Bài tập ôn tập Toán 12 Chân trời sáng tạo Chương 5 có đáp án

A. Trắc nghiệm

Dạng 1. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $\left( P \right):2x + 3y + z + 2 = 0$. Vectơ nào dưới đây là một vectơ pháp tuyến của $\left( P \right)$?

Dạng 2. Trắc nghiệm đúng sai

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là mét), một ngọn hải đăng được đặt ở vị trí $I\left( {10;\,\,20;\,\,30} \right)$ với bán kính phủ sáng là $3$km.

a) Phương trình mặt cầu mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sáng trên biển của hải đăng là

${\left( {x - 10} \right)^2} + {\left( {y - 20} \right)^2} + {\left( {z - 30} \right)^2} = {3000^2}$.

b) Người đi biển ở vị trí $A\left( {50;20;0} \right)$ nhìn thấy được ánh sáng của ngọn hải đăng.

c) Người đi biển ở vị trí $B\left( {4030;\,\,50;\,\,40} \right)$ nhìn thấy được ánh sáng của ngọn hải đăng.

d) Nếu hai người đi biển có thể nhìn thấy ánh sáng của ngọn hải đăng thì khoảng cách giữa hai người đó không quá $6$km.

Bác An cần thiết kế một nhà vườn ngoài trời để trồng hoa. Bác đã thiết kế và vẽ mô hình nhà vườn trong hệ trục toạ độ Axyz như hình vẽ, với các cột nhà là các đoạn thẳng $AA',\,BB',\,CC'$ và $DD'$. Phần mái là tứ giác $A'B'C'D'$ và hình vuông $ABCD$ nằm trên mặt đất. Biết độ dài các đoạn thẳng $AB = 25\,{\rm{m}},AA' = BB' = 4\,{\rm{m}}$ và $CC' = DD' = 3\,{\rm{m}}$.

a) Toạ độ điểm $A'\left( {0;\,0;\,4} \right)$.

b) Đường thẳng $A'D'$ có phương trình tham số là $\left\{ {\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{x = 25t}\\{y = 0\,\,\,\,\,\,}\\{z = 4 - t}\end{array}\,\,\,\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{}\\{,t \in \mathbb{R}}\\{}\end{array}} \right.$.

c) Bác An đặt một camera ở vị trí $E$ trên cột $AA'$ và cách mặt đất $7\,{\rm{m}}$. Một vật ở vị trí $M\left( {a;\,b;\,c} \right)$ thoả mãn $MA = MB = MC = MD = \sqrt {\frac{{697}}{2}}$ thì cách camera $\frac{{\sqrt {1266} }}{2}{\rm{m}}$.

d) Gọi $\alpha$ là góc hợp bởi đường thẳng $A'D'$ và mặt đất. Khi đó $\cos \alpha = \frac{1}{{\sqrt {626} }}\,$.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, một cabin cáp treo xuất phát từ điểm $A\left( {10;3;0} \right)$ và chuyển động đều theo đường cáp có vectơ chỉ phương là $\vec u = \left( {2; - 2;1} \right)$ với tốc độ $4{,}5$m/s (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét).

a) Phương trình tham số của đường cáp là: $\left\{ \begin{array}{l}x = 10 + 2t\\y = 3 - 2t\\z = t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$.

b) Giả sử sau thời gian $t$(s) kể từ lúc xuất phát $\left( {t \ge 0} \right)$ thì cabin đến điểm $M$. Khi đó tọa độ điểm $M$ là $M\left( {3t + 10; - 3t + 3;\frac{{3t}}{2}} \right)$.

c) Cabin dừng ở điểm $B$ có hoành độ ${x_B} = 550$, khi đó quãng đường $AB$ dài 800 m.

d) Đường cáp $AB$ tạo với mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ một góc $30^\circ$.

