}$.

Thừa số nguyên tố 2 có số mũ là 3; thừa số nguyên tố 3 có số mũ là 2.

Như vậy, số ước của 72 là: (3 + 1).(2 + 1) = 4.3 = 12 (ước).

Đáp án đúng là: B.

Ta có: 150 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5$^{2}$.

Cách 1. Liệt kê các ước của 150 là:

1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 25; 30; 50; 75; 150

Vậy có tất cả 12 ước tự nhiên.

Cách 2. Áp dụng công thức tính số ước (đã chứng minh ở Câu 3).

Số ước của 150 là: (1 + 1)(1 + 1)(2 + 1) = 2.2.3 = 12 (ước).

Đáp án đúng là: C.

Thay a = 3 và b = 2 vào ta có n = 2$^{3}$ ⋅ 5$^{2}$.

Cách 1. Các ước tự nhiên của n là: 1; 2; 4; 5; 8; 10; 20; 25; 40; 50; 100; 200.

Vậy có tất cả 12 ước tự nhiên.

Cách 2. Dựa vào công thức tính số ước (đã chứng minh ở Câu 3), số ước của n là:

(3 + 1).(2 + 1) = 4.3 = 12 (ước).

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Số 20 lớn hơn 1 và có nhiều hơn 2 ước nên số 20 là hợp số.

b) Đúng. Ta có: A = 20 = 4 ⋅ 5 = 2$^{2}$ ⋅ 5.

c) Sai. Lập các tích từ các thừa số nguyên tố của A: 1; 2; 5; 2$^{2}$ = 4; 2 ⋅ 5 = 10; 2$^{2}$ ⋅ 5 = 20.

Vậy số A có tất cả 6 ước tự nhiên.

d) Sai. Các ước tự nhiên của A là: 1; 2; 4; 5; 10; 20.

Vậy tổng của các ước tự nhiên của A là: 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 = 42.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Vì 36 chia hết cho 2 và 2 là số nguyên tố nhỏ nhất nên 2 là ước nguyên tố bé nhất của B.

b) Sai. Phân tích B ra thừa số nguyên tố, ta có: 36 = 2$^{2}$ ⋅ 3$^{2}$.

c) Đúng. Ghép các thừa số nguyên tố từ B = 2$^{2}$ ⋅ 3$^{2}$ ta liệt kê được các ước của 36 là:

1; 2; 3; 4 = 2$^{2}$; 6 = 2 ⋅ 3; 9 = 3$^{2}$; 12 = 2$^{2}$ ⋅ 3; 18 = 2 ⋅ 3$^{2}$; 36 = 2$^{2}$ ⋅ 3$^{2}$.

Vậy số B có tất cả 9 ước tự nhiên.

d) Sai. Từ dạng phân tích 2$^{2}$ ⋅ 3$^{2}$, các ước nguyên tố của B chỉ gồm 2 và 3.

Vậy số B chỉ có 2 ước là số nguyên tố.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Ta có: C = 2$^{3}$ ⋅ 3$^{2}$ = 8 ⋅ 9 = 72.

Vậy C là dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của số 72.

b) Đúng. Cách 1. Lần lượt ghép các thừa số 2 và 3 ta liệt kê được các ước của C:

1; 2; 3; 4 = 2$^{2}$; 6 = 2 ⋅ 3; 8 = 2$^{3}$; 9 = 3$^{2}$;

12 = 2$^{2}$ ⋅ 3; 18 = 2 ⋅ 3$^{2}$; 24 = 2$^{3}$ ⋅ 3; 36 = 2$^{2}$ ⋅ 3$^{2}$; 72 = 2$^{3}$ ⋅ 3$^{2}$.

Vậy C có đúng 12 ước tự nhiên.

Cách 2. Dùng công thức tính số ước (đã chứng minh ở Câu 3) của 72 là:

(3 + 1).(2 + 1) = 4.3 = 12 (ước).

c) Sai. Các thừa số nguyên tố trong phân tích của C là 2 và 3.

Do đó C có 2 ước nguyên tố.

d) Sai. C = 72 có 12 ước tự nhiên ghép thành 6 cặp ước có tích bằng 72:

(1; 72), (2; 36), (3; 24), (4; 18), (6; 12), (8; 9).

Có 6 cặp như vậy nên tích của 12 ước bằng;

72 ⋅ 72 ⋅ 72 ⋅ 72 ⋅ 72 ⋅ 72 = 72$^{6}$.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Phân tích 100 ra thừa số nguyên tố ta được: 100 = 2$^{2}$ ⋅ 5$^{2}$.

b) Đúng. Các ước tự nhiên của D là: {1; 2; 4; 5; 10; 20; 25; 50; 100}.

