Bài tập ôn tập Toán 12 Chân trời sáng tạo Chương 3 có đáp án

Chọn C

Ta có: $\frac{n}{4} = \frac{{20}}{4} = 5$ và $1 + 3 < 5 < 1 + 3 + 8$ nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu thuộc nhóm $[16;17)$.

Chọn A

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là $65 - 40 = 25\,\,{\rm{(cm)}}.$

Chọn C

Ta có: $\frac{{3.20}}{4} = 15$ và $1 + 3 + 8 < 15 < 1 + 3 + 8 + 6$ tứ phân vị thứ ba thuộc nhóm $[17;18)$.

Chọn A

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là: $4{,}2 - 2{,}7 = 1{,}5$km.

Chọn B

Ta có cỡ mẫu là $n = 5 + 9 + 12 + 10 + 6 = 42$.

Gọi ${x_1},{x_2}, \ldots ,{x_{42}}$ là thời gian tập thể dục trong ngày của 42 học sinh khối 12 và giả sử dãy này đã sắp xếp theo thứ tự tăng dần.

Khi đó tứ phân vị thứ nhất ${Q_1}$ là trung vị của dãy gồm 21 số liệu đầu nên ${Q_1} = {x_{11}}$. Do ${x_{11}}$ thuộc nhóm $\left[ {20;40} \right)$ nên nhóm này chứa ${Q_1}$.

Chọn A

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là: $45 - 20 = 25$ (phút).

Chọn B

Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu là $\frac{1}{2}\left( {{x_4} + {x_5}} \right)$ thuộc nhóm $[7;9)$ nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là ${Q_1} = 7 + \frac{{\frac{{20}}{4} - 2}}{7}(9 - 7) = 7{,}86$.

Chọn C

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: $18 - 8 = 10$ (giây).

Chọn B

Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu là $\frac{1}{2}\left( {{x_{15}} + {x_{16}}} \right)$ thuộc nhóm $[9;11)$ nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là ${Q_3} = 9 + \frac{{\frac{{3.20}}{4} - 9}}{7}(11 - 9) = 10{,}7$.

Chọn B

Khoảng biến thiên: $24{,}5 - 9{,}5 = 15$.

Chọn C

Số phần tử của mẫu là $n = 60$.

Tần số tích lũy của các nhóm lần lượt là $c{f_1} = 3,c{f_2} = 9,c{f_3} = 28,c{f_4} = 51,c{f_5} = 60$.

Ta có: $\frac{n}{4} = \frac{{60}}{4} = 15$ mà $9 < 15 < 28$ suy ra nhóm 3 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 15. Xét nhóm 3 là nhóm $\left[ {60\,;\,70} \right)$ có $s = 60,\;h = 10,{n_3} = 19$ và nhóm 2 là nhóm $\left[ {50\,;\,60} \right)$ có $c{f_2} = 9$.

Ta có tứ phân vị thứ nhất là: ${Q_1} = s + \left( {\frac{{15 - c{f_2}}}{{{n_3}}}} \right) \cdot h = 60 + \left( {\frac{{15 - 9}}{{19}}} \right) \cdot 10 = \frac{{1200}}{{19}}$.

Ta có: $\frac{{3n}}{4} = \frac{{3.60}}{4} = 45$ mà $28 < 45 < 51$ suy ra nhóm 4 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bẳng 45. Xét nhóm 4 là nhóm $\left[ {70\,;\,80} \right)$ có $t = 70,l = 10,{n_4} = 23$ và nhóm 3 là nhóm $\left[ {60\,;\,70} \right)$ có $c{f_3} = 28$.

Ta có tứ phân vị thứ ba là: ${Q_3} = t + \left( {\frac{{45 - c{f_3}}}{{{n_4}}}} \right).l = 70 + \left( {\frac{{45 - 28}}{{23}}} \right).10 = \frac{{1780}}{{23}}$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: ${Q_3} - {Q_1} = \frac{{1780}}{{23}} - \frac{{1200}}{{19}} \approx 14{,}23$.

Chọn C

Cỡ mẫu $n = 25$.

Gọi ${x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{25}}$ là mẫu số liệu gốc về thời gian giải rubik trong 25 lần của bạn Dũng được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: ${x_1}; \ldots ;{x_4} \in [8;10);{x_5}; \ldots ;{x_{10}} \in [10;12);{x_{11}}; \ldots ;{x_{18}} \in [12;14);{x_{19}}; \ldots ;{x_{22}} \in [14;16)$;

${x_{23}}; \ldots ;{x_{25}} \in [16;18)$.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left( {{x_6} + {x_7}} \right) \in [10;12)$. Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_1} = 10 + \frac{{\frac{{25}}{4} - 4}}{6}(12 - 10) = 10{,}75$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là ${x_{19}} \in [14;16)$. Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_3} = 14 + \frac{{\frac{{3.25}}{4} - (4 + 6 + 8)}}{4}(16 - 14) = 14{,}375$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 3{,}63$.

Chọn B

Dựa vào biểu đồ ta lập được bảng ghép nhóm như sau:

Cỡ mẫu $n = 92$ và gọi ${x_1},\,{x_2},...,{x_{92}}$ là mẫu số liệu đã cho.

