Bài tập Tích phân của các hàm số cho bởi nhiều công thức lớp 12 (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

A. Ta có $\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} 1 = 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {2x - 1} \right) = 1\end{array} \right.$ và f(1) = 1.

B. Do đó hàm số đã cho liên tục tại x = 1.

$I = \int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)dx}$$= \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx}$$= \int\limits_{ - 1}^1 {\left( {2x - 1} \right)dx} + \int\limits_1^2 {1dx}$

$= \left. {\left( {{x^2} - x} \right)} \right|_{ - 1}^1 + \left. x \right|_1^2 = - 2 + 1 = - 1$.

Đáp án đúng là: B

$I = \int\limits_{ - 1}^2 {f\left( x \right)dx}$$= \int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx}$$= \int\limits_{ - 1}^0 {{e^{2x}}dx} + \int\limits_0^2 {\left( {x + 1} \right)dx}$

$= \left. {\frac{{{e^{2x}}}}{2}} \right|_{ - 1}^0 + \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + x} \right)} \right|_0^2$$= \frac{9}{2} - \frac{1}{{2{e^2}}} = \frac{{9{e^2} - 1}}{{2{e^2}}}$.

Đáp án đúng là: A

$\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx}$$= \int\limits_0^1 {3{x^2}dx} + \int\limits_1^2 {\left( {4 - x} \right)dx}$$= \left. {{x^3}} \right|_0^1 + \left. {\left( {4x - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_1^2 = \frac{7}{2}$.

Đáp án đúng là: B

$\int\limits_{ - 3}^3 {f\left( x \right)dx}$$= \int\limits_{ - 3}^{ - 1} {\left( {x + 2} \right)dx} + \int\limits_{ - 1}^3 {{x^2}dx} = 0 + \frac{{28}}{3} = \frac{{28}}{3}$.

Đáp án đúng là: D

$\int\limits_{ - 1}^\pi {f\left( x \right)dx}$$= \int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_0^\pi {f\left( x \right)dx}$$= \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {2{x^2} - x} \right)dx} + \int\limits_0^\pi {\sin xdx}$$= \frac{7}{6} + 2 = \frac{{19}}{6}$.

Đáp án đúng là: A

Có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {3{x^2} + b} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {2x + a} \right) = f\left( 1 \right)$$\Leftrightarrow 3 + b = 2 + a$$\Leftrightarrow a - b = 1$ (1).

$\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = 13$$\Leftrightarrow \int\limits_0^1 {\left( {3{x^2} + b} \right)dx + } \int\limits_1^2 {\left( {2x + a} \right)dx} = 13$

$\Leftrightarrow \left. {\left( {{x^3} + bx} \right)} \right|_0^1 + \left. {\left( {{x^2} + ax} \right)} \right|_1^2 = 13$$\Leftrightarrow \left( {1 + b} \right) + 3 + a = 13$$\Leftrightarrow a + b = 9$ (2).

Từ (1) và (2), ta có a = 5; b = 4.

Do đó T = 5 + 4 – 5.4 = −11.

Đáp án đúng là: A

$\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx}$$= \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx}$$= \int\limits_0^1 {\frac{2}{{x + 1}}dx} + \int\limits_1^3 {\left( {2x - 1} \right)dx}$

$= \left. {2\ln \left| {x + 1} \right|} \right|_0^1 + \left. {\left( {{x^2} - x} \right)} \right|_1^3$$= 2\ln 2 + 6$ = 6 + ln4.

Đáp án đúng là: D

$\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx}$$= \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx}$$= \int\limits_0^1 {2xdx} + \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} + 1} \right)dx} = \frac{{13}}{3}$.

Đáp án đúng là: B

Vì hàm số F(x) liên tục tại x = 1

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} F\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} F\left( x \right) = F\left( 1 \right)$$\Rightarrow {1^2} + 5.1 + {C_1} = {1^3} + 4.1 + {C_2}$ C$_{1}$ – C$_{2}$ = −1.

Ta có $\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = F\left( 2 \right) - F\left( 0 \right)$

(2$^{2}$ + 5.2 + C$_{1}$) – (0$^{3}$ + 4.0 + C$_{2}$) = 14 + C$_{1}$ – C$_{2}$ = 14 – 1 = 13.

Đáp án đúng là: D

Ta có $F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}3x - {x^2} + {C_1}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;khi\;x \ge 1\\{x^3} + {x^2} - 4x + {C_2}\;\;\;\;\;\;khi\;x < 1\end{array} \right.$.

Vì F(2) = 4 C$_{1}$ = 2. Do đó $F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}3x - {x^2} + 2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;khi\;x \ge 1\\{x^3} + {x^2} - 4x + {C_2}\;\;\;\;khi\;x < 1\end{array} \right.$.

Vì hàm số liên tục trên ℝ nên $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} F\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} F\left( x \right) = F\left( 1 \right)$

$\Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {3x - {x^2} + 2} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {{x^3} + {x^2} - 4x + {C_2}} \right)$ C$_{2}$ = 6.

