Bài tập Rút gọn biểu thức chứa căn bậc ba lớp 9 (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

$\frac{{\sqrt[3]{2}}}{{\sqrt[3]{2} - 1}} - \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} = \frac{{\sqrt[3]{2}\left( {\sqrt[3]{{{2^2}}} + \sqrt[3]{2} + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt[3]{2} - 1} \right)\left( {\sqrt[3]{{{2^2}}} + \sqrt[3]{2} + 1} \right)}} - \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2}$

$= 2 + \sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2} = 2$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\sqrt[3]{{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)\left( {3 + 2\sqrt 2 } \right)}} = \sqrt[3]{{\left( {\sqrt 2 + 1} \right){{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}^2}}} = \sqrt[3]{{{{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}^3}}} = \sqrt 2 + 1$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\sqrt[3]{{ - 343}}.\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{{81}} - 2\sqrt[3]{{24}} = - 7\sqrt[3]{3} + 3.3\sqrt[3]{3} - 2\sqrt[3]{3} = 0$.

Đáp án đúng là: C

Ta có:

$2\sqrt[3]{{24}} - 3\sqrt[3]{{81}} + 4\sqrt[3]{{192}} - 2\sqrt[3]{{375}}$

$= 2\sqrt[3]{{8.3}} - 3\sqrt[3]{{27.3}} + 4\sqrt[3]{{64.3}} - 2\sqrt[3]{{125.3}}$

$= 2.2\sqrt[3]{3} - 3.3\sqrt[3]{3} + 4.4\sqrt[3]{3} - 2.5.\sqrt[3]{3}$

$= 4\sqrt[3]{3} - 9\sqrt[3]{3} + 16\sqrt[3]{3} - 10.\sqrt[3]{3} = \sqrt[3]{3}$.

Đáp án đúng là: D

Ta có:

$\left( {\sqrt[3]{9} - \sqrt[3]{6} + \sqrt[3]{4}} \right)\left( {\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{2}} \right)$

$= \sqrt[3]{9}.\sqrt[3]{3} - \sqrt[3]{6}.\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{4}.\sqrt[3]{3} + \sqrt[3]{9}.\sqrt[3]{2} - \sqrt[3]{6}.\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}.\sqrt[3]{2}$

$= \sqrt[3]{{{3^3}}} + \sqrt[3]{{18}} - \sqrt[3]{{18}} - \sqrt[3]{{12}} + \sqrt[3]{{12}} + \sqrt[3]{{{2^3}}}$

$= 3 + 2 = 5$.

Đáp án đúng là: A

Ta có: A = $\sqrt[3]{{\frac{{343{a^3}{b^6}}}{{ - 216}}}} = - \frac{7}{6}a{b^2}$.

Đáp án đúng là: C

Ta có: B = $3x - \sqrt[3]{{27{x^3} + 27{x^2} + 9x + 1}}$

$3x - \sqrt[3]{{{{\left( {3x + 1} \right)}^3}}} = 3x - 3x - 1 = - 1$.

Đáp án đúng là: B

Ta có: C = $2\sqrt[3]{{1 - 3{x^2} + 3x - {x^3}}} - x$

= $2\sqrt[3]{{{{\left( {1 - x} \right)}^3}}} - x = 2\left( {1 - x} \right) - x = 2 - 3x$.

Đáp án đúng là: D

Ta có: D = $\sqrt[3]{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}} - \frac{1}{2}\sqrt[3]{{{{\left( {1 - 2x} \right)}^3}}} + 3x$

= $x - 1 - \frac{1}{2}\left( {1 - 2x} \right) + 3x = x - 1 - \frac{1}{2} + x + 3x = 5x - \frac{3}{2}$.

Đáp án đúng là: C

Ta có:

E = $\sqrt[3]{{x\sqrt x + 1}}.\sqrt[3]{{x\sqrt x - 1}} - \sqrt[3]{{1 - {x^3}}}$

= $\sqrt[3]{{\left( {x\sqrt x + 1} \right)\left( {x\sqrt x - 1} \right)}} - \sqrt[3]{{1 - {x^3}}}$

= $\sqrt[3]{{{x^3} - 1}} - \sqrt[3]{{1 - {x^3}}} = 2\sqrt[3]{{{x^3} - 1}}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng.