Ta có: ${x_1},\,....,\,{x_{14}} \in \left[ {1\,;\,6} \right)$; ${x_{45}},\,...,\,{x_{69}} \in \left[ {11\,;\,16} \right)$;

${x_{70}},\,....,\,{x_{87}} \in \left[ {16\,;\,21} \right)$; ${x_{88}},\,...\,,{x_{92}} \in \left[ {21\,;\,26} \right)$.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là $\frac{{{x_{23}} + {x_{24}}}}{2} \in \left[ {6\,;\,11} \right)$. Do đó tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là ${Q_1} = 6 + \frac{{\frac{{92}}{4} - 14}}{{30}}\left( {11 - 6} \right) = 7{,}5$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là $\frac{{{x_{69}} + {x_{70}}}}{2} \in \left[ {11\,;\,16} \right)$ và ${x_{70}} \in \left[ {16\,;\,21} \right)$. Do đó tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là ${Q_3} = 16$.

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu là: ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 16 - 7{,}5 = 8{,}5$.

Chọn B

Bảng tần số ghép nhóm theo giá trị đại diện là:

Số trung bình: $\bar x = \frac{{2.6 + 7.8 + 7.10 + 3.12 + 1.14}}{{20}} = 9{,}4$.

Chọn C

Phương sai: ${s^2} = {3^2} = 9.$

Chọn C

Số trung bình: $\bar x = \frac{{3.2{,}85 + 6.3{,}15 + 5.3{,}45 + 4.3{,}75 + 2.4{,}05}}{{20}} = 3{,}39$.

Phương sai: ${s^2} = \frac{{3.2,{{85}^2} + 6.3,{{15}^2} + 5.3,{{45}^2} + 4.3,{{75}^2} + 2.4,{{05}^2}}}{{20}} - 3,{39^2} = 0{,}1314$.

Chọn D

Số trung bình của mẫu số liệu:

$\overline x = \frac{{{m_1}.{x_1} + ... + {m_k}.{x_k}}}{n} = \frac{{2.5{,}25 + 8.5{,}75 + 15.6{,}25 + + 10.6{,}75 + 5.7{,}25}}{{40}} = 6{,}35$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm:

${s^2} = \frac{1}{{40}}\left( {2.5,{{25}^2} + 8.5,{{75}^2} + 15.6,{{25}^2} + 10.6,{{75}^2} + 5.7,{{25}^2}} \right) - 6,{35^2} = 0{,}2775$.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: $s = \sqrt {{s^2}} = \sqrt {0{,}2775} \approx 0{,}5268$.

Chọn B

Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\bar x = \frac{{4.42{,}5 + 14.47{,}5 + 8.52{,}5 + 10.57{,}5 + 6.62{,}5 + 2.67{,}5}}{{44}} = \frac{{585}}{{11}}$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$$\begin{array}{l}{s^2} = \frac{1}{{44}}\left[ {4{{\left( {42{,}5 - \frac{{585}}{{11}}} \right)}^2} + 14{{\left( {47{,}5 - \frac{{585}}{{11}}} \right)}^2} + 8{{\left( {52{,}5 - \frac{{585}}{{11}}} \right)}^2} + 10{{\left( {57{,}5 - \frac{{585}}{{11}}} \right)}^2}} \right.\\\left. {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + 6{{\left( {62{,}5 - \frac{{585}}{{11}}} \right)}^2} + 2.{{\left( {67{,}5 - \frac{{585}}{{11}}} \right)}^2}} \right] \approx 46{,}12.\end{array}$$

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: $s = \sqrt {{s^2}} = \sqrt {46{,}12} \approx 6{,}8$.

Chọn A

Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\bar x = \frac{{4.42{,}5 + 14.47{,}5 + 8.52{,}5 + 10.57{,}5 + 6.62{,}5 + 2.67{,}5}}{{44}} = \frac{{585}}{{11}}$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$$\begin{array}{l}{s^2} = \frac{1}{{44}}\left[ {4{{\left( {42{,}5 - \frac{{585}}{{11}}} \right)}^2} + 14{{\left( {47{,}5 - \frac{{585}}{{11}}} \right)}^2} + 8{{\left( {52{,}5 - \frac{{585}}{{11}}} \right)}^2} + 10{{\left( {57{,}5 - \frac{{585}}{{11}}} \right)}^2}} \right.\\\left. {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + 6{{\left( {62{,}5 - \frac{{585}}{{11}}} \right)}^2} + 2.{{\left( {67{,}5 - \frac{{585}}{{11}}} \right)}^2}} \right] \approx 46{,}12.\end{array}$$

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: $s = \sqrt {{s^2}} = \sqrt {46{,}12} \approx 6{,}8$.

a) Đúng. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: $R = 80 - 20 = 60$.

b) Đúng. Số phần tử của mẫu là $n = 100$.

Tần số tích lũy của các nhóm lần lượt là $c{f_1} = 25,c{f_2} = 45,c{f_3} = 65,c{f_4} = 80,c{f_5} = 94,c{f_6} = 100$.

Ta có: $\frac{n}{4} = \frac{{100}}{4} = 25$ suy ra nhóm 1 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 25. Xét nhóm 1 là nhóm [20; 30] có $s = 20,h = 10,{n_1} = 25$.

