Bài tập Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách nhóm các hạng tử lớp 8 (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

x$^{2}$ + 4x – y$^{2}$ – 4y = (x$^{2}$ – y$^{2}$) + (4x – 4y)

= (x – y)(x + y) + 4(x – y) = (x – y)(x + y + 4)

Đáp án đúng là: D

x$^{4}$ – 1 + 9y$^{2}$ – 6x$^{2}$y

= (x$^{4}$ – 6x$^{2}$y + 9y$^{2}$) – 1

= (x$^{2}$ – 3y)$^{2}$ – 1$^{2}$

= (x$^{2}$ – 3y – 1)(x$^{2}$ – 3y + 1).

Đáp án đúng là: A

8x$^{2}$ – 3x – 3y + 8xy = (8x$^{2}$ + 8xy) + (–3x – 3y)

= 8x(x + y) – 3(x + y) = (x + y)(8x – 3).

Đáp án đúng là: C

A = x$^{2}$ + 2y – 1 – y$^{2}$ = x$^{2}$ + (– y$^{2}$ + 2y – 1)

= x$^{2}$ – (y$^{2}$ – 2y + 1) = x$^{2}$ – (y – 1)$^{2}$

= (x – y + 1)(x + y – 1).

Thay x = 9 và y = 3 vào biểu thức A, ta được:

A = (9 – 3 + 1)(9 + 3 – 1) = 7 . 11 = 77.

Vậy với x = 9 và y = 3 thì giá trị của biểu thức A bằng 77.

Đáp án đúng là: D

2x – 5x + 10 – x$^{2}$ = 0

(2x – x$^{2}$) + (10 – 5x) = 0

x(2 – x) + 5(2 – x) = 0

(2 – x)(x + 5) = 0

2 – x = 0 hoặc x + 5 = 0

x = 2 hoặc x = –5

Vậy $x \in \left\{ {2\,;\,\, - 5} \right\}$ thì 2x – 5x + 10 – x$^{2}$ = 0.

Đáp án đúng là: C

x$^{3}$ + 18 – 2x$^{2}$ – 9x = 0

(x$^{3}$ – 2x$^{2}$) – (9x – 18) = 0

x$^{2}$(x – 2) – 9(x – 2) = 0

(x – 2)(x$^{2}$ – 9) = 0

(x – 2)(x$^{2}$ – 3$^{2}$) = 0

(x – 2)(x – 3)(x + 3) = 0

x – 2 = 0 hoặc x – 3 = 0 hoặc x + 3 = 0

x = 2 hoặc x = 3 hoặc x = – 3

Vậy có 3 giá trị của x thoả mãn x$^{3}$ + 18 – 2x$^{2}$ – 9x = 0.

Đáp án đúng là: C

b$^{5}$ + b$^{3}$ + b + b$^{4}$ + b$^{2}$ + 1

= (b$^{5}$ + b$^{4}$ + b$^{3}$) + (b$^{2}$ + b + 1)

= b$^{3}$(b$^{2}$ + b + 1) + (b$^{2}$ + b + 1)

= (b$^{2}$ + b + 1)(b$^{3}$ + 1)

= (b$^{2}$ + b + 1)(b + 1)(b$^{2}$ – b + 1).

Đáp án đúng là: B

(x + y + z)$^{2}$ + (x + y – z)$^{2}$ – 4z$^{2}$

= (x + y + z)$^{2}$ + [(x + y – z)$^{2}$ – 4z$^{2}$]

= (x + y + z)$^{2}$ + [(x + y – z)$^{2}$ – (2z)$^{2}$]

= (x + y + z)$^{2}$ + (x + y – z – 2z)(x + y – z + 2z)

= (x + y + z)$^{2}$ + (x + y – 3z)(x + y + z)

= (x + y + z)[(x + y + z) + (x + y – 3z)]

= (x + y + z) [x + y + z + x + y – 3z]

= (x + y + z)(2x + 2y – 2z)

= 2(x + y + z)(x + y – z).

Đáp án đúng là: A

3a(a – 4) – 9a + 36 = 0

3a(a – 4) – (9a – 36) = 0

3a(a – 4) – 9(a – 4) = 0

(a – 4)(3a – 9) = 0

(a – 4)(a – 3) = 0

a – 4 = 0 hoặc a – 3 = 0

a = 4 hoặc a = 3

Vậy $a \in \left\{ {3\,;\,\,4} \right\}$ thì 3a(a – 4) – 9a + 36 = 0.

