Bài tập Thiết lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm thuộc đồ thị lớp 11 (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M(3; 12) có hệ số góc là:

$\text{f'}(3)=\underset{\text{x}\rightarrow 3}{\text{lim}}\frac{\text{f}(\text{x})-\text{f}(3)}{\text{x}-3}=\underset{\text{x}\rightarrow 3}{\lim }\frac{\frac{{\text{x}}^{2}+2\text{x}-3}{\text{x}-2}-12}{\text{x}-3}=\underset{\text{x}\rightarrow 3}{\lim }\frac{\text{x}-7}{\text{x}-2}=-4$.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M(3; 12) là:

y = – 4(x – 3) + 12 hay y = – 4x + 24.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm $\text{A}(-1;\frac{-3}{2})$ có hệ số góc là:

$\text{f'}(-1)=\underset{\text{x}\rightarrow -1}{\text{lim}}\frac{\text{f}(\text{x})-\text{f}(-1)}{\text{x}+1}=\underset{\text{x}\rightarrow -1}{\lim }\frac{\frac{4\text{x}-5}{7+\text{x}}+\frac{3}{2}}{\text{x}+1}=\underset{\text{x}\rightarrow -1}{\lim }\frac{11}{2(7+\text{x})}=\frac{11}{12}$.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm $\text{A}(-1;\frac{-3}{2})$ là:

$\text{y}=\frac{11}{12}(\text{x}+1)-\frac{3}{2}$ hay $\text{y}=\frac{11}{12}\text{x}-\frac{7}{12}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có $\text{y}(6)={6}^{2}-\frac{1}{3}\cdot 6=34$.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm H có hoành độ bằng 6 và hệ số góc bằng $\frac{35}{3}$ là:

$\text{y}=\frac{35}{3}(\text{x}-6)+34$ hay $\text{y}=\frac{35}{3}\text{x}-36$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Xét phương trình hoành độ giao điểm $\frac{1-\text{x}}{\text{x}-3}=0$. Giải phương trình này ta được x = 1.

Suy ra giao điểm của (C) với trục hoành là A(1; 0).

Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A(1; 0) có hệ số góc là:

$\text{f'}(1)=\underset{\text{x}\rightarrow 1}{\text{lim}}\frac{\text{f}(\text{x})-\text{f}(1)}{\text{x}-1}=\underset{\text{x}\rightarrow 1}{\lim }\frac{\frac{1-\text{x}}{\text{x}-3}}{\text{x}-1}=\underset{\text{x}\rightarrow 1}{\lim }\frac{1}{3-\text{x}}=\frac{1}{2}$.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A(1; 0) là:

$\text{y}=\frac{1}{2}(\text{x}-1)+0$ hay $\text{y}=\frac{1}{2}\text{x}-\frac{1}{2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Với x = 0 ta có y = 0$^{2}$ + 5 ∙ 0 – 6 = – 6.

Suy ra giao điểm của (C) với trục tung là A(0; – 6).

Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A(0; – 6) có hệ số góc là:

$\text{f'}(0)=\underset{\text{x}\rightarrow 0}{\text{lim}}\frac{\text{f}(\text{x})-\text{f}(0)}{\text{x}}=\underset{\text{x}\rightarrow 0}{\lim }\frac{{\text{x}}^{2}+5\text{x}-6+6}{\text{x}}=\underset{\text{x}\rightarrow 0}{\lim }(\text{x}+5)=5$.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A(0; –6) là:

y = 5(x – 0) – 6 hay y = 5x – 6.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A (1; 1) có hệ số góc là:

$\text{f'}(1)=\underset{\text{x}\rightarrow 1}{\text{lim}}\frac{\text{f}(\text{x})-\text{f}(1)}{\text{x}-1}=\underset{\text{x}\rightarrow 1}{\lim }\frac{\sqrt{{\text{x}}^{2}-\text{x}+1}-1}{\text{x}-1}$

$=\underset{\text{x}\rightarrow 1}{\lim }\frac{{\text{x}}^{2}-\text{x}}{(\text{x}-1)(\sqrt{{\text{x}}^{2}-\text{x}+1}+1)}=\underset{\text{x}\rightarrow 1}{\lim }\frac{\text{x}}{\sqrt{{\text{x}}^{2}-\text{x}+1}+1}=\frac{1}{2}$

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A (1; 1) là:

$\text{y}=\frac{1}{2}(\text{x}-1)+1$ hay $\text{y}=\frac{1}{2}\text{x +}\frac{1}{2}$.

