Bài tập Phương pháp quy nạp toán học có đáp án

Hướng dẫn giải

Có thể kết luận rằng tất cả các quân domino đều đổ. Vì: quân domino đầu tiên đổ thì sử dụng 2) ta có quân domino thứ 2 cũng đổ, quân domino thứ 2 đổ thì lại tiếp tục sử dụng 2) suy ra quân domino thứ 3 cũng đổ,...cứ như vậy quân domino cuối cùng cũng đổ. Do đó tất cả các quân domino đều đổ.

Hướng dẫn giải

a) Với n = 1, ta có 2.1 – 1 = 1 = 12, do đó công thức (1) đúng với n = 1.

Với n = 2, ta có 1 + (2.2 – 1) = 4 = 22, do đó công thức (1) đúng với n = 2.

Với n = 3, ta có 1 + 3 + (2.3 – 1) = 9 = 32, do đó công thức (1) đúng với n = 3.

Với n = 4, ta có 1 + 3 + 5 + (2.4 – 1) = 16 = 42, do đó công thức (1) đúng với n = 4.

Với n = 5, ta có 1 + 3 + 5 + 7 + (2.5 – 1) = 25 = 52, do đó công thức (1) đúng với n = 5.

b) Mỗi lần tô thêm một hàng và cột những ô vuông, bạn học sinh đã kiểm nghiệm công thức (1) thêm một trường hợp của n. Tuy nhiên, bới tập hợp ℕ* là vô hạn nên cách làm đó không thể chứng tỏ công thức (1) đúng với mọi n $\in$ ℕ*.

Hướng dẫn giải

Bước 1. Với n = 1, ta có 1 = $\frac{1(1+1)}{2}.$ Do đó đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: $1+2+3+\ldots +k=\frac{k(k+1)}{2}.$

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:$1+2+3+\ldots +k+(k+1)=\frac{(k+1)[(k+1)+1]}{2}.$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

$1+2+3+...+k+(k+1)$

$=\frac{k(k+1)}{2}+\frac{2(k+1)}{2}=\frac{(k+1)(k+2)}{2}=\frac{(k+1)[(k+1)+1]}{2}.$

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Hướng dẫn giải

Bước 1. Với n = 3, ta có 23 + 1 = 16 > 14 = 32 + 3 + 2. Do đó bất đẳng thức đúng với n = 3.

Bước 2. Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 3, nghĩa là có: 2k + 1 > k2 + k + 2.

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

2(k +1) + 1 > (k + 1)$^{2}$ + (k + 1) + 2.

Sử dụng giả thiết quy nạp, với lưu ý k ≥ 3, ta có:

2(k +1) + 1 = 2 . 2k + 1 > 2(k2 + k + 2) = 2k$^{2}$ + 2k + 4 = k$^{2}$ + k$^{2}$ + 2k + 4 > k$^{2}$ + k + 2k + 4

= (k$^{2}$ + 2k + 1) + (k + 1) + 2 = (k + 1)$^{2}$ + (k + 1) + 2.

Vậy bất đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 3.

Hướng dẫn giải

Bước 1. Với n = 1, ta có 13 + 2 . 1 = 3 ⁝ 3. Do đó khẳng định đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: k3 + 2k ⁝ 3.

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

(k + 1)$^{3}$ + 2(k + 1) ⁝ 3.

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

(k + 1)$^{3}$ + 2(k + 1) = k$^{3}$ + 3k$^{2}$ + 3k + 1 + 2k + 2 = (k$^{3}$ + 2k) + (3k$^{2}$ + 3k + 3)

Vì (k$^{3}$ + 2k) và (3k$^{2}$ + 3k + 3) đều chia hết cho 3 nên (k$^{3}$ + 2k) + (3k$^{2}$ + 3k + 3) ⁝ 3 hay (k + 1)3 + 2(k + 1) ⁝ 3.