Ta có tứ phân vị thứ nhất là: ${Q_1} = s + \left( {\frac{{25 - c{f_0}}}{{{n_1}}}} \right) \cdot h = 25 + \left( {\frac{{25 - 0}}{{25}}} \right) \cdot 10 = 35$.

c) Sai. Ta có: $\frac{{3n}}{4} = \frac{{3.100}}{4} = 75$ mà $65 < 75 < 80$ suy ra nhóm 4 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bẳng 80. Xét nhóm 4 là nhóm $[50;60]$ có $t = 50,l = 10,{n_4} = 15$ và nhóm 3 là nhóm [40;50] có $c{f_3} = 65$.

Ta có tứ phân vị thứ ba là: ${Q_3} = t + \left( {\frac{{75 - c{f_3}}}{{{n_4}}}} \right) \cdot l = 50 + \left( {\frac{{75 - 65}}{{15}}} \right) \cdot 10 = \frac{{170}}{3}$.

d) Đúng. Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: ${Q_3} - {Q_1} = \frac{{170}}{3} - 35 = \frac{{65}}{3}$.

a) Đúng. Ta có bảng sau

b) Sai. Cỡ mẫu $n = 30$.

Gọi ${x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{30}}$ là mẫu số liệu gốc về thời gian tập thể dục buổi sáng mỗi ngày của bác An được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: ${x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{25}} \in [20;25);{x_{26}}; \ldots ;{x_{30}} \in [25;30)$.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là ${x_8} \in [20;25)$. Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_1} = 20 + \frac{{\frac{{30}}{4}}}{{25}}\left( {25 - 20} \right) = \frac{{43}}{2}$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là ${x_{23}} \in [20;25)$. Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_3} = 20 + \frac{{\frac{{3.30}}{4}}}{{25}}\left( {25 - 20} \right) = \frac{{49}}{2}$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 3$.

Gọi ${y_1};{y_2}; \ldots ;{y_{30}}$ là mẫu số liệu gốc về thời gian tập thể dục buổi sáng mỗi ngày của bác Bình được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: ${y_1};{y_2}; \ldots ;{y_5} \in [15;20);{y_6}; \ldots ;{y_{17}} \in [20;25);{y_{18}}; \ldots ;{y_{25}} \in [25;30);{y_{26}};{y_{27}};{y_{28}} \in [30;35)$;

${y_{29}};{y_{30}} \in [35;40)$.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là ${y_8} \in [20;25)$. Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_1}^\prime = 20 + \frac{{\frac{{30}}{4}}}{{12}}\left( {25 - 20} \right) = \frac{{185}}{8}$.

c) Đúng. Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là ${y_{23}} \in [25;30)$. Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_3}^\prime = 25 + \frac{{\frac{{3.30}}{4} - \left( {5 + 12} \right)}}{8}\left( {30 - 25} \right) = \frac{{455}}{{16}}$.

d) Sai. Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm về thời gian tập thể dục buổi sáng mỗi ngày của bác Bình lớn hơn bác An.

a) Đúng. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm ứng với khu vực A là: $34 - 19 = 15$ (tuổi).

b) Đúng. Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm ứng với khu vực B là: $31 - 19 = 12$(tuổi).

c) Sai. Cỡ mẫu $n = 100$.

Gọi ${x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{100}}$ là mẫu số liệu gốc về độ tuổi kết hôn của phụ nữ ở khu vực A được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: ${x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{10}} \in [19;22);{x_{11}}; \ldots ;{x_{37}} \in [22;25);{x_{38}}; \ldots ;{x_{68}} \in [25;28);{x_{69}}; \ldots ;{x_{93}} \in [28;31)$;

${x_{94}}; \ldots ;{x_{100}} \in [31;34)$.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left( {{x_{25}} + {x_{26}}} \right) \in [22;25)$. Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_1} = 22 + \frac{{\frac{{100}}{4} - 10}}{{27}}(25 - 22) = \frac{{71}}{3}$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left( {{x_{75}} + {x_{76}}} \right) \in [28;31)$. Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_3} = 28 + \frac{{\frac{{3.100}}{4} - (10 + 27 + 31)}}{{25}}(31 - 28) = \frac{{721}}{{25}}$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = \frac{{388}}{{75}}$.

Gọi ${y_1};{y_2}; \ldots ;{y_{100}}$ là mẫu số liệu gốc về độ tuổi kết hôn của phụ nữ ở khu vực B được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: ${y_1};{y_2}; \ldots ;{y_{47}} \in [19;22);{y_{48}}; \ldots ;{y_{87}} \in [22;25);{y_{88}}; \ldots ;{y_{98}} \in [25;30);{y_{99}};{y_{100}} \in [28;31)$.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left( {{y_{25}} + {y_{26}}} \right) \in [19;22)$. Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_1}^\prime = 19 + \frac{{\frac{{100}}{4}}}{{47}}(22 - 19) = \frac{{968}}{{47}}$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left( {{y_{75}} + {y_{76}}} \right) \in [22;25)$. Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_3}^\prime = 22 + \frac{{\frac{{3.100}}{4} - 47}}{{40}}(25 - 22) = \frac{{241}}{{10}}$.

d) Đúng. Có ${\Delta _Q}^\prime < {\Delta _Q}$ nên phụ nữ ở khu vực B có độ tuổi kết hôn đồng đều hơn.

a) Đúng. Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm biểu diễn kết quả 40 lần nhảy xa của vận động viên Dũng là:

${\bar x_D} = \frac{{3.6{,}34 + 7.6{,}58 + 5.6{,}82 + 20.7{,}06 + 5.7{,}30}}{{40}} = \frac{{276{,}88}}{{40}} \approx 6{,}92$(m).

b) Đúng. Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm biểu diễn kết quả 40 lần nhảy xa của vận động viên Dũng (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) là:

$\begin{array}{l}s_D^2 = \frac{1}{{40}}\left[ {3.{{\left( {6{,}34 - 6{,}92} \right)}^2} + 7.{{\left( {6{,}58 - 6{,}92} \right)}^2} + 5.{{\left( {6{,}82 - 6{,}92} \right)}^2}} \right.\\\left. { + \,20.{{\left( {7{,}06 - 6{,}92} \right)}^2} + 5.{{\left( {7{,}30 - 6{,}92} \right)}^2}} \right] = \frac{{2{,}9824}}{{40}} \approx 0{,}07.\end{array}$

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: ${s_D} \approx \sqrt {0{,}07} \approx 0{,}26$(m)

c) Sai. Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm biểu diễn kết quả 40 lần nhảy xa của vận động viên Huy là:

${\bar x_H} = \frac{{2.6{,}34 + 5.6{,}58 + 8.6{,}82 + 19.7{,}06 + 6.7{,}30}}{{40}} = \frac{{278{,}08}}{{40}} \approx 6{,}95$ (m).

Vậy phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm biểu diễn kết quả 40 lần nhảy xa của vận động viên Huy (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) là:

$s_H^2 = \frac{1}{{40}}\left[ {2.{{\left( {6{,}34 - 6{,}95} \right)}^2} + 5.{{\left( {6{,}58 - 6{,}95} \right)}^2}} \right. + 8.{\left( {6{,}82 - 6{,}95} \right)^2} + 19.{\left( {7{,}06 - 6{,}95} \right)^2}$

$\left. { + \,6.{{\left( {7{,}30 - 6{,}95} \right)}^2}} \right] = \frac{{2{,}5288}}{{40}} \approx 0{,}06$.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: ${s_H} \approx \sqrt {0{,}06} \approx 0{,}24$(m).

d) Sai. Do ${s_H} \approx 0{,}24 < {s_D} \approx 0{,}26$ nên kết quả nhảy xa của vận động viên Huy đồng đều hơn kết quả nhảy xa của vận động viên Dũng.

a) Đúng. Xét số liệu ở Hà Nội:

Khoảng biến thiên: $R = 31{,}8 - 16{,}8 = 15$.

Số phần tử của mẫu là $n = 12$.

Tần số tích lũy của các nhóm lần lượt là $c{f_1} = 2,c{f_2} = 5,c{f_3} = 7,c{f_4} = 8,c{f_5} = 12$.

Ta có: $\frac{n}{4} = \frac{{12}}{4} = 3$ mà $2 < 3 < 5$ suy ra nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 3.

Xét nhóm 2 là nhóm $\left[ {19{,}8;22{,}8} \right)$ có $s = 19{,}8,h = 3,{n_2} = 3$ và nhóm 1 là nhóm $\left[ {16{,}8;19{,}8} \right)$ có $c{f_1} = 2$. Ta có tứ phân vị thứ nhất là: ${Q_1} = s + \left( {\frac{{3 - c{f_1}}}{{{n_2}}}} \right).h = 19{,}8 + \left( {\frac{{3 - 2}}{3}} \right).3 = 20{,}8$.

Ta có: $\frac{{3n}}{4} = \frac{{3.12}}{4} = 9$ mà $8 < 9 < 12$ suy ra nhóm 5 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 9.

Xét nhóm 5 là nhóm $\left[ {28{,}8;31{,}8} \right)$ có $t = 28{,}8{,}1 = 3,{n_5} = 4$ và nhóm 4 là nhóm $\left[ {25{,}8;28{,}8} \right)$ có $c{f_4} = 8$.

Ta có tứ phân vị thứ ba là: ${Q_3} = t + \left( {\frac{{9 - c{f_4}}}{{{n_5}}}} \right).l = 28{,}8 + \left( {\frac{{9 - 8}}{4}} \right).3 = 29{,}55$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: ${Q_3} - {Q_1} = 29{,}55 - 20{,}8 = 8{,}75$ .

b) Sai. Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\overline {{x_1}} = \frac{{2.18{,}3 + 3.21{,}3 + 2.24{,}3 + 27{,}3 + 4.30{,}3}}{{12}} = 24{,}8$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\begin{array}{l}{s_1}^2 = \frac{1}{{12}}\left[ {2{{\left( {18{,}3 - 24{,}8} \right)}^2} + 3{{\left( {21{,}3 - 24{,}8} \right)}^2} + 2{{\left( {24{,}3 - 24{,}8} \right)}^2}} \right.\\\left. {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + {{\left( {27{,}3 - 24{,}8} \right)}^2} + 4{{\left( {30{,}3 - 24{,}8} \right)}^2}} \right] = 20{,}75.\end{array}$

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${s_1} = \sqrt {{s_1}^2} = \sqrt {20{,}75} \approx 4{,}56$.

c) Sai. Xét số liệu ở Huế:

Khoảng biến thiên: $R = 31{,}8 - 16{,}8 = 15$.

Số phần tử của mẫu là $n = 12$.

