Bài tập So sánh các căn bậc hai lớp 9 (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\frac{5}{4}\sqrt 2 = \sqrt {\frac{{25}}{{16}}.2} = \sqrt {\frac{{25}}{8}}$; $\frac{2}{3}\sqrt 7 = \sqrt {\frac{4}{9}.7} = \sqrt {\frac{{28}}{9}}$

Vì $\frac{{25}}{8} > \frac{{28}}{9}$ nên $\sqrt {\frac{{25}}{8}} > \sqrt {\frac{{28}}{9}}$.

Suy ra $\frac{5}{4}\sqrt 2 < \frac{2}{3}\sqrt 7$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $- \sqrt {{3^2}.11} = - \sqrt {99}$; $- 2\sqrt {23} = - \sqrt {{2^2}.23} = - \sqrt {92}$.

Vì $- \sqrt {92} > - \sqrt {99}$ nên $- 3\sqrt {11} {\rm{ < }} - 2\sqrt {23}$.

Đáp án đúng là: A

Ta có:

$\sqrt 8 + \sqrt 2 = 2\sqrt 2 + \sqrt 2 = 3\sqrt 2 = \sqrt {18}$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\sqrt {2019} {\rm{ + }}\sqrt {2022} {\rm{ < }}\sqrt {2020} + \sqrt {2021}$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $6\sqrt 3 = \sqrt {108} ;7\sqrt 2 = \sqrt {98} ;$

$15\sqrt {\frac{2}{9}} = \sqrt {{{15}^2}.\frac{2}{9}} = \sqrt {50} ;9\sqrt {1\frac{2}{9}} = \sqrt {{9^2}.\frac{{11}}{9}} = \sqrt {99}$.

Vì $\sqrt {50} < \sqrt {98} < \sqrt {99} < \sqrt {108}$ nên $15\sqrt {\frac{2}{9}} < 7\sqrt 2 < 9\sqrt {1\frac{2}{9}} < 6\sqrt 3$.

>

Đáp án đúng là: C

Ta có: $3\sqrt 5 = \sqrt {45} ;2\sqrt 6 = \sqrt {24} ;4\sqrt 2 = \sqrt {32}$.

Vì $\sqrt {24} < \sqrt {29} < \sqrt {32} < \sqrt {45}$ nên $2\sqrt 6 < \sqrt {29} < 4\sqrt 2 < 3\sqrt 5$.

>

Đáp án đúng là: B

Ta có: $4\sqrt 3 = \sqrt {48} ;\frac{{\sqrt {192} }}{{\sqrt 3 }} = \sqrt {\frac{{192}}{3}} = \sqrt {64}$.

Vì $\sqrt {128} > \sqrt {64} > \sqrt {50} > \sqrt {48} > - \sqrt {125}$ nên $\sqrt {128} > \frac{{\sqrt {192} }}{{\sqrt 3 }} > \sqrt {50} > 4\sqrt 3 > - \sqrt {125} .$

Đáp án đúng là: B

Ta có: $2 + \sqrt 3 < 2 + \sqrt 4$ suy ra $\sqrt {2 + \sqrt 3 } < \sqrt {2 + 2}$.

Do đó, $1 + \sqrt {2 + \sqrt 3 } < 1 + \sqrt {2 + 2}$, suy ra $\sqrt {1 + \sqrt {2 + \sqrt 3 } } < \sqrt {1 + \sqrt {2 + 2} } = \sqrt 3 < \sqrt 4$.

Suy ra $\sqrt {1 + \sqrt {2 + \sqrt 3 } } {\rm{ < 2}}$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\sqrt {10} + \sqrt 5 + 1 > \sqrt 9 + \sqrt 4 + 1$ hay $\sqrt {10} + \sqrt 5 + 1 > 3 + 2 + 1$

hay $\sqrt {10} + \sqrt 5 + 1 > 6$.

Mà $\sqrt {35} < \sqrt {36} = 6$ nên $\sqrt {35} {\rm{ < }}\sqrt {10} + \sqrt 5 + 1$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\sqrt {24} + \sqrt {45} < \sqrt {25} + \sqrt {49} = 5 + 7 = 12$.

Do đó, khẳng định A là đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng.

