Bài tập Phương trình lôgarit lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

Điều kiện: x + 8 > 0 hay x > – 8.

Phương trình trở thành x + 8 = 2$^{3}$ hay x = 0 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 0.

Đáp án đúng là: C

Điều kiện: x > 0.

Phương trình trở thành x = 2$^{4}$ hay x = 16 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = 16.

Đáp án đúng là: D

Điều kiện: $|\text{x}-1|>0$ luôn đúng với mọi x.

Phương trình trở thành $|\text{x}-1|={3}^{5}$ hay x = 244 hoặc x = – 242 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S = {244; – 242}.

Đáp án đúng là: B

Điều kiện:$\{\begin{matrix}\text{x}-3\sqrt{\text{x}}+4>0 \\ x\ge 0\end{matrix}$ Û x ³ 0.

Phương trình trở thành $\text{x}-3\sqrt{\text{x}}+4={2}^{3}$ .

Từ đó $\text{x}-3\sqrt{\text{x}}-4=0$ Û $\sqrt{x}=-1$ (loại) hoặc $\sqrt{x}=4\Leftrightarrow x=16$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm.

Đáp án đúng là: A

Điều kiện: x – 1 > 0 và x + 1 > 0, tức x > 1.

Phương trình trở thành log$_{3}$(x – 1)$^{2}$ – log$_{3}$(x + 1) = 1.

Từ đó ${\log }_{3}\frac{{(\text{x}-1)}^{2}}{\text{x}+1}=1$

Û$\frac{{(\text{x}-1)}^{2}}{\text{x}+1}=3$

Û (x − 1)$^{2}$ = 3(x + 1)

Û x$^{2}$ – 5x – 2 = 0

Û $\text{x}=\frac{5+\sqrt{33}}{2}\$ (thỏa mãn điều kiện) hoặc $\text{x}=\frac{5-\sqrt{33}}{2}$ (loại) .

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $\text{x}=\frac{5+\sqrt{33}}{2}$ .

Đáp án đúng là: A

Điều kiện: $\frac{{\text{x}}^{2}-3\text{x}+2}{\text{x}}>0$ , tức x > 2.

Phương trình trở thành $\frac{{\text{x}}^{2}-3\text{x}+2}{\text{x}}=1$ . Từ đó x$^{2}$ – 3x + 2 = x hay x$^{2}$ – 4x + 2 = 0.

Từ đó tìm được $\text{x}=2+\sqrt{2}\text{và x}=2-\sqrt{2}$ nhưng chỉ có nghiệm $\text{x}=2+\sqrt{2}$ thỏa mãn điều kiện.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $\text{x}=2+\sqrt{2}$ nên tích tất cả các nghiệm của phương trình là .

Đáp án đúng là: D

Điều kiện: x$^{2}$ – x – 1 > 0 và x – 1 > 0 , tức x > $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ .

Phương trình trở thành log$_{2}$(x$^{2}$ – x – 1)$^{2}$ = log$_{2}$(x – 1)$^{2}$

Û (x$^{2}$ – x – 1)$^{2}$ = (x – 1)$^{2}$

$^{\Leftrightarrow [\begin{matrix}{x}^{2}-x-1=x-1 \\ {x}^{2}-x-1=-x+1\end{matrix}}$

$^{\Leftrightarrow [\begin{matrix}{x}^{2}-2x=0 \\ {x}^{2}=2\end{matrix}}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix}x=0 \\ x=2 \\ x=\sqrt{2} \\ x=-\sqrt{2}\end{matrix}$

Kết hợp điều kiên, ta có x = 2 là nghiệm của phương trình.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 2.

Đáp án đúng là: C

Điều kiện: x + 4 > 0 và 14 – x > 0, tức – 4 < x < 14.

Khi đó phương trình trở thành log$_{3}$(x + 4) + log$_{3}$(14 – x) = 4

Û log$_{3}$[(14 – x)(x + 4)] = 4

Û (14 – x)(x + 4) = 3$^{4}$ Û 14x +56 -x$^{2}$ – 4x

Û x$^{2}$ – 10x + 25 = 0.