Ta có:

$a = \sqrt[3]{{20 + 14\sqrt 2 }} = \sqrt[3]{{8 + 3.4.\sqrt 2 + 3.2.{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^3}}} = \sqrt[3]{{{{\left( {2 + \sqrt 2 } \right)}^3}}} = 2 + \sqrt 2$.

b) Sai.

Ta có:

$b = \sqrt[3]{{20 - 14\sqrt 2 }} = \sqrt[3]{{8 - 3.4.\sqrt 2 + 3.2.{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^3}}} = \sqrt[3]{{{{\left( {2 - \sqrt 2 } \right)}^3}}} = 2 - \sqrt 2$.

c) Đúng.

Ta có: x$_{0}$ = a + b = $2 + \sqrt 2 + 2 - \sqrt 2 = 4$.

d) Đúng.

Thay x = 4 vào phương trình, ta có:

x$^{3}$ – 3x$^{2}$ + x – 20 = 4$^{3}$ – 3.4$^{2}$ + 4 – 20 = 64 – 48 + 4 – 20 = 0.

Vậy x = 4 là nghiệm của phương trình x$^{3}$ – 3x$^{2}$ + x – 20 = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng.

Ta có: c.d = $\sqrt[3]{{9 + 4\sqrt 5 }}.\sqrt[3]{{9 - 4\sqrt 5 }}$

$= \sqrt[3]{{\left( {9 + 4\sqrt 5 } \right)\left( {9 - 4\sqrt 5 } \right)}}$

$= \sqrt[3]{{{9^2} - {{\left( {4\sqrt 5 } \right)}^2}}}$

= $\sqrt[3]{{81 - 80}} = \sqrt[3]{1} = 1$.

b) Đúng.

c$^{3}$ + d$^{3}$ = ${\left( {\sqrt[3]{{9 + 4\sqrt 5 }}} \right)^3} + {\left( {\sqrt[3]{{9 - 4\sqrt 5 }}} \right)^3} = 9 + 4\sqrt 5 + 9 - 4\sqrt 5 = 18$.

c) Đúng.

${\left( {c + d} \right)^3} = {\left( {\sqrt[3]{{9 + 4\sqrt 5 }} + \sqrt[3]{{9 - 4\sqrt 5 }}} \right)^3}$

$= {\left( {\sqrt[3]{{9 + 4\sqrt 5 }}} \right)^3} + {\left( {\sqrt[3]{{9 - 4\sqrt 5 }}} \right)^3} + 3.\sqrt[3]{{9 + 4\sqrt 5 }}.\sqrt[3]{{9 - 4\sqrt 5 }}.\left( {\sqrt[3]{{9 + 4\sqrt 5 }} + \sqrt[3]{{9 - 4\sqrt 5 }}} \right)$

$= 9 + 4\sqrt 5 + 9 - 4\sqrt 5 + 3.\sqrt[3]{{\left( {9 + 4\sqrt 5 } \right).\left( {9 - 4\sqrt 5 } \right)}}.\left( {\sqrt[3]{{9 + 4\sqrt 5 }} + \sqrt[3]{{9 - 4\sqrt 5 }}} \right)$

$= 18 + 3.\sqrt[3]{{{9^2} - {{\left( {4\sqrt 5 } \right)}^2}}}.\left( {\sqrt[3]{{9 + 4\sqrt 5 }} + \sqrt[3]{{9 - 4\sqrt 5 }}} \right)$

$= 18 + 3.\left( {\sqrt[3]{{9 + 4\sqrt 5 }} + \sqrt[3]{{9 - 4\sqrt 5 }}} \right)$

$= 18 + 3.\left( {c + d} \right)$.

Vậy ${\left( {c + d} \right)^3} = 18 + 3\left( {c + d} \right)$.

d) Sai.

Thay x = c + d, ta có:

(c + d)$^{3}$ – 3(c + d) – 18 = 0.

