Bài tập Tích của một số với một vectơ có đáp án

Do B là trung điểm của AC nên $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}$ .

Khi đó ta có: $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}$ .

G là giao điểm của hai đường trung tuyến AM và BN nên G là trọng tâm của tam giác ABC. Do đó: AG = $\frac{2}{3}$ AM; GN =$\frac{1}{2}$ GB.

+ Ta có: $\overrightarrow{AG}$ và $\overrightarrow{AM}$ là hai vectơ cùng hướng và $|\overrightarrow{AG}|=\frac{2}{3}|\overrightarrow{AM}|$ .

Suy ra $\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}$ . Vậy a = $\frac{2}{3}$ .

+ Lại có: $\overrightarrow{GN}$ và $\overrightarrow{GB}$ là hai vectơ ngược hướng và $|\overrightarrow{GN}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{GB}|$ .

Suy ra $\overrightarrow{GN}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{GB}$ . Vậy $b=-\frac{1}{2}$ .

Với 3 điểm A, B, C bất kì ta có:

Ta có: $3(\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC})-2(\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{BC})$

$=3\overrightarrow{AB}+6\overrightarrow{BC}-2\overrightarrow{AB}-6\overrightarrow{BC}$

$=(3\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AB})+(6\overrightarrow{BC}-6\overrightarrow{BC})$

$=\overrightarrow{AB}$.

Vậy $3(\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{BC})-2(\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{BC})=\overrightarrow{AB}$.

Do I là trung điểm của AB nên $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$ .

Khi đó: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA})+(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB})=2\overrightarrow{MI}+(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB})$$=2\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{0}=2\overrightarrow{MI}$

Vậy $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$.

Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$ .

Ta có: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}$

$=(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA})+(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB})+(\overrightarrow{MG}+\overline{GC})$

$=3\overrightarrow{MG}+(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC})$

$=3\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{0}=3\overrightarrow{MG}$.

Vậy $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$

Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$ .

Ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=(\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GB})+(\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GC})$

$=2\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}$

$=2\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+(\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AG})$

$=3\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+(-\overrightarrow{AG})$

$=3\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GA}$

$=3\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{0}=3\overrightarrow{AG}$

Vậy $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AG}$

Ta có: $\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{b}$ với k là số thực khác 0, hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ khác $\overrightarrow{0}$ .

Khi đó hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương.

a) Giá của vectơ $\overrightarrow{AB}$ là đường thẳng AB, giá của vectơ $\overrightarrow{AC}$ là đường thẳng AC, mà A, B, C thẳng hàng nên đường thẳng AB và AC trùng nhau. Do đó hai vectơ $\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AC}$ cùng phương.

b) Hai vectơ $\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AC}$ cùng phương khi giá AB và AC của chúng song song hoặc trùng nhau. Trường hợp song song không thể xảy ra do hai đường thẳng AB và AC có chung giao điểm A. Vậy AB trùng vơi AC hay A, B, C thẳng hàng.

a) Vì hai vectơ $\overrightarrow{AC},\ \overrightarrow{AD}$ cùng hướng và AC = $\frac{3}{4}$ AD nên $\overrightarrow{AC}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AD}$.

b) Vì hai vectơ $\overrightarrow{BD}$ và $\overrightarrow{DC}$ ngược hướng và BD = 3DC nên $\overrightarrow{BD}=-3\overrightarrow{DC}$.

Đáp án đúng là: C.

MNPQ là hình thang với MN // PQ nên hai vectơ $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{PQ}$ ngược hướng.

Mà MN = 2 PQ nên $\overrightarrow{MN}=-2\overrightarrow{PQ}$ .

Ta có $\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ , do đó $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$cùng hướng và AC = $\frac{1}{2}AB$ .

Suy ra A, B, C thẳng hàng, hơn nữa C là trung điểm của AB và AC = 3 cm.

b) Ta có $\overrightarrow{AD}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ , do đó $\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{AB}$ ngược hướng và AD = $\frac{1}{2}$ AB = 3 cm.

Suy ra A, B, D thẳng hàng; D và B nằm khác phía nhau so với A.

a) Vì P và N lần lượt là trung điểm của AB và AC nên PN là đường trung bình của tam giác ABC.

Do đó: PN // =$\frac{1}{2}$ BC.

Khi đó hai vectơ $\overrightarrow{PN}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng hướng và PN =$\frac{1}{2}$ BC.

Suy ra: $\overrightarrow{PN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ .

Do đó: $\overrightarrow{AP}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AP}+\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{AN}$ .

Vậy $\overrightarrow{AP}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AN}$ .

b) M và P lần lượt là trung điểm của BC và AB nên MP là đường trung bình của tam giác ABC.

Do đó: MP // = $\frac{1}{2}$ AC.

Lại có hai vectơ $\overrightarrow{MP}$ và $\overrightarrow{CA}$ cùng hướng và MP =$\frac{1}{2}$ CA nên $\overrightarrow{MP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}$ .

Hay $\overrightarrow{CA}=2\overrightarrow{MP}$ .

Khi đó ta có: $\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{BA}$ .

Vậy $\overrightarrow{BC}+2\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{BA}$ .

+ Ta có: $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ .

+ BD = DE = EC và D, E thuộc cạnh BC nên BD = $\frac{1}{3}$ BC.

Mà $\overrightarrow{BD}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng hướng nên $\overrightarrow{BD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$ .

Suy ra: $\overrightarrow{BD}=\frac{1}{3}(-\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=-\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{b}$ .

Vậy $\overrightarrow{BD}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{b}$ .

+ Hai vectơ $\overrightarrow{BE},\ \overrightarrow{BC}$ cùng hướng và BE = $\frac{2}{3}$ BC nên $\overrightarrow{BE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$ .