Tần số tích lũy của các nhóm lần lượt là $c{f_1} = 1,c{f_2} = 3,c{f_3} = 6,c{f_4} = 8,c{f_5} = 12$.

Ta có: $\frac{n}{4} = \frac{{12}}{4} = 3$ suy ra nhóm 2 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 3. Xét nhóm 2 là nhóm $[19{,}8;22{,}8)$ có $s = 19{,}8,\;h = 3,{n_2} = 2$ và nhóm 1 là nhóm $[16{,}8;19{,}8)$ có $c{f_1} = 1$

Ta có tứ phân vị thứ nhất là: ${Q_1} = s + \left( {\frac{{3 - c{f_1}}}{{{n_2}}}} \right).h = 19{,}8 + \left( {\frac{{3 - 1}}{2}} \right).3 = 22{,}8$.

Ta có: $\frac{{3n}}{4} = \frac{{3.12}}{4} = 9$ mà $8 < 9 < 12$ suy ra nhóm 5 là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy lớn hơn hoặc bằng 9.

Xét nhóm 5 là nhóm $\left[ {28{,}8;31{,}8} \right)$ có $t = 28{,}8,l = 3,{n_5} = 4$ và nhóm 4 là nhóm $[25{,}8;28{,}8)$ có $c{f_4} = 8$.

Ta có tứ phân vị thứ ba là: ${Q_3} = t + \left( {\frac{{9 - c{f_4}}}{{{n_5}}}} \right).l = 28{,}8 + \left( {\frac{{9 - 8}}{4}} \right).3 = 29{,}55$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là: ${Q_3} - {Q_1} = 29{,}55 - 22{,}8 = 6{,}75$.

Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$\overline {{x_2}} = \frac{{18{,}3 + 2.21{,}3 + 3.24{,}3 + 2.27{,}3 + 4.30{,}3}}{{12}} = 25{,}8$.

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

$$\begin{array}{l}s_2^2 = \frac{1}{{12}}\left[ {{{\left( {18{,}3 - 25{,}8} \right)}^2} + 3{{\left( {21{,}3 - 25{,}8} \right)}^2} + 3{{\left( {24{,}3 - 25{,}8} \right)}^2}} \right.\\\left. {\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + 2{{\left( {27{,}3 - 25{,}8} \right)}^2} + 4{{\left( {30{,}3 - 25{,}8} \right)}^2}} \right] = 15{,}75.\end{array}$$

d) Đúng. Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${s_2} = \sqrt {s_2^2} = \sqrt {15{,}75} \approx 3{,}97$.

Huế có nhiệt độ không khí trung bình tháng đồng đều hơn vì độ lệch chuẩn nhỏ hơn.

a) Sai. Cỡ mẫu: $n = 20$.

Gọi ${x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{20}}$ là mẫu số liệu gốc về số giờ nắng trong tháng 6 trong 20 năm của Nha Trang được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: ${x_1} \in \left[ {130;160} \right);{x_2} \in \left[ {160;190} \right);{x_3} \in \left[ {190;220} \right);{x_4}; \ldots ;{x_{11}} \in \left[ {220;250} \right);{x_{12}}; \ldots ;$

${x_{18}} \in \left[ {250;280} \right){\rm{; }}{x_{19}};{x_{20}} \in \left[ {280;310} \right)$.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left( {{x_5} + {x_6}} \right) \in \left[ {220;250} \right)$.

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${Q_1} = 220 + \frac{{\frac{{20}}{4} - \left( {1 + 1 + 1} \right)}}{8}\left( {250 - 220} \right) = 227{,}5$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left( {{x_{15}} + {x_{16}}} \right) \in \left[ {250;280} \right)$.

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${Q_3} = 250 + \frac{{\frac{{3.20}}{4} - \left( {1 + 1 + 1 + 8} \right)}}{7}\left( {280 - 250} \right) = \frac{{1870}}{7}$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 39{,}64$.

b) Đúng. Gọi ${y_1};{y_2}; \ldots ;{y_{50}}$ là mẫu số liệu gốc về số giờ nắng trong tháng 6 trong 20 năm của Quy Nhơn được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có:

$\begin{array}{l}{y_1}; \in \left[ {160;190} \right);{y_2};{y_3} \in \left[ {190;220} \right);{y_4}; \ldots ;{y_7} \in \left[ {220;250} \right);{y_8}; \ldots ;{y_{17}} \in \left[ {250;280} \right);\\{y_{4 = 18}}; \ldots ;{y_{20}} \in \left[ {280;310} \right)\end{array}$

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left( {{y_5} + {y_6}} \right) \in \left[ {220;250} \right)$.

Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${Q'_1} = 220 + \frac{{\frac{{20}}{4} - \left( {1 + 2} \right)}}{4}\left( {250 - 220} \right) = 235$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left( {{y_{15}} + {y_{16}}} \right) \in \left[ {250;280} \right)$.

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${Q'_3} = 250 + \frac{{\frac{{3.20}}{4} - \left( {1 + 2 + 4} \right)}}{{10}}\left( {280 - 250} \right) = 274$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${\Delta '_Q} = {Q'_3} - {Q'_1} = 39$.

Vậy nếu so sánh theo khoảng tứ phân vị thì số giờ nắng trong tháng 6 của Quy Nhơn đồng đều hơn.