Ta có:

$A = \sqrt {14 - 6\sqrt 5 } = \sqrt {9 - 2.3.\sqrt 5 + 5} = \sqrt {{3^2} - 2.3.\sqrt 5 + {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {3 - \sqrt 5 } \right)}^2}} = 3 - \sqrt 5$.

b) Sai.

Ta có:

$B = \sqrt {13 - 4\sqrt 3 } = \sqrt {12 - 2.2.\sqrt 3 + 1} = \sqrt {4.3 - 2.\left( {2.\sqrt 3 } \right) + 1} = \sqrt {{{\left( {2.\sqrt 3 } \right)}^2} - 2.\left( {2.\sqrt 3 } \right) + {1^2}}$

$= \sqrt {{{\left( {2.\sqrt 3 - 1} \right)}^2}} = 2.\sqrt 3 - 1$.

c) Sai.

Ta có: $\sqrt 5 > \sqrt 4$ hay $\sqrt 5 > 2$, suy ra $- \sqrt 5 < - 2$ nên $3 + \left( { - \sqrt 5 } \right) < 3 + \left( { - 2} \right)$ hay $3 - \sqrt 5 < 1$

Vậy A < 1.

d) Đúng.

Ta có: $\sqrt 3 > 1$ nên $2.\sqrt 3 > 2$, do đó $2.\sqrt 3 - 1 > 2 - 1$ hay $B > 1$.

Vì A < 1 và B > 1 nên A < 1 < B.

Vậy A < B.

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng.

Ta có: $D = \sqrt {9 + 4\sqrt 5 } = \sqrt {5 + 2.2\sqrt 5 + 4} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 + 2} \right)}^2}} = \sqrt 5 + 2$.

b) Sai.

Ta có: $E = \sqrt {11 + 6\sqrt 2 } = \sqrt {9 + 2.3\sqrt 2 + 2} = \sqrt {{{\left( {3 + \sqrt 2 } \right)}^2}} = 3 + \sqrt 2$.

c) Sai.

Ta có: ${D^2} = 9 + 4\sqrt 5 = 9 + \sqrt {16.5} = 9 + \sqrt {80}$

${E^2} = 11 + 6\sqrt 2 = 9 + 6\sqrt 2 + 2 = 9 + \sqrt {36.2} + 2 = 9 + \sqrt {72} + 2$.

Nhận thấy $\sqrt {72} + 2 > \sqrt {64} + 2$ hay $\sqrt {72} + 2 > 10$; $\sqrt {80} < \sqrt {100}$ nên $\sqrt {80} < 10$.

Do đó, $9 + \sqrt {80} < 9 + \sqrt {72} + 2$ hay D$^{2}$ < E$^{2}$.

Suy ra D < E.

d) Sai.

Ta có $3 + \sqrt 2 > 3 + 1$ hay $3 + \sqrt 2 > 4$; $\sqrt 2 + 3 < 3 + 2$ hay $\sqrt 2 + 3 < 5$.

Do đó, 4 < D < E < 5.

Từ đó ta thấy không có số nguyên nào nằm giữa D và E.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng.

Ta có: $M = \sqrt {11 - 4\sqrt 7 } = \sqrt {7 - 4\sqrt 7 + 4} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 7 - 2} \right)}^2}} = \sqrt 7 - 2$.

b) Đúng.

Ta có: $N = \sqrt {12 - 2\sqrt {35} } = \sqrt {7 - 2.\sqrt 5 .\sqrt 7 + 5} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 7 - \sqrt 5 } \right)}^2}} = \sqrt 7 - \sqrt 5$.

c) Sai.

Có $\sqrt 7 < \sqrt 9$ nên $\sqrt 7 - 2 < \sqrt 9 - 2$.

Do đó, $\sqrt 7 - 2 < 1$.

Vậy M < 1.

d) Đúng.

Vì $2 < \sqrt 5$ nên $\sqrt 7 - 2 > \sqrt 7 - \sqrt 5$.

Do đó, M > N.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng.

Ta có: $M = \sqrt {7 + 4\sqrt 3 } = \sqrt {4 + 2.2\sqrt 3 + 3} = \sqrt {{{\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}^2}} = 2 + \sqrt 3$.

b) Đúng.

