Bài tập Tích phân của các hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối lớp 12 (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

$I = \int\limits_0^2 {\left| {x - 1} \right|dx}$$= \int\limits_0^1 {\left| {x - 1} \right|dx} + \int\limits_1^2 {\left| {x - 1} \right|dx}$$= \int\limits_0^1 {\left( {1 - x} \right)dx} + \int\limits_1^2 {\left( {x - 1} \right)dx}$

$= \left. {\left( {x - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - x} \right)} \right|_1^2 = 1$.

Đáp án đúng là: D

$I = \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - 3x + 2} \right|dx}$$= \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)dx} - \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)dx}$$= \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{3{x^2}}}{2} + 2x} \right)} \right|_0^1 - \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{3{x^2}}}{2} + 2x} \right)} \right|_1^2 = \frac{5}{6} - \left( { - \frac{1}{6}} \right) = 1$.

Đáp án đúng là: D

+) $\frac{\pi }{4} \le x \le \frac{\pi }{2} \Leftrightarrow \frac{\pi }{2} \le 2x \le \pi \Rightarrow \sin 2x \ge 0$.

+) $\frac{\pi }{2} \le x \le \frac{{3\pi }}{4} \Leftrightarrow \pi \le 2x \le \frac{{3\pi }}{2} \Rightarrow \sin 2x \le 0$.

Khi đó $I = \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{{3\pi }}{4}} {\left| {\sin 2x} \right|dx}$$= \int\limits_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} {\sin 2xdx} - \int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{{3\pi }}{4}} {\sin 2xdx}$$= \left. { - \frac{1}{2}\cos 2x} \right|_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}} + \left. {\frac{1}{2}\cos 2x} \right|_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{{3\pi }}{4}} = 1$.

Đáp án đúng là: B

Từ đáp án ta thấy a ≥ 1.

$I = \int\limits_{ - 1}^a {\left| {{x^2} - x} \right|dx}$$= \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {{x^2} - x} \right)dx} - \int\limits_0^1 {\left( {{x^2} - x} \right)dx} + \int\limits_1^a {\left( {{x^2} - x} \right)dx}$

$= \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_{ - 1}^0 - \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_1^a$$= \frac{7}{6} + \frac{{{a^3}}}{3} - \frac{{{a^2}}}{2}$.

Theo đề có $\frac{7}{6} + \frac{{{a^3}}}{3} - \frac{{{a^2}}}{2} = \frac{{11}}{6}$ 2a$^{3}$ – 3a$^{2}$ – 4 = 0 (a − 2)(2a$^{2}$ + a + 2) = 0 a = 2.

Đáp án đúng là: A

Do x$^{3}$ + x$^{2}$ – x – 1 = (x – 1)(x + 1)$^{2}$ ≤ 0, ∀x [−1; 1].

Khi đó $I = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {{x^3} + {x^2} - x - 1} \right|dx}$$= - \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {{x^3} + {x^2} - x - 1} \right)dx} = - \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} + \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^2}}}{2} - x} \right)} \right|_{ - 1}^1 = \frac{4}{3}$.

Suy ra a = 4; b = 3. Do đó a + b = 7.

Đáp án đúng là: D

Vì x$^{4}$ + x$^{2}$ + 1 ≥ 0, ∀x [−1; 2018] $\Rightarrow \int\limits_{ - 1}^{2018} {\left| {{x^4} + {x^2} + 1} \right|dx} = \int\limits_{ - 1}^{2018} {\left( {{x^4} + {x^2} + 1} \right)dx}$.

Đáp án đúng là: C

Do x – 2 < 0, ∀x [0; 1].

Khi đó $I = \int\limits_0^1 {\left| {x - 2} \right|dx} = - \int\limits_0^1 {\left( {x - 2} \right)dx} = - \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - 2x} \right)} \right|_0^1 = \frac{3}{2}$.