Đáp án đúng là: B

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm P(x$_{0}$; y$_{0}$) có dạng:

y – y$_{0}$ = f′(x$_{0}$)(x – x$_{0}$)

Theo giả thiết, đồ thị hàm số có tiếp điểm M(2; 1) nên x$_{0}$ = 2 và y$_{0}$ = 1

Hệ số góc của tiếp tuyến tại M(2; 1) là k = f′(2) = 5

Thay x$_{0}$ = 2, y$_{0}$ = 1 và f′(2) = 5 vào công thức phương trình tiếp tuyến, ta có:

y – 1 = 5(x – 2) ⇔ y – 1 = 5x – 10 ⇔ y = 5x – 9

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M(2; 1) là y = 5x – 9.

Đáp án đúng là: A

Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm P(x$_{0}$; f(x$_{0}$)) là đạo hàm f′(x$_{0}$)

Ta có: f′(x) = (x$^{3}$ + 1)′ = 3x$^{2}$

Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x$_{0}$ = 1 là: k = f′(1) = 3 ⋅ 1$^{2}$ = 3

Vậy hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x = 1 là f′(1) = 3.

Đáp án đúng là: C

Phương trình hoành độ giao điểm: x$^{3}$ − 3x$^{2}$ + 2 = –2 ⇔ $\left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 2\end{array} \right.$

Ta có: y' = f'(x) = 3x$^{2}$ – 6x

Với x = –1 ⇒ $\left\{ \begin{array}{l}y = - 2\\k = y'\left( { - 1} \right) = 3{\left( { - 1} \right)^2} - 6\left( { - 1} \right) = 9\end{array} \right.$

⇒ Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

y – (–2) = 9[x – (–1)] ⇔ y + 2 = 9x + 9 ⇔ y = 9x + 7

Với x = 2 ⇒ $\left\{ \begin{array}{l}y = - 2\\k = y'\left( 2 \right) = 3 \cdot {2^2} - 6 \cdot 2 = 0\end{array} \right.$

⇒ Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y – (–2) = 0(x – 2) ⇔ y = –2

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại các giao điểm là y = 9x + 7 và y = –2.

Đáp án đúng là: B

Ta có: y′ = (x$^{3}$ – 3x$^{2}$ + 2)′ = 3x$^{2}$ – 6x

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = 9x + 7 nên tiếp tuyến có hệ số góc k = 9

Gọi x$_{0}$ là hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị hàm số

Ta có: y′(x$_{0}$) = k ⇔ 3x$_{0}$$^{2}$ – 6x$_{0}$ = 9 ⇔ 3x$_{0}$$^{2}$ – 6x$_{0}$ – 9 = 0 ⇔ $\left[ \begin{array}{l}{x_0} = - 1\\{x_0} = 3\end{array} \right.$

Với x$_{0}$ = –1 ⇒ y$_{0}$ = (–1)$^{3}$ – 3(–1)$^{2}$ + 2 = –2

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M$_{1}$(–1; –2) là:

y – (–2) = 9[x – (–1)] ⇔ y + 2 = 9x + 9

⇔ y = 9x + 7 (loại vì trùng với đường thẳng đã cho)

Với x$_{0}$ = 3 ⇒ y$_{0}$ = 3$^{3}$ – 3 ⋅ 3$^{2}$ + 2 = 2

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M$_{2}$(3; 2) là:

y – 2 = 9(x – 3) ⇔ y – 2 = 9x – 27 ⇔ y = 9x – 25 (thỏa mãn)

Vậy phương trình tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là y = 9x – 25.

Đáp án đúng là: D

Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm có hoành độ x$_{0}$ là k = f′(x$_{0}$)

Ta có: y′ = (–x$^{3}$ + 2x$^{2}$ + 1)′ = –3x$^{2}$ + 4x

Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm x$_{0}$ = –1 là:

k = y′(–1) = –3(–1)$^{2}$ + 4(–1) = –3 ⋅ 1 – 4 = –7

Vậy hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm x$_{0}$ = –1 là –7.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Với hoành độ x$_{0}$ = –1, tung độ tiếp điểm là: y$_{0}$ = f(–1) = 2(–1)$^{3}$ = –2

Do đó, tiếp điểm là M(–1; –2)

Ta có: k = f′(–1) = $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{f\left( x \right) - f\left( { - 1} \right)}}{{x - \left( { - 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{2{x^3} - 2{{\left( { - 1} \right)}^3}}}{{x + 1}}$ = $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{2\left( {{x^3} + 1} \right)}}{{x + 1}}$

= $\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{2\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} 2\left( {{x^2} - x + 1} \right)$ = 2$\left[ {{{\left( { - 1} \right)}^2} - \left( { - 1} \right) + 1} \right]$ = 6