Trong không gian Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tính theo kilômét), một trạm thu phát sóng điện thoại di động được đặt ở vị trí $I\left( {1;\,3;\,7} \right)$. Trạm thu phát sóng đó được thiết kế với bán kính phủ sóng là 3 km.

a) Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ để mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng trong không gian là ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z + 7} \right)^2} = 9$.

b) Nếu người dùng điện thoại ở vị trí điểm $A\left( {2;\,2;\,7} \right)$ thì có thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó.

c) Nếu người dùng điện thoại ở vị trí có toạ độ $B\left( {5;\,6;\,7} \right)$ thì không thể sử dụng dịch vụ của trạm thu phát sóng đó.

d) Tính theo đường chim bay, khoảng cách lớn nhất để một người ở vị trí có toạ độ $B\left( {5;\,6;\,7} \right)$ di chuyển được tới vùng phủ sóng theo đơn vị ki-lô-mét là $8\,$km.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 2}}{1}$ và mặt phẳng $\left( P \right): - x + 2y + z - 3 = 0$.

a) Điểm $A\left( {1;\, - 1;\, - 2} \right)$ nằm trên đường thẳng $d$.

b) Mặt phẳng $\left( Q \right)$ song song với đường thẳng $d$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$ có một vectơ pháp tuyến là $\left( {1;\,1;\, - 1} \right)$.

c) Góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ bằng $30^\circ$.

d) Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M\left( { - 3;\,1;\,2} \right)$, song song với mặt phẳng $\left( P \right)$ và cắt đường thẳng $d$ tại điểm $N\left( {a;\,b;\,c} \right)$. Giá trị $a + b + c$ bằng 3.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, một viên đạn được bắn ra từ vị trí $A\left( {1;2;3} \right)$ hướng đến vị trí $B\left( {0;1; - 6} \right)$, bia chắn là mặt phẳng $\left( P \right):4x - y + 2z + 13 = 0$, đơn vị là kilômét.

a) Điểm $B$ thuộc mặt phẳng $\left( P \right)$.

b) Giả sử viên đạn chuyển động thẳng đều theo hướng vectơ $\vec v = \left( { - 2; - 2; - 18} \right)$ với vận tốc 800 m/s (bỏ qua mọi lực cản và chướng ngại vật), sau một phút viên đạn bắn ra đi qua điểm $B$.

c) Góc giữa đường thẳng $AB$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ (làm tròn đến hàng đơn vị) là $60^\circ$.

d) Hình chiếu vuông góc của $A$ trên $\left( {Oxy} \right)$ là $H\left( {0;2;3} \right)$.

Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là kilômét), đài kiểm soát không lưu của một sân bay ở vị trí $O\left( {0;0;0} \right)$ và được thiết kế phát hiện máy bay ở khoảng cách tối đa $600\,{\rm{km}}$. Một máy bay đang chuyển động với vận tốc $900\,$km/h theo đường thẳng $d$ có phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x = - 1000 + 100t\\y = - 300 + 80t\\z = 100\sqrt {11} \end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$ và hướng về đài kiểm soát không lưu (như hình vẽ).

a) Ranh giới vùng phát sóng bên ngoài của đài kiểm soát không lưu trong không gian là mặt cầu có bán kính bằng $300\,\,{\rm{km}}$.

b) Phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài vùng phát sóng của đài kiểm soát không lưu trong không gian là ${x^2} + {y^2} + {z^2} = 360000$.

c) Máy bay đang chuyển động theo đường thẳng $d$ đến vị trí điểm $M\left( { - 500\,;\,100\,;\,100\sqrt {11} } \right)$. Vị trí này nằm ngoài vùng kiểm soát không lưu của đài kiểm soát không lưu sân bay.

d) Thời gian kể từ khi đài kiểm soát không lưu phát hiện máy bay đến khi máy bay ra khỏi vùng kiểm soát không lưu là $\frac{4}{3}$giờ.

Một mái nhà hình tròn được đặt trên ba cây cột trụ. Các cây cột trụ vuông góc với mặt sàn nhà phẳng và có độ cao lần lượt là $8{\rm{m}},\,9{\rm{m}},\,10{\rm{m}}$. Ba chân cột là ba đỉnh của một tam giác đều trên mặt sàn nhà với cạnh dài 8 m. Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với $B \in Ox$, $C \in Oy$, tia $Oz$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow {AA'}$. Chọn gốc tọa độ $O$ trùng với trung điểm của $AC$ và mỗi đơn vị trên trục có độ dài 1m (xem hình vẽ).

a) Tọa độ các điểm $A'\left( {0; - 4;10} \right),B'\left( {4\sqrt 3 ;0;9} \right),C'\left( {0;4;8} \right)$.

b) Mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ nhận $\overrightarrow k = \left( {0;\,1;\,1} \right)$ làm vectơ pháp tuyến.

c) Mặt phẳng $\left( {A'B'C'} \right)$ nhận $\overrightarrow n = \left( {0;1;4} \right)$ làm vectơ pháp tuyến.

d) Biết độ dốc của mái nhà đạt mức tiêu chuẩn khoảng từ $27^\circ$ đến $35^\circ$ thì mái nhà trên có độ dốc ở mức tiêu chuẩn.