Û x = 5 (thỏa mãn).

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 5.

Đáp án đúng là: B

Điều kiện: x$^{2}$ – 2x + 2 > 0 Û (x – 1)$^{2}$ + 1 > 0 luôn đúng với mọi x.

Khi đó phương trình trở thành x$^{2}$ – 2x + 2 = 10

Û x$^{2}$ – 2x – 8 = 0

Û (x – 1)$^{2}$ – 9 = 0

Û x = 4 hoặc x = −2.

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm.

Đáp án đúng là: B

Điều kiện: x > 0 và x – 1 > 0, tức x > 1.

Khi đó phương trình trở thành log$_{5}$[x(x – 1)] = 1 hay x$^{2}$ – x – 5 = 0.

Từ đó tìm được $\text{x}=\frac{1+\sqrt{21}}{2}\text{và x}=\frac{1-\sqrt{21}}{2}$ nhưng chỉ có nghiệm $\text{x}=\frac{1+\sqrt{21}}{2}$ thỏa mãn điều kiện.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $\text{x}=\frac{1+\sqrt{21}}{2}$ .

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Điều kiện x – 5 > 0 hay x > 5

Ta có: log$_{2}$(x – 5) = 3 ⇔ x – 5 = 2$^{3}$ ⇔ x – 5 = 8 ⇔ x = 8 + 5 = 13 (thỏa mãn điều kiện).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Điều kiện $\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x - 3 > 0\end{array} \right.$ ⇔ x > 3.

Ta có: log$_{2}$x + log$_{2}$(x – 3) = 2 ⇔ log$_{2}$(x$^{2}$ – 3x) = 2

⇔ x$^{2}$ – 3x = 2$^{2}$ = 4 ⇔ x$^{2}$ – 3x – 4 = 0 ⇔ $\left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 4\end{array} \right.$.

Mà x > 3 ⇒ Phương trình có một nghiệm x = 4 thỏa mãn điều kiện đề bài.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Điều kiện $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 4x > 0\\2x + 3 > 0\end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x > 0\\x < - 4\end{array} \right.\\x > - \frac{3}{2}\end{array} \right.$ ⇔ x > 0.

Ta có: log$_{3}$(x$^{2}$ + 4x) + ${\log _{\frac{1}{3}}}(2x + 3)$ = 0 ⇔ log$_{3}$(x$^{2}$ + 4x) + ${\log _{{3^{ - 1}}}}(2x + 3)$ = 0

⇔ log$_{3}$(x$^{2}$ + 4x) – log$_{3}$(2x + 3) = 0 ⇔ log$_{3}$(x$^{2}$ + 4x) = log$_{3}$(2x + 3)

⇔ x$^{2}$ + 4x = 2x + 3 ⇔ x$^{2}$ + 4x – 2x – 3 = 0 ⇔ x$^{2}$ + 2x – 3 = 0

⇔ $\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 3\end{array} \right.$

Kết hợp với điều kiện ta được x = 1.

Vậy phương trình có 1 nghiệm x = 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Điều kiện: 3x – 1 > 0 hay x > $\frac{1}{3}$

Ta có: log$_{3}$(3x – 1) = 2 ⇔ 3x – 1 = 3$^{2}$ = 9 ⇔ x = $\frac{{9 + 1}}{3}$ = $\frac{{10}}{3}$ (thỏa mãn điều kiện).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Điều kiện: 2$^{x}$ – 1 > 0 ⇔ 2$^{x}$ > 1 ⇔ 2$^{x}$ > 2$^{0}$ ⇔ x > 0

Ta có: log$_{3}$(2$^{x}$ – 1) = 4 ⇔ 2$^{x}$ – 1 = 3$^{4}$ ⇔ 2$^{x}$ – 1 = 81

⇔ 2$^{x}$ = 82.

