Bài tập Rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai lớp 9 (có lời giải)

Hướng dẫn giải

Với x > 0, x ≠ 4, ta có:

$A = \left( {\frac{1}{{\sqrt x - 2}} + \frac{1}{{\sqrt x + 2}}} \right).\frac{{x - 4}}{{\sqrt x }}$

$A = \left[ {\frac{{\sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} + \frac{{\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}} \right].\frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\sqrt x }}$

$A = \frac{{\left( {\sqrt x + 2 + \sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}.\frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\sqrt x }}$

$A = \frac{{2\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}.\frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\sqrt x }} = 2$.

Vậy với x > 0, x ≠ 4 thì A = 2.

Hướng dẫn giải

Với a ≥ 0, a ≠ 1, ta có:

$A = \left( {\frac{{\sqrt a - 1}}{{\sqrt a + 1}} + \frac{{\sqrt a + 1}}{{\sqrt a - 1}}} \right).\left( {1 - \frac{2}{{a + 1}}} \right)$

$A = \left[ {\frac{{{{\left( {\sqrt a - 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}} + \frac{{{{\left( {\sqrt a + 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}} \right].\frac{{a - 1}}{{a + 1}}$

$A = \frac{{\left( {a - 2\sqrt a + 1 + a + 2\sqrt a + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}.\frac{{\left( {a - 1} \right)}}{{\left( {a + 1} \right)}}$

$A = \frac{{2\left( {a + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}.\frac{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}{{\left( {a + 1} \right)}} = 2$.

Vậy với a ≥ 0, a ≠ 1 thì a = 2.

Với a > 0, a ≠ 4, ta có:

$A = \left( {\frac{{\sqrt a - 2}}{{\sqrt a + 2}} - \frac{{\sqrt a + 2}}{{\sqrt a - 2}}} \right).\left( {\sqrt a - \frac{2}{{\sqrt a }}} \right)$

$A = \left[ {\frac{{{{\left( {\sqrt a - 2} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt a + 2} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}} - \frac{{{{\left( {\sqrt a + 2} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt a + 2} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}}} \right].\left( {\frac{{a - 2}}{{\sqrt a }}} \right)$

$A = \frac{{{{\left( {\sqrt a - 2} \right)}^2} - {{\left( {\sqrt a + 2} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt a + 2} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}}.\left( {\frac{{a - 2}}{{\sqrt a }}} \right)$

$A = \frac{{\left( {\sqrt a - 2 - \sqrt a - 2} \right)\left( {\sqrt a - 2 + \sqrt a + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 2} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}}.\left( {\frac{{a - 2}}{{\sqrt a }}} \right)$

$A = \frac{{ - 4.2\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a + 2} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}}.\left( {\frac{{a - 2}}{{\sqrt a }}} \right)$

$A = \frac{{ - 8\left( {a - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 2} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}}$.

Hướng dẫn giải

Với x ≥ 0, x ≠ 4, ta có:

$A = \frac{{5\sqrt x - 3}}{{\sqrt x - 2}} + \frac{{3\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 2}} - \frac{{x + 2\sqrt x - 8}}{{x - 4}}$

$A = \frac{{\left( {5\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} + \frac{{\left( {3\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} - \frac{{x + 2\sqrt x - 8}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}$

$A = \frac{{5x + 7\sqrt x - 6}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} + \frac{{3x - 5\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} - \frac{{x + 2\sqrt x - 8}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}$

$A = \frac{{5x + 7\sqrt x - 6 + 3x - 5\sqrt x - 2 - x - 2\sqrt x + 8}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}$

$A = \frac{{7x}}{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}$.

Hướng dẫn giải

Với x ≥ 0, x ≠ 16, ta có:

$A = \frac{{5 - 5\sqrt x }}{{x - 16}} - \frac{2}{{4 - \sqrt x }} + \frac{3}{{\sqrt x + 4}}$

$A = \frac{{5 - 5\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 4} \right)\left( {\sqrt x + 4} \right)}} + \frac{{2\left( {\sqrt x + 4} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 4} \right)\left( {\sqrt x + 4} \right)}} + \frac{{3\left( {\sqrt x - 4} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 4} \right)\left( {\sqrt x + 4} \right)}}$

$A = \frac{{5 - 5\sqrt x + 2\sqrt x + 8 + 3\sqrt x - 12}}{{\left( {\sqrt x - 4} \right)\left( {\sqrt x + 4} \right)}}$

$A = \frac{1}{{\left( {\sqrt x - 4} \right)\left( {\sqrt x + 4} \right)}} = \frac{1}{{x - 16}}$.