Một khu bảo tồn thiên nhiên có hai trạm kiểm lâm và một trạm quan sát. Trong hệ toạ độ Oxyz (đơn vị độ dài trên mỗi trục là kilômét), hai trạm kiểm lâm và trạm quan sát có vị trí lần lượt là $A\left( {10;5;0} \right)$, $B\left( {70;85;0} \right)$ và $I\left( {20;65;0{,}2} \right)$. Một thiết bị bay không người lái (drone) được thiết kế bay trên đường thẳng đi qua hai điểm $C\left( {10;5;0{,}1} \right)$ và $D\left( {70;85;0{,}1} \right)$ để truyền tín hiệu và dữ liệu về trạm quan sát $I$.

a) Khi tín hiệu gửi về trạm quan sát nhanh nhất thì vị trí của drone là $K\left( {\frac{{212}}{5};\frac{{241}}{5};0{,}1} \right)$.

b) Cùng một thời điểm, một xe máy xuất phát từ $A$ đi đến $B$ với vận tốc $40$km/h và một ô tô xuất phát từ $B$ đi đến $A$ với vận tốc $60$km/h, sau đó gặp nhau tại $M$. Drone phải di chuyển trước đến vị trí $H$ có hình chiếu trên $AB$ là $M$để truyền dữ liệu về trạm quan sát $I$. Khi đó vị trí của drone là $\left( {34;37;0{,}1} \right)$.

c) Trạm quan sát $I$ nhìn đoạn thẳng $AB$ dưới một góc nhỏ hơn $65^\circ$.

d) Phương trình đường thẳng mô tả cho tuyến đường bay của drone là $\left\{ {\begin{array}{llllllllllllllllllll}{x = 10 + 3t}\\{y = 5 + 4t}\\{z = 0{,}1}\end{array}} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, có hai trục $Ox,\;Oy$ đặt trên mặt đất (coi mặt đất là một mặt phẳng); tia $Oz$ hướng lên phía trên; đơn vị trên các trục tính bằng mét. Một thiết bị phát sóng $M$đặt tại điểm $A\left( {80;60;60} \right)$. Vùng phủ sóng của thiết bị $M$ có bán kính $500$ mét. Gọi $d$ là đường thẳng đi qua điểm $B\left( {0; - 490;0} \right)$ và song song với trục $Ox.$

a) Một thiết bị thu sóng $N$(coi như một điểm) di chuyển trên trục $Oy$từ vị trí $B$ theo hướng của vectơ $\overrightarrow {BO}$. Thiết bị thu sóng $N$phải di chuyển một đoạn đường ngắn nhất bằng $60{,}3$mét thì vào được vùng phủ sóng của thiết bị $M$.

b) Điểm $B$ không thuộc vùng phủ sóng của thiết bị $M$.

c) Một thiết bị thu sóng $N$(coi như một điểm) di chuyển trên đường thẳng $d$ thì có thể vào được vùng phủ sóng của thiết bị $M$.

d) Phương trình tham số của đường thẳng $d$ là $\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = - 490\\z = t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$.

Dạng 3. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Một sân vận động được xây dựng theo mô hình là hình chóp cụt OAGD.BCFE có hai đáy song song với nhau. Mặt sân OAGD là hình chữ nhật và được gắn hệ trục Oxyz như hình vẽ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Mặt sân $OAGD$ có chiều dài $OA = 100$m, chiều rộng $OD = 60$m và tọa độ điểm $B\left( {10;10;8} \right)$. Giả sử phương trình tổng quát của mặt phẳng $\left( {OACB} \right)$ có dạng $ax + y + cz + d = 0$. Tính giá trị biểu thức $a + c + d$.