Hệ số góc của tiếp tuyến tại M là k = f′(–1) = 6.

b) Đúng. Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(–1; –2) là:

y – (–2) = 6[x – (–1)] ⇔ y + 2 = 6x + 6 ⇔ y = 6x + 4

Thay A(0; 4) vào phương trình tiếp tuyến: 4 = 6 ⋅ 0 + 4 ⇔ 4 = 4 (luôn đúng)

Vậy phương trình tiếp tuyến đi qua điểm A(0; 4).

c) Sai. Hoành độ giao điểm của tiếp tuyến y = 6x + 4 và đường thẳng d: y = 3x là nghiệm của phương trình: 6x + 4 = 3x ⇔ 3x = –4 ⇔ x = $- \frac{4}{3}$ ≠ 4

Vậy phương trình tiếp tuyến cắt đường thẳng d tại điểm có hoành độ bằng $- \frac{4}{3}$.

d) Đúng. Đường thẳng ∆: y = $- \frac{1}{6}$x có hệ số góc k$_{∆}$ = $- \frac{1}{6}$

Tích hai hệ số góc: k ⋅ k$_{∆}$ = 6 ⋅ $\left( { - \frac{1}{6}} \right)$ = –1.

Do đó, phương trình tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng ∆.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Tập xác định của hàm số là D = ℝ\{–1}

f(x) – f(x$_{0}$) = $\frac{{x + 9}}{{x + 1}} - \frac{{{x_0} + 9}}{{{x_0} + 1}} = \frac{{\left( {x + 9} \right)\left( {{x_0} + 1} \right) - \left( {{x_0} + 9} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x_0} + 1} \right)}}$ = $\frac{{ - 8\left( {x - {x_0}} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x_0} + 1} \right)}}$

Lập tỉ số: $\frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \frac{{ - 8}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x_0} + 1} \right)}}$

⇒ y'(x$_{0}$) = $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{ - 8}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x_0} + 1} \right)}} = \frac{{ - 8}}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}}$

Đường thẳng d: x – 2y + 2 = 0 ⇔ y = $\frac{1}{2}$x + 1 có hệ số góc k$_{d}$ = $\frac{1}{2}$

Do tiếp tuyến vuông góc với d nên hệ số góc của tiếp tuyến là k = –1 : $\frac{1}{2}$ = –2

Gọi x$_{0}$ là hoành độ tiếp điểm, ta có:

y′(x$_{0}$) = –2 ⇔ $\frac{{ - 8}}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}}$ = –2 ⇔ (x$_{0}$ + 1)$^{2}$ = 4 ⇔ $\left[ \begin{array}{l}{x_0} = 1\\{x_0} = - 3\end{array} \right.$

Với x$_{0}$ = 1 ⇒ y$_{0}$ = 5, phương trình tiếp tuyến y – 5 = –2(x – 1) ⇔ y = –2x + 7

Với x$_{0}$ = –3 ⇒ y$_{0}$ = –3, phương trình tiếp tuyến y – (–3) = –2[x – (–3)] ⇔ y = –2x – 9

Vậy có hai phương trình tiếp tuyến thỏa mãn là y = –2x + 7 và y = –2x – 9.

b) Đúng. Đường thẳng d có hệ số góc k$_{d}$ = $\frac{1}{2}$

Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d nên hệ số góc k của tiếp tuyến thỏa mãn:

k ⋅ k$_{d}$ = –1 ⇔ k ⋅ $\frac{1}{2}$ = –1 ⇔ k = –2

Vậy hệ số góc của tiếp tuyến bằng –2.

c) Đúng. Từ câu a, ta có hai phương trình tiếp tuyến là y = –2x + 7 và y = –2x – 9

Thay A(1; 5) vào phương trình tiếp tuyến y = –2x + 7, ta được:

5 = –2 ⋅ 1 + 7 ⇔ 5 = 5 (luôn đúng)

Do đó, tiếp tuyến y = –2x + 7 đi qua điểm A(1; 5).

d) Sai. Thay B(1; –7) vào hai phương trình tiếp tuyến tìm được ở câu a:

Thay vào y = –2x + 7: –7 = –2 ⋅ 1 + 7 ⇔ –7 = 5 (sai)

Thay vào y = –2x – 9: –7 = –2 ⋅ 1 – 9 ⇔ –7 = –11 (sai)

Vậy không có phương trình tiếp tuyến nào đi qua điểm B(1; –7).