Đáp án đúng là: B

x$^{3}$ – 1 – x$^{2}$ – 3 + 3x + 1 = 0

x$^{3}$ – x$^{2}$ + 3x – 3 = 0

x$^{2}$(x – 1) + 3(x – 1) = 0

(x – 1)(x$^{2}$ + 3) = 0

x – 1 = 0 (vì x$^{2}$ + 3 > 0 với mọi x ∈ ℝ)

x = 1.

Vậy có một giá trị của x thoả mãn x$^{3}$ – 1 – x$^{2}$ – 3 + 3x + 1 = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

ax + ay + bx + by = (ax + ay) + (bx + by) = a(x + y) + b(x + y) = (a + b)(x + y).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

x$^{2}$ – xy + x – y = (x$^{2}$ – xy) + (x – y) = x(x – y) + 1(x – y) = (x – y)(x + 1).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

x$^{2}$ – 4x + xy – 4y = (x$^{2}$ – 4x) + (xy – 4y) = x(x – 4) + y(x – 4) = (x – 4)(x + y).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

x – y – y$^{2}$ + x$^{2}$ = (x – y) + (x$^{2}$ – y$^{2}$) = (x – y) + (x – y)(x + y) = (x – y)(1 + x + y).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

(x + y)$^{2}$ + 2(x + y) + x + y + 2 = [(x + y)$^{2}$ + 2(x + y)] + x + y + 2

= (x + y)(x + y + 2) + (x + y + 2)

= (x + y + 2)(x + y + 1).

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Sai. Ta có: P = x$^{2}$ – xy + 2x – 2y = (x$^{2}$ + 2x) – (xy + 2y) = x(x + 2) – y(x + 2).

b) Đúng. Ta có: P = x(x + 2) – y(x + 2) = (x + 2)(x – y).

c) Sai. Thay x = 4 vào y = 3 vào P = (x + 2)(x – y) ta được:

P = (4 + 2)(4 – 3) = 6.

d) Sai. Để P = 6 thì (x + 2)(x – y) = 6

Vì x, y nguyên nên x + 2, x – y nguyên.

Có Ư(6) = {±1, ±2, ±3, ±6}.

Lập bảng

Vậy có 7 cặp giá trị của (x; y) nguyên thỏa mãn là: (–1; –7), (–3; 3), (–4; –1), (1; –1), (–5; –3), (–8; –7)

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Ta có: Q = 5x$^{2}$ – 5xy – 3x + 3y = (5x$^{2}$ – 5xy) – (3x – 3y).

b) Đúng. Ta có: Q = (5x$^{2}$ – 5xy) – (3x – 3y) = 5x(x – y) – 3(x – y) = (5x – 3)(x – y).

c) Đúng. Thay x = 1, y = 0 vào Q = (5x – 3)(x – y) ta được (5.1 – 3)(1 – 0) = 2.

d) Sai. Để Q = 2 thì (5x – 3)(x – y) = 2

Ta có Ư(2) = {± 1, ± 2}.

TH1: $\left\{ \begin{array}{l}5x - 3 = 1\\x - y = 2\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{4}{5}\\y = \frac{{ - 6}}{5}\end{array} \right.$ (loại)

TH2: $\left\{ \begin{array}{l}5x - 3 = - 1\\x - y = - 2\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 2}}{5}\\y = \frac{8}{5}\end{array} \right.$ (loại)

TH3: $\left\{ \begin{array}{l}5x - 3 = 2\\x - y = 1\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 0\end{array} \right.$

TH4: $\left\{ \begin{array}{l}5x - 3 = - 2\\x - y = - 1\end{array} \right.$ hay $\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{ - 1}}{5}\\y = \frac{4}{5}\end{array} \right.$ (loại)

Vậy có 1 cặp giá trị (x;y) nguyên thỏa mãn đề bài.

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Ta có: A = x$^{2}$ + 2xy + y$^{2}$ – 3x – 3y = (x$^{2}$ + 2xy + y$^{2}$) – (3x + 3y).

b) Đúng. Ta có: A = (x + y)$^{2}$ – 3(x + y) = (x + y)(x + y – 3).

c) Đúng. Thay x = 2, y = 1 vào A = (x + y)(x + y – 3) ta được

(2 + 1)(2 + 1 – 3) = 3.0 = 0.

d) Sai. Để A = 4 thì (x + y)(x + y – 3) = 4.