Do đó $F\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}3x - {x^2} + 2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;khi\;x \ge 1\\{x^3} + {x^2} - 4x + 6\;\;\;\;khi\;x < 1\end{array} \right.$.

Vậy F(−2) – 4F(3) = 10 – 4.2 = 2.

</></></>

Hướng dẫn giải:

I = $\int_0^1 f (x)dx + \int_1^2 f (x)dx = \int_0^1 2 xdx + \int_1^2 3 {x^2}dx$

= $\left. {{x^2}} \right|_0^1 + \left. {{x^3}} \right|_1^2$= (1 − 0) + (8 − 1) = 1 + 7 = 8.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

I = $\int_{ - 1}^0 {{e^x}} dx + \int_0^1 1 dx$= $\left. {{e^x}} \right|_{ - 1}^0 + \left. x \right|_0^1$= $1 - {e^{ - 1}} + 1$ = $2 - {e^{ - 1}}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Do hàm số f(x) liên tục trên $\mathbb{R}$ nên nó phải liên tục tại điểm nối x = 1.

Giới hạn bên trái: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} (x + a)$ = 1 + a.

Giới hạn bên phải: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} 2x$ = 2.

Suy ra 1 + a = 2 nên a = 1. Khi đó trên khoảng x < 1 thì f(x) = x + 1.

Tích phân trở thành:

I = $\int_0^1 {\left( {x + 1} \right)} dx + \int_1^2 2 xdx = \left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + x} \right)} \right|_0^1 + \left. {{x^2}} \right|_1^2$= 1,5 + 3 = 4,5 = $\frac{9}{2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Đặt t = x2, suy ra dt = 2x dx.

Đổi cận: khi x = 1 thì t = 1; khi x = 2 thì t = 4.

Tích phân trở thành: I = $\int_1^4 f (t)dt$.

I = $\int_1^2 3 dt + \int_2^4 2 tdt = \left. {3t} \right|_1^2 + \left. {{t^2}} \right|_2^4$ = 3 + 12 = 15.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Với x < 1, ta có họ nguyên hàm f(x) = $\int 2 xdx$ = x² + C1.

Do f(0) = 1 nên 0² + C1 = 1, suy ra C1 = 1. Vậy f(x) = x² + 1 khi x < 1.

Với x ≥ 1, ta có họ nguyên hàm f(x) = $\int 2 dx$ = 2x + C2.

Vì f(x) liên tục trên $\mathbb{R}$ nên nó liên tục tại x = 1, tức là $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x)$ = $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f(x)$.

Ta có 1² + 1 = 2×(1) + C2 suy ra 2 = 2 + C2 nên C2 = 0. Vậy f(x) = 2x khi x ≥ 1.

Tiến hành tính tích phân:

I = $\int_0^1 {\left( {{x^2} + 1} \right)} dx + \int_1^2 2 xdx = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + x} \right)} \right|_0^1 + \left. {{x^2}} \right|_1^2$

= $\left( {\frac{1}{3} + 1} \right)$ + (4 − 1) = $\frac{4}{3}$ + 3 = $\frac{{13}}{3}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Giới hạn trái tại x = 2 là 2. Giới hạn phải tại x = 2 là 2. Do hai giới hạn bằng nhau nên hàm số liên tục.

b) Đúng. Ta tính $\int_0^2 x dx$ = $\left. {\frac{{{x^2}}}{2}} \right|_0^2$ = 2 − 0 = 2.

c) Sai. Ta tính $\int_2^4 2 dx$ = $\left. {2x} \right|_2^4$ = 8 − 4 = 4.

d) Đúng. Tổng giá trị của hai tích phân thành phần là I = 2 + 4 = 6.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} (2x + a)$ = 2 + a.

b) Đúng. Giới hạn phải tại x = 1 là 1 + b. Hàm số liên tục nên 2 + a = 1 + b hay a − b = −1.

c) Đúng. $\int_0^1 {\left( {2x + a} \right)} dx$ = $\left. {\left( {{x^2} + ax} \right)} \right|_0^1$ = 1 + a.

d) Sai. Xét phần tích phân trên [1; 2]:

$\int_1^2 {({x^2} + b)} dx$ = $\left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + bx} \right)} \right|_1^2$ = $\left( {\frac{8}{3} + 2b} \right) - \left( {\frac{1}{3} + b} \right)$ = $\frac{7}{3} + b$.

Khi đó $\int_0^2 {f\left( x \right)} dx = \int_0^1 {f\left( x \right)} dx + \int_1^2 {f\left( x \right)} dx$Û a + b + $\frac{{10}}{3}$ = $\frac{{16}}{3}$ suy ra a + b = 2.

Từ hệ phương trình a − b = −1 và a + b = 2 ta được a = 0,5 và b = 1,5.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Trên khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$, F(x) = 2x$^{2}$ + C$_{1}$. Do F(0) = 2 nên C$_{1}$ = 2.