Ta có: $N = \sqrt {8 - 2\sqrt 7 } = \sqrt {7 - 2\sqrt 7 + 1} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 7 - 1} \right)}^2}} = \sqrt 7 - 1$.

c) Sai.

Ta có: $\sqrt 7 - 1 < 3 - 1$ hay $\sqrt 7 - 1 < 2$.

$2 + \sqrt 3 > 2 + 1$ hay $2 + \sqrt 3 > 3$.

Do đó, $\sqrt 7 - 1 < 2 + \sqrt 3$, suy ra M > N.

d) Sai.

Có M + N = $\sqrt 7 - 1 + 2 + \sqrt 3 = 1 + \sqrt 3 + \sqrt 7$.

Do đó, tổng M + N không là số nguyên.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng.

Ta có: $P = \sqrt {14 - 6\sqrt 5 } = \sqrt {9 - 2.3.\sqrt 5 + 5} = \sqrt {{{\left( {3 - \sqrt 5 } \right)}^2}} = 3 - \sqrt 5$.

b) Đúng.

Ta có: $Q = \sqrt {12 + 2\sqrt {35} } = \sqrt {7 + 2.\sqrt {7.5} + 5} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 7 + \sqrt 5 } \right)}^2}} = \sqrt 7 + \sqrt 5$.

c) Sai.

Ta có: P + Q = $3 - \sqrt 5 + \sqrt 5 + \sqrt 7 = 3 + \sqrt 7$.

Vì $\sqrt 7 > 2$ nên $\sqrt 7 + 3 > 2 + 3$ hay P + Q > 5.

d) Sai.

Có $3 - \sqrt 5 < 3 - 2$ nên 0 < P < 1.

$\sqrt 4 + \sqrt 4 < \sqrt 7 + \sqrt 5 < 5$ hay 4 < Q < 5.

Do đó: 0 < P < 1 < Q < 5.

Vậy các số nguyên nằm giữa P và Q là: 1; 2; 3; 4.

Vậy có 4 số nguyên nằm giữa P và Q.

Bài 16. Cho $A = \sqrt {4 + 2\sqrt 3 }$ và $B = \sqrt {7 - 2\sqrt 6 }$. Hãy tìm số nguyên nằm giữa A và B.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 3

Ta có: $A = \sqrt {4 + 2\sqrt 3 } = \sqrt {3 + 2\sqrt 3 + 1} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}^2}} = \sqrt 3 + 1$.

$B = \sqrt {7 - 2\sqrt 6 } = \sqrt {6 - 2\sqrt 6 + 1} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 6 + 1} \right)}^2}} = \sqrt 6 + 1$.

Nhận thấy $\sqrt 3 < \sqrt 4$ nên $\sqrt 3 + 1 < \sqrt 4 + 1$ hay A < 3.

$\sqrt 6 > \sqrt 4$ nên $\sqrt 6 + 1 > 3$ hay B > 3.

Lại có: $\sqrt 6 > \sqrt 9$ nên $\sqrt 6 + 1 < \sqrt 9 + 1$ hay B < 4.

Do đó, ta có: A < 3 < B < 4.

Vậy số nguyên nằm giữa A và B là 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 4

Xét ${E^2} = 8 + 2\sqrt {15} = 8 + \sqrt {4.15} = 8 + \sqrt {60} < 8 + \sqrt {64}$ hay ${E^2} < 8 + 8$ nên ${E^2} < 16$.

Suy ra E < 4.

Xét ${F^2} = 9 + 2\sqrt {14} = 9 + \sqrt {4.14} = 9 + \sqrt {56} > 9 + \sqrt {49}$ hay ${F^2} > 9 + 7$ hay F$^{2}$ > 16.

Suy ra F > 4.

Do đó, ta có E < 4 < F.

Vậy a = 4.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 1

Ta có:

$C = \sqrt {21 - 12\sqrt 3 } = \sqrt {21 - 2.3.2.\sqrt 3 } = \sqrt {12 - 2.3.2.\sqrt 3 + 9} = \sqrt {4.3 - 2.3.2.\sqrt 3 + {3^2}}$

$= \sqrt {{{\left( {2.\sqrt 3 } \right)}^2} - 2.3.2.\sqrt 3 + {3^2}} = \sqrt {{{\left( {2.\sqrt 3 - 3} \right)}^2}} = 2.\sqrt 3 - 3$.