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Giao điểm của đồ thị (C) với trục tung có hoành độ x$_{0}$ = 0

Thay x$_{0}$ = 0 vào hàm số, ta có tung độ tiếp điểm y$_{0}$ = 0$^{2}$ + 3 ⋅ 0 + 1 = 1

Ta có: f′(0) = $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {{x^2} + 3x + 1} \right) - 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2} + 3x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {x + 3} \right)$ = 3

Hệ số góc của tiếp tuyến tại M(0; 1) là: k = y′(0) = 2 ⋅ 0 + 3 = 3

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm với trục tung là:

y – 1 = 3(x – 0) ⇔ y = 3x + 1

Hệ số góc của phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với trục tung là k = y′(0) = 3.

b) Sai. Thay A(1; 3) vào phương trình tiếp tuyến y = 3x + 1, ta có:

3 = 3 ⋅ 1 + 1 ⇔ 3 = 4 (vô lý)

Do đó, phương trình tiếp tuyến không đi qua điểm A(1; 3).

c) Đúng. Phương trình hoành độ giao điểm của tiếp tuyến y = 3x + 1 và đường thẳng y = 2x + 1 là:

3x + 1 = 2x + 1 ⇔ x = 0

Vậy phương trình tiếp tuyến cắt đường thẳng y = 2x + 1 tại điểm có hoành độ bằng 0.

d) Đúng. Đường thẳng y = –$\frac{1}{3}$x + 1 có hệ số góc k′ = –$\frac{1}{3}$

Tích hai hệ số góc: k ⋅ k′ = 3 ⋅ $\left( { - \frac{1}{3}} \right)$ = –1

Do đó, phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = $- \frac{1}{3}$x + 1.

Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai. Tập xác định: D = ℝ \{1}

Với x$_{0}$ ≠ 1, lấy x ∈ D, x ≠ x$_{0}$

f(x) – f(x$_{0}$) = $\frac{4}{{x - 1}} - \frac{4}{{{x_0} - 1}} = \frac{{4\left( {{x_0} - 1} \right) - 4\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x_0} - 1} \right)}}$ = $\frac{{ - 4\left( {x - {x_0}} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x_0} - 1} \right)}}$

Lập tỉ số: $\frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \frac{{ - 4}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x_0} - 1} \right)}}$

⇒ y′(x$_{0}$) = $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{ - 4}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x_0} - 1} \right)}} = - \frac{4}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}$

Hệ số góc của tiếp tuyến tại x$_{0}$ = –1 là: k = y′(–1) = $- \frac{4}{{{{\left( { - 1 - 1} \right)}^2}}} = - \frac{4}{4}$ = –1

Tung độ tiếp điểm với x$_{0}$ = –1: y$_{0}$ = $\frac{4}{{ - 1 - 1}}$ = –2 ⇒ M(–1; –2)

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M(–1; –2) là:

y – (–2) = –1[x – (–1)] ⇔ y + 2 = –x – 1 ⇔ y = –x – 3

⇒ Hệ số góc của phương trình tiếp tuyến bằng –1 ≠ 1.

b) Sai. Thay tọa độ điểm M(–1; 2) vào phương trình tiếp tuyến y = –x – 3:

2 = –(–1) – 3 ⇔ 2 = –2 (vô lý)

Phương trình tiếp tuyến không đi qua điểm M(–1; 2).

c) Đúng. Phương trình hoành độ giao điểm của tiếp tuyến y = –x – 3 và đường thẳng y = 2x + 1 là:

–x – 3 = 2x + 1 ⇔ –3x = 4 ⇔ x = $- \frac{4}{3}$

Phương trình tiếp tuyến cắt đường thẳng y = 2x + 1 tại điểm có hoành độ bằng $- \frac{4}{3}$ .

d) Đúng. Đường thẳng y = x + 1 có hệ số góc k′ = 1.

Tích hai hệ số góc: k ⋅ k′ = (–1) ⋅ 1 = –1.

Do đó, phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = x + 1.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Với x$_{0}$ = 3, thay vào hàm số ta được tung độ tiếp điểm: y$_{0}$ = 3$^{3}$ – 3 ⋅ 3$^{2}$ + 1 = 1

Do đó, tọa độ tiếp điểm là M(3; 1).

b) Sai. Ta có y' = f'(x) = 3x$^{2}$ – 6x

Hệ số góc của tiếp tuyến tại x$_{0}$ = 3 là: k = f'(3) = 3 ⋅ 3$^{2}$ – 6 ⋅ 3 = 9 ≠ 6.

c) Đúng. Phương trình tiếp tuyến d tại M(3; 1) với hệ số góc k = 9 có dạng:

y – 1 = 9(x – 3) ⇔ y – 1 = 9x – 27 ⇔ y = 9x – 26

Thay tọa độ điểm N(2; –8) vào phương trình tiếp tuyến: –8 = 9 ⋅ 2 – 26 ⇔ –8 = –8 (đúng)

Vậy tiếp tuyến d đi qua điểm N(2; –8).

d) Đúng. Phương trình tiếp tuyến d: y = 9x – 26 có các hệ số a = 9 và b = –26

Khi đó: T = a + 2b = 9 + 2 ⋅ (–26) = 9 – 52 = –43

Vậy T = –43.