Hướng dẫn giải

Với x ≥ 0, x ≠ $\frac{9}{4}$, ta có:

$A = \frac{{\sqrt x }}{{2\sqrt x - 3}} + \frac{{\sqrt x - 2}}{{2\sqrt x + 3}} + \frac{{15 - 4\sqrt x }}{{9 - 4x}}$

$A = \frac{{\sqrt x \left( {2\sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {2\sqrt x - 3} \right)\left( {2\sqrt x + 3} \right)}} + \frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {2\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {2\sqrt x - 3} \right)\left( {2\sqrt x + 3} \right)}} - \frac{{15 - 4\sqrt x }}{{\left( {2\sqrt x - 3} \right)\left( {2\sqrt x + 3} \right)}}$

$A = \frac{{2x + 3\sqrt x }}{{\left( {2\sqrt x - 3} \right)\left( {2\sqrt x + 3} \right)}} + \frac{{2x - 7\sqrt x + 6}}{{\left( {2\sqrt x - 3} \right)\left( {2\sqrt x + 3} \right)}} - \frac{{15 - 4\sqrt x }}{{\left( {2\sqrt x - 3} \right)\left( {2\sqrt x + 3} \right)}}$

$A = \frac{{2x + 3\sqrt x + 2x - 7\sqrt x + 6 - 15 + 4\sqrt x }}{{\left( {2\sqrt x - 3} \right)\left( {2\sqrt x + 3} \right)}}$

$A = \frac{{4x - 9}}{{\left( {2\sqrt x - 3} \right)\left( {2\sqrt x + 3} \right)}}$

$A = \frac{{\left( {2\sqrt x - 3} \right)\left( {2\sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {2\sqrt x - 3} \right)\left( {2\sqrt x + 3} \right)}} = 1$.

Vậy với x ≥ 0, x ≠ $\frac{9}{4}$, thì A = 1.

Hướng dẫn giải

Với x > 0, ta có:

$B = \frac{{2x + \sqrt x - 4}}{{x + 2\sqrt x }} - \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 2}}$

$B = \frac{{2x + \sqrt x - 4}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}} - \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}$

$B = \frac{{2x + \sqrt x - 4 - x - \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}$

$B = \frac{{x - 4}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}$

$B = \frac{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x }}$.

Ta có: $P = \frac{A}{B}$

Suy ra P = $\frac{{x - 2\sqrt x + 2}}{{\sqrt x }}$: $\frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x }}$ = $\frac{{x - 2\sqrt x + 2}}{{\sqrt x }}$.$\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 2}}$ = $\frac{{x - 2\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}}$.

Vậy với x > 0 thì P = $\frac{{x - 2\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}}$.

Hướng dẫn giải

Với x ≥ 0, x ≠ 9, x ≠ 16, ta có:

$B = \frac{{2\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{\sqrt x + 3}}{{4 - \sqrt x }} - \frac{{x - 6\sqrt x }}{{x - 7\sqrt x + 12}}$

$B = \frac{{\left( {2\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)}} - \frac{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)}} - \frac{{x - 6\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)}}$

$B = \frac{{2x - 5\sqrt x - 12}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)}} - \frac{{x - 9}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)}} - \frac{{x - 6\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)}}$

$B = \frac{{2x - 5\sqrt x - 12 - x + 9 - x + 6\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)}}$

$B = \frac{{\sqrt x - 3}}{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\left( {\sqrt x - 4} \right)}} = \frac{1}{{\sqrt x - 4}}$.

Vậy với x ≥ 0, x ≠ 9, x ≠ 16 thì B = $\frac{1}{{\sqrt x - 4}}$.

Hướng dẫn giải

Với x > 0, x ≠ 9, ta có:

$B = \frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} - \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}} - \frac{{7\sqrt x + 3}}{{9 - x}}$

$B = \frac{{2\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} - \frac{{\left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} + \frac{{7\sqrt x + 3}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$

$B = \frac{{2x - 6\sqrt x - x - 4\sqrt x - 3 + 7\sqrt x + 3}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}$

$B = \frac{{x - 3\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \frac{{\left( {\sqrt x - 3} \right)\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}}$.