Mà từ phần c, có ${\left( {c + d} \right)^3} = 18 + 3\left( {c + d} \right)$ nên thay vào ta được:

18 + 3(c + d) – 3(c + d) – 18 = 0.

Vậy giá trị của biểu thức x = c + d là nghiệm của phương trình x$^{3}$ – 3x – 18 = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai.

Ta có: $a = \sqrt[3]{{20 + 14\sqrt 2 }} = \sqrt[3]{{8 + 12\sqrt 2 + 12 + 2\sqrt 2 }} = \sqrt[3]{{{{\left( {2 + \sqrt 2 } \right)}^3}}} = 2 + \sqrt 2$.

b) Đúng.

Ta có:

$ab = \sqrt[3]{{20 + 14\sqrt 2 }} \cdot \sqrt[3]{{20 - 14\sqrt 2 }} = \sqrt[3]{{\left( {20 + 14\sqrt 2 } \right)\left( {20 - 14\sqrt 2 } \right)}} = \sqrt[3]{{{{20}^2} - {{\left( {14\sqrt 2 } \right)}^2}}} = \sqrt[3]{8} = 2$c) Đúng.

Có T = a + b

$= \sqrt[3]{{20 + 14\sqrt 2 }} + \sqrt[3]{{20 - 14\sqrt 2 }}$

$= \sqrt[3]{{{{\left( {2 + \sqrt 2 } \right)}^3}}} + \sqrt[3]{{{{\left( {2 - \sqrt 2 } \right)}^3}}}$

$= 2 + \sqrt 2 + 2 - \sqrt 2 = 4$.

d) Đúng.

Có T = 4.

Thay T = 4 vào x$^{3}$ – 6x – 40 = 0 được: 4$^{3}$ – 6.4 – 40 = 64 – 24 – 40 = 0 (đúng)

Do đó, giá trị của T là nghiệm của phương trình x$^{3}$ – 6x – 40 = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng.

$u = \sqrt[3]{{10 + 6\sqrt 3 }} = \sqrt[3]{{1 + 3\sqrt 3 + 9 + 3\sqrt 3 }} = \sqrt[3]{{{{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)}^3}}} = 1 + \sqrt 3$.

b) Sai.

Ta có:

$u.v = \sqrt[3]{{10 + 6\sqrt 3 }} \cdot \sqrt[3]{{10 - 6\sqrt 3 }} = \sqrt[3]{{\left( {10 + 6\sqrt 3 } \right)\left( {10 - 6\sqrt 3 } \right)}} = \sqrt[3]{{{{10}^2} - {{\left( {6\sqrt 3 } \right)}^2}}} = \sqrt[3]{{ - 8}} = - 2$.

c) Đúng.

Ta có: S = u + v

$= \sqrt[3]{{10 + 6\sqrt 3 }} + \sqrt[3]{{10 - 6\sqrt 3 }}$

$= \sqrt[3]{{{{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)}^3}}} + \sqrt[3]{{{{\left( {1 - \sqrt 3 } \right)}^3}}}$

$= 1 + \sqrt 3 + 1 - \sqrt 3 = 2$.

d) Sai.

Thay S = 2 vào x$^{3}$ − 6x – 20 = 0 được 2$^{3}$ − 6.2 – 20 = 8 – 12 – 20 = −24 ≠ 0.

Vậy giá trị của S không là nghiệm của phương trình x$^{3}$ − 6x – 20 = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng.

Ta có: $x = \sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} = \sqrt[3]{{1 + 3\sqrt 2 + 6 + 2\sqrt 2 }} = \sqrt[3]{{{{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}^3}}} = 1 + \sqrt 2$.

b) Sai.

Ta có: $x.y = \sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} \cdot \sqrt[3]{{7 - 5\sqrt 2 }} = \sqrt[3]{{\left( {7 + 5\sqrt 2 } \right)\left( {7 - 5\sqrt 2 } \right)}} = \sqrt[3]{{{7^2} - {{\left( {5\sqrt 2 } \right)}^2}}} = - 1$.

c) Đúng.