Một phần sân trường được định vị bởi các điểm A,B,C,D như hình vẽ:

Bước đầu chúng được lấy “thăng bằng” để có cùng độ cao, biết $ABCD$ là hình thang vuông ở $A$ và $B$ với độ dài $AB = 25\,{\rm{m}}$, $AD = 15\,{\rm{m}}$, $BC = 18\,{\rm{m}}$. Do yêu cầu kĩ thuật, khi lát phẳng phàn sân trường phải thoát nước về góc sân ở $C$ nên người ta lấy độ cao ở các điểm $B$, $C$, $D$ xuống thấp hơn so với độ cao ở $A$ là $10\,{\rm{cm}}$, $a\,\,{\rm{cm}}$, $6\,{\rm{cm}}$ tương ứng. Giá trị của $a$ bằng bao nhiêu?

Manhattanhenge (Hình 1) là một sự kiện diễn ra khi Mặt Trời mọc hoặc khi Mặt Trời lặn nằm thẳng hàng với các tuyến phố Đông - Tây thuộc mạng lưới đường phố chính tại quận Manhattan của thành phố New York. Khi mặt trời lặn, tia sáng song song mặt đất lệch một góc khoảng $38^\circ$ so với hướng tây (Hình 2).

Hình 1	Hình 2

Giả sử mặt tiền các tòa nhà hai bên đường nằm trong 2 mặt phẳng song song cách nhau $30$m và vuông góc với mặt đất. Biết rằng mặt phẳng phía bắc đi qua gốc $O$ của hệ trục $Oxyz$, với tia $Oz$ vuông góc với mặt đất và hướng lên trên. Phương trình mặt phẳng thứ hai có dạng $\left( Q \right):x + ay + bz + c = 0$ với $c = \frac{m}{{\sin n^\circ }}$. Tính $m + n$.

Biết góc quan sát ngang của một camera là $116^\circ$. Trong không gian Oxyz, camera được đặt tại điểm $A\left( {2;1;5} \right)$ và chiếu thẳng về phía mặt phẳng $\left( P \right):2x - y - 2z + 13 = 0$. Hỏi vùng quan sát được trên mặt phẳng $\left( P \right)$ của camera là hình tròn có đường kính bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến chữ số hàng chục).

Tại một nút giao thông có $2$ con đường khác mức. Trên thiết kế, trong không gian Oxyz hai con đường đó thuộc hai đường thẳng ${d_1}:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{z}{{ - 1}}$; ${d_2}:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{z}{{ - 3}}$.

Người ta muốn tạo một con đường $\Delta$ cắt ${d_1},\,{d_2}$ lần lượt tại $A$ và $B$ sao cho $AB$ nhỏ nhất. Tính độ dài $AB$, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm.

Để xác định vị trí của máy bay khi đang bay, người ta gắn một hệ trục toạ độ Oxyz với gốc toạ độ đặt tại một sân bay để xác định toạ độ của sân bay. Biết rằng cao độ của toạ độ máy bay chính là độ cao của máy bay đối với mặt đất. Đơn vị độ dài trên mỗi trục toạ độ là 100 m.

Một máy bay đang bay với quỹ đạo là một đường thẳng trong không gian với vận tốc bay không đổi. Tại một thời điểm nào đó, máy bay đang ở vị trí có toạ độ $\left( {200;70;118} \right)$. Sau 50 giây, độ cao của máy bay so với mặt đất giảm 400 m. Hỏi sau 25 giây nữa, khoảng cách từ sân bay tới máy bay là bao nhiêu kilomet, biết rằng trong suốt quá trình bay này, máy bay có đi qua điểm có toạ độ $\left( {80;105;113} \right)$?

Với hệ trục tọa độ Oxyz sao cho $O$ nằm trên mặt nước, mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ là mặt nước, trục $Oz$ hướng lên trên (đơn vị đo: mét), một con chim bói cá đang săn mồi ở vị trí $C$ cách mặt nước $5\,\,{\rm{m,}}$ cách mặt phẳng $\left( {Oxz} \right),\left( {Oyz} \right)$ lần lượt là $6\,\,{\rm{m}}$ và $2\,{\rm{m}}$, từ vị trí này nó phóng thẳng xuống vị trí con cá ở vị trí $A$, biết con cá cách mặt nước $50\,\,{\rm{cm,}}$cách mặt phẳng $\left( {Oxz} \right),\left( {Oyz} \right)$ lần lượt là $1\,{\rm{m}}$ và $1{,}5\,{\rm{m}}$ (tham khảo hình vẽ).