Hướng dẫn giải

Với x > 0, x ≠ 9, ta có:

$A = \left( {\frac{{2\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{3x + 3}}{{9 - x}}} \right):\left( {\frac{{2\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 3}} - 1} \right)$

$A = \left[ {\frac{{2\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} + \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} - \frac{{3x + 3}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}} \right]:\left( {\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 3}}} \right)$

$A = \left[ {\frac{{2x - 6\sqrt x + x + 3\sqrt x - 3x - 3}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}} \right].\left( {\frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 1}}} \right)$

$A = \left[ {\frac{{ - 3\sqrt x - 3}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}} \right].\left( {\frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 1}}} \right)$

$A = \left[ {\frac{{ - 3\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}}} \right].\left( {\frac{{\sqrt x - 3}}{{\sqrt x + 1}}} \right)$

$A = \frac{{ - 3}}{{\sqrt x + 3}}$.

Vậy với x > 0, x ≠ 9 thì $A = \frac{{ - 3}}{{\sqrt x + 3}}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai.

Với mọi a ≥ 0, ta có:

• a – 16 ≠ 0 nên a ≠ 16.

• $\sqrt a + 4 \ne 0$ (luôn đúng)

• $\sqrt a - 4 \ne 0$ nên $\sqrt a \ne 4$ suy ra a ≠ 16.

Vậy điều kiện xác định của C là $a \ge 0,{\rm{ }}a \ne 16$.

b) Đúng.

Với $a \ge 0,{\rm{ }}a \ne 16$, ta có:

$C = \frac{a}{{a - 16}} - \frac{2}{{\sqrt a - 4}} - \frac{2}{{\sqrt a + 4}}$

$$= \frac{a}{{\left( {\sqrt a - 4} \right)\left( {\sqrt a + 4} \right)}} - \frac{{2\left( {\sqrt a + 4} \right)}}{{\left( {\sqrt a - 4} \right)\left( {\sqrt a + 4} \right)}} - \frac{{2\left( {\sqrt a - 4} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 4} \right)\left( {\sqrt a - 4} \right)}}$$

$$= \frac{{a - 2\sqrt a - 8 - 2\sqrt a + 8}}{{\left( {\sqrt a - 4} \right)\left( {\sqrt a + 4} \right)}}$$

$$= \frac{{a - 4\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a - 4} \right)\left( {\sqrt a + 4} \right)}}$$

$$= \frac{{\sqrt a \left( {\sqrt a - 4} \right)}}{{\left( {\sqrt a - 4} \right)\left( {\sqrt a + 4} \right)}}$$

$$= \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a + 4}}.$$

Vậy với $a \ge 0,{\rm{ }}a \ne 16$ có $C = \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a + 4}}.$

c) Đúng.

Ta có $C = \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a + 4}} < \frac{{\sqrt a + 4}}{{\sqrt a + 4}}$ với mọi $a \ge 0,{\rm{ }}a \ne 16$.

Do đó, C < 1 với mọi x thuộc tập xác định.

b) Đúng.

Ta có: $a = 9 - 4\sqrt 5 = 5 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt 5 + 4 = {\left( {\sqrt 5 - 2} \right)^2}$.

Thay vào $C,$ ta được:

$C = \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt a + 4}} = \frac{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 2} \right)}^2}} }}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 2} \right)}^2}} + 4}} = \frac{{\sqrt 5 - 2}}{{\sqrt 5 + 2}} = \frac{{{{\left( {\sqrt 5 - 2} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt 5 + 2} \right)\left( {\sqrt 5 - 2} \right)}} = \frac{{9 - 4\sqrt 5 }}{{5 - 4}} = 9 - 4\sqrt 5$.

Vậy giá trị của $C = 9 - 4\sqrt 5$ tại $a = 9 - 4\sqrt 5 .$

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng.

Với mọi a ≥ 0, ta có:

• $a - \sqrt a \ne 0$ suy ra $\sqrt a \left( {\sqrt a - 1} \right) \ne 0$, do đó a ≠ 0 và a ≠ 1.

• $a + \sqrt a \ne 0$ suy ra $\sqrt a \left( {\sqrt a + 1} \right) \ne 0$, do đó $a \ne 0$.

• $a - 1 \ne 0$ suy ra a ≠ 1.

Do đó, điều kiện xác định của T là $a > 0,{\rm{ }}a \ne 1$.

b) Đúng.