Đáp án: -1

Giao điểm của đồ thị hàm số y = f(x) = x$^{3}$ – 3x + 1 với trục tung Oy có hoành độ x$_{0}$ = 0

⇒ Tọa độ tiếp điểm P(x$_{0}$; y$_{0}$) là P(0; 1)

Ta có: f′(x) = 3x$^{2}$ – 3

Hệ số góc của tiếp tuyến tại x$_{0}$ = 0 là k = f′(0) = 3 ⋅ 0$^{2}$ – 3 = –3

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm P(0; 1) có dạng:

y – y$_{0}$ = f′(x$_{0}$)(x – x$_{0}$) ⇔ y – 1 = –3(x – 0) ⇔ y = –3x + 1

⇒ a = –3 và b = 1

Khi đó: 2a + 5b = 2(–3) + 5 ⋅ 1 = –6 + 5 = –1.

Đáp án: -9

Xét hàm số y = f(x) = x$^{4}$ + 2x$^{2}$ có tiếp điểm M(1; 3), tức là x$_{0}$ = 1 và y$_{0}$ = 3

Ta có: f′(x) = 4x$^{3}$ + 4x

Hệ số góc của tiếp tuyến tại x$_{0}$ = 1 là k = f′(1) = 4 ⋅ 1$^{3}$ + 4 ⋅ 1 = 8

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M(1; 3) có dạng:

y – y$_{0}$ = f′(x$_{0}$)(x – x$_{0}$) ⇔ y – 3 = 8(x – 1) ⇔ y = 8x – 5 ⇒ a = 8 và b = –5

Khi đó: 2a + 5b = 2 ⋅ 8 + 5(–5) = 16 – 25 = –9.

Đáp án: 0

Xét hàm số y = f(x) = 4x$^{3}$ – 6x$^{2}$ + 1

Với hoành độ tiếp điểm x$_{0}$ = 1, ta tính được tung độ tiếp điểm

y$_{0}$ = f(1) = 4 ⋅ 1$^{3}$ – 6 ⋅ 1$^{2}$ + 1 = –1

Tọa độ tiếp điểm là M(1; –1)

Ta có: f′(x) = 12x$^{2}$ – 12x

Hệ số góc của tiếp tuyến tại x$_{0}$ = 1 là k = f′(1) = 12 ⋅ 1$^{2}$ – 12 ⋅ 1 = 0

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M(1; –1) có dạng:

y – y$_{0}$ = f′(x$_{0}$)(x – x$_{0}$) ⇔ y – (–1) = 0(x – 1) ⇔ y = –1

Do phương trình tiếp tuyến có dạng y = ax + b ⇔ y = 0x – 1 ⇒ a = 0 và b = –1

Khi đó: $\frac{a}{b} = \frac{0}{{ - 1}}$ = 0.

Đáp án: 5

Xét hàm số y = f(x) = –x$^{3}$ + 3x – 2

Với hoành độ tiếp điểm x$_{0}$ = 2, ta tính được tung độ tiếp điểm

y$_{0}$ = f(2) = –2$^{3}$ + 3 ⋅ 2 – 2 = –4

Tọa độ tiếp điểm là M(2; –4)

Ta có: f′(x) = –3x$^{2}$ + 3

Hệ số góc của tiếp tuyến tại x$_{0}$ = 2 là k = f′(2) = –3 ⋅ 2$^{2}$ + 3 = –9

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M(2; –4) có dạng:

y – y$_{0}$ = f′(x$_{0}$)(x – x$_{0}$) ⇔ y – (–4) = –9(x – 2) ⇔ y = –9x + 14 ⇒ a = –9 và b = 14

Khi đó: a + b = –9 + 14 = 5.

Đáp án: 0,5.

Xét $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 2 \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt {x - 1} - 1}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x - 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {\sqrt {x - 1} + 1} \right)}}$ = $\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{1}{{\sqrt {x - 1} + 1}} = \frac{1}{2}$ = 0,5

Vậy hệ số góc của tiếp tuyến là k = 0,5.