Bài tập Tam giác cân. Đường trung trực của đoạn thẳng có đáp án

Điểm C cần dựng là điểm thỏa mãn cách đoạn thẳng AB một đoạn bằng 5cm và $\widehat{ABC}=\widehat{CAB}$ (2 mái nghiêng như nhau). Do đó C nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Cách dựng như sau:

Bước 1. Lấy điểm M là trung điểm của đoạn AB.

Bước 2. Kẻ tia Mx vuông góc với AB tại M.

Bước 3. Vẽ đường tròn tâm M, bán kính 5 cm, đường tròn cắt tia Mx tại điểm C.

Chứng minh:

Điểm C thỏa mãn cách đoạn thẳng AB một đoạn bằng 5cm.

Xét tam giác CMA vuông tại M và tam giác CMB vuông tại M có:

AM = MB (theo cách dựng).

CM chung.

Suy ra $ΔCMA=ΔCMB$ (2 cạnh góc vuông).

Do đó $\widehat{CBM}=\widehat{CAM}(2góctươngúng)hay\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ .

Tam giác ABC có AB = AC = 3 cm nên tam giác ABC cân tại A.

Trong tam giác cân ABC có:

Cạnh bên: AB, AC.

Cạnh đáy: BC.

Góc ở đỉnh: $\widehat{BAC}.$

Góc ở đáy: $\widehat{ABC},\widehat{ACB}.$

Tam giác ADC có AD = AC = 3 cm nên tam giác ADC cân tại A.

Trong tam giác cân ADC có:

Cạnh bên: AD, AC.

Cạnh đáy: CD.

Góc ở đỉnh: $\widehat{DAC}.$

Góc ở đáy: $\widehat{AC\text{D}},\widehat{ADC}.$

Tam giác ABD có AB = AD = 3 cm nên tam giác ABD cân tại A.

Trong tam giác cân ABD có:

Cạnh bên: AB, AD.

Cạnh đáy: BD.

Góc ở đỉnh: $\widehat{DAB}.$

Góc ở đáy: $\widehat{AB\text{D}},\widehat{ADB}.$

a) Xét hai tam giác ABD và ACD có:

AB = AC (do tam giác ABC cân tại A).

AD chung.

BD = CD (do D là trung điểm của đoạn thẳng BC).

Vậy $ΔAB\text{D}=ΔAC\text{D}$ (cạnh – cạnh – cạnh).

b) Do $ΔAB\text{D}=ΔAC\text{D}$ nên $\widehat{ABD}=\widehat{AC\text{D}}$ hay $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}.$

Vậy hai góc B và C của tam giác ABC bằng nhau.

a) Xét tam giác MPK có $\widehat{MPK}+\widehat{PMK}+\widehat{MKP}=180^{\circ}.$

Do đó $\widehat{MKP}=180^{\circ}-\widehat{MPK}-\widehat{PMK}$ (1).

Xét tam giác NPK có $\widehat{NPK}+\widehat{PNK}+\widehat{NKP}=180^{\circ}.$

Do đó $\widehat{NKP}=180^{\circ}-\widehat{NPK}-\widehat{PNK}$ (2).

Mà $\widehat{MPK}=\widehat{NPK}$ ( do PK la tia phân giác của góc MPN) và $\widehat{PMK}=\widehat{PNK}$ (theo giả thiết) nên từ (1) và (2) có $\widehat{MKP}=\widehat{NKP}.$

b) Xét hai tam giác MPK và NPK có:

$\widehat{MPK}=\widehat{NPK}$ (do Pk là tia phân giác của góc MPN).

PK chung.

$\widehat{MKP}=\widehat{NKP}$ (chứng minh trên).

Vậy $ΔMPK=ΔNPK$ (g – c – g).

c) Do $ΔMPK=ΔNPK$ nên PM = PN (2 cạnh tương ứng).

Tam giác MNP có PM = PN (chứng minh trên) nên tam giác MNP cân tại P.

Vậy tam giác MNP cân tại P.

Tam giác FDE có FD = FD = 4 cm nên tam giác FDE cân tại F.

Khi đó $\widehat{F\text{D}E}=\widehat{F\text{ED}}=60^{\circ}.$

Xét tam giác FDE có $\widehat{F\text{D}E}+\widehat{F\text{ED}}+\widehat{DF\text{E}}=180^{\circ}.$

Do đó $\widehat{DF\text{E}}=180^{\circ}-\widehat{FE\text{D}}-\widehat{F\text{D}E}=180^{\circ}-60^{\circ}-60^{\circ}=60^{\circ}.$

Tam giác DEF có $\widehat{\text{DEF}}=\widehat{DFE}=60^{\circ}$ nên tam giác DEF cân tại D.