Xét số liệu của Nha Trang:

Số trung bình: $\overline {{x_X}} = \frac{{1.145 + 1.175 + 1.205 + 8.235 + 7.265 + 2.295}}{{20}} = 242{,}5$.

Độ lệch chuẩn: ${s_X} = \sqrt {\frac{{{{1.145}^2} + {{1.175}^2} + {{1.205}^2} + {{8.235}^2} + {{7.265}^2} + {{2.295}^2}}}{{20}} - 242,{5^2}} \approx 35{,}34$.

c) Đúng. Xét số liệu của Quy Nhơn:

Số trung bình: $\overline {{x_Y}} = \frac{{1.175 + 2.205 + 4.235 + 10.265 + 3.295}}{{20}} = 253$.

Độ lệch chuẩn: ${s_Y} = \sqrt {\frac{{{{1.175}^2} + {{2.205}^2} + {{4.235}^2} + {{10.265}^2} + {{3.295}^2}}}{{20}} - {{253}^2}} \approx 30{,}59$.

d) Sai. Vậy nếu so sánh theo độ lệch chuẩn thì số giờ nắng trong tháng 6 của Quy Nhơn đồng đều hơn.

a) Đúng. Khoảng biến thiên của chiều cao các cây được chăm sóc theo mỗi phương pháp $A$ và $B$ bằng nhau và cùng bằng 50.

b) Đúng. Ước tính số trung bình và độ lệch chuẩn của chiều cao các cây được chăm sóc theo mỗi phương pháp. Cỡ mẫu của hai mẫu số liệu thống kê là $N = 40$. Ta có bảng tần số ghép nhóm về chiều cao của cây được chăm sóc theo phương pháp $A$ như sau:

Chiều cao trung bình của các cây được chăm sóc theo phương án $A$ là:

$\overline {{x_A}} = \frac{{5.6 + 18.5 + 25.12 + 35.8 + 45.6}}{{40}} = 25$

Ta có bảng tần số ghép nhóm về chiều cao của cây được chăm sóc theo phương pháp $B$ như sau:

Chiều cao trung bình của các cây được chăm sóc theo phương án $B$ là:

$\overline {{x_B}} = \frac{{5.13 + 15.6 + 25.2 + 35.6 + 45.13}}{{40}} = 25$cm.

c) Đúng. Độ lệch chuẩn của chiều cao các cây được chăm sóc theo phương án $A$ là:

${s_A} = \sqrt {\frac{{{5^2}.6 + {{15}^2}.8 + {{25}^2}.12 + {{35}^2}.8 + {{45}^2}.6}}{{40}} - {{25}^2}} \approx 12{,}65$.

d) Sai. Độ lệch chuẩn của chiều cao các cây được chăm sóc theo phương án $B$ là:

${s_B} = \sqrt {\frac{{{5^2}.13 + {{15}^2}.6 + {{25}^2}.2 + {{35}^2}.6 + {{45}^2}.13}}{{40}} - {{25}^2}} \approx 17{,}03$.

Ta thấy ${s_B} > {s_A}$ nên dựa vào độ lệch chuẩn thì chiều cao của các loại cây được chăm sóc theo phương án $B$ bị chênh lệch nhiều hơn so với phương án $A$.

Trong mẫu số liệu ghép nhóm đó, ta có: đầu mút trái của nhóm 1 là ${a_1} = 160$, đầu mút phải của nhóm 5 là ${a_6} = 175$. Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm đó là:

$R = {a_6} - {a_1} = 175 - 160 = 15$.

Đáp án: 15.

Cỡ mẫu $n = 92$;

Gọi ${x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{92}}$ là mẫu số liệu gốc về số lượt khách hàng đặt bàn qua hình thức trực tuyến mỗi ngày trong quý III năm 2022 của nhà hàng được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: ${x_1}; \ldots ;{x_{14}} \in [1;6);{x_{15}}; \ldots ;{x_{44}} \in [6;11);{x_{45}}; \ldots ;{x_{69}} \in [11;16);{x_{70}}; \ldots ;{x_{87}} \in [16;21);$

${x_{88}}; \ldots ;{x_{92}} \in [21;26)$.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left( {{x_{23}} + {x_{24}}} \right) \in [6;11)$. Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_1} = 6 + \frac{{\frac{{92}}{4} - 14}}{{30}}\left( {11 - 6} \right) = 7{,}5$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left( {{x_{69}} + {x_{70}}} \right) \in [11;16)$ và $[16;21)$.

Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_3} = 16$.

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 8{,}5$.

Đáp án: 8,5.

Từ mẫu số liệu ghép nhóm, ta có bảng thống kê số giờ làm thêm trong một tuần của 100 sinh viên như sau:

Cỡ mẫu $n = 100$.

Gọi ${x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{100}}$ là mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm.

Tứ phân vị thứ hai của dãy số liệu ${x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{100}}$ là $\frac{1}{2}\left( {{x_{50}} + {x_{51}}} \right)$.

Do ${x_{50}}$ và ${x_{51}}$ thuộc nhóm $[6;8)$ nên ${Q_2} = 6 + \frac{{\frac{{2 \cdot 100}}{4} - 32}}{{37}} \cdot (8 - 6) \approx 6{,}97$.

Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu ${x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{100}}$ là $\frac{1}{2}\left( {{x_{25}} + {x_{26}}} \right)$. Do ${x_{25}}$ và ${x_{26}}$ thuộc nhóm $[4;6)$ nên ${Q_1} = 4 + \frac{{\frac{{1.100}}{4} - 12}}{{20}} \cdot (6 - 4) = 5{,}3$.

Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu ${x_1};{x_2}; \ldots ;{x_{100}}$ là $\frac{1}{2}\left( {{x_{75}} + {x_{76}}} \right)$. Do ${x_{75}}$ và ${x_{76}}$ thuộc nhóm $[8;10)$ nên ${Q_3} = 8 + \frac{{\frac{{3 \cdot 100}}{4} - 69}}{{21}} \cdot (10 - 8) = \frac{{60}}{7}$.

Khoảng tứ phân vị là $\Delta Q = {Q_3} - {Q_1} = \frac{{60}}{7} - 5{,}3 \approx 3{,}27$.

Đáp án: 3,27.

Cỡ mẫu: $n = 18$.

Số trung bình: $\bar x = \frac{{2.7{,}3 + 4.7{,}5 + 7.7{,}7 + 5.7{,}9}}{{18}} \approx 7{,}67$.

Phương sai: ${s^2} = \frac{{2.7,{3^2} + 4.7,{5^2} + 7.7,{7^2} + 5.7,{9^2}}}{{18}} - 7,{67^2} \approx 0{,}04$.

Độ lệch chuẩn: $s \approx \sqrt {0{,}04} \approx 0{,}19$.

Đáp án: 0,19.

Ta có bảng sau:

Phương sai của mẫu số liệu trên là: ${s^2} = \frac{1}{n}\sum {{n_i}} c_i^2 - {\left( {\frac{{\sum {{n_i}} {c_i}}}{n}} \right)^2} \approx 166$.

Đáp án: 166.

Số trung bình: $\bar x = \frac{{3.5{,}6 + 4.5{,}8 + 6.6{,}0 + 5.6{,}2 + 5.6{,}4 + 2.6{,}6}}{{25}} = 6{,}088$.

Độ lệch chuẩn: $s = \sqrt {\frac{{{{5.75}^2} + {{10.125}^2} + {{9.175}^2} + {{4.225}^2} + {{2.275}^2}}}{{30}} - {{155}^2}} \approx 0{,}29$.

Đáp án: 0,29.

Ta có bảng thống kê cân nặng của các quả mít theo giá trị đại diện:

Cỡ mẫu $n = 6 + 12 + 19 + 9 + 4 = 50$.

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là: $\bar x = \frac{{6.5 + 12.7 + 19.9 + 9.11 + 4.13}}{{50}} = 8{,}72.$

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${s^2} = \frac{1}{{50}}\left( {{{6.5}^2} + {{12.7}^2} + {{19.9}^2} + {{9.11}^2} + {{4.13}^2}} \right) - 8,{72^2} \approx 4{,}8.$

Đáp án: 4,8.

a) Cỡ mẫu là $n = 3 + 12 + 15 + 8 = 38$. Gọi ${x_1}, \ldots ,{x_{38}}$ là thời gian chờ khám bệnh của 38 bệnh nhân này và giả sử rằng dãy số liệu gốc này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là ${x_{10}}$ nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là nhóm $[5;10)$ và ta có:

${Q_1} = 5 + \left[ {\frac{{\frac{{38}}{4} - 3}}{{12}}} \right].5 \approx 7{,}71.$

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là ${x_{29}}$ nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là nhóm $[10;15)$ và ta có: ${Q_3} = 10 + \left[ {\frac{{\frac{{3 \cdot 38}}{4} - 15}}{{15}}} \right].5 = 14{,}5.$

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} \approx 14{,}5 - 7{,}71 = 6{,}79$.

b) Do ${\Delta _Q} = 6{,}79 < 9{,}23$ nên thời gian chờ của bệnh nhân tại phòng khám $Y$ phân tán hơn thời gian chờ của bệnh nhân tại phòng khám $X$.

Lời giải

Ta có bảng số liệu với giá trị đại diện của nhóm là:

Mức thu nhập trung bình của người lao động nhà máy A là:

$\frac{{6{,}5.20 + 9{,}5.35 + 12{,}5.45 + 15{,}5.35 + 18{,}5.20}}{{20 + 35 + 45 + 35 + 20}} = \frac{{25}}{2}$ (triệu đồng).

Mức thu nhập trung bình của người lao động nhà máy B là:

$\frac{{6{,}5.17 + 9{,}5.23 + 12{,}5.30 + 15{,}5.23 + 18{,}5.17}}{{17 + 23 + 30 + 23 + 17}} = \frac{{25}}{2}$ (triệu đồng).

Nhà máy $A$: Ta có cỡ mẫu $n = 155$. Giả sử ${x_1},{x_2}, \ldots ,{x_{155}}$ là mức thu nhập của người lao động nhà máy $A$ và giả sử dãy số liệu gốc này đã được sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Vì $\frac{n}{4} = 38{,}75$ và $20 < 38{,}75 < 20 + 35$ nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là nhóm $[8;11)$ và tứ phân vị thứ nhất là: ${Q_1} = 8 + \frac{{\frac{{155}}{4} - 20}}{{35}}.3 = \frac{{269}}{{28}}$.