</>

Đáp án đúng là: D

$\int\limits_0^2 {\sqrt {{x^2} - 2x + 1} } dx$$= \int\limits_0^2 {\left| {x - 1} \right|} dx$$= \int\limits_0^1 {\left( {1 - x} \right)} dx + \int\limits_0^2 {\left( {x - 1} \right)} dx$$= \left. {\left( {x - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - x} \right)} \right|_1^2 = 1$.

Đáp án đúng là: A

$\int\limits_0^8 {\left| {{x^2} - 6x} \right|dx}$$= \int\limits_0^6 {\left| {{x^2} - 6x} \right|dx} + \int\limits_6^8 {\left| {{x^2} - 6x} \right|dx}$$= \int\limits_0^6 {\left( { - {x^2} + 6x} \right)dx} + \int\limits_6^8 {\left( {{x^2} - 6x} \right)dx}$

$= \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{6{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^6 + \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{6{x^2}}}{2}} \right)} \right|_6^8 = \frac{{152}}{3}$.

Đáp án đúng là: B

Ta có $I = \int\limits_0^2 {\left| {2x - 2} \right|dx}$$= \int\limits_0^1 {\left( {2 - 2x} \right)dx} + \int\limits_1^2 {\left( {2x - 2} \right)dx}$$= \left. {\left( {2x - {x^2}} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {{x^2} - 2x} \right)} \right|_1^2 = 2$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta thấy với mọi x thuộc đoạn [0; 1], biểu thức x − 2 < 0.

Do đó, |x − 2| = 2 − x trên toàn bộ khoảng lấy tích phân này.

Khi đó, tích phân trở thành:$I = \int_0^1 {\left( {2 - x} \right)} dx = \left. {\left( {2x - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1 = (2 \cdot 1 - 0{,}5) - 0 = 2 - 0{,}5 = 1{,}5.$

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

$I = \int_0^2 {\left| {2x - 1} \right|} dx = \int_0^{\frac{1}{2}} {\left| {2x - 1} \right|} dx + \int_{\frac{1}{2}}^2 {\left| {2x - 1} \right|} dx = \int_0^{\frac{1}{2}} {\left( {1 - 2x} \right)} dx + \int_{\frac{1}{2}}^2 {\left( {2x - 1} \right)} dx$

$= \left. {\left( {x - {x^2}} \right)} \right|_0^{\frac{1}{2}} + \left. {\left( {{x^2} - x} \right)} \right|_{\frac{1}{2}}^2 = \frac{1}{4} + \frac{9}{4} = \frac{5}{2}.$

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có: $I = \int_0^1 {\left( {2 - 2x} \right)} dx = \left. {\left( {2x - {x^2}} \right)} \right|_0^1 = 1.$

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Có $I = \int_0^2 {\left| {2{x^2} - 6x + 4} \right|} dx = 2\int_0^2 {\left| {{x^2} - 3x + 2} \right|} dx$.

Xét phương trình x$^{2}$ − 3x + 2 = 0, ta được các nghiệm x = 1 và x = 2. Lập bảng xét dấu, ta thấy x$^{2}$ − 3x + 2 ≥ 0 trên đoạn [0; 1] và x² − 3x + 2 ≤ 0 trên đoạn [1; 2].

Do đó, ta tách tích phân thành hai phần để phá dấu giá trị tuyệt đối:

$$I = 2\int_0^1 {({x^2} - 3x + 2)} dx - 2\int_1^2 {({x^2} - 3x + 2)} dx = 2\left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{3{x^2}}}{2} + 2x} \right)} \right|_0^1 - 2\left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{3{x^2}}}{2} + 2x} \right)} \right|_1^2$$

$= 2\left( {\frac{5}{6} - 0} \right) - 2\left( {\frac{2}{3} - \frac{5}{6}} \right) = \frac{5}{3} - \left( { - \frac{1}{3}} \right) = \frac{6}{3} = 2$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có: $I = \int_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{{3\pi }}{2}} {\left| {\sin x} \right|} dx = \int_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\sin x} dx - \int_\pi ^{\frac{{3\pi }}{2}} {\sin x} dx = \left. { - \cos x} \right|_{\frac{\pi }{2}}^\pi + \left. {\cos x} \right|_\pi ^{\frac{{3\pi }}{2}} = 1 + 1 = 2.$