Do đó DE = DF = 4 cm.

Vậy $\widehat{F\text{D}E}=\widehat{\text{EFD}}=60^{\circ},$ DE = 4 cm.

a)

Xét tam giác ABC có $\widehat{A}=\widehat{B}$ nên tam giác ABC cân tại C.

Do đó AC = BC (1).

Xét tam giác ABC có $\widehat{B}=\widehat{C}$ nên tam giác ABC cân tại A.

Do đó AB = AC (2).

Từ (1) và (2) có AB = BC = AC.

Lại có $\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}$ nên tam giác ABC là tam giác đều.

Vậy tam giác có ba góc bằng nhau là tam giác đều.

b)

Trường hợp 1. Xét góc 60$^{o}$ là góc ở đỉnh.

Tam giác ABC cân tại A nên $\widehat{B}=\widehat{C}.$

Do đó $\widehat{B}+\widehat{C}=2\widehat{B}.$

Xét tam giác ABC có $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ}.$

Khi đó $\widehat{A}+2\widehat{B}=180^{\circ}.$

Do đó $2\widehat{B}=180^{\circ}-\widehat{A}=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}.$

Do đó $\widehat{B}=\widehat{C}=60^{\circ}.$

Tam giác ABC có $\widehat{A}=\widehat{B}=60^{\circ}$ nên tam giác ABC cân tại C.

Do đó AC = BC.

Mà AB = AC nên AB = BC = AC.

Lại có $\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}$ nên tam giác ABC là tam giác đều.

Trường hợp 2. Xét góc 60$^{o}$ là góc ở đáy.

Tam giác ABC cân tại A nên $\widehat{B}=\widehat{C}.$

Do đó $\widehat{C}=60^{\circ}.$

Xét tam giác ABC có $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ}.$

Do đó $\widehat{A}=180^{\circ}-\widehat{B}-\widehat{C}=180^{\circ}-60^{\circ}-60^{\circ}=60^{\circ}.$

Tam giác ABC có $\widehat{A}=\widehat{B}$ nên tam giác ABC cân tại C.

Do đó AC = BC.

Mà AB = AC nên AB = BC = AC.

Lại có $\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}$ nên tam giác ABC là tam giác đều.

Từ hai trường hợp trên ta thấy tam giác cân có một góc bằng 60$^{o}$ là tam giác đều.

Vậy tam giác cân có một góc bằng 60$^{o}$ là tam giác đều.

a) Dùng thước thẳng có vạch chia ta đo được OA = OB nên O là trung điểm của đoạn thẳng AB.

b) Dùng thước đo góc, ta đo được $\widehat{dOA}=90^{\circ}.$

Vậy d vuông góc với AB.

a) Đường thẳng trong hình vuông góc với AB tại trung điểm của AB nên là đường trung trực của đoạn AB.

b) Đường thẳng trong hình đi qua trung điểm của CD nhưng không vuông góc.

Do đó đường thẳng này không phải đường trung trực của đoạn CD.

c) Đường thẳng trong hình không vuông góc với EF tại trung điểm của EF.

Do đó đường thẳng này không phải đường trung trực của đoạn EF.

Vậy hình a Lan vẽ đúng.

Do M nằm trên đường trung trực của AB nên MA = MB = 3 cm.

Tam giác MAB có MA = MB nên tam giác MAB cân tại M.;

Do đó $\widehat{MAB}=\widehat{MBA}=60^{\circ}.$

Vậy BM = 3 cm, $\widehat{MBA}=60^{\circ}.$

Thực hiện vẽ theo các bước như sau:

Bước 1. Vẽ đoạn thẳng AB (giả sử AB = 4 cm).

Bước 2. Khi đó $\frac{AB}{2}=2\ cm.$

Từ A vẽ cung tròn tâm A bán kính 3 cm (tùy ý).

Từ B vẽ cung tròn tâm B bán kính 3 cm.

Hai cung tròn này cắt nhau tại M và N.

Bước 3. Dùng thước thẳng vẽ đường thẳng MN. Khi đó MN là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Do tam giác ABC cân tại A nên $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ hay $\widehat{FBC}=\widehat{ECB}.$

Xét hai tam giác FCB vuông tại F và EBC vuông tại E có:

$\widehat{FBC}=\widehat{ECB}$ (chứng minh trên).

BC chung.

Do đó $ΔFCB=ΔEBC$ (cạnh huyền – góc nhọn).

Vậy BE = CF (2 cạnh tương ứng).

Do tam giác ABC cân tại A nên AB = AC.

Do M là trung điểm của BC nên MB = MC.

Xét hai tam giác ABM và ACM có:

AB = AC (chứng minh trên).