Vậy số D có tất cả 9 ước tự nhiên.

c) Sai. Các ước của 100 gồm: {1; 2; 4; 5; 10; 20; 25; 50; 100}.

Các hợp số là 4; 10; 20; 25; 50; 100.

Vậy số D có 6 ước là hợp số.

d) Sai. Các ước lẻ của số D gồm: 1; 5; 25.

Vậy tổng các ước lẻ là: 1 + 5 + 25 = 31.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Ta có: E = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 = 210.

b) Đúng. Dạng phân tích chứa các thừa số nguyên tố: 2; 3; 5; 7.

Vậy E có 4 ước nguyên tố.

c) Sai. Ghép các thừa số nguyên tố của E ta liệt kê được các ước:

Ước 1 thừa số: 1; 2; 3; 5; 7.

Ước 2 thừa số: 6; 10; 14; 15; 21; 35.

Ước 3 thừa số: 30; 42; 70; 105.

Ước 4 thừa số: 210.

Vậy số ước tự nhiên của E là 16 ước.

d) Sai. Trong 16 ước của E, số 1 không là hợp số, 4 ước nguyên tố là 2; 3; 5; 7.

Do đó số ước là hợp số của E là: 16 – 1 – 4 = 11 ước.

Đáp án: 18.

Phân tích 180 ra thừa số nguyên tố ta được: 180 = 2$^{2}$ ⋅ 3$^{2}$ ⋅ 5.

Cách 1. Ghép các thừa số nguyên tố để liệt kê tất cả các ước của 180:

1; 2; 3; 4; 5; 6; 9; 10; 12; 15; 18; 20; 30; 36; 45; 60; 90; 180.

Vậy số 180 có 18 ước tự nhiên.

Cách 2. Tính số ước dựa vào công thức (đã chứng minh ở Câu 3):

(2 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 3.3.2 = 18 (ước).

Đáp án: 39.

Ta phân tích 18 thành tích các thừa số nguyên tố: 18 = 2 ⋅ 3$^{2}$

Ta có: 3$^{2}$ = 9; 2 ⋅ 3 = 6

Do đó 18 có các ước là: 1; 2; 3; 6; 9; 18.

Vậy tổng các ước của 18 là: 1 + 2 + 3 + 6 + 9 + 18 = 39.

Đáp án: 27.

Phân tích 60 ra thừa số nguyên tố ta được: 60 = 2$^{2}$ ⋅ 3 ⋅ 5.

Ta có: 2$^{2}$ = 4; 2 ⋅ 3 = 6; 2 ⋅ 5 = 10; 3 ⋅ 5 = 15; 2$^{2}$ ⋅ 3 = 12; 2$^{2}$ ⋅ 5 = 20; 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 30.

Khi đó, các ước của 60 là: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 10; 12; 15; 20; 30; 60.

Vì 10 < x < 20 nên các ước x thỏa mãn điều kiện là: 12; 15.

Vậy tổng các giá trị x thỏa mãn là: 12 + 15 = 27.

Đáp án: 9.

Phân tích 500 ra thừa số nguyên tố ta được: 500 = 2$^{2}$ ⋅ 5$^{3}$.

Các ước của 500 mà chia hết cho 5 tức các ước này phải chứa thừa số 5.

Các ước chứa thừa số 5 của 500 là:

5; 2 ⋅ 5 = 10; 2$^{2}$ ⋅ 5 = 20; 5$^{2}$ = 25; 2 ⋅ 5$^{2}$ = 50;

2$^{2}$ ⋅ 5$^{2}$ = 100; 5$^{3}$ = 125; 2 ⋅ 5$^{3}$ = 250; 2$^{2}$ ⋅ 5$^{3}$ = 500.

Vậy có 9 ước tự nhiên của 500 chia hết cho 5.

Đáp án: 1152.

Phân tích 24 ra thừa số nguyên tố ta được: 24 = 2$^{3}$ ⋅ 3.

Ta có: 2$^{2}$ = 4; 2 ⋅ 3 = 6; 2$^{3}$ = 8; 2$^{2}$ ⋅ 3 = 12.

Khi đó, các ước của 24 là: 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24.

Các ước tự nhiên của 24 nhỏ hơn 10 là: 1; 2; 3; 4; 6; 8.

Vậy tích tất cả các ước tự nhiên của 24 nhỏ hơn 10 là:

1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 8 = 1152.