Bài tập ôn tập Toán 12 Chân trời sáng tạo Chương 2 có đáp án

A. Trắc nghiệm

Dạng 1. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Trong không gian, cho tứ diện $ABCD$. Ta có $\overrightarrow {AB} \, + \,\overrightarrow {CD}$ bằng

Dạng 2. Trắc nghiệm đúng sai

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Trong không gian, cho tứ diện ABCD có trọng tâm $G$.

a) $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0$.

b) $\overrightarrow {OG} = \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} } \right)$.

c) $\overrightarrow {BG} = \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD}$.

d) $\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AD} } \right)$.

Một chiếc ô tô được đặt trên mặt đáy dưới của một khung sắt có dạng hình hộp chữ nhật với đáy trên là hình chữ nhật $ABCD,$ mặt phẳng $(ABCD)$ song song với mặt phẳng nằm ngang. Khung sắt đó được buộc vào móc $E$ của chiếc cần cẩu sao cho các đoạn dây cáp $EA,EB,EC,ED$ có độ dài bằng nhau và cùng tạo với mặt phẳng $(ABCD)$ một góc bằng $60^\circ$. Chiếc cần cẩu kéo khung sắt lên theo phương thẳng đứng. Biết rằng các lực căng $\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} ,\overrightarrow {{F_4}}$ đều có cường độ là $4700\;{\rm{N}}$ và trọng lượng của khung sắt là $3000\;{\rm{N}}$.

a) $\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} = \overrightarrow {{F_3}} + \overrightarrow {{F_4}}$.

b) $\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_3}} = \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_4}}$.

c) $\left| {\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_3}} } \right| = 8141\;{\rm{N}}$ (làm tròn đến hàng đơn vị).

d) Trọng lượng của chiếc xe ô tô là $16282\;{\rm{N}}$ (làm tròn đến hàng đơn vị).

Hình vẽ sau mô tả vị trí của máy bay vào thời điểm 9h30'. Biết các đơn vị trên hình tính theo đơn vị km.

a) Máy bay đang ở độ cao 9 km.

b) Tọa độ của máy bay lúc 9h30' là $\left( {150;300;9} \right)$.

c) Phi công để máy bay ở chế độ tự động và bay theo hướng đông, độ cao không đổi lúc 10h30' máy bay ở tọa độ $\left( {150;1086;9} \right)$. Khi đó vận tốc của máy bay là $776{\rm{\;km}}/{\rm{h}}$, biết vận tốc gió theo hướng đông là $10{\rm{\;m/s}}$.

d) Giả sử vận tốc và hướng gió không đổi thì sau khi bay đến vị trí lúc 10h30' thì máy bay bay ngược lại (hướng Tây) với vận tốc $800{\rm{\;km/h}}$ với độ cao không đổi, biết lúc đó trời lặng gió thì lúc 11h máy bay cách gốc tọa độ một khoảng 723 km (làm tròn đến hàng đơn vị).

Một phòng học có thiết kế dạng hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' với $AB = 6{\rm{\;m}},AD = 7{\rm{\;m}},$$AA' = 3{,}5{\rm{\;m}}$. Một bóng đèn được treo ở vị trí chính giữa trần nhà của phòng học và cách trần nhà $0{,}5{\rm{\;m}}$. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho gốc $O$ trùng với điểm $A$, các điểm $B,D,A'$ lần lượt nằm trên các tia Ox,Oy,Oz.

a) Điểm $D$ có toạ độ là $\left( {0;7;0} \right)$.

b) Các điểm C, D có tung độ bằng nhau.

c) Vectơ $\overrightarrow {C'D'}$ có tọa độ $\left( {6;0;0} \right)$

d) Bóng đèn nằm tại vị trí có tọa độ $\left( {3;3{,}5;3{,}5} \right)$.

Cho tam giác ABC có $A\left( {1;2;0} \right),B\left( {0;1;1} \right),C\left( {2;1;0} \right)$.

a) Tam giác $ABC$ vuông tại $A$.

b) Chu vi tam giác là $\sqrt 7 + \sqrt 3 + \sqrt 2$.

c) Diện tích tam giác $ABC$ là $\sqrt 6$.

d) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ là $I\left( {1;1;\frac{1}{2}} \right)$.

Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất cách điểm xuất phát $2{\rm{\;km}}$ về phía nam và $1{\rm{\;km}}$ về phía đông, đồng thời cách mặt đất $0{,}5{\rm{\;km}}$. Chiếc thứ hai nằm cách điểm xuất phát $1{\rm{\;km}}$ về phía bắc và $1{,}5{\rm{\;km}}$ về phía tây, đồng thời cách mặt đất 0,8 ${\rm{km}}$.Chọn hệ trục Oxyz với gốc $O$ đặt tại điểm xuất phát của hai khinh khí cầu, mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ trùng với mặt đất với trục $Ox$ hướng về phía nam, trục $Oy$ hướng về phía đông và trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời (Hình bên dưới), đơn vị đo lấy theo kilomet.

a) Với hệ tọa độ đã chọn, tọa độ khinh khí cầu thứ nhất là $\left( {2;1;0{,}5} \right)$.

b) Với hệ tọa độ đã chọn, toạ độ khinh khí cầu thứ hai là $\left( { - 1{,}5; - 1;0{,}8} \right)$.

c) Khoảng cách từ điểm xuất phát đến khinh khí cầu thứ nhất bằng $\sqrt {21} {\rm{\;km}}$.

d) Khoảng cách hai chiếc khinh khí cầu là $3{,}92{\rm{\;km}}$ (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Hình minh họa sơ đồ một ngôi nhà trong hệ trục tọa độ Oxyz, trong đó nền nhà, bốn bức tường và hai mái nhà đều là hình chữ nhật.

a) Tọa độ của các điểm $A\left( {5;0;0} \right)$.

b) Tọa độ của các điểm $H\left( {0;5;3} \right)$.

c) Góc nhị diện có cạnh là đường thẳng $FG$, hai mặt lần lượt là $\left( {FGQP} \right)$ và $\left( {FGHE} \right)$ gọi là góc dốc của mái nhà. Số đo của góc dốc của mái nhà bằng $26{,}6^\circ$ (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của độ).

d) Chiều cao của ngôi nhà là 4.

Một kho chứa hàng có dạng hình lăng trụ đứng ABFPE.DCGQH với ABFE là hình chữ nhật và EFP là tam giác cân tại $P$. Gọi $T$ là trung điểm của $DC$. Các kích thước của kho chứa lần lượt là $AB = 6$m;$AE = 5$m; $AD = 8$m; $QT = 7$m. Người ta mô hình hoá nhà kho bằng cách chọn hệ trục toạ độ có gốc toạ độ là điểm $O$ thuộc đoạn $AD$ sao cho $OA = 2$m và các trục toạ độ tương ứng như hình vẽ dưới đây.

a) Toạ độ điểm $Q$ là $\left( { - 6;3;5} \right)$.

b) Vectơ $\overrightarrow {OC}$ có toạ độ là $\left( { - 6;6;0} \right)$.

c) Người ta muốn lắp camera quan sát trong nhà kho tại vị trí trung điểm của $FG$ và đầu thu dữ liệu đặt tại vị trí $O$. Người ta thiết kế đường dây cáp nối từ $O$ đến $K$ sau đó nối thẳng đến camera. Độ dài đoạn cáp nối tối thiểu bằng $5 + 2\sqrt {10}$m.

d) Mái nhà được lợp bằng tôn Hoa Sen, giá tiền mỗi mét vuông tôn là $130.000$ đồng. Số tiền cần bỏ ra để mua tôn lợp mái nhà là $3.750.000$ đồng (không kể hao phí do việc cắt và ghép các miếng tôn, làm tròn kết quả đến hàng nghìn).