Lấy logarit cơ số 2 hai vế, ta được: log$_{2}$2$^{x}$ = log$_{2}$82 ⇔ x = log$_{2}$82 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình có nghiệm x = log$_{2}$82.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Điều kiện: 3 – x > 0 ⇔ –x > –3 ⇔ x < 3.

b) Đúng. Ta có: 4 – log(3 – x) = 3 ⇔ log(3 – x) = 4 – 3 ⇔ log(3 – x) = 1.

c) Sai. Theo câu b), log(3 – x) = 1

⇔ 3 – x = 10$^{1}$ ⇔ 3 – x = 10 ⇔ x = 3 – 10 ⇔ x = –7 (thỏa mãn điều kiện)

Vì –7 < 0 và –7 ∈ ℤ ⇒ Nghiệm của phương trình là một số nguyên âm.

d) Đúng. Vì x = –7 thuộc khoảng (–8; –6).

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Điều kiện: x$^{2}$ – 3x + 21 > 0 (1).

log$_{5}$$\sqrt {{x^2} - 3x + 21}$ = 1 ⇔ $\sqrt {{x^2} - 3x + 21}$ = 5$^{1}$ = 5

⇔ $\sqrt {{x^2} - 3x + 21}$ = $\sqrt {25}$ ⇔ x$^{2}$ – 3x + 21 = 25 ⇔ x$^{2}$ – 3x – 4 = 0.

Vậy phương trình (*) có chung tập nghiệm với phương trình x$^{2}$ – 3x – 4 = 0.

b) Sai. Theo câu a), phương trình (*) Û x$^{2}$ – 3x – 4 = 0 ⇔ $\left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 4\end{array} \right.$.

Thay lần lượt hai giá trị này vào điều kiện (1), ta được:

$\left[ \begin{array}{l}{( - 1)^2} - 3 \cdot ( - 1) + 21 = 25 > 0\\{4^2} - 3 \cdot 4 + 21 = 25 > 0\end{array} \right.$(thỏa mãn điều kiện)

⇒ Phương trình có tập nghiệm là S = {–1; 4}.

⇒ Tổng các nghiệm của phương trình bằng: (–1) + 4 = 3.

c) Sai. Theo câu b), hai nghiệm của phương trình lần lượt là x$_{1}$ = –1; x$_{2}$ = 4.

Ta có: x$_{1}$ + 8 = (–1) + 8 = 7

2x$_{2}$ = 2 ⋅ 4 = 8

Mà x$_{1}$ + 8 ≠ 2x$_{2}$ (do 7 ≠ 8).

Do số đứng giữa không bằng trung bình cộng của hai số hạng kề bên, nên ba số x$_{1}$; x$_{2}$; 8 không tạo thành một cấp số cộng.

d) Đúng. Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_1}} (x - 2)$ = x$_{1}$ – 2 = –1 – 2 = –3.

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_2}} (x - 2)$ = x$_{2}$ – 2 = 4 – 2 = 2.

⇒ $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_1}} (x - 2) + \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_2}} (x - 2)$ = –3 + 2 = –1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Sai. Điều kiện: x$^{2}$ – x + 2 > 0 ⇔ ${\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{7}{4}$ > 0 đúng với mọi x ∈ ℝ.

Vậy phương trình luôn xác định với mọi x ∈ ℝ.

b) Đúng. Ta có: log$_{2}$(x$^{2}$ – x + 2) = 1 ⇔ x$^{2}$ – x + 2 = 2$^{1}$ = 2

⇔ x$^{2}$ – x = 0 ⇔ x(x – 1) = 0 ⇔ $\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.$

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt là x = 0 và x = 1.

c) Đúng. Theo câu b), phương trình có hai nghiệm phân biệt là x = 0 và x = 1

⇒ Tổng bình phương các nghiệm của phương trình là: 0$^{2}$ + 1$^{2}$ = 1.

d) Sai. Theo câu b), phương trình có hai nghiệm phân biệt là x = 0 và x = 1

Ta có: P = x$_{1}$ ⋅ x$_{2}$ = 0 ⋅ 1 = 0.