Vậy F(x) = 2x$^{2}$ + 2.

b) Đúng. Hàm số f(x) có nguyên hàm trên tập số thực nên F(x) liên tục tại x = 1.

Suy ra F(1) = $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} (2{x^2} + 2)$ = 4.

c) Đúng. Trên nửa khoảng $\left[ {1; + \infty } \right)$, F(x) = x$^{4}$ + C$_{2}$.

Do F(1) = 4 nên 1 + C$_{2}$ = 4 Þ C$_{2}$ = 3. Vậy F(x) = x$^{4}$ + 3.

d) Sai. $\int_{ - 1}^2 f (x)dx$ = F(2) − F(−1).

F(2) = 2$^{4}$ + 3 = 19; F(−1) = 2×(−1)² + 2 = 4.

Tích phân có giá trị là 19 − 4 = 15.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Với x ≥ 1, $\int {\frac{1}{x}} dx = \ln x + {C_1}$.

Vì F(1) = 2 nên $\ln 1 + {C_1} = 2 \Rightarrow {C_1} = 2$. Vậy F(x) = lnx + 2.

b) Đúng. Ta tính F(e) = ln e + 2 = 1 + 2 = 3.

c) Sai. Với 0 < x < 1, $\int {\left( {2x - 1} \right)} dx = {x^2} - x + {C_2}$.

Do F(x) liên tục tại x = 1 nên F(1) = 2 suy ra 1$^{2}$ − 1+ C$_{2}$ = 2 Þ C$_{2}$= 2.

Công thức đúng là F(x) = x$^{2}$ - x + 2.

d) Đúng. Theo định nghĩa tích phân, $\int_{\frac{1}{2}}^e {f(x)} dx = F(e) - F\left( {\frac{1}{2}} \right)$.

Ta có $F\left( {\frac{1}{2}} \right) = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{1}{2} + 2 = 0{,}25 - 0{,}5 + 2 = 1{,}75 = \frac{7}{4}$.

Kết quả tích phân là $3 - \frac{7}{4} = \frac{5}{4}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. $\int_{ - 2}^0 f (x)dx = \int_0^2 f (x)dx$.

b) Sai. Với x thuộc [−1; 0], ta có −x thuộc [0; 1]. Khi đó f(x) = f(−x) = (−x) + 1 = −x + 1, không phải x − 1.

c) Đúng. Ta tính $\int_0^1 {(x + 1)} dx$ = $\left. {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} + x} \right)} \right|_0^1$ = 0,5 + 1 = 1,5.

d) Đúng. Do I = $\int_0^2 f (x)dx = \int_0^1 f (x)dx + \int_1^2 f (x)dx$.

Ta có $\int_0^1 f (x)dx$ = 1,5. Phần còn lại $\int_1^2 2 dx$ = $\left. {2x} \right|_1^2$ = 4 − 2 = 2.

Vậy I = 1,5 + 2 = 3,5.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 8

I = $\int_0^1 2 dx + \int_1^2 4 xdx$

Tính nguyên hàm và thế cận: I = $\left. {2x} \right|_0^1 + \left. {2{x^2}} \right|_1^2$ = (2 − 0) + (8 − 2) = 2 + 6 = 8.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 3,25

Nhân thêm x vào hàm số và tách tích phân tại x = 1: I = $\int_0^1 3 {x^2}dx + \int_1^2 1 ,5xdx$

= $\left. {{x^3}} \right|_0^1 + \left. {0{,}75{x^2}} \right|_1^2$ = (1 − 0) + 0,75(4 − 1) = 1 + 2,25 = 3,25.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 6

I = $\int_0^2 x dx + \int_2^4 2 dx$

= $\left. {0{,}5{x^2}} \right|_0^2 + \left. {2x} \right|_2^4$ = 2 + (8 − 4) = 2 + 4 = 6.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 4

Hàm số f(x) có nguyên hàm nên F(x) liên tục trên toàn tập xác định.

Khi x < 1, ta tìm họ nguyên hàm: F(x) = 2x + C$_{1}$.

Do F(0) = 1 nên 0 + C$_{1}$ = 1 dẫn đến C1 = 1.

Vậy F(x) = 2x + 1.

Có $\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} (2x + 1)$ = 3.

Do tính liên tục nên F(1) = 3.

Khi x ≥ 1, họ nguyên hàm là F(x) = ln x + C$_{2}$.

Vì F(1) = 3 nên ln 1 + C$_{2}$= 3 suy ra C2 = 3.

Vậy F(x) = ln x + 3.

Tính giá trị tại x = e: F(e) = ln e + 3 = 1 + 3 = 4.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 3,5

Có $\int_0^2 {f\left( x \right)} dx = \int_0^1 2 xdx + \int_1^2 a dx$ = 4,5

$\Leftrightarrow \left. {{x^2}} \right|_0^1 + \left. {ax} \right|_1^2$ = 4,5

<=> (1 − 0) + a(2 − 1) = 4,5

<=> 1 + a = 4,5 suy ra a = 3,5.