Vậy khẳng định đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Hướng dẫn giải

Bước 1. Với n = 1, ta có q1 – 1 = q0 = 1 = $\frac{1-q}{1-q}=\frac{1-{q}^{1}}{1-q}.$ Do đó đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:

$1+q+{q}^{2}+{q}^{3}+{q}^{4}+\ldots +{q}^{k-1}=\frac{1-{q}^{k}}{1-q}.$

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:$1+q+{q}^{2}+{q}^{3}+{q}^{4}+\ldots +{q}^{k-1}+{q}^{(k+1)-1}=\frac{1-{q}^{k+1}}{1-q}.$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

$1+q+{q}^{2}+{q}^{3}+{q}^{4}+\ldots +{q}^{k-1}+{q}^{(k+1)-1}$

$=\frac{1-{q}^{k}}{1-q}+{q}^{(k+1)-1}$$=\frac{1-{q}^{k}}{1-q}+{q}^{k}$$=\frac{1-{q}^{k}+{q}^{k}(1-q)}{1-q}$$=\frac{1-{q}^{k}+{q}^{k}-{q}^{k+1}}{1-q}$$=\frac{1-{q}^{k+1}}{1-q}.$

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Hướng dẫn giải

Bước 1. Với n = 1, ta có rõ ràng một đường thẳng chia mặt phẳng thành 2 phần.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: k đường thẳng khác nhau đi qua một điểm chia mặt phẳng ra thành 2k phần.

Ta cần chứng minh khẳng định đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh: (k + 1) đường thẳng khác nhau đi qua một điểm chia mặt phẳng ra thành 2(k + 1) phần.

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

Nếu dựng đường thẳng đi qua điểm đã cho và không trùng với đường thẳng nào trong số những đường thẳng còn lại, thì ta nhận thêm 2 phần của mặt phẳng. Như vậy tổng số phần mặt phẳng là của 2k cộng thêm 2 , nghĩa là 2(k + 1).

Vậy khẳng định đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Hướng dẫn giải

a)

– Tổng số tiền (cả vốn lẫn lãi) T$_{1}$ nhận được sau kì thứ 1 là:

T$_{1}$ = A + Ar = A(1 + r).

– Tổng số tiền (cả vốn lẫn lãi) T$_{2}$ nhận được sau kì thứ 2 là:

T$_{2}$ = A(1 + r) + A(1 + r)r = A(1 + r)(1 + r) = A(1 + r)2.

– Tổng số tiền (cả vốn lẫn lãi) T$_{3}$ nhận được sau kì thứ 3 là:

T$_{3}$ = A(1 + r)2 + A(1 + r)2r = A(1 + r)3.

b) Từ câu a) ta có thể dự đoán T$_{n}$ = A(1 + r)n.

Ta chứng minh bằng quy nạp toán học.

Bước 1. Với n = 1 ta có T$_{1}$ = A(1 + r) = A(1 + r)1.

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k ≥ 1, tức là ta có: T$_{k}$ = A(1 + r)k.

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh: T$_{k + 1}$ = A(1 + r)k + 1.

Thật vậy,

Tổng số tiền (cả vốn lẫn lãi) T$_{k + 1}$ nhận được sau kì thứ (k + 1) là:

T$_{k + 1}$ = A(1 + r)k + A(1 + r)k.r = A(1 + r)k(1 + r) = A(1 + r)k + 1.

Vậy khẳng định đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Vậy T$_{n}$ = A(1 + r)n với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Hướng dẫn giải

a) Bước 1. Với n = 1, ta có 1(1 + 1) = 2 = $\frac{1(1+1)(1+2)}{3}.$

Do đó đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:$1.2+2.3+3.4+\ldots +k.(k+1)=\frac{k(k+1)(k+2)}{3}.$

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:$1.2+2.3+3.4+\ldots +k.(k+1)+(k+1)[(k+1)+1]=\frac{(k+1)[(k+1)+1][(k+1)+2]}{3}.$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