Vì hai nghiệm trái dấu thì tích của chúng phải nhỏ hơn 0, do đó khẳng định này là sai.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 3x > 0\\{(x - 3)^2} > 0\end{array} \right.$ ⇒ $\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x < 0\\x > 3\end{array} \right.\\x \ne 3\end{array} \right.$ ⇒ $\left[ \begin{array}{l}x < 0\\x > 3\end{array} \right.$.

b) Sai. Ta có: log$_{2}$(x$^{2}$ – 3x) = log$_{4}$(x – 3)$^{2}$ + 2

⇔ log$_{2}$(x$^{2}$ – 3x) = ${\log _{{2^2}}}{(x - 3)^2}$ + 2

⇔ log$_{2}$(x$^{2}$ – 3x) = $\frac{2}{2}$log$_{2}$|x – 3| + 2

⇔ log$_{2}$(x$^{2}$ – 3x) = log$_{2}$|x – 3| + 2.

Vì khi x < 0, |x – 3| = 3 – x ≠ x – 3 ⇒ không thể viết log$_{2}$|x – 3| = log$_{2}$(x – 3).

Vậy khẳng định b sai.

c) Sai. Ta có: log$_{2}$(x$^{2}$ – 3x) = log$_{2}$|x – 3| + 2 ⇔ log$_{2}$(x$^{2}$ – 3x) = log$_{2}$|x – 3| + log$_{2}$4

⇔ log$_{2}$(x$^{2}$ – 3x) = log$_{2}$(4∣x − 3∣) ⇔ x$^{2}$ – 3x = 4∣x − 3∣

* TH1: x > 3: x$^{2}$ – 3x = 4∣x − 3∣ ⇔ x$^{2}$ – 3x = 4(x – 3)

⇔ x$^{2}$ – 7x + 12 = 0 ⇔ (x – 3)(x – 4) = 0 ⇔ x = 3 (loại) hoặc x = 4 (thỏa mãn điều kiện).

* TH2: x < 0: x$^{2}$ – 3x = 4∣x − 3∣ ⇔ x$^{2}$ – 3x = 4(3 – x)

⇔ x$^{2}$ + x – 12 = 0 ⇔ (x + 4)(x − 3) = 0 ⇔ x = – 4 (thỏa mãn điều kiện) hoặc x = 3 (loại).

Vậy phương trình có hai nghiệm x = –4; x = 4.

d) Đúng. Theo câu c), phương trình có hai nghiệm x = –4; x = 4

⇒ Tổng bình phương các nghiệm bằng: (–4)$^{2}$ + 4$^{2}$ = 16 + 16 = 32.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Điều kiện: x > 0.

log$_{3}$x = 4 ⇒ x = 3$^{4}$ = 81 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất x = 81.

b) Đúng. Điều kiện: 2x – 2 > 0 ⇒ x > 1.

Vậy phương trình có điều kiện nghiệm là x > 1.

c) Đúng. Điều kiện: x$^{2}$+ 5x + 10 > 0 (*)

Ta có: log$_{4}$(x$^{2}$ + 5x + 10) = 2

⇔ x$^{2}$ + 5x + 10 = 4$^{2}$ ⇔ x$^{2}$ + 5x – 6 = 0 ⇔ $\left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 6\end{array} \right.$.

Thay lần lượt hai giá trị này vào (*), ta được:

$\left[ \begin{array}{l}{1^2} + 5 \cdot 1 + 10 = 16 > 0\\{( - 6)^2} + 5 \cdot ( - 6) + 10 = 16 > 0\end{array} \right.$(thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình có tập nghiệm là S = {–6; 1}.

⇒ Tổng các nghiệm của phương trình bằng: (–6) + 1 = –5.

d) Sai. 3 ⋅ e$^{2x+4}$= 4 ⇔ e$^{2x+4}$= $\frac{4}{3}$

Lấy ln cả hai vế, ta được: 2x + 4 = ln$\left( {\frac{4}{3}} \right)$ ⇔ 2x = ln$\left( {\frac{4}{3}} \right)$ – 4 ⇔ x = $\frac{1}{2}\ln \left( {\frac{4}{3}} \right)$ – 2.