Ta có:

S = x + y

$= \sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} + \sqrt[3]{{7 - 5\sqrt 2 }}$

$= \sqrt[3]{{{{\left( {1 + \sqrt 2 } \right)}^3}}} + \sqrt[3]{{{{\left( {1 - \sqrt 2 } \right)}^3}}}$

$= 1 + \sqrt 2 + 1 - \sqrt 2 = 2$.

d) Đúng.

Thay vào phương trình a$^{3}$ + 3a – 14 = 0, ta có: 2$^{3}$ + 3.2 – 14 = 8 +6 – 14 = 0 (đúng).

Do đó, giá trị của biểu thức S là nghiệm của phương trình a$^{3}$ + 3a – 14 = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án: −7,5

Ta có:

$a = \frac{2}{{2\sqrt[3]{2} + 2 + \sqrt[3]{4}}} = \frac{{2\left( {\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2}} \right)}}{{\left( {\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2}} \right)\left( {2\sqrt[3]{2} + 2 + \sqrt[3]{4}} \right)}} = \frac{{2\left( {\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2}} \right)}}{{{{\left( {\sqrt[3]{4}} \right)}^3} - {{\left( {\sqrt[3]{2}} \right)}^3}}} = \sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2}$.

$\,b = \frac{6}{{2\sqrt[3]{2} - 2 + \sqrt[3]{4}}} = \frac{{6\left( {\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}} \right)}}{{\left( {\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}} \right)\left( {2\sqrt[3]{2} - 2 + \sqrt[3]{4}} \right)}} = \frac{{6\left( {\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}} \right)}}{{{{\left( {\sqrt[3]{2}} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt[3]{4}} \right)}^2}}} = \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}$.

Ta có: A = ab$^{3}$ – a$^{3}$b = ab(a$^{2}$ – b$^{2}$).

= $\left( {\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2}} \right)\left( {\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2}} \right)\left[ {{{\left( {\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2}} \right)}^2} - {{\left( {\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2}} \right)}^2}} \right]$

= $\left( {\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2}} \right)\left( {\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2}} \right)\left[ {\left( {\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2}} \right) - \left( {\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2}} \right)} \right].\left[ {\left( {\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2}} \right) + \left( {\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2}} \right)} \right]$

= $\left( {\sqrt[3]{{{4^2}}} - \sqrt[3]{{{2^2}}}} \right)\left( { - 4\sqrt[3]{8}} \right)$

= −8$\left( {\sqrt[3]{{16}} - \sqrt[3]{4}} \right)$

≈ −7,5.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 4

Với x ≠ ±8, x ≠ 0, ta có:

$A = \frac{{8 - x}}{{2 + \sqrt[3]{x}}}:\left( {2 + \frac{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}{{2 + \sqrt[3]{x}}}} \right) + \sqrt[3]{x} + \frac{{2\sqrt[3]{x}}}{{\sqrt[3]{x} - 2}}.\frac{{\sqrt[3]{{{x^2}}} - 4}}{{\sqrt[3]{{{x^2}}} + 2\sqrt[3]{x}}}$

$= \frac{{8 - x}}{{2 + \sqrt[3]{x}}}:\left[ {\frac{{2.\left( {2 + \sqrt[3]{x}} \right) + \sqrt[3]{{{x^2}}}}}{{2 + \sqrt[3]{x}}}} \right] + \sqrt[3]{x} + \frac{{2\sqrt[3]{x}}}{{\sqrt[3]{x} - 2}}.\frac{{\left( {\sqrt[3]{x} - 2} \right)\left( {\sqrt[3]{x} + 2} \right)}}{{\sqrt[3]{x}\left( {2 + \sqrt[3]{x}} \right)}}$

$= \frac{{8 - x}}{{2 + \sqrt[3]{x}}}:\left[ {\frac{{4 + 2\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{{{x^2}}}}}{{2 + \sqrt[3]{x}}}} \right] + \sqrt[3]{x} + 2$

$= \frac{{\left( {2 - \sqrt[3]{x}} \right)\left( {4 + 2\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{{{x^2}}}} \right)}}{{2 + \sqrt[3]{x}}}.\frac{{\sqrt[3]{x} + 2}}{{4 + 2\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{{{x^2}}}}} + \sqrt[3]{x} + 2$

$= 2 - \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} + 2$

= 4.