$D = \sqrt {37 - 20\sqrt 3 } = \sqrt {25 - 2.5.2.\sqrt 3 + 12} = \sqrt {{5^2} - 2.5.2.\sqrt 3 + {{\left( {2.\sqrt 3 } \right)}^2}}$

$= \sqrt {{{\left( {5 - 2\sqrt 3 } \right)}^2}} = 5 - 2\sqrt 3$.

Nhận thấy $2\sqrt 3 < 2\sqrt 4$ hay $2\sqrt 3 < 2.2$ và $2\sqrt 3 < 4$.

Do đó, $2\sqrt 3 - 3 < 4 - 3$ suy ra C < 1.

Từ đây ta được 0 < C < 1. (1)

Có $2\sqrt 3 < 4$ nên $- 2\sqrt 3 > - 4$ do đó $5 - 2\sqrt 3 > 5 - 4$ hay D > 1.

$2\sqrt 3 > 3$ suy ra $- 2\sqrt 3 < - 3$ nên $5 - 2\sqrt 3 < 5 - 3$ hay D < 2.

Từ đây, ta được 1 < D < 2. (2)

Từ (1) và (2) ta có: 0 < C < 1 < D < 2.

Vậy giữa C và D có 1 số nguyên thỏa mãn là 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 3

Ta có: $A = \sqrt {28 - 10\sqrt 3 } = \sqrt {25 - 2.5\sqrt 3 + 3} = \sqrt {{{\left( {5 - \sqrt 3 } \right)}^2}} = 5 - \sqrt 3$.

$B = \sqrt {15 - 6\sqrt 6 } = \sqrt {9 - 2.3\sqrt 6 + 6} = \sqrt {{{\left( {3 - \sqrt 6 } \right)}^2}} = 3 - \sqrt 6$.

Nhận thấy $5 - \sqrt 4 < 5 - \sqrt 3 < 5 - 1$ hay $3 < 5 - \sqrt 3 < 4$

$0 < 3 - \sqrt 6 < 3 - \sqrt 4$ hay $0 < 3 - \sqrt 6 < 1$.

Do đó, 0 < B < 1 < A < 4.

Vậy các số nguyên nằm giữa A và B là: 1; 2; 3.

Vậy có 3 số nguyên nằm giữa A và B.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 1

Ta có: $M = \sqrt {17 - 12\sqrt 2 } = \sqrt {9 - 2.3.2\sqrt 2 + 8} = \sqrt {{{\left( {3 - 2\sqrt 2 } \right)}^2}} = 3 - 2\sqrt 2$.

$N = \sqrt {29 - 12\sqrt 5 } = \sqrt {20 - 2.3.2\sqrt 5 + 9} = \sqrt {{{\left( {2\sqrt 5 - 3} \right)}^2}} = 2\sqrt 5 - 3$.

Nhận thấy $0 < 3 - 2\sqrt 2 < 3 - 2$ hay 0 < M < 1.

$\sqrt {16} - 3 < 2\sqrt 5 - 3 < \sqrt {25} - 3$ hay $4 - 3 < 2\sqrt 5 - 3 < 5 - 3$ suy ra 1 < N < 2.

Suy ra M < 1 < N < 2.

Vậy số nguyên nằm giữa M và N là 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 3

Ta có: $A = \sqrt {4 + 2\sqrt 3 } = \sqrt {3 + 2\sqrt 3 + 1} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 + 1} \right)}^2}} = \sqrt 3 + 1$.

$B = \sqrt {7 - 2\sqrt 6 } = \sqrt {6 - 2\sqrt 6 + 1} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 6 + 1} \right)}^2}} = \sqrt 6 + 1$.

Nhận thấy $\sqrt 3 < \sqrt 4$ nên $\sqrt 3 + 1 < \sqrt 4 + 1$ hay A < 3.

$\sqrt 6 > \sqrt 4$ nên $\sqrt 6 + 1 > 3$ hay B > 3.

Lại có: $\sqrt 6 > \sqrt 9$ nên $\sqrt 6 + 1 < \sqrt 9 + 1$ hay B < 4.

Do đó, ta có: A < 3 < B < 4.

Vậy số nguyên nằm giữa A và B là 3.