$1.2+2.3+3.4+\ldots +k.(k+1)+(k+1)[(k+1)+1]$

$=\frac{k(k+1)(k+2)}{3}+(k+1)(k+2)$

$=\frac{k(k+1)(k+2)}{3}+\frac{3(k+1)(k+2)}{3}$

$=\frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}$

$=\frac{(k+1)[(k+1)+1][(k+1)+2]}{3}.$

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

b) Bước 1. Với n = 1, ta có 12 = 1 = $\frac{1(1+1)(2.1+2)}{6}.$

Do đó đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:

$1+4+9+\ldots +{k}^{2}=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}.$

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:$1+4+9+\ldots +{k}^{2}+{(k+1)}^{2}=\frac{(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]}{6}.$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

$1+4+9+\ldots +{k}^{2}+{(k+1)}^{2}$

$=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+{(k+1)}^{2}$

$=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+\frac{6{(k+1)}^{2}}{6}$

$=\frac{k+1}{6}[k(2k+1)+6(k+1)]$

$=\frac{k+1}{6}[2{k}^{2}+7k+6]$

$=\frac{k+1}{6}(k+2)(2k+3)$

$=\frac{k+1}{6}[(k+1)+1][2(k+1)+1]$

$=\frac{(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]}{6}.$

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

c) Bước 1. Với n = 1, ta có 21 – 1 = 20 = 1 = 21 – 1.

Do đó đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:

$1+2+{2}^{2}+{2}^{3}+{2}^{4}+\ldots +{2}^{k-1}={2}^{k}-1.$

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

$1+2+{2}^{2}+{2}^{3}+{2}^{4}+\ldots +{2}^{k-1}+{2}^{(k+1)-1}={2}^{k+1}-1.$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

$1+2+{2}^{2}+{2}^{3}+{2}^{4}+\ldots +{2}^{k-1}+{2}^{(k+1)-1}$

$=({2}^{k}-1)+{2}^{(k+1)-1}$

$={2}^{k}-1+{2}^{k}$

$={2.2}^{k}-1$

$={2}^{k+1}-1.$

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Hướng dẫn giải

a) Bước 1. Với n = 1, ta có 52.1 – 1 = 24 ⁝ 24. Do đó khẳng định đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: 52k – 1 ⁝ 24.

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

52(k + 1) – 1 ⁝ 24.

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

52(k + 1) – 1 = 52k + 2 – 1 = 25 . 52k – 1 = 24 . 52k + (52k – 1)

Vì 24 . 52k và (52k – 1) đều chia hết cho 24 nên 24 . 52k + (52k – 1) ⁝ 24 hay 52(k + 1) – 1 ⁝ 24.

Vậy khẳng định đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

b) Bước 1. Với n = 1, ta có 13 + 5 . 1 = 6 ⁝ 6. Do đó khẳng định đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: k3 + 5k ⁝ 6.

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

(k + 1)3 + 5(k + 1) ⁝ 6.

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

(k + 1)3 + 5(k + 1) = k3 + 3k2 + 3k + 1 + 5k + 5 = (k3 + 5k) + (3k2 + 3k) + 6

= (k3 + 5k) + 3k(k + 1) + 6.

Vì k và k + 1 là hai số tự nhiên liên tiếp nên có một số chia hết cho 2, do đó 3k(k + 1) ⁝ 6.

Do đó (k3 + 5k) và 3k(k + 1) đều chia hết cho 6, suy ra (k3 + 5k) + 3k(k + 1) + 6 ⁝ 6 hay (k + 1)3 + 5(k + 1) ⁝ 6.

Vậy khẳng định đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Hướng dẫn giải

Bước 1. Với n = 1 ta có (1 + x)1 = 1 + x = 1 + 1.x. Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là ta có: (1 + x)k ≥ 1+ kx.

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh: (1 + x)k + 1 ≥ 1+ (k + 1)x.

Thật vậy, sử dụng giả thiết quy nạp ta có:

(1 + x)k + 1

= (1 + x)(1 + x)k ≥ (1 + x)(1+ kx) = 1 + x + kx + kx2 > 1 + x + kx = 1+ (k + 1)x.