Vì $\frac{{3n}}{4} = 116{,}25$ và $20 + 35 + 45 < 116{,}25 < 20 + 35 + 45 + 35$ nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là nhóm $[14;17)$ và tứ phân vị thứ ba là: ${Q_3} = 14 + \frac{{\frac{{3.155}}{4} - (20 + 35 + 45)}}{{35}}.3 = \frac{{431}}{{28}}$.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${\Delta _{{Q_1}}} = \frac{{431}}{{28}} - \frac{{269}}{{28}} = \frac{{81}}{{14}}$.

Nhà máy B: Ta có cỡ mẫu $n = 110$. Giả sử ${x_1},{x_2}, \ldots ,{x_{110}}$ là mức thu nhập của người lao động nhà máy $B$ và giả sử dãy số liệu gốc này đã được sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Vì $\frac{n}{4} = 27{,}5$ và $17 < 27{,}5 < 17 + 23$ nên nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất là nhóm $[8;11)$ và tứ phân vị thứ nhất là: ${Q'_1} = 8 + \frac{{\frac{{110}}{4} - 17}}{{23}}.3 = \frac{{431}}{{46}}$.

Vì $\frac{{3n}}{4} = 82{,}5$ và $17 + 23 + 30 < 82{,}5 < 17 + 23 + 30 + 23$ nên nhóm chứa tứ phân vị thứ ba là nhóm $[14;17)$ và tứ phân vị thứ ba là: ${Q'_3} = 14 + \frac{{\frac{{3.110}}{4} - (17 + 23 + 30)}}{{23}}.3 = \frac{{719}}{{46}}$.

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${\Delta _{{Q_2}}} = \frac{{719}}{{46}} - \frac{{431}}{{46}} = \frac{{144}}{{23}}$.

Vì ${\Delta _{{Q_1}}} < {\Delta _{{Q_2}}}$ nên mức thu nhập của người lao động nhà máy B biến động nhiều hơn.

a) Cỡ mẫu $n = 100$. Gọi ${x_1},\,{x_2},\,{x_3},\,...,\,{x_{100}}$ là mẫu số liệu gốc gồm $100$ lần đi xe buýt của ông Thắng. Khi đó ta có:

${x_1},\,....,\,{x_{22}} \in \left[ {15\,;\,18} \right)$; ${x_{23}},\,...\,,{x_{60}} \in \left[ {18\,;\,21} \right)$; ${x_{61}},\,...,\,{x_{87}} \in \left[ {21\,;\,24} \right)$;

${x_{88}},\,....,\,{x_{95}} \in \left[ {21\,;\,27} \right)$; ${x_{96}},\,...\,,{x_{99}} \in \left[ {27\,;\,30} \right)$; $\,{x_{100}} \in \left[ {30\,;\,33} \right)$.

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left( {{x_{75}} + {x_{76}}} \right) \in \left[ {18\,;\,21} \right)$.

Do đó tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${Q_1} = 18 + \frac{{\frac{{100}}{4} - 22}}{{38}}\left( {21 - 18} \right) = \frac{{693}}{{38}}$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gốc là $\frac{1}{2}\left( {{x_{75}} + {x_{76}}} \right) \in \left[ {21;\,24} \right)$.

Do đó tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là:

${Q_3} = 18 + \frac{{\frac{{3.100}}{4} - \left( {22 + 38} \right)}}{{27}}\left( {24 - 21} \right) = \frac{{68}}{3}$.

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là ${\Delta _Q} = \frac{{68}}{3} - \frac{{693}}{{38}} = \frac{{505}}{{114}} \approx 4{,}43$.

b) Trong lần duy nhất ông Thắng đi hết $32$ phút, thời gian đi của ông thuộc nhóm $\left[ {30\,;\,33} \right)$.

Vì ${Q_3} + 1{,}5{\Delta _Q} \approx 29{,}31 < 30$ nên đây là giá trị ngoại lệ của mẫu số liệu ghép nhóm.

a) Cỡ mẫu là $n = 20$.

Số trung bình của mẫu số liệu trên là: ${\overline x _1} = \frac{{111{,}6 + 134{,}9 + \ldots + 114}}{{20}} = 122{,}755.$

Phương sai của mẫu số liệu trên là: $S_1^2 = \frac{1}{{20}}\left( {111,{6^2} + 134,{9^2} + \ldots + {{114}^2}} \right) - 122,{755^2} \approx 515{,}453.$

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là: ${S_1} \approx \sqrt {515{,}453} \approx 22{,}704.$

b) Ta có bảng sau:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${\overline x _2} = \frac{{3.89 + 6.107 + 3.125 + 5.143 + 3.161}}{{20}} = 124{,}1.$

Phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là

$S_2^2 = \frac{1}{{20}}\left( {{{3.89}^2} + {{6.107}^2} + {{3.125}^2} + {{5.143}^2} + {{3.161}^2}} \right) - 124,{1^2} = 566{,}19.$

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm là: ${S_2} = \sqrt {566{,}19} \approx 23{,}795.$

c) Sai số tương đối của độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm so với độ lệch chuẩn của mẫu số liệu gốc là: $\frac{{\left| {{S_2} - {S_1}} \right|}}{{{S_1}}} = \frac{{\left| {23{,}795 - 22{,}704} \right|}}{{22{,}704}} \cdot 100{\rm{\% }} \approx 4{,}805{\rm{\% }}{\rm{.\;}}$