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Theo hằng đẳng thức đáng nhớ, x2 − 4x + 4 = (x − 2)2.

b) Sai. Khi khai căn bậc hai của một bình phương, ta phải sử dụng dấu giá trị tuyệt đối: $\sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2}} = \left| {x - 2} \right|$. Do đó tích phân đúng phải là $\int_0^4 {\left| {x - 2} \right|} dx$.

c) Sai. Trên đoạn [0; 2], ta có x ≤ 2 nên biểu thức x − 2 ≤ 0 (nhận giá trị không dương).

d) Đúng. Ta có:$\int_0^4 {\left| {x - 2} \right|} dx = \int_0^2 {\left( {2 - x} \right)} dx + \int_2^4 {\left( {x - 2} \right)} dx = \left. {\left( {2x - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^2 + \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - 2x} \right)} \right|_2^4 = 4$

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Ta xét bất phương trình 2$^{x}$ − 2 ≥ 0 Û 2$^{x}$ ≥ 2 Û x ≥ 1.

b) Sai. Công thức tính nguyên hàm của hàm số f(x) = 2$^{x}$ là F(x) = $\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}$. Đạo hàm của hàm số f(x) = 2$^{x}$ mới là $f'(x) = {2^x} \cdot \ln 2$.

c) Đúng. Trên đoạn [0; 1], ta có x ≤ 1 nên 2$^{x}$ − 2 ≤ 0, suy ra |2$^{x}$ − 2| = 2 − 2$^{x}$.

Khi đó, ta có:$\int_0^1 {\left( {2 - {2^x}} \right)} dx = \left. {\left( {2x - \frac{{{2^x}}}{{\ln 2}}} \right)} \right|_0^1 = \left( {2 - \frac{2}{{\ln 2}}} \right) - \left( {0 - \frac{1}{{\ln 2}}} \right) = 2 - \frac{1}{{\ln 2}}$.

d) Sai. Trên đoạn [1; 2], ta có x ≥ 1 nên 2$^{x}$ − 2 ≥ 0, suy ra |2$^{x}$ − 2| = 2$^{x}$ − 2.

Ta tính tích phân trên đoạn [1; 2] như sau:

$\int_1^2 {\left( {{2^x} - 2} \right)} dx = \left. {\left( {\frac{{{2^x}}}{{\ln 2}} - 2x} \right)} \right|_1^2 = \left( {\frac{4}{{\ln 2}} - 4} \right) - \left( {\frac{2}{{\ln 2}} - 2} \right) = \frac{2}{{\ln 2}} - 2$.

Tổng hợp hai kết quả, giá trị của tích phân I là:

$I = \int_0^1 {\left| {{2^x} - 2} \right|} dx + \int_1^2 {\left| {{2^x} - 2} \right|} dx = \left( {2 - \frac{1}{{\ln 2}}} \right) + \left( {\frac{2}{{\ln 2}} - 2} \right) = \frac{1}{{\ln 2}}$.

Vậy giá trị của tích phân I khác 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Sai. Hàm cosx âm trên khoảng $\left( {\frac{\pi }{2};\pi } \right)$.

b) Đúng. $I = \int_0^\pi {\left| {\cos x} \right|} dx$$I = \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\left| {\cos x} \right|} dx + \int_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\left| {\cos x} \right|} dx$$= \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos x} dx - \int_{\frac{\pi }{2}}^\pi {\cos x} dx$.

c) Đúng. $I = \left. {\sin x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} - \left. {\sin x} \right|_{\frac{\pi }{2}}^\pi = (1 - 0) - (0 - 1) = 2$.

d) Sai. Tích phân trên [0; 2p] của |cos x| bằng 4. Tích phân I (trên [0; p]) bằng 2. Vậy nó chỉ gấp 2 lần.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Ta có biến đổi: $f(x) = \sqrt {4{x^2} - 4x + 1} = \sqrt {{{\left( {2x - 1} \right)}^2}} = \left| {2x - 1} \right|$.