Trong không gian, xét hệ tọa độ Oxyz có gốc $O$ trùng với vị trí một giàn khoan trên biển, mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ trùng với mặt biển (được coi là mặt phẳng) với tia $Ox$ hướng về phía nam, tia $Oy$ hướng về phía đông và tia $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời (tham khảo hình vẽ). Đơn vị đo trong không gian $Oxyz$ lấy theo kilômét. Một chiếc radar đặt tại $O$ có phạm vi theo dõi là 30 km. Một chiếc tàu thám hiểm tại vị trí $A$ ở độ sâu 10 km so với mặt nước biển, cách $O\;25\;{\rm{km}}$ về phía nam và 15 km về phía tây. Một tàu đánh cá tại vị trí $B\left( { - 20;15;0} \right)$.

a) Khoảng cách từ chiếc tàu thám hiểm đến radar bằng 25 km.

b) Radar không phát hiện được tàu thám hiểm đặt tại vị trí $A$.

c) Radar phát hiện ra tàu đánh cá tại vị trí $B$.

d) Một chiếc tàu của cảnh sát biển đang tuần tra di chuyển đến vị trí cách $O$$\;15\;{\rm{km}}$ về phía nam.

Để radar phát hiện ra thì tàu cảnh sát biển cần di chuyển về phía đông cách $O$ tối đa $15\sqrt 3 \;{\rm{km}}$.

Trong không gian với hệ trục Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là 1 m), một flycam bay với vận tốc có độ lớn và hướng không đổi. Tại thời điểm $t = 0$, flycam ở vị trí $A\left( {1;\,2;\,3} \right)$ và sau 10 phút nó ở vị trí $B\left( {21;\,32;\,33} \right)$.

a) Flycam không bay qua vị trí $D\left( {5;\,8;\,9} \right)$.

b) Vectơ vận tốc của flycam có tọa độ là $\overrightarrow v = \left( {20;\,30;\,30} \right)$.

c) Độ lớn của vận tốc flycam là $\sqrt {22}$ (m/phút).

d) Sau 15 phút vị trí flycam là $C\left( {31;\,47;\,48} \right)$.

Dạng 3. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Có ba lực cùng tác động vào một vật. Hai trong ba lực này hợp với nhau một góc $100^\circ$ và có độ lớn lần lượt là $25\;$N và $12\;$N. Lực thứ ba vuông góc với mặt phẳng tạo bởi hai lực đã cho và có độ lớn $4\;$N. Tính độ lớn của hợp lực của ba lực trên (làm tròn đến hàng phần chục theo đơn vị Newton).

Một chiếc máy đo đạc trắc địa được đặt trên một giá đỡ ba chân. Trọng lực tác dụng lên chiếc máy có độ lớn là $30{\rm{N}}$ và được phân bố thành ba lực $\overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}} ,\,\,\overrightarrow {{F_3}}$ lên ba chân của giá đỡ. Ba lực $\overrightarrow {{F_1}} ,\,\,\overrightarrow {{F_2}} ,\,\,\overrightarrow {{F_3}}$ có độ lớn bằng nhau và góc tạo bởi mỗi chân của giá đỡ và mặt đất là $60^\circ .$ Hỏi độ lớn của lực $\overrightarrow {{F_1}}$ là bao nhiêu newton (làm tròn đến hàng phần chục)?

Một chiếc xe đang kéo căng sợi dây cáp $AB$ trong công trường xây dựng, trên đó đã thiết lập hệ toạ độ Oxyz như hình vẽ dưới với độ dài đơn vị trên các trục tọa độ bằng $1\;m$. Tìm được tọa độ của vectơ $\overrightarrow {AB} = \left( {a;b;c} \right)$. Khi đó tính $a + c$.

Trong không gian với một hệ trục toạ độ cho trước (đơn vị đo lấy theo km), ra đa phát hiện một chiếc máy bay di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm $A\left( {800;500;7} \right)$ đến điểm $B\left( {940;550;8} \right)$ trong 10 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì toạ độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo $D\left( {x;y;z} \right)$. Khi đó $x + y + z = ?$

Một ngôi nhà gồm hai phần. Phần thân nhà dạng hình hộp chữ nhật ABCD.OMNK có chiều dài 1200 cm, chiều rộng 900 cm, chiều cao 450 cm. Phần mái nhà dạng hình chóp S.ABCD có các cạnh bên bằng nhau và cùng tạo với mặt đáy một góc a có $\tan \alpha = \frac{1}{5}$. Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho M thuộc tia Ox, K thuộc tia Oy, A thuộc tia Oz (như hình vẽ).