Với $a > 0,{\rm{ }}a \ne 1$, ta có:

$$T = \left( {\frac{{a\sqrt a - 1}}{{a - \sqrt a }} - \frac{{a\sqrt a + 1}}{{a + \sqrt a }}} \right):\frac{{a + 1}}{{a - 1}}$$

$$= \left[ {\frac{{a\sqrt a - 1}}{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\sqrt a }} - \frac{{a\sqrt a + 1}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\sqrt a }}} \right] \cdot \frac{{a - 1}}{{a + 1}}$$

$$= \left[ {\frac{{\left( {a\sqrt a - 1} \right)\left( {\sqrt a + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)\sqrt a }} - \frac{{\left( {a\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)\sqrt a }}} \right] \cdot \frac{{a - 1}}{{a + 1}}$$

$$= \frac{{\left( {a\sqrt a - 1} \right)\left( {\sqrt a + 1} \right) - \left( {a\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)\sqrt a }} \cdot \frac{{a - 1}}{{a + 1}}$$

$$= \frac{{{a^2} + a\sqrt a - \sqrt a - 1 - {a^2} + a\sqrt a - \sqrt a + 1}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)\sqrt a }} \cdot \frac{{a - 1}}{{a + 1}}$$

$$= \frac{{2a\sqrt a - 2\sqrt a }}{{\left( {a + 1} \right)\sqrt a }}$$

$= \frac{{2\left( {a - 1} \right)}}{{a + 1}}$.

Vậy với $a > 0,{\rm{ }}a \ne 1$ ta được $T = \frac{{2\left( {a - 1} \right)}}{{a + 1}}$.

c) Sai.

Vì biểu thức T có điều kiện xác định là $a > 0,{\rm{ }}a \ne 1$, tức là tại a = 1 thì biểu thức T không có giá trị.

d) Đúng.

Thay a = 3 (thỏa mãn điều kiện) vào T, ta được: $T = \frac{{2\left( {3 - 1} \right)}}{{3 + 1}} = \frac{{2.2}}{4} = 1.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai.

Điều kiện xác định của P là a ≥ 0 và $\sqrt a - 3 \ne 0$.

Do đó, điều kiện xác định của P là a ≥ 0, a ≠ 9.

b) Đúng.

Với a ≥ 0, a ≠ 9, ta có:

$P = \frac{{a + 6\sqrt a + 9}}{{\sqrt a + 3}} + \frac{{a - 9}}{{\sqrt a - 3}}$

$= \frac{{{{\left( {\sqrt a + 3} \right)}^2}}}{{\sqrt a + 3}} + \frac{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 3} \right)}}{{\sqrt a - 3}}$

$= \left( {\sqrt a + 3} \right) + \sqrt a + 3$

$= 2\left( {\sqrt a + 3} \right) = 2\sqrt a + 6$.

c) Đúng.

Ta có: $a = 19 - 6\sqrt {10} = 10 - 2.3\sqrt {10} + 9 = {\left( {\sqrt {10} - 3} \right)^2}$.

Do đó, $P = 2\sqrt {{{\left( {\sqrt {10} - 3} \right)}^2}} + 6 = 2\left( {\sqrt {10} - 3} \right) + 6 = 2\sqrt {10} - 6 + 6 = 2\sqrt {10}$.

d) Đúng.

Để P = 20 thì $2\sqrt a + 6 = 20$ hay $2\sqrt a = 14$ do đó $\sqrt a = 7$ suy ra a = 49 (thỏa mãn).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Sai.

Điều kiện xác định của P là a ≥ 0 và $a - 2\sqrt a + 1 \ne 0$.

Với $a - 2\sqrt a + 1 \ne 0$ thì ${\left( {\sqrt a - 1} \right)^2} \ne 0$, do đó $a \ne 1$.

Vậy điều kiện xác định của P là a ≥ 0 và $a \ne 1$.

b) Sai.

Với a ≥ 0 và $a \ne 1$, ta có: $P = \frac{{a - \sqrt a }}{{a - 2\sqrt a + 1}} \cdot \left( {1 - \sqrt a } \right)$

$= \frac{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\sqrt a }}{{{{\left( {1 - \sqrt a } \right)}^2}}} \cdot \left( {1 - \sqrt a } \right)$

$= \frac{{ - {{\left( {1 - \sqrt a } \right)}^2}\sqrt a }}{{{{\left( {1 - \sqrt a } \right)}^2}}} = - \sqrt a$.

c) Đúng.

Ta có: $a = 4 - \sqrt {12} = 4 - 2\sqrt 3 = 3 - 2\sqrt 3 + 1 = {\left( {\sqrt 3 - 1} \right)^2}$.