Vậy khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Hướng dẫn giải

Bước 1. Với n = 1, ta có $\frac{{a}^{1}+{b}^{1}}{2}=\frac{a+b}{2}={(\frac{a+b}{2})}^{1}\text{.}$ Do đó bất đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: $\frac{{a}^{k}+{b}^{k}}{2}\ge {(\frac{a+b}{2})}^{k}\text{.}$

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

$\frac{{a}^{k+1}+{b}^{k+1}}{2}\ge {(\frac{a+b}{2})}^{k+1}\text{.}$

Ta có:

Vì (ak – bk) và (a – b) cùng dấu nên (ak – bk)(a – b) ≥ 0 với mọi k ≥ 1,

suy ra ak + 1 + bk + 1 ≥ akb + abk

=> (ak + 1 + bk + 1) + (ak + 1 + bk + 1) ≥ (akb + abk) + (ak + 1 + bk + 1) = (a + b)(ak + bk)

=> 2(ak + 1 + bk + 1) ≥ (a + b)(ak + bk)

$\Rightarrow \frac{{a}^{k+1}+{b}^{k+1}}{2}\ge \frac{(a+b)}{2}.\frac{({a}^{k}+{b}^{k})}{2}$

$\Rightarrow \frac{{a}^{k+1}+{b}^{k+1}}{2}\ge \frac{a+b}{2}.\frac{{a}^{k}+{b}^{k}}{2}\ge \frac{a+b}{2}.{(\frac{a+b}{2})}^{k}={(\frac{a+b}{2})}^{k+1}\text{.}$

Vậy bất đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Hướng dẫn giải

Bước 1. Với n = 2, ta có $1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}>\frac{4}{3}=\frac{2.2}{2+1}.$ Do đó bất đẳng thức đúng với n = 2.

Bước 2. Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 2, nghĩa là có:$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{k}>\frac{2k}{k+1}.$

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh: $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}>\frac{2(k+1)}{(k+1)+1}.$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots +\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}$ > $\frac{2k}{k+1}+\frac{1}{k+1}=\frac{2k+1}{k+1}=\frac{(2k+1)(k+2)}{(k+1)(k+2)}=\frac{2{k}^{2}+5k+2}{(k+1)(k+2)}$$>\frac{2{k}^{2}+4k+2}{(k+1)(k+2)}=\frac{2{(k+1)}^{2}}{(k+1)(k+2)}=\frac{2(k+1)}{k+2}=\frac{2(k+1)}{(k+1)+1}.$

Vậy bất đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Hướng dẫn giải

a) S$_{3}$ = 180o, S$_{4}$ = 360o, S$_{5}$ = 540o.

b) Từ a) ta dự đoán S$_{n}$ = (n – 2) . 180o.

Ta chứng minh công thức bằng phương pháp quy nạp toán học.

Bước 1. Với n = 3, ta có tổng ba góc của một tam giác bằng 180o = (3 – 2) . 180o. Vậy công thức đúng với n=3.

Bước 2. Giả sử công thức đúng với n = k ≥ 3, ta sẽ chứng minh công thức đúng với n = k + 1.

Thật vậy, xét đa giác k + 1 cạnh A$_{1}$A$_{2}$...A$_{k}$A$_{k + 1}$, nối hai đỉnh A$_{1}$ và A$_{k}$ ta được đa giác k cạnh A$_{1}$A$_{2}$...A$_{k}$. Theo giả thiết quy nạp, tồng các góc của đa giác k cạnh này bằng (k – 2) . 180o

Dễ thấy tổng các góc của đa giác A$_{1}$A$_{2}$...A$_{k}$A$_{k + 1}$ bằng tổng các góc của đa giác

A$_{1}$A$_{2}$...A$_{k}$ cộng với tổng các góc của tam giác A$_{k + 1}$A$_{k}$A$_{1}$, tức là bằng

(k – 2) . 180o + 180o = (k – 1) . 180o = [(k+1) – 2] . 180o.