AM chung.

MB = MC (chứng minh trên).

Do đó $ΔABM=ΔACM$ (c – c – c).

Khi đó $\widehat{AMB}=\widehat{AMC}$ (2 góc tương ứng).

Mà $\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180^{\circ}$ (2 góc kề bù) nên $\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=90^{\circ}.$

Do đó $AM\perp BC.$

Do $ΔABM=ΔACM$ nên $\widehat{BAM}=\widehat{CAM}$ (2 góc tương ứng).

Do đó AM là tia phân giác của $\widehat{BAC}.$

Vậy AM vuông góc với BC và AM là tia phân giác của góc BAC.

a)

Do M là trung điểm của BC nên MB = MC.

Do $AM\perp BC$ nên tam giác AMB vuông tại M, tam giác AMC vuông tại M.

Xét hai tam giác AMB vuông tại M và AMC vuông tại M có:

AM chung.

MB = MC (chứng minh trên).

Do đó $ΔAMB=ΔAMC$ (2 cạnh góc vuông).

Khi đó AB = AC (2 cạnh tương ứng).

Tam giác ABC có AB = AC nên tam giác ABC cân tại A.

Vậy tam giác ABC cân tại A.

b)

Do AM là tia phân giác của $\widehat{BAC}$ nên $\widehat{BAM}=\widehat{CAM}.$

Trên tia đối của tia MA lấy điểm I sao cho MI = MA.

Xét hai tam giác AMC và IMB có:

AM = IM (theo giả thiết).

$\widehat{AMC}=\widehat{IMB}$ (hai góc đối đỉnh).

MC = MB (theo giả thiết).

Do đó $ΔAMC=ΔIMB$ (c – g – c).

Khi đó $\widehat{CAM}=\widehat{BIM}$ (2 góc tương ứng) và AC = BI (2 cạnh tương ứng).

Mà $\widehat{BAM}=\widehat{CAM}$ nên $\widehat{BAM}=\widehat{BIM}$ hay $\widehat{BAI}=\widehat{BIA}.$

Tam giác BIA có $\widehat{BAI}=\widehat{BIA}$ nên tam giác BIA cân tại B hay BI = BA.

Mà BI = AC nên AB = AC.

Tam giác ABC có AB = AC nên tam giác ABC cân tại A.

Vậy tam giác ABC cân tại A.

a) Giả sử tam giác ABC vuông tại A và cân tại B.

Khi đó $\widehat{A}=\widehat{C}=90^{\circ}.$

Xét tam giác ABC có $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ}.$

Do đó $\widehat{B}=180^{\circ}-\widehat{A}-\widehat{C}=180^{\circ}-90^{\circ}-90^{\circ}=0^{\circ}$ (vô lý).

Vậy tam giác ABC phải cân ở đỉnh A hay tam giác vuông cân thì cân tại đỉnh góc vuông.

b)

Tam giác ABC vuông tại A nên $\widehat{B}+\widehat{C}=90^{\circ}$ (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau).

Mà tam giác ABC cân tại A nên $\widehat{B}=\widehat{C}.$

Do đó $\widehat{B}=\widehat{C}=45^{\circ}.$

Vậy tam giác vuông cân có hai góc nhọn bằng 45$^{o}$.

c)

Tam giác ABC vuông tại A nên $\widehat{B}+\widehat{C}=90^{\circ}$ (trong tam giác vuông, hai góc nhọn phụ nhau).

Do đó $\widehat{C}=90^{\circ}-\widehat{B}=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}.$

Tam giác ABC có $\widehat{B}=\widehat{C}=45^{\circ}$ nên tam giác ABC cân tại A.

Vậy tam giác vuông có một góc nhọn bằng 45$^{o}$ là tam giác vuông cân.

Do tam giác ABC cân tại A nên AB = AC, $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$ hay $\widehat{AB\text{D}}=\widehat{AC\text{D}}.$

Do AD là đường cao tam giác ABC hay $A\text{D}\perp BC$ nên tam giác ABD vuông tại D và tam giác ACD vuông tại D.

Xét hai tam giác ABD vuông tại D và tam giác ACD vuông tại D có:

AB = AC (chứng minh trên).

$\widehat{AB\text{D}}=\widehat{AC\text{D}}$ (chứng minh trên).

Do đó $ΔAB\text{D}=ΔAC\text{D}$ (cạnh huyền – góc nhọn).

Khi đó BD = CD (2 cạnh tương ứng) hay D là trung điểm của đoạn thẳng BC.

Do AD vuông góc với BC tại trung điểm của BC nên AD là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Vậy đường thẳng AD là đường trung trực của đoạn thẳng BC.