b) Sai. Hàm số $f(x) = \left| {2x - 1} \right|$ nghịch biến trên khoảng $\left[ {0;\frac{1}{2}} \right)$ và đồng biến trên khoảng $\left( {\frac{1}{2};2} \right]$, do đó không thể luôn đồng biến trên toàn bộ đoạn $\left[ {0;2} \right]$.

c) Đúng. Xét phương trình $2x - 1 = 0$ suy ra $x = \frac{1}{2}$. Điểm $x = \frac{1}{2}$ thuộc đoạn $\left[ {0;2} \right]$.

Sử dụng tính chất cộng đoạn của tích phân, ta có: $I = \int_0^{\frac{1}{2}} {\left| {2x - 1} \right|} dx + \int_{\frac{1}{2}}^2 {\left| {2x - 1} \right|} dx$

Trên đoạn $\left[ {0;\frac{1}{2}} \right]$, ta có $2x - 1 \le 0$ nên $\left| {2x - 1} \right| = 1 - 2x$.

Trên đoạn $\left[ {\frac{1}{2};2} \right]$, ta có $2x - 1 \ge 0$ nên $\left| {2x - 1} \right| = 2x - 1$.

Do đó: $I = \int_0^{\frac{1}{2}} {\left( {1 - 2x} \right)} dx + \int_{\frac{1}{2}}^2 {\left( {2x - 1} \right)} dx$.

d) Đúng. Ta có: $I = \int_0^{\frac{1}{2}} {\left( {1 - 2x} \right)} dx + \int_{\frac{1}{2}}^2 {\left( {2x - 1} \right)} dx = \left. {\left( {x - {x^2}} \right)} \right|_0^{\frac{1}{2}} + \left. {\left( {{x^2} - x} \right)} \right|_{\frac{1}{2}}^2$

$= \left( {\left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{4}} \right) - 0} \right) + \left( {\left( {4 - 2} \right) - \left( {\frac{1}{4} - \frac{1}{2}} \right)} \right) = \frac{1}{4} + \frac{9}{4} = \frac{5}{2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. $I(1) = \int_0^1 {\left( {1 - x} \right)} dx + \int_1^2 {\left( {x - 1} \right)dx} = 0{,}5 + 0{,}5 = 1$.

b) Đúng. Khi m ≤ 0 và x thuộc [0; 2] thì x − m ≥ 0.

c) Đúng. Khi m ≥ 2 và x thuộc [0; 2] thì x − m ≤ 0.

d) Sai. Ta xét các trường hợp của tham số m để tìm giá trị nhỏ nhất của $I(m)$:

- Trường hợp 1: m ≤ 0.

Theo câu b, $I(m) = \int_0^2 {\left( {x - m} \right)} dx = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - mx} \right)} \right|_0^2 = 2 - 2m$. Vì m ≤ 0 nên I(m) ≥ 2.

- Trường hợp 2: m ≥ 2. Theo câu c, $I(m) = \int_0^2 {\left( {m - x} \right)} dx = \left. {\left( {mx - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^2 = 2m - 2$.

Vì m ≥ 2 nên I(m) ≥ 2.

- Trường hợp 3: 0 < m < 2. Tích phân được tách thành hai phần:

$I(m) = \int_0^m {\left( {m - x} \right)} dx + \int_m^2 {\left( {x - m} \right)} dx = \left. {\left( {mx - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^m + \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - mx} \right)} \right|_m^2$

$= \left( {{m^2} - \frac{{{m^2}}}{2}} \right) + \left( {\left( {2 - 2m} \right) - \left( {\frac{{{m^2}}}{2} - {m^2}} \right)} \right) = \frac{{{m^2}}}{2} + 2 - 2m + \frac{{{m^2}}}{2} = {m^2} - 2m + 2$

Ta biến đổi: $I(m) = {m^2} - 2m + 1 + 1 = {\left( {m - 1} \right)^2} + 1 \ge 1$.

Dấu "=" xảy ra khi $m = 1$.