Vậy công thức đúng với mọi đa giác n cạnh, n ≥ 3.

Hướng dẫn giải

a)

– T$_{1}$ là tổng tiền vốn và lãi của người đó có trong ngân hàng tại thời điểm ngay sau khi gửi vào khoản thứ 2:

T$_{1}$ = (a + ar) + a = a(1 + r) + a = a[(1 + r) + 1].

– T$_{2}$ là tổng tiền vốn và lãi của người đó có trong ngân hàng tại thời điểm ngay sau khi gửi vào khoản thứ 3:

T$_{2}$ = T$_{1}$ + T$_{1}$ . r + a

= a[(1 + r) + 1] + a[(1 + r) + 1]r + a

= a[(1 + r) + 1](1 + r) + a

= a(1 + r)2 + a(1 + r) + a

= a[(1 + r)2 + (1 + r) + 1].

– T$_{3}$ là tổng tiền vốn và lãi của người đó có trong ngân hàng tại thời điểm ngay sau khi gửi vào khoản thứ 4:

T$_{3}$ = T$_{2}$ + T$_{2}$ . r + a

= a[(1 + r)2 + (1 + r) + 1] + a[(1 + r)2 + (1 + r) + 1]r + a

= a[(1 + r)2 + (1 + r) + 1](1 + r) + a

= a(1 + r)3 + a(1 + r)2 + a(1 + r) + a

= a[(1 + r)3 + (1 + r)2 + (1 + r) + 1].

b) Từ câu a) ta có thể dự đoán:

T$_{n}$ = a[(1 + r)n + ... + (1 + r)2 + (1 + r) + 1]

$=a.\frac{1-{(1+r)}^{n+1}}{1-(1+r)}=a.\frac{1-{(1+r)}^{n+1}}{-r}=a.\frac{{(1+r)}^{n+1}-1}{r}.$

Ta chứng minh bằng quy nạp toán học.

Bước 1. Với n = 1 ta có:

T$_{1}$ = a[(1 + r) + 1]

$=a.\frac{{r}^{2}+2r}{r}=a.\frac{({r}^{2}+2r+1)-1}{r}=a.\frac{{(1+r)}^{2}-1}{r}=a.\frac{{(1+r)}^{1+1}-1}{r}.$

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k ≥ 1, tức là ta có: T$_{k}$ = $a.\frac{{(1+r)}^{k+1}-1}{r}.$

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh: T$_{k + 1}$ = $a.\frac{{(1+r)}^{(k+1)+1}-1}{r}.$

Thật vậy,

T$_{k + 1}$ = T$_{k}$ + T$_{k}$ . r + a

$=a.\frac{{(1+r)}^{k+1}-1}{r}+a.\frac{{(1+r)}^{k+1}-1}{r}.r+a$

$=a[\frac{{(1+r)}^{k+1}-1}{r}+\frac{{(1+r)}^{k+1}-1}{r}.r+1]$

$=a[\frac{{(1+r)}^{k+1}-1}{r}+\frac{[{(1+r)}^{k+1}-1]r}{r}+\frac{r}{r}]$

$=a.\frac{{(1+r)}^{k+1}-1+[{(1+r)}^{k+1}-1]r+r}{r}$

$=a.\frac{{(1+r)}^{k+1}-1+r{(1+r)}^{k+1}-r+r}{r}$

$=a.\frac{{(1+r)}^{k+1}-1+r{(1+r)}^{k+1}}{r}$

$=a.\frac{(1+r){(1+r)}^{k+1}-1}{r}$

$=a.\frac{{(1+r)}^{k+2}-1}{r}$

$=a.\frac{{(1+r)}^{(k+1)+2}-1}{r}.$

Vậy khẳng định đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Vậy T$_{n}$ = $a.\frac{{(1+r)}^{n+1}-1}{r}$ với mọi số tự nhiên n ≥ 1.