Đặt t = x + y (t > 0 vì x, y nguyên dương), ta có

t(t – 3) = 4

t$^{2}$ – 3t – 4 = 0

t$^{2}$ – 4t + t – 4 = 0

(t$^{2}$ – 4t) + (t – 4) = 0

(t – 4)(t + 1) = 0

t = 4 hoặc t = –1 (loại vì t > 0)

Với x + y = 4 và x, y nguyên dương, ta có các cặp (x; y) là: (1; 3), (2; 2), (3; 1).

Vậy có 3 cặp (x; y) thoả mãn đề bài.

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai. B = (x$^{2}$ + 4x + 4) – (xy + 2y).

b) Đúng. Ta có: B = (x$^{2}$ + 4x + 4) – (xy + 2y)

= (x + 2)$^{2}$ – y(x + 2)

= (x + 2)(x + 2 – y).

c) Đúng. Thay x = –2, y = 2026 vào B = (x + 2)(x + 2 – y) ta được

(–2 + 2)(–2 + 2 – 2026) = 0.

d) Đúng. Để B = 3 thì (x + 2)(x + 2 – y) = 3.

Vì x, y nguyên nên (x + 2) và (x + 2 – y) là các ước của 3.

Mà x + 2 > 0 nên x + 2 = 1 hoặc x + 2 = 3.

TH1: x + 2 = 1 hay x = –1. Khi đó 1 – y = 3 hay y = –2.

TH2: x + 2 = 3 hay x = 1. Khi đó 3 – y = 1 hay y = 2.

Vậy có đúng 2 cặp giá trị nguyên thỏa mãn đề bài.

Hướng dẫn giải

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Có C = x(x$^{2}$ + 2xy + y$^{2}$ – 4).

b) Sai. Có C = x[(x$^{2}$ + 2xy + y$^{2}$) – 4] = x[(x + y)$^{2}$ – 2$^{2}$] = x(x + y – 2)(x + y + 2).

c) Đúng. Thay x = 5, y = –3 vào biểu thức trên ta được:

5.(5 – 3 – 2)(5 – 3 + 2) = 5.0.4 = 0.

d) Sai. Thay x + y = 5 vào biểu thức C = x(x + y – 2)(x + y + 2) ta được:

x.(5 – 2).(5 + 2) = 21x.

Vì x nguyên nên 21x chia hết cho 21, chưa chắc chia hết cho 5.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 2

x$^{2}$ + x – 2 = 0

x$^{2}$ + 2x – x – 2 = 0

(x$^{2}$ + 2x) – (x + 2) = 0

(x + 2)x – (x + 2) = 0

(x + 2)(x – 1) = 0

x = –2 hoặc x = 1.

Vậy có 2 giá trị của x thỏa mãn.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 2,5

6x$^{2}$ – 15x – 9 = 0

6x$^{2}$ – 18x + 3x – 9 = 0

(6x$^{2}$ – 18x) + (3x – 9) = 0

6x(x – 3) + 3(x – 3) = 0

(x – 3)(6x + 3) = 0

x = 3 hoặc x = – 0,5.

Vậy tổng các giá trị của x là 3 + (–0,5) = 2,5.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 4

x$^{3}$ – 4x$^{2}$ – 4x + 16 = 0

(x$^{3}$ – 4x$^{2}$) – (4x – 16) = 0

x$^{2}$(x – 4) – 4(x – 4) = 0

(x – 4)(x$^{2}$ – 4) = 0

TH1: x – 4 = 0 hay x = 4

TH2: x$^{2}$ – 4 = 0 hay x = ±2.

Vậy tổng các giá trị của x là 4 + 2 + (–2) = 4.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 1

2x$^{2}$ – 5x + 2 = 0

2x$^{2}$ – 4x – x + 2 = 0

(2x$^{2}$ – 4x) – (x – 2) = 0

2x(x – 2) – (x – 2) = 0

(x – 2)(2x – 1) = 0

x = 2 hoặc $x = \frac{1}{2}$.

Vậy có 1 giá trị nguyên của x thỏa mãn đề bài.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 8

2x$^{2}$ + xy + 7x + 3y + 3 = 8

2x$^{2}$ + xy + x + 6x + 3y + 3 = 8

(2x$^{2}$ + xy + x) + (6x + 3y + 3) = 8

x(2x + y + 1) + 3(2x + y + 1) = 8

(2x + y + 1)(x + 3) = 8

Vì x nguyên dương, y nguyên nên 2x + y + 1, x + 3 nguyên và x + 3 ≥ 4.

Có Ư(8) = {± 1, ± 2, ± 4, ± 8}.

Ta có bảng sau:

Vậy có 2 cặp (x; y) thỏa mãn điều kiện đề bài.