So sánh ba trường hợp, ta thấy giá trị nhỏ nhất của hàm số $I(m)$ là 1, đạt được khi $m = 1$. Do đó mệnh đề d là sai.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 2

Xét phương trình 0,5x − 1 = 0, ta tìm được nghiệm x = 2.

$I = \int_0^4 {\left| {0{,}5x - 1} \right|} dx = \int_0^2 {\left( {1 - 0{,}5x} \right)} dx + \int_2^4 {\left( {0{,}5x - 1} \right)} dx = \left. {\left( {x - 0{,}25{x^2}} \right)} \right|_0^2 + \left. {\left( {0{,}25{x^2} - x} \right)} \right|_2^4$

= (2 − 1) − 0 + (4 − 4) − (1 − 2) = 1 + 1 = 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 6,75

Ta tìm nghiệm của x$^{3}$ − 3x − 2 = 0 bằng cách phân tích đa thức thành nhân tử:

(x − 2)(x + 1)$^{2}$ = 0.

Hàm số có hai nghiệm là x = 2 và nghiệm kép x = −1.

Với mọi x thuộc đoạn [−1; 2], ta có (x + 1)² ≥ 0 và x − 2 ≤ 0,

nên tích của chúng x$^{3}$ − 3x − 2 ≤ 0.

Do đó:

$I = \int_{ - 1}^2 {\left| {{x^3} - 3x - 2} \right|} dx = - \int_{ - 1}^2 {({x^3} - 3x - 2)} dx = \left. {\left( {2x + \frac{{3{x^2}}}{2} - \frac{{{x^4}}}{4}} \right)} \right|_{ - 1}^2 = 6 - ( - 0{,}75) = 6{,}75.$

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 4,5

Nghiệm của 2x − 1 = 0 là x = 0,5. Cận này chia đoạn lấy tích phân thành hai nửa.

$I = \int_{ - 1}^{0{,}5} {\left( {1 - 2x} \right)} dx + \int_{0{,}5}^2 {\left( {2x - 1} \right)} dx\left. { = \left( {x - {x^2}} \right)} \right|_{ - 1}^{0{,}5} + \left. {\left( {{x^2} - x} \right)} \right|_{0{,}5}^2$

= 0,25 - (-2) + 2 - (-0,25) = 4,5.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 3

Vì m > 1, ta tách tích phân I thành hai đoạn trên [0; 1] và [1; m]:

$I = \int_0^1 {\left( {1 - x} \right)} dx + \int_1^m {\left( {x - 1} \right)} dx = \left. {\left( {x - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} - x} \right)} \right|_1^m = (1 - 0{,}5) - 0 + \left( {\frac{{{m^2}}}{2} - m} \right) - (0{,}5 - 1)$

$I = 0{,}5 + \frac{{{m^2}}}{2} - m + 0{,}5 = \frac{{{m^2}}}{2} - m + 1$.

Theo giả thiết, I = 2,5 nên ta có phương trình: $\frac{{{m^2}}}{2} - m + 1 = 2{,}5$

Û m² − 2m + 2 = 5 Û m² − 2m − 3 = 0 Û (m + 1)(m − 3) = 0 Û m = −1 hoặc m = 3.

Kết hợp điều kiện m > 1, ta nhận giá trị m = 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 6,25

Biểu thức x − 0,5 đổi dấu tại x = 0,5. Ta tiến hành chèn cận:

$I = \int_{ - 2}^{0{,}5} {\left( {0{,}5 - x} \right)} dx + \int_{0{,}5}^3 {\left( {x - 0{,}5} \right)} dx$

$I = \left. {\left( {0{,}5x - 0{,}5{x^2}} \right)} \right|_{ - 2}^{0{,}5} + \left. {\left( {0{,}5{x^2} - 0{,}5x} \right)} \right|_{0{,}5}^3$

I = (0,25 − 0,125) − (−1 − 2) + (4,5 − 1,5) − (0,125 − 0,25)

I = 0,125 − (−3) + 3 − (−0,125) = 3,125 + 3,125 = 6,25.