Vậy n = 4.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 0

Ta có: $\sqrt[3]{{61 + 46\sqrt 5 }} = \sqrt[3]{{{{\left( {2\sqrt 5 } \right)}^3} + 3.{{\left( {2\sqrt 5 } \right)}^2}.1 + {{3.1}^2}.2\sqrt 5 + {1^3}}}$

$= \sqrt[3]{{{{\left( {2\sqrt 5 + 1} \right)}^3}}} = 2\sqrt 5 + 1$

Do đó, ta có: a = $\sqrt 2 + \sqrt {7 - 2\sqrt 5 - 1} + 1 = \sqrt 2 + \sqrt {6 - 2\sqrt 5 } + 1$

= $\sqrt 2 + \sqrt {6 - 2\sqrt 5 } + 1$

$= \sqrt 2 + \sqrt 5 - 1 + 1$

$= \sqrt 2 + \sqrt 5$

Ta có: a$^{2}$ = ${\left( {\sqrt 2 + \sqrt 5 } \right)^2} = 2 + 5 + 2\sqrt {10} = 7 + 2\sqrt {10}$.

Suy ra a$^{4}$ = ${\left[ {{{\left( {\sqrt 2 + \sqrt 5 } \right)}^2}} \right]^2} = {\left( {7 + 2\sqrt {10} } \right)^2} = 49 + 28\sqrt {10} + 40 = 89 + 28\sqrt {10}$.

Thay vào T = a$^{4}$ – 14a$^{2}$ + 9, ta có:

T = a$^{4}$ – 14a$^{2}$ + 9 = 89 + $28\sqrt {10}$ − 14$\left( {7 + 2\sqrt {10} } \right)$ + 9

= $89 + 28\sqrt {10} - 98 - 28\sqrt {10} + 9 = 0$.

Vậy T = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 2029

Ta có: $x = \sqrt[3]{{2 + \sqrt 5 }} + \sqrt[3]{{2 - \sqrt 5 }}$

${x^3} = {\left( {\sqrt[3]{{2 + \sqrt 5 }} + \sqrt[3]{{2 - \sqrt 5 }}} \right)^3}$

${x^3} = 2 + \sqrt 5 + 2 - \sqrt 5 + 3\sqrt[3]{{2 + \sqrt 5 }}.\sqrt[3]{{2 - \sqrt 5 }}.\left( {\sqrt[3]{{2 + \sqrt 5 }} + \sqrt[3]{{2 - \sqrt 5 }}} \right)$

${x^3} = 4 - 3.x$

Do đó, x$^{3}$ + 3x = 4

Vậy P = x$^{3}$ + 3x + 2025 = 4 + 2025 = 2029.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 0

Ta có: $x = \sqrt[3]{{26 + 15\sqrt 3 }} + \sqrt[3]{{26 - 15\sqrt 3 }}$

${x^3} = {\left( {\sqrt[3]{{26 + 15\sqrt 3 }} + \sqrt[3]{{26 - 15\sqrt 3 }}} \right)^3}$${x^3} = 26 + 15\sqrt 3 + 26 - 15\sqrt 3 + 3\sqrt[3]{{26 + 15\sqrt 3 }} + \sqrt[3]{{26 - 15\sqrt 3 }}\left( {\sqrt[3]{{26 + 15\sqrt 3 }} + \sqrt[3]{{26 - 15\sqrt 3 }}} \right)$

$${x^3} = 52 + 3\sqrt[3]{{{{26}^2} - {{\left( {15\sqrt 3 } \right)}^2}}}\left( {\sqrt[3]{{26 + 15\sqrt 3 }} + \sqrt[3]{{26 - 15\sqrt 3 }}} \right)$$

$${x^3} = 52 + 3x$$

Do đó, x$^{3}$ – 3x + 52 = 0 hay P = 0.