Biết $S\left( {a;b;c} \right)$ (đơn vị của a, b, c là centimet). Tính giá trị của biểu thức $P = a + b + c$.

Xét Trái Đất trong không gian Oxyz, với $O$ là tâm Trái Đất, tia $Ox$ chứa giao điểm của kinh tuyến gốc và xích đạo, tia $Oz$ chứa điểm cực bắc $N$, tia $Oy$ giao xích đạo tại điểm thuộc bán cầu Đông, một đơn vị dài trong không gian Oxyz tương ứng với 6371 km trong thực tế. Biết rằng nếu điểm $M$ có vĩ độ, kinh độ tương ứng là $\alpha ^\circ \,N;{\rm{ }}\,\beta ^\circ \,E{\rm{ }}\,\left( {0 < \alpha < 90,\,0 < \beta < 180} \right)$ thì điểm $M$có tọa độ là $M\left( {\cos \alpha ^\circ \cos \beta ^\circ ;\,\cos \alpha ^\circ \sin \beta ^\circ ;\,\sin \alpha ^\circ } \right)$.

Tính khoảng cách giữa hai vị trí trên bề mặt Trái Đất là Cầu Hiền Lương (cũ) (Quảng Trị) có vĩ độ, kinh độ tương ứng là $17{,}0045^\circ \,N;{\rm{ }}\,107{,}0517^\circ \,E$ và Dinh Độc Lập (TP Hồ Chí Minh) có vĩ độ, kinh độ tương ứng là $10{,}777^\circ \,N;{\rm{ }}106{,}695^\circ \,E$ (đơn vị: km, làm tròn kết quả đến hàng chục).

Ba chiếc máy bay không người lái cùng bay lên tại một địa điểm. Sau một thời gian bay, chiếc máy bay thứ nhất cách điểm xuất phát về phía Đông 60 km và về phía Nam 40 km, đồng thời cách mặt đất 2 km. Chiếc máy bay thứ hai cách điểm xuất phát về phía Bắc 80 km và về phía Tây 50 km, đồng thời cách mặt đất 4 km. Chiếc máy bay thứ ba nằm chính giữa của chiếc máy bay thứ nhất và thứ hai, đồng thời ba chiếc máy bay này thẳng hàng.

Xác định khoảng cách của chiếc máy bay thứ ba với vị trí tại điểm xuất phát của nó (làm tròn kết quả đến hàng phần mười theo đơn vị kilomet).

B. Tự luận

Cho hình lập phươngABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng $5$.

a) Tìm góc giữa các cặp vectơ sau: $\overrightarrow {AC}$ và $\overrightarrow {AB}$; $\overrightarrow {AC}$ và $\overrightarrow {B'D'}$; $\overrightarrow {AC}$ và $\overrightarrow {CD}$; $\overrightarrow {AD'}$ và $\overrightarrow {BD}$.

b) Tính các tích vô hướng:$\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB}$; $\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {B'D'}$; $\overrightarrow {AD'} .\overrightarrow {BD}$.

c) Chứng minh $\overrightarrow {AC'}$ vuông góc với $\overrightarrow {BD}$.

Cho biết $A$ (đơn vị: $J$) sinh bởi lực $\overrightarrow F$ tác dụng lên một vật được tính bằng công thức $A = \overrightarrow F .\overrightarrow d$ trong đó $\overrightarrow d$ là vectơ biểu thị độ dịch chuyển của vật (đơn vị: mét) khi chịu tác dụng của lực $\overrightarrow F$. Một chiếc xe có khối lượng $1{,}5$ tấn đang đi xuống trên một đoạn đường dốc có góc nghiêm $5^\circ$ so với phương ngang. Tính công sinh ra bởi trọng lực $\overrightarrow P$ khi xe đi hết đoạn đường dốc dài $30\,{\rm{m}}$ (làm trong kết quả đến hàng đơn vị), biết rằng trọng lực $\overrightarrow P$ được xác định bởi công thức $\overrightarrow P = m.\overrightarrow g$ với $m$ (đơn vị: kg) là khối lượng của vật và $\overrightarrow g$ là gia tốc rơi tự do có độ lớn $g = 9{,}8{\rm{m/}}{{\rm{s}}^2}$.