Vậy phương trình có một nghiệm là x = $\frac{1}{2}\ln \left( {\frac{4}{3}} \right)$ – 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: –14

Điều kiện: –x + 2 > 0 ⇔ –x > –2 ⇔ x < 2.

Ta có: ${\log _{\frac{1}{4}}}( - x + 2)$ = –2 ⇔ –x + 2 = ${\left( {\frac{1}{4}} \right)^{ - 2}}$

⇔ –x + 2 = (4$^{–1}$)$^{–2}$= 4$^{2}$ ⇔ –x + 2 = 16 ⇔ –x = 14 ⇔ x = –14 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy phương trình có nghiệm x = –14.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 3

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}2x - 3 > 0\\x - 2 > 0\end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}x > \frac{3}{2}\\x > 2\end{array} \right.$ ⇔ x > 2

Ta có: log$_{3}$(2x – 3) = log$_{3}$(x – 2) + 1 ⇔ log$_{3}$(2x – 3) = log$_{3}$(x – 2) + log$_{3}$3

⇔ log$_{3}$(2x – 3) = log$_{3}$3(x – 2) ⇔ 2x – 3 = 3(x – 2)

⇔ 2x – 3 = 3x – 6 ⇔ 2x – 3x = –6 + 3 ⇔ –x = –3 ⇔ x = 3.

Vậy phương trình có nghiệm x = 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 43

Điều kiện: x + 4 > 0 ⇔ x > –4

Ta có: log$_{5}$(x + 4) = 2 ⇔ x + 4 = 5$^{2}$ ⇔ x + 4 = 25

⇔ x = 25 – 4 ⇔ x = 21 (thỏa mãn điều kiện)

⇒ Phương trình có nghiệm x = 21

⇒ P = 2 ⋅ 21 + 1 = 43.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 5

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}x - 1 > 0\\x + 3 > 0\end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}x > 1\\x > - 3\end{array} \right.$ ⇔ x > 1.

Ta có: log$_{2}$(x – 1) + log$_{2}$(x + 3) = 5 ⇔ log$_{2}$[(x – 1)(x + 3)] = 5

⇔ (x – 1)(x + 3) = 2$^{5}$ ⇔ x$^{2}$ + 3x – x – 3 = 32

⇔ x$^{2}$ + 2x – 3 = 32 ⇔ x$^{2}$ + 2x – 35 = 0 ⇔ $\left[ \begin{array}{l}x = 5\\x = - 7\end{array} \right.$

Đối chiếu với điều kiện ⇒ x = 5 thỏa mãn điều kiện

Vậy phương trình có nghiệm x = 5.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: 3

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 3x + 2 > 0\\2x - 4 > 0\end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}(x - 1)(x - 2) > 0\\x > 2\end{array} \right.$ ⇔ $\left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x < 1\\x > 2\end{array} \right.\\x > 2\end{array} \right.$ ⇔ x > 2

Ta có: log(x$^{2}$ – 3x + 2) = 2log$_{100}$(2x – 4)

⇔ log(x$^{2}$ – 3x + 2) = $2{\log _{{{10}^2}}}(2x - 4)$

⇔ log(x$^{2}$ – 3x + 2) = $\frac{2}{2}$log(2x – 4)

⇔ log(x$^{2}$ – 3x + 2) = log(2x – 4) ⇔ x$^{2}$ – 3x + 2 = 2x – 4

⇔ x$^{2}$ – 3x – 2x + 2 + 4 = 0 ⇔ x$^{2}$ – 5x + 6 = 0 ⇔ $\left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 3\end{array} \right.$

Đối chiếu với điều kiện ⇒ x = 3 thỏa mãn điều kiện

Vậy phương trình có nghiệm x = 3.