Thay vào P, được $P = - \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}^2}} = - \left( {\sqrt 3 - 1} \right) = 1 - \sqrt 3$.

d) Sai.

Với $P \ge - 3$ thì $- \sqrt a \ge - 3$ suy ra $\sqrt a \le 3$.

Do đó, $0 \le a \le 9$.

Kết hợp điều kiện xác định của P là a ≥ 0 và $a \ne 1$ được $0 \le a \le 9$, a ≠ 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng.

Với mọi x ≥ 0, điều kiện xác định của P là:

• $x - 2\sqrt x \ne 0$, do đó x ≠ 0 và x ≠ 4.

• $\sqrt x - 2 \ne 0$, do đó x ≠ 4.

• $x - 4\sqrt x + 4 \ne 0$ hay ${\left( {\sqrt x - 2} \right)^2} \ne 0$, do đó x ≠ 4.

Do đó, điều kiện xác định của P là x > 0, x ≠ 4.

b) Sai.

Với x > 0, x ≠ 4, ta có:

$P = \left( {\frac{1}{{x - 2\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x - 2}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{x - 4\sqrt x + 4}}$

$= \left( {\frac{1}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}} + \frac{1}{{\sqrt x - 2}}} \right):\frac{{\sqrt x + 1}}{{{{\left( {\sqrt x - 2} \right)}^2}}}$

$= \frac{{1 + \sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 2} \right)}}.\frac{{{{\left( {\sqrt x - 2} \right)}^2}}}{{\sqrt x + 1}}$

$= \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x }}$

c) Đúng.

Với $x = 6 - 2\sqrt 5 = 5 - 2\sqrt 5 + 1 = {\left( {\sqrt 5 - 1} \right)^2}$, thay vào P được:

$P = \frac{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}^2}} - 2}}{{\sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 5 - 1 - 2}}{{\sqrt 5 - 1}} = \frac{{\sqrt 5 - 3}}{{\sqrt 5 - 1}} = \frac{{\left( {\sqrt 5 - 3} \right)\left( {\sqrt 5 + 1} \right)}}{4} = \frac{{2 - 2\sqrt 5 }}{4} = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}$.

d) Sai.

Với P = −1 thì $\frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x }} = - 1$ hay $\sqrt x - 2 = - \sqrt x$, do đó $2\sqrt x = 2$ suy ra $x = 1$ (thỏa mãn).

Hướng dẫn giải

Đáp án: 1.

a) Với $x > 0,{\rm{ }}x \ne 1$ ta có:

$P = \left( {\frac{{x - 2}}{{x + 2\sqrt x }} + \frac{1}{{\sqrt x + 2}}} \right) \cdot \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}$

$= \left[ {\frac{{x - 2}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\sqrt x }} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}} \right] \cdot \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}$

$$= \frac{{x - 2 + \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\sqrt x }} \cdot \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}$$

$$= \frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 2} \right)\sqrt x }} \cdot \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}$$

$= \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}$.

Vậy với $x > 0,{\rm{ }}x \ne 1$ ta có $P = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x }}.$

Vậy a = 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án: −2

a) Với $a > 0,{\rm{ }}a \ne 1$, ta có:

$$A = \left( {\frac{{\sqrt a }}{2} - \frac{1}{{2\sqrt a }}} \right)\left( {\frac{{a - \sqrt a }}{{\sqrt a + 1}} - \frac{{a + \sqrt a }}{{\sqrt a - 1}}} \right)$$

$$= \left( {\frac{a}{{2\sqrt a }} - \frac{1}{{2\sqrt a }}} \right)\left[ {\frac{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\sqrt a }}{{\sqrt a + 1}} - \frac{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\sqrt a }}{{\sqrt a - 1}}} \right]$$

$$= \frac{{a - 1}}{{2\sqrt a }}\left[ {\frac{{{{\left( {\sqrt a - 1} \right)}^2}\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}} - \frac{{{{\left( {\sqrt a + 1} \right)}^2}\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}} \right]$$

$$= \frac{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}{{2\sqrt a }} \cdot \frac{{{{\left( {\sqrt a - 1} \right)}^2}\sqrt a - {{\left( {\sqrt a + 1} \right)}^2}\sqrt a }}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}$$

$$= \frac{{{{\left( {\sqrt a - 1} \right)}^2}\sqrt a - {{\left( {\sqrt a + 1} \right)}^2}\sqrt a }}{{2\sqrt a }}$$

$$= \frac{{\left( {a - 2\sqrt a + 1} \right)\sqrt a - \left( {a + 2\sqrt a + 1} \right)\sqrt a }}{{2\sqrt a }}$$

$$= \frac{{a\sqrt a - 2a + \sqrt a - a\sqrt a - 2a - \sqrt a }}{{2\sqrt a }}$$

$$= \frac{{ - 4a}}{{2\sqrt a }}$$

$= - 2\sqrt a$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: −6

Với $a \ge 0,\,\,a \ne 4,\,\,a \ne 9$, ta có:

$A = \frac{3}{{\sqrt a + 3}}:\left( {\frac{{\sqrt a - 2}}{{\sqrt a + 3}} + \frac{{\sqrt a - 3}}{{2 - \sqrt a }} - \frac{{9 - a}}{{a + \sqrt a - 6}}} \right)$

$= \frac{3}{{\sqrt a + 3}}:\left[ {\frac{{{{\left( {\sqrt a - 2} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}} - \frac{{\left( {\sqrt a - 3} \right)\left( {\sqrt a + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}} - \frac{{9 - a}}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}}} \right]$

$= \frac{3}{{\sqrt a + 3}}:\left[ {\frac{{a - 4\sqrt a + 4}}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}} - \frac{{a - 9}}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}} - \frac{{9 - a}}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}}} \right]$

$= \frac{3}{{\sqrt a + 3}}:\left[ {\frac{{a - 4\sqrt a + 4 - a + 9 - 9 + a}}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}}} \right]$

$= \frac{3}{{\sqrt a + 3}}:\left[ {\frac{{a - 4\sqrt a + 4}}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}}} \right]$

$= \frac{3}{{\sqrt a + 3}}:\frac{{{{\left( {\sqrt a - 2} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}}$

$= \frac{3}{{\sqrt a + 3}} \cdot \frac{{\left( {\sqrt a + 3} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)}}{{{{\left( {\sqrt a - 2} \right)}^2}}}$

$= \frac{3}{{\sqrt a - 2}}$.

Vậy với $a \ge 0,{\rm{ }}a \ne 4,{\rm{ }}a \ne 9$ ta được $P = \frac{3}{{\sqrt a - 2}}$.

Do đó, m = 3 và n = −2.

Vậy P = 3.(−2) = −6.

Hướng dẫn giải

Đáp án: −2

Với x ≥ 0, x ≠ 1, ta có:

$A = \frac{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}} - \frac{{3\sqrt x + 1}}{{x - 1}}$

$= \frac{{x + 2\sqrt x + 1 + x - 2\sqrt x + 1}}{{x - 1}} - \frac{{3\sqrt x + 1}}{{x - 1}}$

$= \frac{{x + 2\sqrt x + 1 + x - 2\sqrt x + 1 - 3\sqrt x - 1}}{{x - 1}}$

$= \frac{{2x - 3\sqrt x + 1}}{{x - 1}}$

$= \frac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {2\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}$

$= \frac{{2\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}$.

Do đó, a = 2 và b = −1.

Vậy a.b = −2.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 1

Ta có $M = \frac{{x\sqrt x - 8}}{{3 + {{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{\left( {\sqrt x - 2} \right)\left( {x + 2\sqrt x + 4} \right)}}{{x + 2\sqrt x + 4}} = \sqrt x - 2$.

$\,N = \frac{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^3} - {{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^3}}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {3x + 1} \right)}}$

$= \frac{{\left( {\sqrt x + 1 - \sqrt x + 1} \right)\left[ {{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2} + \left( {\sqrt x + 1} \right)\left( {\sqrt x - 1} \right) + {{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}} \right]}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {3x + 1} \right)}}$

$= \frac{{2\left[ {x + 2\sqrt x + 1 + x - 1 + x - 2\sqrt x + 1} \right]}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {3x + 1} \right)}}$

$= \frac{{2\left( {3x + 1} \right)}}{{\left( {x - 4} \right)\left( {3x + 1} \right)}} = \frac{2}{{x - 4}}$.

Do đó, Q = M.N + P = $\frac{{2\left( {\sqrt x - 2} \right)}}{{x - 4}} + \frac{{\sqrt x }}{{2 + \sqrt x }} = \frac{2}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 2}} = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 2}} = 1$.

Vậy Q = 1.

Do đó, a = 1.