Suy ra: $\overrightarrow{BE}=\frac{2}{3}(-\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=-\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}\overrightarrow{b}$ .

Vậy $\overrightarrow{BE}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}\overrightarrow{b}$

+ Ta có: $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{a}+(-\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{b})$$=(1-\frac{1}{3})\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{b}$$=\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{b}$ .

Vậy $\overrightarrow{AD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{b}$ .

+ Ta có: $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{a}+(-\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}\overrightarrow{b})$$=(1-\frac{2}{3})\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}\overrightarrow{b}$$=\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}\overrightarrow{b}$.

Vậy $\overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}\overrightarrow{b}$ .

a) Ta có M là trung điểm của AB nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=2\overrightarrow{GM}$ .

Tương tự N là trung điểm CD nên $\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GN\text{​}}$ .

Lại cso G là trung điểm của MN nên $\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GN}=\overrightarrow{0}$ .

Khi đó: $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GN}=\overrightarrow{0}$ .

Ta có: $\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{ED}$

$=(\overrightarrow{EG}+\overrightarrow{GA})+(\overrightarrow{EG}+\overrightarrow{GB})+(\overrightarrow{EG}+\overrightarrow{GC})+(\overrightarrow{EG}+\overrightarrow{GD})$

$=4\overrightarrow{EG}+(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD})$

= $4\overrightarrow{EG}+\overrightarrow{0}$

$=4\overrightarrow{EG}$.

Vậy $\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{ED}=4\overrightarrow{EG}$ .

b) Do E là trọng tâm của tam giác BCD nên $\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{EC}+\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{0}$ .

Thay vào câu a) ta có: $\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{0}=4\overrightarrow{EG}$

Vậy $\overrightarrow{EA}=4\overrightarrow{EG}$ .

c) Theo câu b ta có: $\overrightarrow{EA}=4\overrightarrow{EG}$ nên hai vectơ $\overrightarrow{EA},\ \overrightarrow{EG}$ cùng hướng và EA = 4EG hay EG < EA.

Do đó 3 điểm E, A, G thẳng hàng và G nằm giữa E và A.

Suy ra điểm G thuộc đoạn thẳng AE.

Vì EA = 4 EG nên AG =$\frac{3}{4}$ AE.

Hai vectơ $\overrightarrow{AG}$ và $\overrightarrow{AE}$ cùng hướng.

Do đó: $\overrightarrow{AG}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AE}$ .

Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD.

Khi đó O là trung điểm của AC và BD.

Do đó BO là đường trung tuyến của tam giác ABC.

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên G thuộc trung tuyến BO của tam giác ABC.

Theo tính chất trọng tâm ta có: $BG=\frac{2}{3}BO$ .

Mà BO = $\frac{1}{2}$ BD nên $BG=\frac{2}{3}.\frac{1}{2}BD=\frac{1}{3}BD$ .

Hai vectơ $\overrightarrow{BG},\ \overrightarrow{BD}$ cùng hướng và BG = $\frac{1}{3}$ BD.

Nên $\overrightarrow{BG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BD}$

Ta có: $\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BG}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BD}$

$=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD})=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}(-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})$

$=(1-\frac{1}{3})\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$

$=\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{b}$.

Do đó:$\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{b}$ .

Do ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$ .

Ta có: $\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AG}=(-\overrightarrow{AC})+\overrightarrow{AG}$

$=-(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})+\overrightarrow{AG}$

$=-(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})+(\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{b})$

$=(-1+\frac{2}{3})\overrightarrow{a}+(-1+\frac{1}{3})\overrightarrow{b}$

$=-\frac{1}{3}\overrightarrow{a}-\frac{2}{3}\overrightarrow{b}$

Vậy $\overrightarrow{CG}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{a}-\frac{2}{3}\overrightarrow{b}$ .

Vì $\overrightarrow{DB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$ nên $\overrightarrow{DB}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng hướng và $DB=\frac{1}{3}BC$ .

$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$ nên $\overrightarrow{AE},\ \overrightarrow{AC}$ cùng hướng và AE =$\frac{1}{3}AC$.

$\overrightarrow{AH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$ nên $\overrightarrow{AH},\ \overrightarrow{AB}$ cùng hướng và $AH=\frac{2}{3}AB$ .

a) + Ta có $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}+(-\overrightarrow{DB})$$=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{DB}$

Mà $\overrightarrow{DB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$ .

Do đó: $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$$=\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC})$

$=\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{BA}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$$=\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}(-\overrightarrow{AB})-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$

$=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$

$=\frac{4}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.

Suy ra: $\overrightarrow{AD}=\frac{4}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.

+ Ta có: $\overrightarrow{DH}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AH}=(-\overrightarrow{AD})+\overrightarrow{AH}$

Mà $\overrightarrow{AH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{AD}=\frac{4}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$ .

Do đó: $\overrightarrow{DH}=-(\frac{4}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC})+\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$

$=(-\frac{4}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC})+\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$

$=(\frac{2}{3}-\frac{4}{3})\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$

$=\frac{-2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.

Vậy $\overrightarrow{DH}=\frac{-2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$ .

+ Ta có: $\overrightarrow{HE}=\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{AE}$$=(-\overrightarrow{AH})+\overrightarrow{AE}$

Mà $\overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$ , $\overrightarrow{AH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$ .

Do đó:$\overrightarrow{HE}=(-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB})+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$$=\frac{-2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$ .

Vậy $\overrightarrow{HE}=\frac{-2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$ .

b) Theo câu a, ta có: $\overrightarrow{DH}=\frac{-2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{HE}=\frac{-2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$ .

Do đó: $\overrightarrow{DH}=\overrightarrow{HE}$ .

Suy ra D, H, E thẳng hàng, hơn nữa H là trung điểm của DE.